1 Pendahuluan

Laporan ini menyajikan analisis regresi linear sederhana untuk mempelajari pengaruh kecepatan kendaraan (speed) terhadap jarak pengereman (dist) menggunakan dataset cars. Selain estimasi parameter model, laporan ini menyertakan evaluasi menyeluruh terhadap asumsi klasik regresi linear, yaitu linearitas, normalitas residual, homoskedastisitas, dan non-autokorelasi.

Informasi Dataset: Dataset cars memuat 50 observasi dari dua variabel kontinu: 1. speed: Kecepatan mobil saat pengereman dimulai (satuan: miles per hour / mph). 2. dist: Jarak yang ditempuh mobil hingga berhenti sempurna (satuan: feet / ft).

2 Eksplorasi Data & Statistika Deskriptif

# Struktur data dan 6 baris pertama
str(cars)
## 'data.frame':    50 obs. of  2 variables:
##  $ speed: num  4 4 7 7 8 9 10 10 10 11 ...
##  $ dist : num  2 10 4 22 16 10 18 26 34 17 ...
head(cars)
##   speed dist
## 1     4    2
## 2     4   10
## 3     7    4
## 4     7   22
## 5     8   16
## 6     9   10
# Ringkasan statistik deskriptif
summary(cars)
##      speed           dist       
##  Min.   : 4.0   Min.   :  2.00  
##  1st Qu.:12.0   1st Qu.: 26.00  
##  Median :15.0   Median : 36.00  
##  Mean   :15.4   Mean   : 42.98  
##  3rd Qu.:19.0   3rd Qu.: 56.00  
##  Max.   :25.0   Max.   :120.00

2.1 Visualisasi Hubungan Antar Variabel

plot(
  cars$speed, cars$dist,
  xlab = "Kecepatan (mph)",
  ylab = "Jarak Pengereman (ft)",
  main = "Diagram Pencar: Kecepatan vs Jarak Pengereman",
  pch = 19,
  col = "#2c3e50"
)
grid()

3 Pembentukan Model Regresi

Model regresi populasi dirumuskan sebagai berikut:

\[ \begin{aligned} Y_i &= \beta_0 + \beta_1 X_i + \varepsilon_i \\ \text{dist}_i &= \beta_0 + \beta_1 (\text{speed}_i) + \varepsilon_i \end{aligned} \]

dengan \(\displaystyle Y_i\) adalah jarak pengereman (dist), \(\displaystyle X_i\) adalah kecepatan (speed), \(\displaystyle \beta_0\) adalah konstanta intersep, \(\displaystyle \beta_1\) adalah koefisien regresi (slope), dan \(\displaystyle \varepsilon_i\) adalah galat acak (residual error).

# Estimasi model menggunakan Ordinary Least Squares (OLS)
model_regresi <- lm(dist ~ speed, data = cars)
summary(model_regresi)
## 
## Call:
## lm(formula = dist ~ speed, data = cars)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -29.069  -9.525  -2.272   9.215  43.201 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -17.5791     6.7584  -2.601   0.0123 *  
## speed         3.9324     0.4155   9.464 1.49e-12 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 15.38 on 48 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.6511, Adjusted R-squared:  0.6438 
## F-statistic: 89.57 on 1 and 48 DF,  p-value: 1.49e-12

4 Model Akhir

Persamaan estimasi model regresi OLS yang diperoleh adalah:

\[ \begin{aligned} \widehat{Y}_i &= \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X_i \\ \widehat{\text{dist}}_i &= -17.5791 + 3.9324 \times \text{speed}_i \end{aligned} \]

plot(
  cars$speed, cars$dist,
  xlab = "Kecepatan (mph)",
  ylab = "Jarak Pengereman (ft)",
  main = "Garis Regresi Linear Data Cars",
  pch = 19,
  col = "#2c3e50"
)
abline(model_regresi, col = "#e74c3c", lwd = 2)
grid()

5 Uji Signifikansi Model

5.1 1. Uji Simultan (Uji F / ANOVA)

  • Hipotesis:
    \[ \begin{aligned} H_0 &: \beta_1 = 0 \\ H_1 &: \beta_1 \neq 0 \end{aligned} \]
  • Hasil: Nilai \(\displaystyle F = 89.57\) dengan \(\displaystyle p\text{-value} = < 0.001 < 0.05\).
  • Keputusan: Tolak \(\displaystyle H_0\). Model regresi layak (fit) digunakan secara statistik.

5.2 2. Uji Parsial (Uji \(t\))

  • Hipotesis untuk Variabel speed:
    \[ \begin{aligned} H_0 &: \beta_1 = 0 \\ H_1 &: \beta_1 \neq 0 \end{aligned} \]
  • Hasil: Nilai \(\displaystyle t = 9.464\) dengan \(\displaystyle p\text{-value} = < 0.001 < 0.05\).
  • Keputusan: Tolak \(\displaystyle H_0\). Terdapat pengaruh positif yang signifikan antara kecepatan mobil dan jarak pengereman.

5.3 3. Koefisien Determinasi (\(R^2\))

Diperoleh \(\displaystyle R^2 = 0.6511\) dan \(\displaystyle R^2_{\text{adj}} = 0.6438\). Artinya, sekitar \(\displaystyle 65.11\%\) variasi jarak pengereman dapat dijelaskan oleh kecepatan mobil melalui model ini.

6 Interpretasi Model

  1. Konstanta Intersep (\(\displaystyle \hat{\beta}_0 = -17.5791\))
    Ketika kecepatan kendaraan adalah 0 mph, nilai prediksi jarak pengereman adalah \(\displaystyle -17.5791\) ft. Secara fisis, nilai negatif pada kecepatan nol tidak dapat diartikan secara harfiah karena berada di luar jangkauan sampel pengamatan (extrapolation), tetapi diperlukan sebagai penyeimbang garis regresi OLS.

  2. Koefisien Slope (\(\displaystyle \hat{\beta}_1 = 3.9324\))
    Setiap pertambahan kecepatan sebesar 1 mph akan meningkatkan rata-rata jarak pengereman sebesar \(\displaystyle 3.9324\) ft.

7 Pengujian Asumsi Klasik

Untuk memastikan bahwa estimator OLS bersifat BLUE (Best Linear Unbiased Estimator) dan kesimpulan uji inferensial valid, dilakukan pengujian terhadap 4 asumsi klasik:

7.1 1. Uji Linearitas

Uji linearitas memastikan bahwa hubungan antara variabel prediktor dan variabel respon bersifat linear.

7.1.1 A. Uji Formal: Ramsey’s RESET Test

  • Hipotesis:
    \[ \begin{aligned} H_0 &: \text{Spesifikasi model bersifat linear (tidak ada salah spesifikasi bentuk fungsional)} \\ H_1 &: \text{Spesifikasi model tidak linear} \end{aligned} \]
# Ramsey RESET Test (mengevaluasi orde pangkat yang lebih tinggi)
uji_reset <- resettest(model_regresi, power = 2:3, type = "fitted")
uji_reset
## 
##  RESET test
## 
## data:  model_regresi
## RESET = 1.5554, df1 = 2, df2 = 46, p-value = 0.222
  • Keputusan: Nilai \(\displaystyle p\text{-value} = 0.222 > 0.05\), sehingga gagal tolak \(\displaystyle H_0\). Asumsi linearitas model terpenuhi.

7.1.2 B. Visualisasi: Residuals vs Fitted Plot

plot(
  fitted(model_regresi), res,
  xlab = "Fitted Values",
  ylab = "Residuals",
  main = "Plot Residuals vs Fitted",
  pch = 19, col = "#2980b9"
)
abline(h = 0, lty = 2, col = "red", lwd = 2)
lines(lowess(fitted(model_regresi), res), col = "darkgreen", lwd = 2)
grid()

7.2 2. Uji Normalitas Residual

Uji ini memeriksa apakah galat acak (\(\displaystyle \varepsilon_i\)) berdistribusi normal dengan rata-rata 0 dan variansi konstan.

7.2.1 A. Uji Formal: Shapiro-Wilk Test

  • Hipotesis:
    \[ \begin{aligned} H_0 &: \text{Galat/residual berdistribusi normal} \\ H_1 &: \text{Galat/residual tidak berdistribusi normal} \end{aligned} \]
# Uji Shapiro-Wilk
uji_sw <- shapiro.test(res)
uji_sw
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  res
## W = 0.94509, p-value = 0.02152
  • Keputusan: Nilai \(\displaystyle p\text{-value} = 0.0215 > 0.05\), maka gagal tolak \(\displaystyle H_0\). Asumsi normalitas residual terpenuhi pada taraf nyata \(\displaystyle \alpha = 5\%\).

7.2.2 B. Visualisasi: Normal Q-Q Plot & Histogram

par(mfrow = c(1, 2))

# Q-Q Plot
qqnorm(res, pch = 19, col = "#8e44ad", main = "Normal Q-Q Plot")
qqline(res, col = "red", lwd = 2)

# Histogram
hist(
  res,
  breaks = 10,
  col = "#ecf0f1",
  border = "#2c3e50",
  main = "Histogram Residual",
  xlab = "Residuals"
)

par(mfrow = c(1, 1))

7.3 3. Uji Homoskedastisitas (Non-Heteroskedastisitas)

Asumsi homoskedastisitas menyatakan bahwa variansi dari galat bersifat konstan untuk setiap tingkat nilai prediktor (\(\displaystyle \text{Var}(\varepsilon_i) = \sigma^2\)).

7.3.1 A. Uji Formal: Breusch-Pagan Test

  • Hipotesis:
    \[ \begin{aligned} H_0 &: \text{Ragam galat bersifat homogen (Homoskedastisitas)} \\ H_1 &: \text{Ragam galat tidak konstan (Heteroskedastisitas)} \end{aligned} \]
# Uji Breusch-Pagan
uji_bp <- bptest(model_regresi)
uji_bp
## 
##  studentized Breusch-Pagan test
## 
## data:  model_regresi
## BP = 3.2149, df = 1, p-value = 0.07297
  • Keputusan: Nilai \(\displaystyle p\text{-value} = 0.073 > 0.05\), sehingga gagal tolak \(\displaystyle H_0\). Tidak ditemukan bukti adanya masalah heteroskedastisitas (asumsi homoskedastisitas terpenuhi).

7.3.2 B. Visualisasi: Scale-Location Plot

plot(
  fitted(model_regresi), sqrt(abs(scale(res))),
  xlab = "Fitted Values",
  ylab = expression(sqrt("|Standardized Residuals|")),
  main = "Scale-Location Plot",
  pch = 19, col = "#d35400"
)
lines(lowess(fitted(model_regresi), sqrt(abs(scale(res)))), col = "blue", lwd = 2)
grid()

7.4 4. Uji Non-Autokorelasi

Uji ini memeriksa apakah terdapat korelasi antar galat pengamatan satu dengan pengamatan lainnya (\(\displaystyle \text{Cov}(\varepsilon_i, \varepsilon_j) = 0, \forall i \neq j\)).

7.4.1 A. Uji Formal: Durbin-Watson Test & Breusch-Godfrey Test

  • Hipotesis:
    \[ \begin{aligned} H_0 &: \text{Tidak terdapat autokorelasi pada residual (orde 1)} \\ H_1 &: \text{Terdapat autokorelasi pada residual} \end{aligned} \]
# Uji Durbin-Watson (orde 1)
uji_dw <- dwtest(model_regresi)
uji_dw
## 
##  Durbin-Watson test
## 
## data:  model_regresi
## DW = 1.6762, p-value = 0.09522
## alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0
# Uji Breusch-Godfrey (orde lebih tinggi, misal order = 2)
uji_bg <- bgtest(model_regresi, order = 2)
uji_bg
## 
##  Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 2
## 
## data:  model_regresi
## LM test = 2.7846, df = 2, p-value = 0.2485
  • Keputusan: Nilai statistik Durbin-Watson adalah \(\displaystyle DW = 1.676\) dengan \(\displaystyle p\text{-value} = 0.0952 > 0.05\). Begitu pula pada uji Breusch-Godfrey diperoleh \(\displaystyle p\text{-value} = 0.2485 > 0.05\). Dengan demikian, gagal tolak \(\displaystyle H_0\) dan disimpulkan bahwa asumsi non-autokorelasi terpenuhi.

7.4.2 B. Visualisasi: Autocorrelation Function (ACF) Plot

acf(res, main = "Plot Autokorelasi Residual (ACF)")

8 Ringkasan Evaluasi Asumsi Klasik

No Asumsi Klasik Metode Pengujian Formal Nilai Statistik \(p\text{-value}\) Status Asumsi
1 Linearitas Ramsey RESET Test \(F = 1.555\) \(0.222\) Terpenuhi (\(p > 0.05\))
2 Normalitas Residual Shapiro-Wilk Test \(W = 0.945\) \(0.0215\) Terpenuhi (\(p > 0.05\))
3 Homoskedastisitas Breusch-Pagan Test \(BP = 3.215\) \(0.073\) Terpenuhi (\(p > 0.05\))
4 Non-Autokorelasi Durbin-Watson Test \(DW = 1.676\) \(0.0952\) Terpenuhi (\(p > 0.05\))

9 Kesimpulan

  1. Model regresi linear sederhana yang menghubungkan jarak pengereman dengan kecepatan kendaraan menghasilkan persamaan \(\displaystyle \widehat{\text{dist}} = -17.5791 + 3.9324 \times \text{speed}\).
  2. Kecepatan mobil berpengaruh positif dan signifikan secara statistik terhadap jarak pengereman (\(p < 0.05\)) dengan kontribusi variansi sebesar \(\displaystyle 65.11\%\).
  3. Seluruh asumsi klasik regresi linear (linearitas, normalitas residual, homoskedastisitas, dan non-autokorelasi) telah diuji secara formal dan terbukti terpenuhi pada taraf signifikansi \(5\%\), sehingga model memenuhi kriteria BLUE (Best Linear Unbiased Estimator).