Presentacion TP1 Inferencia Estadística

Ejercicio (1.a)

Las variables uniformes son continuas con su función de densidad:

\[ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b - a} & \text{para } a \le x \le b \\ 0 & \text{en cualquier otro caso} \end{cases} \]

Además, por definición se tiene que la esperanza es:

\[ \mu = E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx \]

Por otro lado, la varianza por definición es:

\[ V(X) = E \big((X - E(X))^2 \big) \]

Usando LOTUS (Ley del estadístico inconsciente)

\[ E(g(X)) = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) f(x) \, dx \]

Se obtiene que

\[ \text{Var}(X) = E\big((X - E(X))^2\big) = E(X^2) - E(X)^2 = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) \, dx - \left( \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx \right)^2 \]

Para el caso particular de la variables uniformes, desarrollando la integral y aplicando las definiciones mencionadas:

\[ E(X) = \frac{a+b}{2} \]

Continuación Ejercicio (1.a)

\[ \begin{aligned} E\left(X^2\right) &= \int_{a}^{b} x^2 \cdot \frac{1}{b-a} \, dx = \frac{1}{b-a} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_a^b = \frac{b^3 - a^3}{3(b-a)} \\ E\left(X^2\right) &= \frac{(b-a)(b^2 + ab + a^2)}{3(b-a)} = \frac{b^2 + ab + a^2}{3} \end{aligned} \]

Luego:

\[ \begin{aligned} V(X) &= E\left(X^2\right) - \left(E(X) \right)^2 = \frac{b^2 + ab + a^2}{3} - \left( \frac{a+b}{2} \right)^2 \\ V(X) &= \frac{b^2 + ab + a^2}{3} - \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} \\ V(X) &= \frac{4(b^2 + ab + a^2) - 3(a^2 + 2ab + b^2)}{12} \\ V(X) &= \frac{a^2 - 2ab + b^2}{12} = \frac{(b-a)^2}{12} \\ \end{aligned} \]

Por el enunciado:

\[ a=0, \; b=14 \implies \begin{aligned} E(X) &= \frac{0 + 14}{2} = 7 \\[1ex] V(X) &= \frac{(14 - 0)^2}{12} = \frac{196}{12} = \frac{49}{3} \end{aligned} \]

Ejercicio (1.c)

Ejercicio (1.d)

1. Ley de los Grandes Números (LGN). Si hay valores pequeños de \(n\) luego las trayectorias de los promedios parciales presentan amplias fluctuaciones y son muy distintas entre sí. A medida que el tamaño de la muestra \(n\) crece, las 30 curvas se estabilizan y convergen hacia la recta horizontal que representa el valor teórico de la esperanza.
2. A medida que \(n\) crece, la variabilidad (o dispersión) entre las distintas curvas disminuye drásticamente, haciendo que todas las trayectorias se “compriman” alrededor del valor \(E(X)\).Este comportamiento se debe a que la varianza del promedio está dada por:\[V(\bar{X}_n) = \frac{V(X)}{n}\] Conforme \(n\) se hace cada vez más grande, la varianza del promedio muestral tiende a cero.

Ejercicio (1.e)

El histograma permite aproximar distribuciones, conviene usar uno de densidad.

1. Claro está que se espera observar una uniforme (porque de ahi salen los datos, de esa “fábrica”).
2. Cuando hay un tamaño de muestra relativamente pequeño, el histograma presenta “ruido”. Es probable que las barras muestren saltos abruptos, asimetrías o que no calcen perfectamente debajo de la curva de densidad teórica debido al azar en la generación de esos pocos datos. A mayor R tenemos mas información. Al incrementar el tamaño de la muestra drásticamente, el histograma empírico se suaviza y se ajusta de manera mucho más fiel al contorno de la función de densidad teórica.

Ejercicio (2.a)

Para el caso de las variables exponenciales, estas son continuas y su función de densidad de probabilidad es:

\[ f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & \text{para } x \ge 0 \\ 0 & \text{en cualquier otro caso} \end{cases} \]

Partiendo de las definiciones generales ya establecidas para la esperanza y aplicando integración por partes \((u = x, dv = \lambda e^{-\lambda x} dx)\):

\[ \begin{aligned} E(Y) &= \int_{0}^{\infty} x \cdot \lambda e^{-\lambda x} \, dx \\ E(Y) &= \left[ -x e^{-\lambda x} \right]_0^\infty + \int_{0}^{\infty} e^{-\lambda x} \, dx \\ E(Y) &= 0 + \left[ -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x} \right]_0^\infty \\ E(Y) &= \frac{1}{\lambda} \end{aligned} \]

Se obtiene \(E[X^2]\), aplicando nuevamente integración por partes \((u = x^2, dv = \lambda e^{-\lambda x} dx)\):

\[ \begin{aligned} E\left(Y^2\right) &= \int_{0}^{\infty} x^2 \cdot \lambda e^{-\lambda x} \, dx \\ E\left(Y^2\right) &= \left[ -x^2 e^{-\lambda x} \right]_0^\infty + \int_{0}^{\infty} 2x e^{-\lambda x} \, dx \\ E\left(Y^2\right) &= 0 + \frac{2}{\lambda} \int_{0}^{\infty} x \lambda e^{-\lambda x} \, dx \end{aligned} \]

Notando que la última integral es exactamente E(X):

\[ \begin{aligned} E\left(Y^2\right) &= \frac{2}{\lambda} \cdot E(X) \\ E\left(Y^2\right) &= \frac{2}{\lambda} \cdot \frac{1}{\lambda} = \frac{2}{\lambda^2} \end{aligned} \]

Continuación Ejercicio (2.a)

Luego, aplicando la fórmula de la varianza:

\[ \begin{aligned} V(Y) &= \frac{2}{\lambda^2} - \left( \frac{1}{\lambda} \right)^2 \\ V(Y) &= \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2} \\ V(Y) &= \frac{1}{\lambda^2} \end{aligned} \]

Por el enunciado, para la distribución exponencial de parámetro:

\[ \lambda = \frac{1}{7} \implies \begin{aligned} E(Y) &= \frac{1}{1/7} = 7 \\[1ex] V(Y) &= \frac{1}{(1/7)^2} = 7^2 = 49 \end{aligned} \]

Ejercicio (2.c)

Ejercicio (2.d)

Idéntico al 1.d

Ejercicio (2.e)

Justificacion igual al 1.e, obviamente que aca aproxima a la exponencial.

Ejercicio (3.a) - Esperanza

\[ \begin{aligned} E \left(\overline{W}_n\right) &\stackrel{\text{def}}{=} E \left(\frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^n W_i\right) \\ \end{aligned} \]

Por linealidad de la esperanza:

\[ \begin{aligned} E \left(\overline{W}_n\right) &=\frac{1}{n} \cdot E \left(\sum_{i=1}^n W_i\right) \\ E \left(\overline{W}_n\right) &=\frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^nE \left(W_i\right) \\ \end{aligned} \]

Como la muestra es idénticamente distribuida:

\[ \begin{aligned} E \left(\overline{W}_n\right) &\stackrel{\text{i.d.}}{=} \frac{1}{n} \cdot E(W_1) \cdot \sum_{i=1}^n1 \\ \end{aligned} \]

Por el enunciado, \(E(W_1) = \mu\):

\[ \begin{aligned} E \left(\overline{W}_n\right) &= \frac{1}{n} \cdot \mu \cdot \sum_{i=1}^n1 \\ \end{aligned} \]

Por la fórmula de la suma de unos:

\[ \begin{aligned} E \left(\overline{W}_n\right) &= \frac{1}{n} \cdot \mu \cdot n \\ \end{aligned} \]

Finalmente:

\[ \begin{aligned} E \left(\overline{W}_n\right) &= \mu \\ \end{aligned} \]

Ejercicio (3.a) - Varianza

Tomar un promedio no tiene ningún efecto sobre la esperanza poblacional original. La esperanza del promedio muestral es exactamente la misma que la de una observación individual (\(\mu\)). Tomar un promedio reduce la varianza original en un factor de \(n\).

\[ \begin{aligned} V\left(\overline{W}_n\right) &\stackrel{\text{def}}{=} V\left(\frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^n W_i\right) \\ \end{aligned} \]

Por propiedades de la varianza:

\[ \begin{aligned} V\left(\overline{W}_n\right) &= \frac{1}{n^2}\ \cdot V\left(\sum_{i=1}^n W_i\right) \\ \end{aligned} \]

Como la muestra es independiente:

\[ \begin{aligned} V\left(\overline{W}_n\right) &\stackrel{\text{ind.}}{=} \frac{1}{n^2}\ \cdot \sum_{i=1}^nV\left( W_i\right) \\ \end{aligned} \]

Como la muestra también es idénticamente distribuida:

\[ \begin{aligned} V\left(\overline{W}_n\right) &\stackrel{\text{i.d.}}{=} \frac{1}{n^2}\ \cdot V\left( W_1\right) \cdot \sum_{i=1}^n1\\ \end{aligned} \]

Por el enunciado, \(V(W_1) = \sigma^2\):

\[ \begin{aligned} V\left(\overline{W}_n\right) &= \frac{1}{n^2}\ \cdot \sigma^2\cdot \sum_{i=1}^n1\\ \end{aligned} \]

Por la fórmula de la suma de unos:

\[ \begin{aligned} V\left(\overline{W}_n\right) &= \frac{1}{n^2}\ \cdot \sigma^2 \cdot n\\ \end{aligned} \]

Finalmente:

\[ \begin{aligned} V\left(\overline{W}_n\right) &= \frac{\sigma^2}{n}\\ \end{aligned} \]

Ejercicio (3.b)

\[ \begin{aligned} E \left(\overline{X}_{15}\right) &= E(X_1) \stackrel{\text{(1.a)}}{=} 7\\ V\left(\overline{X}_{15}\right) &= \frac{V(X_1)}{15} \stackrel{\text{(1.a)}}{=} \frac{ \frac{49}{3} }{15} = \frac{49}{45}\\ \end{aligned} \]

Ejercicio (3.d)

La distribución a la que se asemeja es a la de una Normal (Consecuencia del TCL).

Ejercicio (4.a) - X

Ejercicio (4.a) - Y

Ejercicio (4.b)

Lo que cambia al crecer n es la varianza de los datos, pero no la cantidad de estos. Mientras que cuando aumenta la R, es la cantidad de datos la que aumenta, haciendo que se note el TCL (con n distinto de 1). En otras palabras, n cambia la distribución real teórica de los datos, mientras que R tiene que ver con que tan bien la computadora la puede estimar.

Ejercicio (4.c)

\(\overline{X}_n\) converge más rápido a una normal debido a que la distribución uniforme es más bien simétrica, al igual que una normal, mientras que \(\overline{Y}_n\) tarda más por su gran asimetría a derecha al provenir de variables exponenciales.