Semana 3
Razones, proporciones y porcentajes
Antes de comenzar…
En las semanas anteriores trabajamos con números y operaciones.
Pero en Ciencias Sociales muchas veces conocer una cantidad no es suficiente.
Pregunta de esta semana
¿Cómo podemos comparar correctamente cantidades cuando los grupos tienen tamaños diferentes?
Un problema para comenzar
Dos programas públicos informan sus resultados:
| Programa | Año anterior | Año actual | Aumento |
|---|---|---|---|
| Programa A | 2.000 | 5.200 | +3.200 |
| Programa B | 20.000 | 23.200 | +3.200 |
Ambos programas aumentaron en 3.200 personas.
¿Podemos decir que ambos crecieron lo mismo?
Absoluto versus relativo
En términos absolutos, ambos aumentaron:
\[ 3.200 \text{ personas} \]
Pero comparemos ese aumento con el tamaño inicial.
Programa A:
\[ \frac{3.200}{2.000}=1,6 \]
Programa B:
\[ \frac{3.200}{20.000}=0,16 \]
El mismo aumento absoluto puede representar cambios relativos muy diferentes.
¿Dónde aparece este problema?
En Ciencias Sociales constantemente queremos comparar:
- participación electoral entre comunas
- distribución del ingreso
- resultados de encuestas
- presupuesto entre municipios
- evolución de delitos
- pobreza entre regiones
- representación política.
1. Razones
¿Qué es una razón?
Una razón compara dos cantidades mediante una división.
\[ \text{Razón}=\frac{A}{B} \]
La pregunta que responde es:
¿Cuánto hay de una cantidad en relación con otra?
Ejemplo: población rural y urbana
Una comuna tiene:
- 18.000 habitantes rurales
- 42.000 habitantes urbanos.
¿Cuál es la razón de habitantes rurales por urbanos?
\[ \frac{18.000}{42.000}=0,4286 \]
¿Qué significa?
Una razón necesita interpretación
Obtener:
\[ 0,4286 \]
no es el objetivo final.
En Ciencias Sociales debemos poder decir qué representa ese número. Un cálculo sin interpretación nos entrega muy poca información.
Siempre debemos preguntarnos: ¿Qué significa el resultado en el contexto del problema?
Hay 43 habitantes rurales por cada 100 habitantes urbanos.
Otro ejemplo: representación política
Un concejo municipal tiene:
- 6 concejales hombres
- 4 concejalas mujeres.
La razón mujeres/hombres es:
\[ \frac{4}{6}=0,667 \]
Podemos interpretarlo como:
Hay aproximadamente 67 mujeres por cada 100 hombres en el concejo.
Pero cuidado…
También podríamos preguntar:
¿Qué proporción del concejo está compuesta por mujeres?
Ahora el denominador cambia.
\[ \frac{4}{10}=0,4 \]
Es decir:
\[ 40\% \]
2. Proporciones
¿Qué es una proporción?
Cuando queremos conocer cuánto representa una parte respecto del total:
\[ p=\frac{\text{parte}}{\text{total}} \]
Una proporción toma valores entre:
\[ 0\leq p\leq1 \]
Ejemplo electoral
En una elección se obtienen los siguientes resultados:
| Candidatura | Votos |
|---|---|
| A | 18.400 |
| B | 14.100 |
| C | 7.500 |
| Total | 40.000 |
¿Qué proporción obtuvo la candidatura A?
Calculamos
\[ p_A=\frac{18.400}{40.000} \]
\[ p_A=0,46 \]
Interpretación:
La candidatura A obtuvo una proporción de 0,46 del total de votos.
También podemos expresarlo como:
De cada 100 votos emitidos, aproximadamente 46 fueron para A.
Hagámoslo juntos
En una encuesta a 1.200 personas, 420 declaran confiar en el gobierno.
¿Qué proporción de las personas encuestadas confía en el gobierno?
\[ p=\frac{420}{1.200} \]
\[ p=0,35 \]
¿Qué significa 0,35?
No significa:
“0,35 personas confían en el gobierno”.
Significa:
El grupo que declara confiar representa 0,35 del total de personas encuestadas.
O, de manera más intuitiva:
35 de cada 100 personas encuestadas declaran confiar en el gobierno.
Y eso nos conduce al porcentaje.
3. Porcentajes
¿Qué significa porcentaje?
La palabra porcentaje significa literalmente:
por cada cien
Por eso:
\[ 35\%=\frac{35}{100}=0,35 \]
Tres formas de representar lo mismo
Por ejemplo:
\[ \frac{1}{4}=0,25=25\% \]
Son tres representaciones de una misma cantidad:
- fracción
- decimal
- porcentaje.
De proporción a porcentaje
La fórmula general es:
\[ \text{Porcentaje} = \frac{\text{parte}}{\text{total}}\times100 \]
En nuestro ejemplo:
\[ \frac{420}{1.200}\times100 \]
\[ =35\% \]
Interpretación
Podemos informar:
El 35% de las personas encuestadas declara confiar en el gobierno.
Observa que ahora conocemos:
- parte: 420
- total: 1.200
- porcentaje: 35%.
Las tres preguntas fundamentales
Con porcentajes podemos encontrarnos con tres problemas diferentes.
1. ¿Qué porcentaje representa una cantidad?
2. ¿Cuánto es cierto porcentaje de una cantidad?
3. ¿Cuál es el total si conocemos una parte y su porcentaje?
Problema 1
¿Qué porcentaje representa una cantidad?
En una encuesta:
- Total: 1.200 personas.
- Personas satisfechas: 420.
\[ \text{Porcentaje} = \frac{420}{1.200}\times100 \]
\[ =35\% \]
Otro ejemplo: Administración Pública
Un municipio dispone de un presupuesto anual de:
\[ \$8.000\text{ millones} \]
De ellos, destina:
\[ \$1.200\text{ millones} \]
a programas sociales.
¿Qué porcentaje del presupuesto corresponde a programas sociales?
\[ \frac{1.200}{8.000}\times100=15\% \]
Interpretamos
El municipio destina 15% de su presupuesto anual a programas sociales.
Pero cuidado:
Esto no nos dice si el monto es alto o bajo.
Para responder eso necesitaríamos información adicional:
- comparación con otros municipios
- evolución histórica
- población atendida
- presupuesto total disponible.
Problema 2
¿Cuánto es cierto porcentaje?
Un programa público tiene:
\[ 12.500 \]
personas beneficiarias.
El 28% pertenece a sectores rurales.
¿Cuántas personas beneficiarias viven en sectores rurales?
Convertimos el porcentaje
Primero, el porcentaje a decimal…
\[ 28\%=0,28 \]
Entonces, multiplicamos los beneficiarios por el decimal:
\[ 12.500\times0,28 \]
\[ =3.500 \]
Respuesta:
Aproximadamente 3.500 personas beneficiarias pertenecen a sectores rurales.
Problema 3
Encontrar el total
Sabemos que:
- 420 personas representan el 35% de una encuesta.
¿Cuántas personas participaron en total?
Sabemos:
\[ 0,35\times T=420 \]
Por lo tanto:
\[ T=\frac{420}{0,35} \]
\[ T=1.200 \]
4. Comparar grupos
Un problema sociológico
Dos universidades informan estudiantes de primera generación universitaria:
| Universidad | Primera generación | Total estudiantes |
|---|---|---|
| Universidad A | 3.000 | 6.000 |
| Universidad B | 4.000 | 10.000 |
¿Cuál tiene mayor presencia de estudiantes de primera generación?
Si miramos solamente cantidades…
Universidad B:
\[ 4.000>3.000 \]
Podríamos concluir:
B tiene más estudiantes de primera generación.
Eso es correcto en términos absolutos.
Pero…
Compare el peso relativo
Universidad A:
\[ \frac{3.000}{6.000}\times100=50\% \]
Universidad B:
\[ \frac{4.000}{10.000}\times100=40\% \]
Por tanto:
B tiene más estudiantes de primera generación en términos absolutos.
pero
A tiene mayor proporción de estudiantes de primera generación.
Una idea fundamental
Comparar lo comparable
Cuando los grupos tienen tamaños diferentes, las cantidades absolutas pueden ser engañosas.
Las razones, proporciones y porcentajes permiten construir medidas relativas.
5. Variación porcentual
Las sociedades cambian
También queremos comparar una variable en distintos momentos.
Por ejemplo:
- desempleo
- presupuesto
- matrícula
- población
- participación electoral
- denuncias
- beneficiarios de un programa.
La pregunta es:
¿Cuánto cambió una cantidad respecto de su valor inicial?
Cambio absoluto
Supongamos que un programa pasa de:
\[ 2.000 \]
a
\[ 2.500 \]
beneficiarios.
El cambio absoluto es:
\[ 2.500-2.000=500 \]
El programa incorporó 500 personas adicionales.
Pero queremos conocer el cambio relativo
\[ \text{Variación porcentual} = \frac{\text{Valor final}-\text{Valor inicial}} {\text{Valor inicial}} \times100 \]
Aplicamos
\[ \frac{2.500-2.000}{2.000}\times100 \]
\[ =\frac{500}{2.000}\times100 \]
\[ =25\% \]
Interpretación:
El número de beneficiarios aumentó 25% respecto del período inicial.
Compare ahora
Otro programa pasa de:
\[ 10.000 \]
a
\[ 10.500 \]
También aumentó:
\[ 500 \]
personas.
¿Tuvo el mismo crecimiento?
No
\[ \frac{10.500-10.000}{10.000}\times100 \]
\[ =5\% \]
Entonces:
| Programa | Cambio absoluto | Cambio porcentual |
|---|---|---|
| A | +500 | +25% |
| B | +500 | +5% |
¿Y si disminuye?
Una municipalidad tenía:
\[ 4.000 \]
solicitudes pendientes.
Al año siguiente tiene:
\[ 3.200 \]
Calculamos:
\[ \frac{3.200-4.000}{4.000}\times100 \]
\[ =-20\% \]
¿Qué significa el signo negativo?
\[ -20\% \]
indica una disminución.
Podemos escribir:
Las solicitudes pendientes disminuyeron un 20% respecto del año anterior.
6. Porcentaje versus puntos porcentuales
Una distinción muy importante
Supongamos que una encuesta muestra:
| Año | Aprobación |
|---|---|
| 2025 | 30% |
| 2026 | 36% |
¿En cuánto aumentó la aprobación?
¿6%?
Depende de qué queramos decir
La diferencia es:
\[ 36\%-30\%=6 \]
Por lo tanto:
La aprobación aumentó 6 puntos porcentuales.
Pero el cambio relativo es distinto
\[ \frac{36-30}{30}\times100 \]
\[ =20\% \]
Entonces podemos afirmar:
La aprobación pasó de 30% a 36%.
Aumentó 6 puntos porcentuales.
Ese cambio representa un 20% respecto del nivel inicial.
¿Por qué importa?
Compare:
“La pobreza aumentó 5%.”
con
“La pobreza aumentó 5 puntos porcentuales.”
No significan necesariamente lo mismo.
Esta distinción es especialmente importante al leer:
- encuestas
- resultados electorales
- indicadores sociales
- informes gubernamentales
- prensa.
7. Integración
Caso final
Tres comunas implementan un programa de participación juvenil:
| Comuna | Población joven | Participantes 2025 | Participantes 2026 |
|---|---|---|---|
| A | 8.000 | 800 | 1.000 |
| B | 20.000 | 1.600 | 2.000 |
| C | 5.000 | 750 | 900 |
Respondamos:
- ¿Qué comuna tiene más participantes?
- ¿Cuál tiene mayor proporción de participación en 2026?
- ¿En cuál aumentó más el número absoluto de participantes?
- ¿En cuál fue mayor la variación porcentual?
Pregunta 1
¿Cuál tiene más participantes en 2026?
- A: 1.000
- B: 2.000
- C: 900
Respuesta:
Comuna B, con 2.000 participantes.
Pregunta 2
¿Cuál tiene mayor participación relativa?
Comuna A:
\[ \frac{1.000}{8.000}\times100=12,5\% \]
. . .
Comuna B:
\[ \frac{2.000}{20.000}\times100=10\% \]
. . .
Comuna C:
\[ \frac{900}{5.000}\times100=18\% \]
Resultado
Aunque la comuna C tiene menos participantes en términos absolutos, presenta la mayor participación relativa:
\[ 18\% \]
Pregunta 3
¿Dónde aumentó más la cantidad de participantes?
A:
\[ 1.000-800=200 \]
B:
\[ 2.000-1.600=400 \]
C:
\[ 900-750=150 \]
Mayor aumento absoluto:
Comuna B: +400 participantes.
Pregunta 4
¿Dónde fue mayor el crecimiento porcentual?
A:
\[ \frac{1.000-800}{800}\times100=25\% \]
B:
\[ \frac{2.000-1.600}{1.600}\times100=25\% \]
C:
\[ \frac{900-750}{750}\times100=20\% \]
Cierre
Hoy aprendimos a…
- interpretar razones
- distinguir comparaciones parte-parte y parte-total
- calcular proporciones
- expresar proporciones como porcentajes
- calcular porcentajes de una cantidad
- reconstruir un total
- calcular variaciones porcentuales
- distinguir porcentajes de puntos porcentuales
- comparar cantidades absolutas y relativas.
Ticket de salida
Un informe señala:
“La participación electoral aumentó de 40% a 46%.”
Responde individualmente:
- ¿En cuántos puntos porcentuales aumentó?
- ¿Cuál fue el aumento porcentual respecto del nivel inicial?
- Explica con una oración por qué ambas respuestas son diferentes.
Próxima semana
Variables y expresiones algebraicas
Pasaremos de trabajar con números conocidos a representar cantidades que pueden cambiar.
\[ \text{Costo total} = \text{costo fijo} + \text{costo por persona}\times \text{número de personas} \]
Matemáticas para las Cs. Sociales I