Semana 4 · Del número a la variable
Álgebra para representar relaciones en Ciencias Sociales
Del número a la variable
¿Cómo representamos relaciones entre cantidades?
Punto de partida
Hasta ahora hemos trabajado con casos particulares:
\[ \frac{615}{1500}=0,41=41\% \]
\[ \frac{52.000}{80.000}=0,65=65\% \]
\[ \frac{21.600}{24.000}=0,90=90\% \]
Hoy daremos un paso distinto:
representar la relación, no solo calcular un caso.
La pregunta de hoy
¿Cómo podemos escribir una sola expresión que sirva para muchos casos diferentes?
Esa es una de las ideas centrales del álgebra.
1. Un problema antes del álgebra
Levantar información cuesta recursos
Una institución realizará un estudio mediante encuestas.
El diseño tiene:
- un costo fijo de $350.000
- un costo de $1.200 por persona encuestada.
¿Cuánto costaría encuestar a 100 personas?
\[ 350.000+1.200(100) \]
\[ =470.000 \]
¿Y si cambia el tamaño del estudio?
Para 500 personas:
\[ 350.000+1.200(500)=950.000 \]
Para 1.000 personas:
\[ 350.000+1.200(1.000)=1.550.000 \]
¿Tenemos que inventar una operación nueva para cada tamaño?
La estructura no cambia
En todos los casos hacemos:
\[ \text{Costo total} = \text{costo fijo} + \text{costo por persona}\times\text{número de personas} \]
Podemos representar esa estructura como:
\[ C=350.000+1.200n \]
Acabamos de generalizar
En:
\[ C=350.000+1.200n \]
- \(C\) representa el costo total
- \(n\) representa el número de personas
- \(350.000\) es un costo que no cambia
- \(1.200\) indica cuánto se agrega por cada persona.
Important
El álgebra permite pasar de un caso particular a una relación general.
2. Variable y constante
Variable
Una variable representa una cantidad que puede tomar distintos valores.
Ejemplos:
- número de beneficiarios
- votos obtenidos
- ingreso de un hogar
- cantidad de personas encuestadas
- gasto ejecutado
- horas de trabajo no remunerado.
Constante
Una constante mantiene su valor dentro de la situación que estamos analizando.
En:
\[ C=350.000+1.200n \]
si las condiciones del estudio no cambian:
\[ 350.000 \qquad\text{y}\qquad 1.200 \]
son constantes.
Mientras que:
\[ n \quad\text{y}\quad C \]
pueden cambiar.
Atención: una letra no es “algo desconocido”
En:
\[ P=\frac{x}{n}\times100 \]
\(x\) y \(n\) no tienen por qué ser cantidades desconocidas.
Pueden representar:
- \(x\): personas que responden “sí”
- \(n\): total de personas encuestadas.
La letra sirve para representar una cantidad de manera general.
3. Ya veníamos utilizando álgebra
Semana 3
Trabajamos con:
\[ \text{Proporción} = \frac{\text{parte}}{\text{total}} \]
Podemos escribir:
\[ p=\frac{x}{n} \]
Variación porcentual
También utilizamos:
\[ \text{Variación} = \frac{\text{final}-\text{inicial}}{\text{inicial}} \]
En lenguaje algebraico:
\[ V=\frac{x_1-x_0}{x_0} \]
La fórmula no pertenece a un caso particular.
Puede utilizarse con empleo, presupuesto, votos, matrícula, población…
4. ¿Qué es una expresión algebraica?
Una expresión algebraica combina números, variables y operaciones.
Por ejemplo:
\[ 350.000+1.200n \]
\[ \frac{x}{n} \]
\[ I+T-G \]
\[ \frac{x_1-x_0}{x_0} \]
Una precisión importante
Esto:
\[ 350.000+1.200n \]
es una expresión algebraica.
Esto:
\[ C=350.000+1.200n \]
es una igualdad que relaciona cantidades.
Una precisión importante
Y esto:
\[ 950.000=350.000+1.200n \]
puede transformarse en una ecuación, porque buscamos un valor desconocido.
Tip
No todo lo que contiene letras es exactamente el mismo objeto matemático.
5. Anatomía de una expresión
Consideremos:
\[ 350.000+1.200n \]
Términos
\[ 350.000 \]
\[ 1.200n \]
. . .
En \(1.200n\)
- \(1.200\): coeficiente
- \(n\): variable
El número \(350.000\) es un término constante.
Multiplicación implícita
En álgebra:
\[ 1.200n \]
significa:
\[ 1.200\times n \]
También:
\[ 3x=3\times x \]
\[ ab=a\times b \]
6. Evaluar una expresión
Tenemos:
\[ C=350.000+1.200n \]
Si queremos estudiar un levantamiento de:
\[ n=750 \]
sustituimos ese valor:
\[ C=350.000+1.200(750) \]
\[ C=1.250.000 \]
Tres pasos
1. Sustituir
\[ n=750 \]
2. Calcular
\[ 350.000+1.200(750)=1.250.000 \]
3. Interpretar
Encuestar a 750 personas tendría un costo estimado de $1.250.000, bajo las condiciones definidas.
7. Actividad breve
¿Qué representa cada elemento?
Una política de apoyo entrega un aporte base de $45.000 y un complemento de $18.000 por carga acreditada.
Podemos representar el beneficio mensual mediante:
\[ B=45.000+18.000c \]
- ¿Qué representa \(B\)?
- ¿Qué representa \(c\)?
- ¿Qué representa \(45.000\)?
- ¿Qué representa \(18.000\)?
- ¿Cuánto recibe un hogar con 3 cargas?
Resolución
Para \(c=3\):
\[ B=45.000+18.000(3) \]
\[ B=45.000+54.000 \]
\[ B=99.000 \]
Pero la respuesta matemática no termina ahí
Bajo esta regla, un hogar con tres cargas acreditadas recibiría $99.000 mensuales.
8. Traducir lenguaje cotidiano a álgebra
El desafío real
En Ciencias Sociales rara vez recibimos primero una fórmula.
Recibimos una regla, una definición o una relación escrita en palabras.
Nuestro trabajo es reconocer:
- qué cantidades intervienen
- cuáles cambian
- cómo se relacionan.
Caso: Administración Pública
El saldo presupuestario corresponde al presupuesto vigente menos el gasto ejecutado.
Definimos:
- \(S\): saldo
- \(P\): presupuesto vigente
- \(G\): gasto ejecutado.
Entonces:
\[ S=P-G \]
Caso: Ciencia Política
La proporción de votos de una candidatura corresponde a sus votos válidos divididos por el total de votos válidamente emitidos.
Definimos:
- \(p\): proporción de votos
- \(v\): votos de la candidatura
- \(V\): total de votos válidos.
Entonces:
\[ p=\frac{v}{V} \]
Caso: análisis social
El ingreso disponible de un hogar se obtiene sumando ingreso laboral y transferencias, y restando gastos obligatorios.
Definimos:
- \(I_D\): ingreso disponible
- \(I_L\): ingreso laboral
- \(T\): transferencias
- \(G\): gastos obligatorios.
Entonces:
\[ I_D=I_L+T-G \]
9. No todas las traducciones son correctas
Enunciado
Un programa aumenta su cobertura en un 20%.
Si la cobertura inicial es \(x\):
¿Cuál expresión representa la nueva cobertura?
. . .
A. \(x+20\)
B. \(0,20x\)
C. \(x+0,20x\)
D. \(\frac{x}{0,20}\)
Analicemos
El 20% de \(x\) es:
\[ 0,20x \]
Pero la nueva cobertura incluye:
\[ x+0,20x \]
Por tanto:
\[ x+0,20x=1,20x \]
Respuesta
\[ \boxed{1,20x} \]
Una distinción fundamental
Si \(x\) es el presupuesto original:
\[ 0,20x \]
es el 20% del presupuesto.
\[ 1,20x \]
es el presupuesto aumentado en 20%.
\[ 0,80x \]
es el presupuesto reducido en 20%.
10. Ejercicio: política pública
Un programa tiene una cobertura inicial de \(b\) beneficiarios.
Para el próximo año se proyecta:
- un aumento de 12%
- posteriormente, incorporar 350 beneficiarios adicionales mediante un convenio.
Construya una expresión para la cobertura final.
10. Ejercicio: política pública
Primero:
\[ b+0,12b=1,12b \]
Luego:
\[ C=1,12b+350 \]
¿Es lo mismo?
¿Podríamos escribir?
\[ 1,12(b+350) \]
No.
Porque en esa expresión el aumento de 12% también se aplicaría a los 350 beneficiarios adicionales.
El orden y la estructura expresan supuestos.
11. El álgebra obliga a precisar
Compare:
\[ 1,12b+350 \]
con:
\[ 1,12(b+350) \]
Si:
\[ b=5.000 \]
11. El álgebra obliga a precisar
Primera regla:
\[ 1,12(5.000)+350=5.950 \]
Segunda regla:
\[ 1,12(5.350)=5.992 \]
Una diferencia de 42 personas producida por una diferencia en la regla.
12. Paréntesis: no son decoración
Ejemplo electoral
Una candidatura obtiene \(v\) votos.
Se estima que en un escenario hipotético:
- conserva el 90% de sus votos
- además incorpora 2.000 votos nuevos.
Una expresión posible es:
\[ V=0,90v+2.000 \]
Pero si la regla fuera otra…
Primero se agregan 2.000 votos y luego se retiene el 90% del total.
Entonces:
\[ V=0,90(v+2.000) \]
No son equivalentes.
Important
Los paréntesis pueden cambiar el significado sustantivo de una expresión.
13. Simplificar sin perder significado
Tenemos:
\[ x+0,20x \]
Ambos términos contienen la misma variable:
\[ 1x+0,20x \]
Por tanto:
\[ 1,20x \]
Términos semejantes
\[ 3x+2x=5x \]
\[ 4p+3+2p+7=6p+10 \]
Porque podemos agrupar cantidades del mismo tipo.
Lo que NO podemos hacer
\[ 3x+2y \]
no es:
\[ 5xy \]
ni:
\[ 5x \]
Si \(x\) representa hogares y \(y\) representa organizaciones:
son cantidades conceptualmente distintas.
14. Simplificación aplicada
Un fondo financia tres componentes:
- intervención A: \(2x+150\)
- intervención B: \(3x+250\)
- coordinación: \(x+100\).
El costo total es:
\[ C=(2x+150)+(3x+250)+(x+100) \]
Simplificamos:
\[ C=6x+500 \]
¿Qué ganamos al simplificar?
La expresión:
\[ C=6x+500 \]
hace más visible que:
- por cada unidad adicional de \(x\), el costo aumenta en 6 unidades
- existe además un componente constante de 500.
Simplificar también ayuda a interpretar la estructura.
15. Propiedad distributiva
La propiedad distributiva establece:
\[ a(b+c)=ab+ac \]
Por ejemplo:
\[ 3(x+5)=3x+15 \]
Aplicación
Tres territorios implementan el mismo dispositivo.
Cada uno requiere:
- un costo variable \(x\)
- $20.000 de coordinación.
Costo total:
\[ 3(x+20.000) \]
Distribuyendo:
\[ 3x+60.000 \]
Cierre
Hoy aprendimos a pasar de:
una situación
↓
las cantidades relevantes
↓
una relación entre ellas
↓
una expresión algebraica
↓
una interpretación
La idea central
El álgebra no consiste en reemplazar números por letras.
Consiste en representar relaciones de manera general, de modo que podamos analizar muchos casos con una misma estructura.
Ticket de salida
Sin calcular, explique la diferencia entre:
\[ 1,15x+500 \]
y:
\[ 1,15(x+500) \]
Matemáticas para las Cs. Sociales I