Distribución Gaussiana Inversa y su aplicación en Confiabilidad

1. Historia y antecedentes

La distribución Gaussiana Inversa (también llamada distribución de Wald) tiene su origen en el estudio del movimiento Browniano con deriva. Su forma funcional fue obtenida por primera vez por Schrödinger (1915) y, de manera independiente, por Smoluchowski, al resolver el problema del primer tiempo de paso de una partícula que se mueve de forma browniana con una tendencia (deriva) positiva hasta alcanzar un umbral fijo. Es decir, si \(X(t)\) es un proceso de Wiener con deriva \(\mu>0\) que parte de cero, el tiempo \(T\) en que \(X(t)\) alcanza por primera vez un nivel \(a>0\) sigue una distribución Gaussiana Inversa.

El nombre “Gaussiana Inversa” fue propuesto por Tweedie (1945, 1957), quien observó una relación de tipo inverso entre la función generadora de cumulantes de esta distribución y la de la distribución Normal (Gaussiana): mientras que en la Normal el tiempo es la variable aleatoria y la distancia recorrida se fija, aquí la distancia es fija y el tiempo de arribo es la variable aleatoria. Tweedie fue además quien sistematizó sus propiedades estadísticas y motivó su uso práctico en la estadística aplicada.

Un impulso decisivo lo dio Wald (1947) en el contexto del análisis secuencial, donde esta distribución aparece como la ley del número de observaciones necesarias para tomar una decisión en una prueba secuencial de razón de verosimilitudes; por ello en algunos textos se le llama distribución de Wald.

Posteriormente, Chhikara y Folks (1977, 1989) formalizaron su uso como modelo de tiempos de vida, demostrando que su forma (asimetría positiva, soporte en \((0,\infty)\) y función de riesgo no monótona) la hace muy adecuada para modelar procesos de falla por fatiga o por acumulación de daño, de manera análoga a como la distribución Lognormal se usa en confiabilidad.

Respecto a su relación con otras distribuciones:

• Es un caso particular de la familia de dispersión exponencial de Tweedie.
• Es el límite del tiempo de primer paso de un movimiento Browniano, de forma análoga a como la distribución Gamma surge de sumas de variables exponenciales.
• Comparte con la Lognormal el soporte positivo y la asimetría, por lo que ambas compiten como modelos de tiempos de falla, aunque la Gaussiana Inversa surge de un mecanismo físico (difusión con deriva) mientras que la Lognormal surge de productos de efectos multiplicativos.

2. Definición matemática

Sea \(T\) la variable aleatoria continua que representa el tiempo hasta un evento (por ejemplo, tiempo de falla), con dominio \(T \in (0, \infty)\).

La distribución Gaussiana Inversa se parametriza usualmente mediante dos parámetros:

• \(\mu > 0\): parámetro de media.
• \(\lambda > 0\): parámetro de forma (también llamado parámetro de precisión o “shape”).

Función de densidad:

\[ f(t;\mu,\lambda) = \left(\frac{\lambda}{2\pi t^{3}}\right)^{1/2} \exp\left\{-\frac{\lambda (t-\mu)^{2}}{2\mu^{2}t}\right\}, \qquad t>0 \]

Restricciones de los parámetros: \(\mu>0\), \(\lambda>0\), \(t>0\).

Media y varianza

\[\mathbb{E}[T] = \mu\] \[\mathbb{V}[T] = \frac{\mu^{3}}{\lambda}\]

El cociente \(\mu/\lambda\) funciona como un parámetro de forma adimensional: valores grandes de \(\lambda\) (relativo a \(\mu\)) producen una distribución más concentrada y cercana a la Normal; valores pequeños producen mayor asimetría y cola derecha más pesada.

Significado de los parámetros:

• \(\mu\) es directamente la media de \(T\): el tiempo promedio hasta el evento.
• \(\lambda\) controla la dispersión relativa a \(\mu\). A medida que \(\lambda \to \infty\) (con \(\mu\) fijo), la distribución se aproxima a una Normal con la misma media; valores pequeños de \(\lambda\) generan mayor asimetría positiva y colas más pesadas.

3. Interpretación de los parámetros (aplicación interactiva)

La siguiente aplicación de Shiny permite modificar \(\mu\) y \(\lambda\) y observar en tiempo real el efecto sobre la función de densidad \(f(t)\), la función de distribución acumulada \(F(t)\), la función de supervivencia (confiabilidad) \(S(t)=1-F(t)\) y la función de riesgo \(h(t)=f(t)/S(t)\).

Lectura de la app: al reducir \(\lambda\) manteniendo \(\mu\) fijo, la densidad se vuelve más asimétrica, con un pico más agudo cerca del origen y una cola derecha más larga; la función de riesgo \(h(t)\) deja de ser monótona: aumenta al inicio, alcanza un máximo y después decrece asintóticamente hacia una constante. Al aumentar \(\lambda\), la forma se acerca a la de una Normal simétrica alrededor de \(\mu\) y el riesgo tiende a estabilizarse.

4. La distribución en confiabilidad

¿Por qué modela tiempos de vida o falla? La Gaussiana Inversa surge, como se explicó, como el tiempo de primer paso de un proceso de deterioro modelado como movimiento Browniano con deriva hasta un umbral crítico. Esta interpretación física es precisamente la de muchos mecanismos de falla en confiabilidad: un componente acumula daño (desgaste, fatiga, corrosión, degradación eléctrica) de forma aproximadamente aditiva y aleatoria hasta que dicho daño cruza un umbral y ocurre la falla. Por ello, la distribución es un modelo natural para procesos de degradación acumulativa.

Tipo de comportamiento de falla que representa: Su función de riesgo \(h(t)\) es no monótona: crece desde cero, alcanza un máximo y luego decrece hacia una asíntota constante. Esto la distingue de la Exponencial (riesgo constante) y de la Weibull con forma \(>1\) (riesgo creciente), y le permite representar fenómenos donde el riesgo de falla es alto en una etapa intermedia de vida y después se estabiliza, un patrón observado en ciertos componentes mecánicos y en modelos de fatiga.

Características relevantes para confiabilidad:

• Soporte en \((0,\infty)\), adecuado para tiempos de falla.
• Asimetría positiva, coherente con la mayoría de los tiempos de vida reales.
• Parametrización directa en términos de la media \(\mu\), útil para comparar el tiempo medio de falla entre condiciones de operación.
• Cercana relación con procesos de difusión, lo que la conecta con modelos de degradación tipo Wiener, ampliamente usados en confiabilidad para pruebas aceleradas de degradación.

Aplicación concreta: Chhikara y Folks (1977) proponen y documentan formalmente el uso de la Gaussiana Inversa como modelo de tiempos de vida en ingeniería de confiabilidad, comparando su ajuste con el de la distribución Lognormal en datos de falla de componentes. Asimismo, Whitmore y Seshadri (1987) desarrollan la conexión entre procesos de degradación tipo Wiener y la distribución Gaussiana Inversa como tiempo de primer paso, aplicándola a problemas de confiabilidad de dispositivos sujetos a degradación gradual.

5. Implementación de la distribución en R

El paquete statmod (Giner y Smyth, 2016) implementa la familia completa de funciones para la distribución Gaussiana Inversa, con la parametrización \((\mu,\lambda)\) descrita en la sección 2:

Función	Propósito
dinvgauss(x, mean, shape)	Función de densidad \(f(t)\)
pinvgauss(q, mean, shape)	Función de distribución acumulada \(F(t)\) (probabilidades)
qinvgauss(p, mean, shape)	Función cuantil (inversa de \(F\))
rinvgauss(n, mean, shape)	Generación de números pseudoaleatorios

```{r ejemplo-r}
mu <- 3       # media
lambda <- 5   # forma

# Densidad evaluada en t = 2
dinvgauss(2, mean = mu, shape = lambda)

# Probabilidad de falla antes de t = 4: P(T <= 4)
pinvgauss(4, mean = mu, shape = lambda)

# Cuantil 0.90: tiempo tal que el 90% de los componentes ya fallaron
qinvgauss(0.90, mean = mu, shape = lambda)

# Simulación de 10 tiempos de falla
set.seed(123)
rinvgauss(10, mean = mu, shape = lambda)
```

[1] 0.2744931
[1] 0.7726742
[1] 5.85918
 [1] 4.6154793 3.5846889 0.9556607 3.1683821 3.3158577 0.8627412 2.1031950
 [8] 1.1667145 1.7729795 2.1278148

```{r ejemplo-confiabilidad}
# Confiabilidad a tiempo t = 4: S(4) = 1 - F(4)
S_4 <- 1 - pinvgauss(4, mean = mu, shape = lambda)
S_4

# Tiempo de garantía tal que solo el 5% de las unidades ha fallado
garantia_5pct <- qinvgauss(0.05, mean = mu, shape = lambda)
garantia_5pct
```

[1] 0.2273258
[1] 0.7780901

Otras funciones relevantes: statmod::invgauss no existe como familia family directamente, pero el paquete permite ajustar modelos lineales generalizados (GLM) con respuesta Gaussiana Inversa mediante glm(..., family = statmod::inverse.gaussian(link = "log")) (esta familia también está disponible de forma nativa en R base como stats::inverse.gaussian()), lo cual es útil para modelar tiempos de vida en función de covariables (por ejemplo, condiciones de operación de un componente).

6. Referencias