Exercício 1

Tempo de Falha de Sensores Industriais

O tempo até a falha \(T\) (em horas) de um sensor industrial segue uma distribuição Exponencial com taxa de falha \(\lambda = 0{,}05\) falhas/hora (tempo médio até a falha \(20\) horas).

  1. Deduza analiticamente a função de distribuição inversa, \(T = F_T^{-1}(U)\), onde \(U \sim \mbox{U}(0,1)\).

  2. Implemente o gerador em R e simule \(N = 10.000\) tempos de falha.

  3. Estime graficamente e numericamente a probabilidade empírica de um sensor durar mais de 30 horas e compare com o valor analítico exato.

Exercício 2

Função de Densidade Quadrática

Seja \(X\) uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade dada por: \[f_X(x) = 3x^2, \qquad 0 ≤ x ≤ 1.\]

  1. Calcule a f.d.a \(F_X(x)\) e determine a expressão para sua transformada inversa \(X = F_X^{-1}(U)\).

  2. Simule \(N = 10.000\) valores para \(X\) utilizando o Método da Transformação Inversa.

  3. Calcule a média e a variância empíricas e compare-as analiticamente com os valores teóricos \(E[X]\) e \(Var(X)\).

Exercício 3

Gestão de Risco e Sinistros de Grande Porte

Em ciências atuariais, a distribuição Pareto do Tipo I é amplamente utilizada para modelar sinistros de grande porte e perdas financeiras extremas. Sua função de densidade de probabilidade é dada por: \[f_X(x) = \frac{ \alpha \cdot b^\alpha}{x^{\alpha+1}}, \quad x \ge b > 0, \quad \alpha > 0,\] onde \(b\) é a perda mínima e \(\alpha\) é o parâmetro de cauda. Considere \(b = 1.000\) (reais) e \(\alpha = 2{,}5\).

  1. Obtenha a expressão analítica para a transformada inversa \(X = F_X^{-1}(U)\).

  2. Gere \(N = 20.000\) sinistros simulados em R.

  3. Obtenha a média e o quantil \(95\%\) empíricos e compare com os valores teóricos esperados.

Exercício 4

Método de Box-Muller

O Método de Box-Muller é um algoritmo usado para gerar números aleatórios com distribuição normal (Gaussiana) a partir de números aleatórios uniformemente distribuídos.

Suponha que tenhamos duas variáveis aleatórias \(U_1\) e \(U_2\) i.i.d. aleatórios independentes: \[ U_i \sim \text{U}(0,1), \quad i \in \{1,2\}. \] O método transforma essas duas v.a. nas variáveis:

\[ Z_1= \sqrt{-2\log(U_1)} \cos(2\pi U_2) \]

e

\[ Z_2= \sqrt{-2\log(U_1)} \sin(2\pi U_2) \] independentes e identicamente distribuídas, com distribuição normal padrão.

A demonstração do resultado teórico é um exercício de Teoria das Probabilidades e utiliza a transformação para coordenadas polares e o método do Jacobiano.

  1. Implemente uma função chamada rnorm.boxmuller, que simula valores da distribuição normal padrão através do método de Box-Muller e utilize-a para simular \(N = 10.000\) deste modelo.

  2. Faça o histograma dos valores gerados comparando-o com a curva teórica da distribuição \(\text{N}(0,1)\).

  3. Estime \(P(Z>1.96)\), para \(Z \sim \text{N}(0,1)\).

  4. Compare a velocidade das funções rnorm() e rnorm.boxmuller() para a geração de diferentes tamanhos de amostra.

  5. Crie uma variação da função do item 1 que permita gerar valores de acordo com a distribuição normal com média e variância arbitrárias.