1. Pendahuluan

Analisis ini bertujuan untuk mengetahui hubungan antara kecepatan mobil (speed) dengan jarak pengereman (dist) menggunakan metode regresi linear sederhana.

Variabel yang digunakan adalah:

  • speed: kecepatan mobil (mil/jam), sebagai variabel prediktor.
  • dist: jarak pengereman (kaki), sebagai variabel respon.

Model regresi linear yang digunakan adalah:

\[ dist_i = \beta_0 + \beta_1 speed_i + \epsilon_i \]

2. Data

Data yang digunakan adalah dataset cars yang merupakan dataset bawaan R. Dataset ini terdiri dari 50 observasi dan 2 variabel, yaitu speed sebagai variabel prediktor dan dist sebagai variabel respon.

2.1 Melihat Data

head(cars)
##   speed dist
## 1     4    2
## 2     4   10
## 3     7    4
## 4     7   22
## 5     8   16
## 6     9   10

2.2 Struktur Data

str(cars)
## 'data.frame':    50 obs. of  2 variables:
##  $ speed: num  4 4 7 7 8 9 10 10 10 11 ...
##  $ dist : num  2 10 4 22 16 10 18 26 34 17 ...

2.3 Statistik Deskriptif

summary(cars)
##      speed           dist       
##  Min.   : 4.0   Min.   :  2.00  
##  1st Qu.:12.0   1st Qu.: 26.00  
##  Median :15.0   Median : 36.00  
##  Mean   :15.4   Mean   : 42.98  
##  3rd Qu.:19.0   3rd Qu.: 56.00  
##  Max.   :25.0   Max.   :120.00

3. Visualisasi Data

Hubungan antara kecepatan (speed) dan jarak pengereman (dist) dapat dilihat melalui scatter plot.

plot(
  cars$speed,
  cars$dist,
  main = "Hubungan Speed dan Dist",
  xlab = "Speed (mil/jam)",
  ylab = "Stopping Distance (kaki)",
  pch = 19
)

Berdasarkan scatter plot, terlihat adanya kecenderungan hubungan positif antara speed dan dist. Artinya, semakin tinggi kecepatan mobil, semakin besar pula jarak yang dibutuhkan untuk berhenti.

4. Pemodelan Regresi Linear

Model regresi linear sederhana dibentuk dengan dist sebagai respon dan speed sebagai prediktor.

model <- lm(dist ~ speed, data = cars)

summary(model)
## 
## Call:
## lm(formula = dist ~ speed, data = cars)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -29.069  -9.525  -2.272   9.215  43.201 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -17.5791     6.7584  -2.601   0.0123 *  
## speed         3.9324     0.4155   9.464 1.49e-12 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 15.38 on 48 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.6511, Adjusted R-squared:  0.6438 
## F-statistic: 89.57 on 1 and 48 DF,  p-value: 1.49e-12

4.1 Koefisien Model

coef(model)
## (Intercept)       speed 
##  -17.579095    3.932409

Untuk menampilkan koefisien secara otomatis:

intercept <- coef(model)[1]
slope <- coef(model)[2]

intercept
## (Intercept) 
##   -17.57909
slope
##    speed 
## 3.932409

5. Model Regresi Linear

Berdasarkan hasil estimasi, model regresi linear yang diperoleh adalah:

\[ \widehat{dist} = -17.579 + 3.932\,speed \]

atau:

dist_hat = -17.579 + 3.932(speed)

6. Interpretasi Model

6.1 Interpretasi Intersep

Nilai intersep sebesar -17.579 menunjukkan bahwa secara matematis, ketika speed = 0 mil/jam, nilai prediksi dist adalah sekitar -17.579 kaki. Interpretasi ini tidak memiliki makna praktis karena jarak pengereman tidak mungkin bernilai negatif dan kondisi speed = 0 tidak menjadi fokus hubungan pada data.

6.2 Interpretasi Koefisien Slope

Koefisien speed sebesar 3.932 menunjukkan bahwa setiap kenaikan kecepatan sebesar 1 mil/jam diperkirakan akan meningkatkan jarak pengereman sebesar sekitar 3.932 kaki, dengan asumsi hubungan linear.

Dengan demikian, terdapat hubungan positif antara kecepatan mobil dan jarak pengereman.

7. Uji Signifikansi Model

Hipotesis yang digunakan untuk menguji signifikansi koefisien regresi adalah:

  • \(H_0: \beta_1 = 0\)
  • \(H_1: \beta_1 \neq 0\)
summary(model)$coefficients
##               Estimate Std. Error   t value     Pr(>|t|)
## (Intercept) -17.579095  6.7584402 -2.601058 1.231882e-02
## speed         3.932409  0.4155128  9.463990 1.489836e-12

Berdasarkan hasil pengujian, p-value untuk variabel speed sangat kecil (p < 0.001). Oleh karena itu, \(H_0\) ditolak.

Dengan demikian, speed berpengaruh secara signifikan terhadap dist pada model regresi linear.

8. Koefisien Determinasi

summary(model)$r.squared
## [1] 0.6510794

Nilai koefisien determinasi (\(R^2\)) adalah sekitar 0.651.

Artinya, sekitar 65.1% variasi jarak pengereman (dist) dapat dijelaskan oleh kecepatan mobil (speed) melalui model regresi linear. Sisanya, sekitar 34.9%, dijelaskan oleh faktor lain yang tidak dimasukkan dalam model.

9. Visualisasi Model Regresi

plot(
  cars$speed,
  cars$dist,
  main = "Regresi Linear Speed terhadap Dist",
  xlab = "Speed (mil/jam)",
  ylab = "Stopping Distance (kaki)",
  pch = 19
)

abline(model, lwd = 2)

Garis regresi menunjukkan kecenderungan meningkat, sehingga peningkatan speed diikuti dengan peningkatan dist.

10. Pemeriksaan Asumsi Regresi

Asumsi dasar regresi linear dapat diperiksa melalui grafik diagnostik.

par(mfrow = c(2, 2))
plot(model)

par(mfrow = c(1, 1))

Grafik diagnostik dapat digunakan untuk mengevaluasi:

  1. Linearitas, untuk melihat apakah hubungan antara prediktor dan respon bersifat linear.
  2. Normalitas residual, melalui Normal Q-Q Plot.
  3. Homoskedastisitas, untuk melihat apakah varians residual relatif konstan.
  4. Pengamatan berpengaruh, melalui residual dan leverage.

11. Kesimpulan

Berdasarkan analisis regresi linear sederhana pada dataset cars, diperoleh model:

\[ \boxed{\widehat{dist} = -17.579 + 3.932\,speed} \]

Model menunjukkan bahwa terdapat hubungan positif dan signifikan antara kecepatan mobil (speed) dan jarak pengereman (dist). Setiap kenaikan kecepatan sebesar 1 mil/jam diperkirakan meningkatkan jarak pengereman sekitar 3.932 kaki.

Nilai \(R^2\) sebesar 65.1% menunjukkan bahwa model mampu menjelaskan sekitar 65.1% variasi jarak pengereman.