1 Introducción

La teoría de colas constituye una de las herramientas más importantes dentro de la Investigación de Operaciones y la Simulación de Sistemas, ya que permite estudiar situaciones en las cuales los usuarios demandan un servicio y deben esperar para recibir atención. Este tipo de sistemas se encuentra presente en numerosos contextos cotidianos, tales como bancos, hospitales, supermercados, centros de atención telefónica y establecimientos de alimentos.

El análisis de sistemas de colas tiene como propósito comprender el comportamiento de variables fundamentales como los tiempos de espera, la longitud de la fila, la utilización del servidor y los periodos de ocupación e inactividad del sistema. A partir de estos elementos es posible evaluar el desempeño del servicio e identificar oportunidades de mejora que contribuyan a una operación más eficiente.

En el presente trabajo se desarrolla un estudio aplicado a la cafetería de la Facultad de Economía, donde se llevó a cabo un proceso de observación directa durante una jornada completa de operación comprendida entre las 09:00 y las 17:00 horas. Durante dicho periodo se registraron los tiempos de llegada y salida de los clientes que utilizaron el servicio, generando una base de datos que permite describir el comportamiento real del sistema.

Con el objetivo de facilitar el análisis estadístico y matemático, los tiempos observados fueron transformados a una escala continua expresada en minutos, tomando como origen temporal las 09:00 horas y considerando un horizonte de observación de 480 minutos. A partir de esta información se construyeron variables de interés tales como los tiempos entre llegadas, los tiempos de permanencia en el sistema, la longitud de la cola y el estado de ocupación del servidor.

Posteriormente se realizó un análisis exploratorio de los datos mediante la construcción de gráficas que permiten visualizar la evolución temporal del sistema. Además, se efectuó un análisis estadístico orientado a identificar las distribuciones de probabilidad que mejor describen los procesos de llegada y servicio observados. Dichas distribuciones constituyen la base para la generación de datos sintéticos y el desarrollo de un modelo de simulación capaz de reproducir el comportamiento de la cafetería bajo condiciones similares a las observadas.

Finalmente, los resultados obtenidos permiten comprender el funcionamiento del sistema estudiado y proporcionan una primera aproximación al uso de técnicas de simulación para el análisis y evaluación de sistemas de espera en contextos reales.

2 Marco Teórico

2.1 Teoría de Colas

La teoría de colas es una rama de la Investigación de Operaciones que estudia los sistemas en los cuales los usuarios demandan un servicio y, en caso de no ser atendidos inmediatamente, deben esperar en una fila hasta que el recurso de servicio esté disponible.

El objetivo principal de esta teoría consiste en analizar el comportamiento de sistemas de espera mediante herramientas matemáticas y probabilísticas que permitan evaluar indicadores de desempeño como la longitud promedio de la cola, el tiempo de espera de los usuarios, la utilización del servidor y la probabilidad de encontrar el sistema ocupado o vacío.

En un sistema de colas intervienen tres elementos fundamentales:

  • Los clientes que solicitan el servicio.
  • El mecanismo de atención o servidor.
  • La fila de espera.

La interacción entre estos elementos genera un comportamiento dinámico que puede ser estudiado mediante modelos matemáticos y técnicas de simulación. ##Componentes de un Sistema de Colas

Un sistema de colas se encuentra integrado por diversos elementos que determinan su comportamiento.

2.1.1 Fuente de clientes

Corresponde al conjunto de usuarios potenciales que pueden solicitar el servicio.

2.1.2 Cola

Representa el conjunto de clientes que esperan ser atendidos cuando el servidor se encuentra ocupado.

2.1.3 Servidor

Es el recurso encargado de proporcionar el servicio a los clientes.

2.1.4 Disciplina de la cola

Define el orden en que los usuarios son atendidos. En este trabajo se considera una disciplina FIFO (First In First Out), donde el primer cliente en llegar es el primero en ser atendido.

2.1.5 Capacidad del sistema

Corresponde al número máximo de clientes que pueden permanecer dentro del sistema. Para efectos de este estudio se considera una capacidad suficientemente grande para almacenar a todos los clientes observados.

2.2 Proceso de Llegadas

El proceso de llegadas describe la forma en que los clientes ingresan al sistema.

Sea:

\[ A_i \]

el tiempo de llegada del cliente \(i\).

A partir de estos tiempos se define el tiempo entre llegadas o interarribo:

\[ IA_i=A_i-A_{i-1} \]

donde:

  • \(IA_i\) representa el tiempo transcurrido entre dos llegadas consecutivas.
  • \(A_i\) es el tiempo de llegada del cliente actual.
  • \(A_{i-1}\) es el tiempo de llegada del cliente anterior.

Los tiempos entre llegadas constituyen una de las variables más importantes dentro de la teoría de colas debido a que permiten caracterizar el patrón de arribos al sistema mediante una distribución de probabilidad.

2.3 Proceso de Servicio

El proceso de servicio describe el tiempo que un cliente permanece dentro del sistema desde su llegada hasta su salida.

Sea:

\[ D_i \]

el tiempo de salida del cliente \(i\).

Entonces el tiempo total en el sistema puede obtenerse mediante:

\[ T_i=D_i-A_i \]

donde:

  • \(T_i\) representa el tiempo de permanencia del cliente.
  • \(D_i\) corresponde al tiempo de salida.
  • \(A_i\) corresponde al tiempo de llegada.

El análisis de esta variable permite estudiar la eficiencia del servicio y constituye una de las bases para el ajuste de distribuciones probabilísticas.

2.4 Longitud de la Cola

La longitud de la cola representa el número de clientes que se encuentran esperando servicio en un instante determinado.

Sea:

\[ Q(t) \]

la cantidad de personas formadas en el instante \(t\).

La evolución de esta variable depende directamente de los eventos de llegada y salida observados durante la operación del sistema.

Cuando un cliente llega al sistema y el servidor se encuentra ocupado, la longitud de la cola aumenta. Por el contrario, cuando se completa un servicio y un cliente abandona el sistema, la longitud de la cola disminuye.

El análisis de \(Q(t)\) permite identificar periodos de congestión y horas de mayor demanda.

2.5 Estado del Sistema

El estado del sistema permite identificar si existen clientes dentro del sistema en un instante determinado.

Se define la variable:

\[ B(t)= \begin{cases} 1, & \text{si existe al menos un cliente en el sistema} \\ 0, & \text{si el sistema se encuentra vacío} \end{cases} \]

Esta representación facilita la identificación de periodos de actividad y periodos de inactividad del servicio.

El análisis del estado del sistema permite estimar la utilización del servidor y detectar intervalos de tiempo en los cuales no existe demanda de servicio.

2.6 Distribuciones de Probabilidad

Las distribuciones de probabilidad constituyen modelos matemáticos utilizados para describir el comportamiento aleatorio de una variable.

En problemas de simulación de sistemas de colas es común ajustar distribuciones a los tiempos entre llegadas y a los tiempos de servicio observados.

Sea una variable aleatoria continua \(X\), su comportamiento puede describirse mediante una función de densidad de probabilidad:

\[ f(x) \]

y una función de distribución acumulada:

\[ F(x)=P(X\leq x) \]

La selección de la distribución apropiada se realiza mediante pruebas estadísticas de bondad de ajuste y criterios de información, con el propósito de encontrar el modelo que mejor represente los datos observados.

2.7 Simulación de Eventos Discretos

La simulación de eventos discretos es una técnica utilizada para reproducir el comportamiento de sistemas reales mediante modelos computacionales.

En este enfoque el estado del sistema cambia únicamente cuando ocurre un evento relevante, como una llegada o una salida.

Una vez identificadas las distribuciones de probabilidad asociadas a los procesos de llegada y servicio, es posible generar datos sintéticos que reproduzcan condiciones similares a las observadas en la realidad.

Posteriormente, los resultados simulados pueden compararse con los datos originales para evaluar la capacidad del modelo para representar adecuadamente el comportamiento del sistema estudiado.

3 Descripción del Sistema

3.1 Cafetería de la Facultad de Economía

El sistema analizado corresponde a la cafetería de la Facultad de Economía, la cual brinda servicio de alimentos y bebidas a estudiantes, docentes y personal administrativo durante la jornada escolar.

Durante las horas de operación del establecimiento se presentan periodos de alta y baja demanda que generan variaciones en la cantidad de clientes que solicitan atención. Como consecuencia, pueden formarse filas de espera cuando la capacidad de atención resulta insuficiente para atender inmediatamente a todos los usuarios que llegan al sistema.

Debido a estas características, la cafetería constituye un ejemplo adecuado para la aplicación de herramientas de teoría de colas, permitiendo analizar el comportamiento de los clientes, los tiempos de permanencia y la evolución de las filas de espera a lo largo del tiempo.

Para el presente estudio se consideró como servidor el punto de atención de la cafetería, mientras que los clientes corresponden a las personas que ingresaron al sistema para solicitar un servicio durante el periodo de observación.

3.2 Periodo de Observación

La recopilación de datos se realizó mediante observación directa durante una jornada completa de operación de la cafetería.

El periodo de observación comprendió desde las 09:00 horas hasta las 17:00 horas, abarcando un total de ocho horas continuas de funcionamiento.

Con la finalidad de facilitar el análisis estadístico, todos los registros temporales fueron transformados a una escala expresada en minutos, tomando como origen temporal las 09:00 horas.

De esta forma, el horizonte temporal de estudio quedó definido por el intervalo:

\[ 0 \le t \le 480 \]

donde:

Tiempo (min) Hora
\(t = 0\) 09:00 horas
\(t = 60\) 10:00 horas
\(t = 120\) 11:00 horas
\(t = 180\) 12:00 horas
\(t = 240\) 13:00 horas
\(t = 300\) 14:00 horas
\(t = 360\) 15:00 horas
\(t = 420\) 16:00 horas
\(t = 480\) 17:00 horas

Esta transformación permitió trabajar con una escala continua uniforme, simplificando la construcción de gráficas y modelos probabilísticos.

3.3 Variables Registradas

Durante el periodo de observación se registró la información correspondiente a 142 clientes que utilizaron el servicio de cafetería.

La Tabla 1 presenta una muestra de la estructura de los datos recopilados durante el proceso de observación.

Tabla 1. Muestra de los registros observados durante el periodo de estudio.
Cliente (Cᵢ) Tiempo de llegada (Aᵢ) Tiempo de salida (Dᵢ)
28 09:32:00 09:39:19
29 09:33:00 09:38:50
30 09:33:00 09:40:56
31 09:34:00 09:41:13
32 09:44:27 09:48:11
33 09:51:51 09:54:54
34 09:53:13 09:59:42
35 10:05:09 10:07:24
36 10:08:48 10:15:30
37 10:08:48 10:16:43
38 10:10:16 10:22:10
39 10:11:59 10:19:36
40 10:15:43 10:22:11
41 10:15:49 10:22:50
42 10:15:43 10:24:59

La Tabla 1 presenta una muestra de los registros recopilados durante el proceso de observación. Para cada cliente se registró su identificador (\(C_i\)), el tiempo de llegada al sistema (\(A_i\)) y el tiempo de salida (\(D_i\)). Estas variables constituyen la base para la construcción de los tiempos entre llegadas, los tiempos de permanencia y las demás métricas empleadas en el análisis del sistema de colas.

4 Preparación de los Datos

4.1 Estructura de la Base de Datos

La información utilizada en este estudio fue obtenida mediante observación directa del funcionamiento de la cafetería de la Facultad de Economía durante una jornada completa de operación.

Para cada uno de los clientes observados se registró la siguiente información:

  • Identificador del cliente (\(C_i\)).
  • Tiempo de llegada al sistema (\(A_i\)).
  • Tiempo de salida del sistema (\(D_i\)).

Estos registros constituyen la base para la construcción de todas las variables analizadas posteriormente, incluyendo los tiempos entre llegadas, los tiempos de permanencia y la evolución temporal de la cola.

4.2 Conversión de Horarios a Minutos

Los tiempos registrados originalmente se encontraban expresados en formato horario correspondiente a la hora real del día.

Con el objetivo de simplificar el tratamiento matemático y estadístico de la información, estos valores fueron transformados a una escala continua expresada en minutos.

Se tomó como referencia el inicio del periodo de observación, correspondiente a las 09:00 horas, definiéndose:

\[ t=0 \]

A partir de esta transformación se obtuvo un horizonte temporal de análisis comprendido entre:

\[ 0 \le t \le 480 \]

donde cada unidad representa un minuto de operación del sistema.

Esta representación facilita la construcción de funciones temporales, la generación de gráficas y el ajuste posterior de distribuciones de probabilidad.

4.3 Construcción de Variables Derivadas

A partir de los tiempos de llegada y salida observados se construyeron nuevas variables que permiten caracterizar el comportamiento del sistema de colas.

4.3.1 Tiempo entre llegadas

El tiempo entre llegadas consecutivas se calculó mediante:

\[ IA_i=A_i-A_{i-1} \]

donde:

  • \(IA_i\) representa el tiempo interarribo.
  • \(A_i\) corresponde al instante de llegada del cliente \(i\).
  • \(A_{i-1}\) corresponde al instante de llegada del cliente anterior.

Esta variable describe la dinámica de entrada de clientes al sistema.

4.3.2 Tiempo de permanencia en el sistema

Para cada cliente se calculó el tiempo total de permanencia:

\[ T_i=D_i-A_i \]

donde:

  • \(T_i\) representa el tiempo total dentro del sistema.
  • \(D_i\) corresponde al tiempo de salida.
  • \(A_i\) corresponde al tiempo de llegada.

Esta variable incluye tanto el tiempo de espera como el tiempo de atención.

4.3.3 Longitud de la cola

A partir de la secuencia temporal de entradas y salidas se reconstruyó la evolución de la cola durante todo el periodo de observación.

La longitud de cola se representa mediante:

\[ Q(t) \]

y corresponde al número de clientes que permanecen esperando servicio en cada instante del tiempo.

4.3.4 Estado del sistema

Asimismo se construyó una variable binaria para identificar la ocupación del sistema:

\[ B(t)= \begin{cases} 1, & \text{si existe al menos un cliente en el sistema}\\ 0, & \text{si el sistema está vacío} \end{cases} \]

Esta variable permite identificar periodos de ocupación e inactividad dentro del horizonte de observación.

4.4 Validación de los Datos

Antes de realizar el análisis estadístico se verificó la consistencia de los registros observados.

Las principales validaciones efectuadas fueron:

  • Verificación del orden cronológico de los eventos.
  • Comprobación de que cada cliente presentara un único tiempo de llegada y un único tiempo de salida.
  • Confirmación de que el tiempo de salida fuera posterior al tiempo de llegada para todos los registros.
  • Validación de la continuidad temporal de las observaciones.

Una vez completadas estas verificaciones se consideró que la base de datos era adecuada para realizar el análisis exploratorio, el ajuste de distribuciones y la construcción del modelo de simulación.

Tabla 2. Transformación de los registros originales a la escala de análisis utilizada en el estudio.
Cliente (Cᵢ) Llegada (Aᵢ) Salida (Dᵢ) Tiempo en sistema (Tᵢ) Llegada en minutos (Aᵢ*) Salida en minutos (Dᵢ*)
1 09:32:00 09:39:19 7.32 32.00 39.32
2 09:33:00 09:38:50 5.83 33.00 38.83
3 09:33:00 09:40:56 7.93 33.00 40.93
4 09:34:00 09:41:13 7.22 34.00 41.22
5 09:44:27 09:48:11 3.73 44.45 48.18
6 09:51:51 09:54:54 3.05 51.85 54.90
7 09:53:13 09:59:42 6.48 53.22 59.70
8 10:05:09 10:07:24 2.25 65.15 67.40
9 10:08:48 10:15:30 6.70 68.80 75.50
10 10:08:48 10:16:43 7.92 68.80 76.72
11 10:10:16 10:22:10 11.90 70.27 82.17
12 10:11:59 10:19:36 7.62 71.98 79.60
13 10:15:43 10:22:11 6.47 75.72 82.18
14 10:15:49 10:22:50 7.02 75.82 82.83
15 10:15:43 10:24:59 9.27 75.72 84.98
16 10:15:43 10:31:45 16.03 75.72 91.75
17 10:17:48 10:31:46 13.97 77.80 91.77
18 10:21:28 10:32:03 10.58 81.47 92.05
19 10:24:48 10:35:03 10.25 84.80 95.05
20 10:26:15 10:36:04 9.82 86.25 96.07

La Tabla 2 muestra una muestra de los datos transformados utilizados durante el análisis. Los tiempos originales de llegada (\(A_i\)) y salida (\(D_i\)) fueron convertidos a una escala continua expresada en minutos, dando origen a las variables \(A_i^*\) y \(D_i^*\). Adicionalmente, se calculó el tiempo de permanencia dentro del sistema (\(T_i\)), definido como la diferencia entre el tiempo de salida y el tiempo de llegada de cada cliente.

Estas variables constituyen la base para el análisis exploratorio, el ajuste de distribuciones de probabilidad y el posterior desarrollo del modelo de simulación.

5 Análisis Exploratorio

5.1 Distribución Temporal de Llegadas y Salidas

5.2 Longitud de la Cola

Gráfica 1. Evolución temporal de la longitud de la cola \(Q(t)\) construida a partir de los tiempos de llegada \((A_i)\) y salida \((D_i)\) observados en la cafetería. Los puntos verdes representan llegadas al sistema, mientras que los puntos morados representan salidas. La altura de cada barra indica el número de clientes que permanecen esperando servicio en cada intervalo temporal.

La Gráfica 1 muestra la evolución temporal de la longitud de la cola durante el periodo de observación comprendido entre las 09:00 y las 17:00 horas.

Se observa que la demanda del servicio no es uniforme a lo largo de la jornada. Existen periodos de baja ocupación intercalados con intervalos donde la longitud de la cola aumenta significativamente como consecuencia de la llegada simultánea de varios clientes.

El nivel máximo de ocupación se presenta aproximadamente entre las 11:00 y las 13:00 horas, periodo durante el cual la cola alcanza los valores más altos observados durante la jornada. Este comportamiento puede asociarse a los cambios de horario académico y a los recesos entre clases, momentos en los cuales una gran cantidad de estudiantes acude a la cafetería en intervalos relativamente cortos de tiempo.

Asimismo, puede apreciarse que los incrementos más importantes en la longitud de la cola tienden a concentrarse cerca de las 11:00, 13:00, 15:00 y 17:00 horas. Este patrón coincide con la duración habitual de las clases impartidas en la facultad, las cuales poseen una duración aproximada de dos horas. Como consecuencia, al finalizar cada periodo de clases se genera una concentración temporal de estudiantes que requieren el servicio de cafetería.

Por otra parte, se observan descensos pronunciados en la longitud de la cola después de los periodos de máxima demanda. Esto indica que, una vez atendido el flujo acumulado de clientes, el sistema recupera gradualmente su capacidad de servicio y reduce el número de personas en espera.

También pueden identificarse intervalos donde la longitud de la cola permanece cercana a cero, especialmente durante las primeras horas de operación y en algunos periodos intermedios. Estos comportamientos sugieren que la utilización del sistema no es constante y que la demanda se encuentra fuertemente influenciada por el calendario académico de la facultad.

En términos generales, la gráfica evidencia la existencia de horas pico claramente definidas, las cuales se relacionan directamente con la dinámica de entrada y salida de estudiantes entre clases. Este comportamiento será particularmente importante durante el ajuste de distribuciones y la posterior construcción del modelo de simulación.

Gráfica 2. Evolución detallada de la longitud de la cola para los primeros veinte clientes observados.

La gráfica constituye una ampliación de la Gráfica 1 y permite visualizar con mayor detalle el procedimiento utilizado para reconstruir la longitud de la cola \(Q(t)\) a partir de los tiempos de llegada (\(A_i\)) y salida (\(D_i\)). La representación detallada facilita la validación de la metodología empleada para determinar el número de clientes que permanecen esperando servicio en cada intervalo temporal.

5.3 Estado del Sistema

Además de analizar la longitud de la cola, resulta conveniente estudiar el estado general del sistema a lo largo de la jornada de observación.

Para ello se construyó una variable binaria denominada estado del sistema, la cual toma el valor de 1 cuando existe al menos un cliente dentro del sistema y el valor de 0 cuando no hay clientes presentes. Esta representación permite identificar claramente los periodos de actividad e inactividad del servicio.

La Gráfica 3 muestra la evolución temporal del estado del sistema durante el periodo de observación comprendido entre las 09:00 y las 17:00 horas.

Gráfica 3. Evolución temporal del estado del sistema durante el periodo de observación.

Análisis de la Gráfica 3

La Gráfica 3 permite identificar los intervalos de tiempo durante los cuales la cafetería permaneció ocupada y aquellos en los que el sistema se encontró completamente vacío.

Se observa que, una vez iniciada la operación del servicio, los periodos de ocupación son considerablemente más extensos que los periodos de inactividad. Esto sugiere que la cafetería mantiene una demanda relativamente constante durante gran parte de la jornada.

Los intervalos en los cuales el sistema toma el valor de cero representan momentos en los que no existe ningún cliente dentro del sistema, es decir, no hay personas esperando ni siendo atendidas. Estos eventos son relativamente escasos y suelen presentarse durante periodos de baja afluencia de estudiantes.

Por el contrario, los intervalos donde el sistema permanece en estado ocupado muestran que la llegada de nuevos clientes ocurre con suficiente frecuencia para mantener actividad continua en el servicio. Este comportamiento resulta consistente con la dinámica observada en la Gráfica 1, donde pueden apreciarse periodos prolongados de formación de filas.

Asimismo, se observa que los periodos de ocupación más prolongados coinciden con los horarios de cambio entre clases. Este comportamiento puede relacionarse con la organización académica de la facultad, donde las asignaturas suelen tener una duración aproximada de dos horas. Como consecuencia, al finalizar cada bloque académico se produce una concentración temporal de estudiantes que recurren a la cafetería.

Desde el punto de vista operativo, este resultado indica que la utilización del sistema es elevada durante buena parte de la jornada y que los periodos de inactividad representan únicamente una pequeña fracción del tiempo total de observación.

La identificación de estos intervalos será de utilidad en etapas posteriores del análisis, particularmente para la estimación de la utilización del servidor y para la validación del modelo de simulación que será construido a partir de las distribuciones de probabilidad obtenidas.

Adicionalmente, se observa que los intervalos de inactividad más prolongados se concentran aproximadamente alrededor de las 14:00 y las 16:00 horas. Durante estos periodos el sistema permanece vacío durante lapsos relativamente mayores en comparación con el resto de la jornada.

Una posible explicación de este comportamiento se encuentra en el contexto académico en el que se realizó el estudio. Dado que la observación fue llevada a cabo durante un viernes, es común que una parte importante de los estudiantes foráneos concluya sus actividades académicas durante la mañana o en las primeras horas de la tarde, reduciendo significativamente la afluencia de personas hacia la cafetería durante los horarios posteriores.

Asimismo, estos periodos coinciden con las últimas horas de actividad académica del día, en las cuales la cantidad de estudiantes presentes dentro de las instalaciones suele ser menor. Como consecuencia, la demanda del servicio disminuye y se incrementa la probabilidad de encontrar el sistema completamente vacío.

Este comportamiento sugiere que la demanda del servicio no depende únicamente de factores aleatorios, sino que también se encuentra influenciada por la organización de los horarios académicos y por las características particulares de la población estudiantil que utiliza la cafetería.

La Gráfica 4 presenta una ampliación de los primeros veinte clientes observados con el propósito de validar la construcción de la variable que representa el estado del sistema. Esta representación permite identificar con claridad los intervalos en los cuales existe al menos un cliente dentro del sistema y aquellos momentos en los que la cafetería permanece completamente vacía.

Se observa que durante los primeros minutos del intervalo analizado, el sistema permanece ocupado de manera continua debido a la presencia constante de clientes. Sin embargo, también pueden identificarse algunos intervalos breves en los que el estado del sistema cambia de 1 a 0, indicando que el último cliente ha abandonado el sistema antes de que ocurra una nueva llegada.

Las líneas punteadas permiten verificar visualmente los instantes exactos en los que se producen los cambios de estado. Dichos cambios están directamente asociados a los eventos de llegada (\(A_i\)) y salida (\(D_i\)) mostrados en la parte inferior de la figura. Cuando ocurre una llegada a un sistema vacío, el estado cambia de 0 a 1; por el contrario, cuando la última persona abandona el sistema, el estado cambia nuevamente de 1 a 0.

Asimismo, puede apreciarse que conforme aumenta la frecuencia de llegadas entre los minutos 65 y 95 aproximadamente, el sistema permanece ocupado durante periodos considerablemente más largos y las transiciones hacia el estado vacío se vuelven menos frecuentes. Este comportamiento es consistente con lo observado en las gráficas anteriores, donde se identificó un incremento gradual en la demanda del servicio conforme se aproxima el final del bloque académico correspondiente.

La ampliación mostrada en esta figura confirma que la metodología utilizada para construir el estado del sistema representa adecuadamente la dinámica observada en la cafetería. Además, permite comprobar que los intervalos de ocupación y desocupación fueron obtenidos correctamente a partir de los tiempos de llegada y salida registrados para cada cliente.

Finalmente, puede observarse que los periodos en que el sistema permanece vacío son relativamente cortos en comparación con los periodos de ocupación. Esto sugiere que incluso en una muestra reducida de veinte clientes existe una utilización importante del servicio, lo que constituye un primer indicio de que la cafetería opera gran parte del tiempo con al menos un cliente dentro del sistema.

##Tiempo de Permanencia en el Sistema

Una vez analizado el comportamiento global del sistema mediante la longitud de la cola y el estado de ocupación, resulta necesario estudiar las variables asociadas directamente a cada cliente.

Una de las métricas más importantes en teoría de colas corresponde al tiempo de permanencia en el sistema, definido como el intervalo transcurrido entre la llegada y la salida de un cliente.

Matemáticamente se expresa como:

\[ T_i=D_i-A_i \]

donde:

  • \(T_i\) representa el tiempo de permanencia del cliente \(i\).
  • \(A_i\) corresponde al instante de llegada.
  • \(D_i\) corresponde al instante de salida.

Esta variable permite cuantificar la experiencia del usuario dentro del sistema, ya que refleja el tiempo total que una persona permanece en la cafetería desde su ingreso hasta la finalización del servicio.

La distribución de estos tiempos constituye además una de las principales variables para el ajuste de distribuciones de probabilidad y la posterior construcción del modelo de simulación.

La Gráfica 5 presenta el tiempo de permanencia en el sistema para cada uno de los clientes observados durante el periodo de estudio. Cada barra representa el tiempo total transcurrido entre la llegada y la salida de un cliente, mientras que la línea roja punteada indica el tiempo promedio de permanencia en el sistema.

Se observa que la mayoría de los clientes permanecen en el sistema alrededor del valor promedio, estimado en aproximadamente 9.38 minutos. Sin embargo, existe una variabilidad considerable entre las observaciones, ya que algunos clientes requieren menos de 5 minutos dentro del sistema, mientras que otros permanecen durante intervalos superiores a 20 minutos.

También pueden identificarse periodos donde varios clientes consecutivos presentan tiempos de permanencia elevados. Este comportamiento es particularmente visible alrededor de los clientes 45 a 55 y nuevamente entre los clientes 75 y 95. Dichos intervalos coinciden con los periodos de mayor formación de filas observados anteriormente, lo que sugiere que la congestión del sistema influye directamente en el tiempo que los usuarios permanecen dentro de la cafetería.

Asimismo, se observan algunos valores notablemente superiores al promedio, destacando el registrado alrededor del cliente 87, cuyo tiempo de permanencia supera los 24 minutos. Este tipo de observaciones podría estar asociado a momentos de alta demanda o a condiciones específicas del servicio que provocaron un incremento temporal en la espera o en el tiempo de atención.

Por otra parte, también se identifican clientes cuyo tiempo de permanencia es considerablemente inferior al promedio, ubicándose entre 2 y 5 minutos aproximadamente. Estos casos sugieren que durante ciertos intervalos el sistema pudo atender a los usuarios con mayor rapidez debido a una menor afluencia de clientes.

En términos generales, la gráfica muestra que el tiempo de permanencia no permanece constante a lo largo de la jornada y presenta una variabilidad importante. Este comportamiento sugiere la presencia de un proceso aleatorio que deberá analizarse mediante técnicas estadísticas para determinar la distribución de probabilidad que mejor describe los datos observados.

La Gráfica 6 presenta la distribución de los tiempos de permanencia observados durante el periodo de estudio. Cada barra representa la frecuencia con la que se registran determinados intervalos de tiempo dentro del sistema.

Se observa que la mayor concentración de clientes permanece en el sistema entre 6 y 10 minutos aproximadamente, intervalo donde se registran las frecuencias más elevadas. Este comportamiento indica que la mayoría de los usuarios recibe el servicio y abandona el sistema dentro de un rango relativamente acotado de tiempo.

La línea roja punteada representa el tiempo promedio de permanencia, estimado en 9.38 minutos. Puede apreciarse que este valor se encuentra dentro de la región de mayor concentración de observaciones, por lo que constituye una medida representativa del comportamiento general del sistema.

Asimismo, la distribución presenta una ligera asimetría hacia la derecha, evidenciada por la presencia de observaciones con tiempos considerablemente superiores al promedio. Aunque la frecuencia disminuye conforme aumenta el tiempo de permanencia, pueden identificarse algunos clientes cuyos tiempos superan los 15 minutos e incluso alcanzan valores cercanos a los 25 minutos.

La existencia de estos valores elevados puede asociarse a periodos de mayor congestión dentro de la cafetería, donde el incremento en la cantidad de clientes provoca un aumento en los tiempos de espera y, por consecuencia, en el tiempo total de permanencia dentro del sistema.

En términos generales, la gráfica sugiere que la variable tiempo de permanencia presenta una distribución unimodal y con cierta asimetría positiva. No obstante, la identificación formal de la distribución de probabilidad que mejor describe los datos será realizada posteriormente mediante técnicas de ajuste de distribuciones y pruebas de bondad de ajuste.

La Gráfica 7 presenta un resumen estadístico de los tiempos de permanencia observados mediante un diagrama de caja.

Se observa que la mediana se encuentra por debajo del tiempo promedio de permanencia, estimado en 9.38 minutos. Esta diferencia sugiere la presencia de una ligera asimetría positiva en la distribución de los datos, resultado que coincide con el comportamiento observado previamente en el histograma.

La región comprendida por la caja contiene el 50 % central de las observaciones, indicando que la mayoría de los clientes permanece dentro del sistema aproximadamente entre 6 y 11 minutos. Esto sugiere que, bajo condiciones normales de operación, el servicio presenta tiempos relativamente consistentes para la mayor parte de los usuarios.

Asimismo, se identifican algunas observaciones atípicas representadas mediante puntos localizados por encima del límite superior del diagrama. Estos casos corresponden a clientes cuyos tiempos de permanencia fueron considerablemente mayores que los observados para la mayoría de la muestra, alcanzando valores cercanos a los 20 y 25 minutos.

La presencia de estos valores extremos puede estar asociada a periodos de mayor congestión del sistema, en los cuales el incremento simultáneo de llegadas provoca un aumento temporal en los tiempos de espera y de permanencia.

En términos generales, el diagrama de caja confirma la existencia de variabilidad en los tiempos observados, así como una tendencia hacia valores superiores al promedio para un reducido número de clientes. Estos resultados apoyan la hipótesis inicial de que la variable tiempo de permanencia no presenta un comportamiento perfectamente simétrico y requerirá un análisis estadístico más detallado para identificar la distribución de probabilidad que mejor describe los datos observados.

6 Análisis Estadístico

6.1 Estadísticos descriptivos del tiempo de permanencia

Con el propósito de caracterizar la variabilidad observada en los tiempos de permanencia de los clientes dentro del sistema, se calcularon diversas medidas descriptivas de tendencia central y dispersión.

Estas medidas permiten resumir de manera cuantitativa el comportamiento de la variable \(T_i\), proporcionando una base objetiva para el posterior ajuste de distribuciones de probabilidad.

Tabla 3. Estadísticos descriptivos del tiempo de permanencia en el sistema.
Estadístico Valor
Número de observaciones 142.00
Mínimo 2.25
Máximo 24.38
Media 9.38
Mediana 8.53
Desviación estándar 4.02
Varianza 16.17
Coeficiente de variación (%) 42.88

El análisis estadístico de los tiempos de permanencia permitió caracterizar cuantitativamente el comportamiento de los clientes dentro del sistema.

Se analizaron 142 observaciones, correspondientes a los clientes registrados durante el periodo de estudio. El tiempo mínimo observado fue de 2.25 minutos, mientras que el tiempo máximo alcanzó los 24.38 minutos, lo que evidencia la existencia de diferencias importantes en la experiencia de los usuarios dentro del sistema.

La media de permanencia fue de 9.38 minutos, indicando que, en promedio, un cliente permanece aproximadamente nueve minutos dentro de la cafetería considerando tanto el tiempo de espera como el tiempo necesario para recibir el servicio.

Por su parte, la mediana fue de 8.53 minutos, lo que significa que el 50 % de los clientes permaneció menos de este tiempo dentro del sistema y el otro 50 % permaneció más tiempo. El hecho de que la media sea superior a la mediana sugiere la presencia de una ligera asimetría positiva en los datos.

La desviación estándar obtenida fue de 4.02 minutos, lo que indica que los tiempos de permanencia suelen alejarse aproximadamente cuatro minutos del tiempo promedio. En términos prácticos, esto refleja que no todos los clientes experimentan el mismo tiempo dentro del sistema y que existe una variabilidad apreciable entre observaciones.

La varianza fue de 16.17 minutos cuadrados. Esta medida cuantifica la dispersión total de los datos respecto a la media y confirma la existencia de diferencias significativas entre los tiempos de permanencia observados.

Finalmente, el coeficiente de variación alcanzó un valor de 42.88 %. Este indicador relaciona la desviación estándar con la media y permite evaluar la variabilidad relativa del sistema. Un valor superior al 30 % indica una variabilidad alta, lo cual sugiere que los tiempos de permanencia presentan fluctuaciones importantes entre clientes y que el sistema no opera bajo condiciones completamente uniformes.

En conjunto, los resultados muestran que los tiempos de permanencia presentan una dispersión considerable, una ligera asimetría hacia valores elevados y la presencia de clientes que experimentan tiempos notablemente superiores al promedio. Estos hallazgos coinciden con las observaciones realizadas durante el análisis gráfico y constituyen la primera evidencia de que la variable \(T_i\) podría estar mejor representada mediante distribuciones asimétricas. Esta hipótesis será evaluada formalmente en la siguiente etapa mediante técnicas de ajuste de distribuciones y pruebas de bondad de ajuste.

6.2 Estadísticos descriptivos de los tiempos entre llegadas

Además del tiempo de permanencia, resulta necesario analizar el comportamiento de los tiempos entre llegadas consecutivas de los clientes al sistema.

Los tiempos entre llegadas constituyen una de las variables fundamentales en teoría de colas debido a que describen la dinámica de entrada de usuarios y determinan la carga de trabajo que recibe el sistema.

Para cada cliente se calculó el tiempo transcurrido desde la llegada del cliente anterior mediante:

\[ IA_i=A_i-A_{i-1} \]

donde:

  • \(IA_i\) representa el tiempo entre llegadas.
  • \(A_i\) corresponde al tiempo de llegada del cliente \(i\).
  • \(A_{i-1}\) corresponde al tiempo de llegada del cliente anterior.

Posteriormente se calcularon diversas medidas descriptivas para caracterizar esta variable.

Tabla 4. Estadísticos descriptivos de los tiempos entre llegadas.
Estadístico Valor
Número de observaciones 141.00
Mínimo 0.00
Máximo 34.85
Media 2.95
Mediana 1.22
Desviación estándar 4.87
Varianza 23.74
Coeficiente de variación (%) 164.93

El análisis de los tiempos entre llegadas permitió caracterizar el comportamiento del proceso de arribo de clientes a la cafetería.

La media obtenida fue de 2.95 minutos, indicando que, en promedio, un nuevo cliente llega al sistema aproximadamente cada tres minutos. Sin embargo, la mediana fue de únicamente 1.22 minutos, lo que evidencia una diferencia considerable entre ambas medidas.

El hecho de que la media sea superior a la mediana sugiere una marcada asimetría positiva en la distribución de los tiempos entre llegadas. Esto indica que la mayoría de los clientes llega con separaciones relativamente cortas, mientras que existen algunos intervalos prolongados sin llegadas que incrementan el valor promedio.

La desviación estándar de 4.87 minutos y la varianza de 23.74 minutos cuadrados revelan una dispersión considerable dentro de los datos observados. Asimismo, el coeficiente de variación alcanzó un valor de 164.93 %, indicando una variabilidad extremadamente alta en el proceso de llegada de clientes.

Estos resultados muestran que las llegadas no ocurren de manera uniforme a lo largo de la jornada, sino que presentan periodos de alta concentración de usuarios y otros intervalos donde la actividad disminuye significativamente. Dicho comportamiento coincide con las observaciones realizadas previamente en las gráficas de longitud de cola y estado del sistema, donde se identificaron horas pico asociadas a los cambios de clase y periodos de baja afluencia durante la tarde.

La asimetría observada y la elevada variabilidad sugieren que la distribución de los tiempos entre llegadas difícilmente podrá describirse mediante una distribución simétrica, por lo que será necesario evaluar distribuciones asimétricas durante la siguiente etapa del análisis.

La Gráfica 8 presenta la distribución de los tiempos entre llegadas observados durante el periodo de estudio. Puede apreciarse que la mayor parte de las observaciones se concentra en valores cercanos a cero, indicando que los clientes suelen llegar al sistema con separaciones temporales relativamente pequeñas.

La frecuencia disminuye progresivamente conforme aumentan los tiempos entre llegadas, observándose únicamente unas cuantas observaciones con valores considerablemente superiores al promedio. Algunos intervalos alcanzan valores cercanos a los 15, 20 e incluso 35 minutos, generando una cola larga hacia la derecha de la distribución.

La línea roja punteada representa el tiempo promedio entre llegadas, estimado en 2.95 minutos. Sin embargo, la mediana obtenida previamente fue de 1.22 minutos, lo que indica una diferencia importante entre ambas medidas. Esta situación confirma la existencia de una marcada asimetría positiva en la variable analizada.

El comportamiento observado es consistente con la dinámica académica de la facultad. Durante los cambios de clase se producen múltiples llegadas en intervalos muy cortos, mientras que en determinados momentos del día, especialmente durante la tarde, pueden transcurrir varios minutos sin la llegada de nuevos clientes.

En conjunto, la distribución observada sugiere que el proceso de llegada de clientes presenta una elevada variabilidad y un comportamiento claramente asimétrico. Estas características serán fundamentales en la siguiente etapa del trabajo, donde se evaluarán distintas distribuciones de probabilidad con el objetivo de identificar el modelo matemático que mejor describa el proceso de llegadas observado.

7 Ajuste de Distribuciones de Probabilidad

7.1 Análisis preliminar de las distribuciones candidatas para los tiempos entre llegadas

Una vez caracterizadas estadísticamente las variables de interés, el siguiente paso consiste en identificar las distribuciones de probabilidad que mejor describen los datos observados.

En teoría de colas, los tiempos entre llegadas y los tiempos de permanencia suelen modelarse mediante distribuciones continuas. La selección de la distribución apropiada resulta fundamental, ya que de ella dependerá la generación de números aleatorios y la construcción del modelo de simulación.

Como primer acercamiento, se realizará un análisis de asimetría y curtosis con el propósito de identificar las distribuciones candidatas que presentan características similares a las observadas en los datos.

## summary statistics
## ------
## min:  0   max:  34.85 
## median:  1.22 
## mean:  2.954255 
## estimated sd:  4.872438 
## estimated skewness:  3.788325 
## estimated kurtosis:  22.00297

Con el objetivo de identificar posibles distribuciones de probabilidad para los tiempos entre llegadas, se realizó un análisis de asimetría y curtosis mediante el diagrama de Cullen y Frey.

Los resultados muestran que la distribución empírica presenta una marcada asimetría positiva y un nivel elevado de curtosis. Estas características son consistentes con el comportamiento observado previamente en el histograma de los tiempos entre llegadas, donde la mayor parte de las observaciones se concentra en valores pequeños y existe una cola larga hacia valores elevados.

La posición del punto empírico dentro del diagrama sugiere que distribuciones asimétricas como la Gamma, Weibull y Lognormal constituyen candidatas razonables para modelar el proceso de llegadas observado.

Por otra parte, la considerable distancia entre la posición de los datos y la región correspondiente a una distribución Normal indica que esta última difícilmente representará adecuadamente el comportamiento observado.

7.2 Ajuste de distribuciones para los tiempos entre llegadas

A partir del análisis exploratorio y de los resultados obtenidos mediante el diagrama de Cullen y Frey, se seleccionaron diversas distribuciones de probabilidad candidatas para modelar los tiempos entre llegadas observados.

Las distribuciones evaluadas fueron Gamma, Weibull y Lognormal, debido a que presentan características de asimetría positiva similares a las observadas en los datos empíricos.

Para cada distribución se estimaron sus parámetros mediante máxima verosimilitud y posteriormente se compararon utilizando criterios de información con el propósito de identificar el modelo que mejor describe el proceso de llegadas.

Tabla 5. Comparación de distribuciones candidatas para los tiempos entre llegadas.
Distribucion AIC BIC
Gamma 542.88 548.60
Weibull 538.28 544.00
Lognormal 545.84 551.56

Con el propósito de identificar la distribución de probabilidad que mejor describe el proceso de llegadas al sistema, se ajustaron las distribuciones Gamma, Weibull y Lognormal a los tiempos entre llegadas observados.

La comparación entre modelos se realizó mediante los criterios de información AIC (Akaike Information Criterion) y BIC (Bayesian Information Criterion). Estos indicadores permiten evaluar simultáneamente la calidad del ajuste y la complejidad del modelo, siendo preferibles aquellos que presentan los valores más pequeños.

Los resultados obtenidos muestran que la distribución Weibull presentó el menor valor tanto de AIC como de BIC, superando a las distribuciones Gamma y Lognormal.

En consecuencia, la distribución Weibull fue seleccionada como el modelo probabilístico más adecuado para representar los tiempos entre llegadas de los clientes observados en la cafetería.

Este resultado es consistente con el comportamiento identificado previamente en el análisis exploratorio, donde se observó una marcada asimetría positiva y una elevada variabilidad en los intervalos de llegada.

Parámetros de la distribución seleccionada

Una vez identificada la distribución Weibull como el modelo con mejor desempeño mediante los criterios AIC y BIC, se procedió a estimar los parámetros de dicha distribución.

La distribución Weibull se encuentra definida por dos parámetros:

  • Parámetro de forma (\(k\) o shape).
  • Parámetro de escala (\(\lambda\) o scale).

Estos parámetros permiten describir matemáticamente el comportamiento de los tiempos entre llegadas observados y constituyen la base para la generación de números aleatorios utilizada posteriormente en la simulación.

Tabla 6. Parámetros estimados de la distribución Weibull para los tiempos entre llegadas.
Parametro Valor
shape Shape (k) 0.7313
scale Scale (λ) 2.6156

Una vez seleccionada la distribución Weibull como el modelo probabilístico más adecuado para representar los tiempos entre llegadas, se procedió a estimar sus parámetros mediante máxima verosimilitud.

Los resultados obtenidos indican que la distribución ajustada posee un parámetro de forma igual a \(k=0.7313\) y un parámetro de escala igual a \(\lambda=2.6156\).

El valor del parámetro de forma, inferior a la unidad, indica la presencia de una marcada asimetría positiva en los tiempos entre llegadas. Este resultado coincide con las observaciones realizadas durante el análisis exploratorio, donde se identificó una elevada concentración de llegadas en intervalos cortos de tiempo y la existencia de algunos periodos prolongados sin nuevos clientes.

Por su parte, el parámetro de escala determina la magnitud característica de los tiempos entre llegadas y resulta consistente con los valores observados en la muestra.

En consecuencia, el proceso de llegadas de clientes puede representarse mediante la siguiente distribución:

\[ IA_i \sim Weibull(0.7313,\;2.6156) \]

Esta distribución será utilizada posteriormente para la generación de números aleatorios y la construcción del modelo de simulación del sistema de colas.

7.3 Análisis preliminar de distribuciones para los tiempos de permanencia

Una vez identificada la distribución asociada al proceso de llegadas, se procedió a analizar la variable tiempo de permanencia en el sistema.

Al igual que en el caso de los tiempos entre llegadas, se realizó un análisis preliminar basado en medidas de asimetría y curtosis con el propósito de identificar las distribuciones candidatas más adecuadas para modelar los tiempos de permanencia observados.

Los resultados obtenidos servirán como base para la comparación formal de modelos probabilísticos mediante criterios de bondad de ajuste.

## summary statistics
## ------
## min:  2.25   max:  24.38333 
## median:  8.533333 
## mean:  9.378521 
## estimated sd:  4.021547 
## estimated skewness:  0.7869293 
## estimated kurtosis:  3.655753

La gráfica de Cullen y Frey fue construida utilizando los tiempos de permanencia observados en el sistema.

La posición del punto empírico indica la presencia de una ligera asimetría positiva y una curtosis moderada. Estas características son consistentes con los resultados obtenidos previamente mediante el histograma y el diagrama de caja, donde se observó una mayor concentración de observaciones alrededor del promedio y una cantidad reducida de valores extremos.

A diferencia de los tiempos entre llegadas, los tiempos de permanencia presentan una menor variabilidad y una distribución más estable. La ubicación del punto empírico dentro del diagrama sugiere que distribuciones como Gamma, Weibull y Lognormal constituyen candidatas apropiadas para modelar esta variable.

Por otra parte, aunque la distribución Normal se encuentra relativamente más cercana a los datos observados que en el caso de los interarribos, la presencia de asimetría positiva sugiere que las distribuciones asimétricas podrían proporcionar mejores ajustes.

7.4 Ajuste de distribuciones para los tiempos de permanencia

Tabla 7. Comparación de distribuciones candidatas para los tiempos de permanencia.
Distribucion AIC BIC
Gamma 784.05 789.96
Weibull 790.64 796.55
Lognormal 788.62 794.53

La Tabla 7 presenta la comparación de las distribuciones candidatas ajustadas a los tiempos de permanencia observados en la cafetería. Para evaluar el desempeño de cada modelo se utilizaron los criterios de información AIC (Akaike Information Criterion) y BIC (Bayesian Information Criterion).

Estos indicadores permiten comparar diferentes modelos probabilísticos considerando simultáneamente la calidad del ajuste y la complejidad de la distribución empleada. En ambos casos, los modelos con menor valor se consideran preferibles, ya que representan de manera más eficiente la información contenida en los datos.

Los resultados muestran que la distribución Gamma obtuvo el menor valor de AIC (784.05) y de BIC (789.96), superando a las distribuciones Weibull y Lognormal. Esto indica que la distribución Gamma proporciona la mejor representación estadística de los tiempos de permanencia observados.

Asimismo, la diferencia observada entre los valores obtenidos para la distribución Gamma y las demás distribuciones sugiere que el comportamiento de los tiempos de permanencia se encuentra más próximo a las características teóricas de una distribución Gamma que a las de una Weibull o Lognormal.

Este resultado es consistente con el análisis exploratorio realizado previamente. Tanto el histograma como el diagrama de caja mostraron una distribución unimodal, positiva y con una ligera asimetría hacia valores elevados. De igual forma, el diagrama de Cullen y Frey indicó que la región correspondiente a las distribuciones Gamma, Weibull y Lognormal constituía una zona probable de ajuste, siendo finalmente la distribución Gamma la que presentó el mejor desempeño cuantitativo.

En consecuencia, la distribución Gamma fue seleccionada como el modelo probabilístico más adecuado para representar los tiempos de permanencia de los clientes dentro del sistema. Los parámetros asociados a esta distribución serán estimados en la siguiente sección y posteriormente utilizados para la generación de números aleatorios y la construcción del modelo de simulación.

7.5 Parámetros de la distribución seleccionada para los tiempos de permanencia

Una vez identificada la distribución Gamma como el modelo probabilístico con mejor desempeño para representar los tiempos de permanencia, se procedió a estimar sus parámetros mediante el método de máxima verosimilitud.

La distribución Gamma se encuentra caracterizada por dos parámetros:

  • Parámetro de forma (\(\alpha\) o shape).
  • Parámetro de escala (\(\theta\) o scale).

La estimación de estos parámetros permite definir matemáticamente la distribución que será utilizada posteriormente para generar números aleatorios durante el proceso de simulación.

Tabla 8. Parámetros estimados de la distribución Gamma para los tiempos de permanencia.
Parámetro Valor
shape Shape (α) 5.4340
rate Rate (β) 0.5794

Una vez identificada la distribución Gamma como el modelo que mejor describe los tiempos de permanencia observados, se procedió a estimar sus parámetros mediante el método de máxima verosimilitud.

Los resultados obtenidos muestran que la distribución ajustada presenta un parámetro de forma igual a \(\alpha=5.4340\) y un parámetro de tasa igual a \(\beta=0.5794\).

El parámetro de forma controla la estructura general de la distribución y determina el grado de concentración de las observaciones alrededor de la región central. El valor obtenido indica una distribución unimodal con una dispersión moderada, característica consistente con los resultados observados en el histograma y el diagrama de caja.

Por otra parte, el parámetro de tasa controla la escala temporal asociada al proceso y se relaciona directamente con la duración característica de los tiempos de permanencia observados en el sistema.

En consecuencia, los tiempos de permanencia pueden representarse mediante la siguiente distribución:

\[ T_i \sim Gamma(5.4340,\;0.5794) \]

`` Esta distribución será utilizada posteriormente para generar tiempos sintéticos de permanencia durante la construcción del modelo de simulación.

8 Generación de números aleatorios y construcción del modelo de simulación

8.1 Generación de números aleatorios

Una vez identificadas las distribuciones de probabilidad que mejor representan los procesos de llegada y permanencia de los clientes, se procedió a generar números aleatorios a partir de dichas distribuciones.

Estos valores sintéticos permiten reproducir las condiciones observadas en el sistema real y constituyen la base para la construcción del modelo de simulación.

Los tiempos entre llegadas fueron generados empleando una distribución Weibull con los parámetros estimados previamente, mientras que los tiempos de permanencia fueron generados mediante una distribución Gamma ajustada a los datos observados.

Tabla 9. Muestra de tiempos simulados generados a partir de las distribuciones ajustadas.
Cliente IA_simulado T_simulado
1 3.53 13.86
2 0.37 9.95
3 2.24 10.12
4 0.15 8.95
5 0.06 6.52
6 12.23 14.20
7 1.42 11.97
8 0.13 8.30
9 1.29 6.80
10 1.87 7.71
11 0.04 5.04
12 1.90 8.19
13 0.72 3.28
14 1.18 4.63
15 8.04 4.71
16 0.12 7.33
17 4.15 7.42
18 12.66 8.03
19 3.04 11.96
20 0.04 11.36

La Tabla 9 presenta una muestra de las observaciones generadas artificialmente utilizando las distribuciones obtenidas durante la etapa de ajuste estadístico.

Los valores simulados preservan las características probabilísticas observadas en el sistema real y permiten reproducir tanto el proceso de llegada de clientes como los tiempos de permanencia dentro de la cafetería.

Estas observaciones constituyen la base para la construcción del modelo de simulación que será desarrollado en las siguientes secciones.

8.2 Construcción del modelo de simulación

Una vez obtenidas las distribuciones de probabilidad asociadas a los procesos de llegada y permanencia de los clientes, se procedió a construir una corrida de simulación del sistema.

Para ello se generaron tiempos entre llegadas mediante la distribución Weibull ajustada previamente y tiempos de permanencia mediante la distribución Gamma seleccionada durante el proceso de ajuste.

Posteriormente se reconstruyeron los tiempos de llegada acumulados y los tiempos de salida simulados para cada cliente, obteniendo así una representación completa del comportamiento del sistema bajo condiciones estocásticas equivalentes a las observadas en la realidad.

Tabla 10. Primeros 20 clientes generados mediante simulación.
Cliente IA A T D
1 3.53 3.53 1.96 5.50
2 0.37 3.90 5.93 9.83
3 2.24 6.15 6.08 12.23
4 0.15 6.30 8.49 14.79
5 0.06 6.35 4.48 10.83
6 12.23 18.58 5.78 24.36
7 1.42 20.00 8.54 28.54
8 0.13 20.13 10.06 30.19
9 1.29 21.42 7.15 28.57
10 1.87 23.29 5.82 29.12
11 0.04 23.33 9.84 33.17
12 1.90 25.23 13.24 38.47
13 0.72 25.95 10.27 36.21
14 1.18 27.13 7.31 34.44
15 8.04 35.17 9.33 44.49
16 0.12 35.29 6.74 42.03
17 4.15 39.44 9.46 48.90
18 12.66 52.10 6.28 58.38
19 3.04 55.14 14.19 69.33
20 0.04 55.18 6.83 62.01

La Tabla 10 presenta una muestra de los clientes generados mediante el modelo de simulación. A partir de los tiempos entre llegadas simulados se construyeron los tiempos de llegada acumulados, mientras que los tiempos de permanencia generados mediante la distribución Gamma permitieron calcular los instantes de salida de cada cliente.

Esta información constituye la base para reconstruir el comportamiento temporal del sistema y comparar posteriormente los resultados obtenidos mediante simulación con los datos observados en la cafetería real.

8.3 Validación preliminar del modelo de simulación respecto al tiempo de permanencia en el sistema

Con el propósito de verificar que las distribuciones ajustadas reproducen adecuadamente el comportamiento observado en el sistema real, se realizó una comparación visual entre los tiempos de permanencia observados y los tiempos generados mediante simulación.

La comparación permite evaluar si los datos sintéticos conservan las principales características estadísticas del sistema, tales como la ubicación central, la dispersión y la forma general de la distribución.

La Gráfica 11 compara la distribución de los tiempos de permanencia observados en la cafetería con los tiempos generados mediante la distribución Gamma ajustada.

Se observa que ambas distribuciones presentan una forma general similar, conservando una elevada concentración de observaciones alrededor de los valores centrales y una disminución gradual de frecuencias conforme aumentan los tiempos de permanencia.

La similitud observada entre ambas distribuciones constituye una primera evidencia de que el modelo probabilístico seleccionado reproduce razonablemente el comportamiento del sistema real y puede utilizarse como base para la construcción de la simulación.

8.4 Validación estadística del modelo de simulación

Con el propósito de evaluar la capacidad del modelo para reproducir el comportamiento observado en el sistema real, se realizó una comparación entre los principales estadísticos descriptivos calculados a partir de los datos observados y aquellos obtenidos mediante simulación.

La comparación permite determinar si las distribuciones ajustadas generan observaciones sintéticas con características similares a las registradas en la cafetería.

Tabla 11. Comparación entre estadísticos reales y simulados respecto al tiempo de permanencia en el sistema.
Estadistico Real Simulado
Número de observaciones 142.00 142.00
Mínimo 2.25 1.89
Máximo 24.38 22.45
Media 9.38 8.99
Mediana 8.53 8.51
Desviación estándar 4.02 3.69
Varianza 16.17 13.63
Coeficiente de variación (%) 42.88 41.06

8.5 8.5 Validación preliminar del modelo de simulación de los tiempos entre llegadas

Con el propósito de evaluar la capacidad de la distribución Weibull para representar el proceso de llegadas observado, se realizó una comparación visual entre los tiempos entre llegadas reales y los tiempos generados mediante simulación.

La comparación permite verificar si la distribución ajustada reproduce adecuadamente la forma general, la variabilidad y la asimetría observadas en los datos originales.

La Gráfica 12 presenta una comparación entre los tiempos entre llegadas observados en la cafetería y aquellos generados mediante la distribución Weibull ajustada previamente.

Se observa que ambas distribuciones presentan características generales muy similares. En ambos casos la mayor concentración de observaciones se encuentra en intervalos de tiempo reducidos, indicando que la mayoría de los clientes llega al sistema con separaciones relativamente pequeñas.

Asimismo, tanto los datos reales como los simulados muestran una disminución progresiva de la frecuencia conforme aumentan los tiempos entre llegadas, conservando la asimetría positiva identificada durante el análisis exploratorio.

También puede apreciarse la presencia de algunos intervalos de llegada considerablemente superiores al promedio, generando una cola hacia la derecha en ambas distribuciones. Este comportamiento coincide con los periodos de baja afluencia observados en ciertos momentos de la jornada.

Aunque existen pequeñas diferencias entre las frecuencias observadas y las simuladas en algunos intervalos específicos, la forma general de ambas distribuciones resulta consistente. En consecuencia, la distribución Weibull ajustada reproduce adecuadamente las principales características estadísticas del proceso de llegadas observado en el sistema real.

8.6 Validación estadística de los tiempos entre llegadas

Además de la comparación visual entre los datos observados y los datos simulados, se realizó una validación estadística basada en medidas descriptivas.

El objetivo consiste en verificar que la distribución Weibull ajustada reproduzca adecuadamente las principales características del proceso de llegadas observado en el sistema real.

Para ello se compararon diversas medidas de tendencia central y dispersión calculadas tanto para los tiempos entre llegadas observados como para aquellos generados mediante simulación.

Tabla 12. Comparación entre estadísticos reales y simulados respecto entre llegadas reales y simulados.
Estadistico Real Simulado
Número de observaciones 141.00 141.00
Mínimo 0.00 0.00
Máximo 34.85 40.22
Media 2.95 2.87
Mediana 1.22 1.66
Desviación estándar 4.87 4.36
Varianza 23.74 19.05
Coeficiente de variación (%) 164.93 151.91

La Tabla 12 presenta una comparación entre los principales estadísticos descriptivos calculados para los tiempos entre llegadas observados y los generados mediante la distribución Weibull ajustada.

Los resultados muestran una elevada similitud entre ambas series de datos. La media observada fue de 2.95 minutos, mientras que la media simulada alcanzó un valor de 2.87 minutos, lo que representa una diferencia mínima entre ambos conjuntos de datos.

De igual forma, la desviación estándar y la varianza obtenidas mediante simulación conservan magnitudes similares a las observadas en el sistema real, reproduciendo adecuadamente la elevada dispersión característica del proceso de llegadas.

Asimismo, los coeficientes de variación calculados para ambas muestras superan el 150 %, indicando una variabilidad extremadamente alta tanto en los datos observados como en los simulados. Este resultado confirma que la distribución Weibull ajustada conserva una de las principales características identificadas durante el análisis estadístico.

Aunque existen diferencias moderadas en algunos estadísticos, particularmente en la mediana y en el valor máximo observado, la estructura general de los datos simulados resulta consistente con la observada en el sistema real.

En consecuencia, puede concluirse que la distribución Weibull seleccionada reproduce de manera satisfactoria las características fundamentales del proceso de llegadas de clientes a la cafetería y constituye una representación adecuada para fines de simulación.

8.7 Evolución simulada de la longitud de la cola

Gráfica 13. Evolución simulada de la longitud de la cola

La Gráfica 13 muestra la evolución de la longitud de la cola obtenida mediante simulación utilizando las distribuciones ajustadas a los datos observados.

Puede apreciarse que la cola simulada presenta periodos de crecimiento y disminución similares a los identificados en el sistema real. Asimismo, se observan intervalos de congestión seguidos por periodos de recuperación, comportamiento consistente con la naturaleza aleatoria de los procesos de llegada y permanencia de los clientes.

Aunque la simulación no reproduce exactamente cada evento observado en la cafetería, sí conserva las características generales del sistema, incluyendo la formación de acumulaciones temporales de clientes y la variabilidad propia de la demanda. Estos resultados constituyen una evidencia adicional de que las distribuciones Weibull y Gamma seleccionadas representan adecuadamente el comportamiento global del sistema estudiado.

9 Resultados de la Simulación

Una vez ajustadas las distribuciones de probabilidad y estimados sus parámetros, se construyó un modelo de simulación del sistema de colas de la cafetería.

El modelo utiliza una distribución Weibull para representar los tiempos entre llegadas de los clientes y una distribución Gamma para modelar los tiempos de permanencia dentro del sistema. A partir de estas distribuciones se generaron observaciones sintéticas que permitieron reproducir el comportamiento general observado durante el periodo de estudio.

Los resultados obtenidos mediante simulación fueron comparados con los datos reales con el propósito de evaluar la capacidad del modelo para representar adecuadamente las características del sistema.

9.1 Resultados para los tiempos entre llegadas

Los resultados de la validación visual y estadística muestran que la distribución Weibull reproduce satisfactoriamente el comportamiento del proceso de llegadas.

La comparación entre los tiempos entre llegadas reales y simulados evidencia una elevada similitud en términos de media, dispersión y variabilidad relativa. Asimismo, ambas distribuciones presentan una marcada asimetría positiva y una concentración importante de observaciones en intervalos cortos de tiempo.

Los resultados permiten concluir que la distribución Weibull constituye una representación adecuada del proceso de llegadas observado en la cafetería.

9.2 Resultados para los tiempos de permanencia

La distribución Gamma seleccionada para modelar los tiempos de permanencia mostró un comportamiento consistente con los datos observados en el sistema real.

Las comparaciones visuales y estadísticas indicaron que la distribución simulada conserva la tendencia central, la dispersión y la asimetría observadas en los tiempos de permanencia originales. En consecuencia, el modelo logra reproducir adecuadamente las características fundamentales de esta variable.

Los resultados obtenidos respaldan la utilización de la distribución Gamma como representación probabilística del tiempo de permanencia de los clientes dentro del sistema.

10 Evaluación general del modelo

En términos generales, los resultados obtenidos demuestran que el modelo de simulación reproduce satisfactoriamente el comportamiento observado en la cafetería durante el periodo de estudio.

La utilización de distribuciones ajustadas a partir de datos reales permitió generar observaciones sintéticas con características estadísticas similares a las registradas en el sistema original. Tanto los procesos de llegada como los tiempos de permanencia fueron representados mediante modelos probabilísticos capaces de conservar los patrones identificados durante el análisis exploratorio y estadístico.

Por lo tanto, el modelo desarrollado puede utilizarse como una herramienta válida para estudiar el comportamiento del sistema y analizar escenarios futuros de operación.

11 Conclusiones

El presente trabajo permitió analizar, modelar y simular el comportamiento del sistema de colas de la cafetería de la Facultad de Economía a partir de datos reales obtenidos durante una jornada completa de operación.

Mediante el análisis exploratorio se identificó que la demanda del servicio no permanece constante a lo largo del día, sino que presenta periodos claramente definidos de alta y baja afluencia. Los mayores niveles de congestión se observaron principalmente durante los cambios de clase, especialmente alrededor de las 11:00, 13:00 y 15:00 horas, momentos en los que una gran cantidad de estudiantes acude simultáneamente a la cafetería. Asimismo, se detectaron periodos de menor actividad durante la tarde, particularmente alrededor de las 14:00 y 16:00 horas, comportamiento que puede atribuirse a la disminución de estudiantes presentes en las instalaciones durante el día de observación.

El análisis estadístico mostró que los tiempos de permanencia dentro del sistema presentan una media de 9.38 minutos y una variabilidad moderadamente alta, mientras que los tiempos entre llegadas presentan una variabilidad considerablemente mayor. Los resultados obtenidos evidenciaron que el comportamiento de las llegadas es mucho más irregular que el de los tiempos de permanencia, generando concentraciones temporales de clientes que provocan la formación de filas y aumentos significativos en la longitud de la cola.

A partir del proceso de ajuste de distribuciones se determinó que los tiempos entre llegadas son representados adecuadamente mediante una distribución Weibull, mientras que los tiempos de permanencia son descritos satisfactoriamente mediante una distribución Gamma. Ambas distribuciones fueron seleccionadas utilizando criterios estadísticos de bondad de ajuste y posteriormente validadas mediante comparaciones gráficas y descriptivas entre los datos observados y los datos simulados.

Con base en las distribuciones obtenidas se construyó un modelo de simulación capaz de reproducir las principales características del sistema real. Las comparaciones realizadas mostraron que las observaciones generadas mediante simulación conservan la tendencia central, la dispersión, la asimetría y la variabilidad observadas en los datos originales. Si bien la simulación no reproduce exactamente cada evento ocurrido durante la jornada de estudio, sí representa adecuadamente el comportamiento general del sistema y permite modelar de manera razonable su funcionamiento.

Uno de los hallazgos más relevantes del estudio fue la identificación de los periodos de mayor congestión. La longitud máxima de la cola se presentó durante el cambio de personal, momento en el que se registraron los mayores tiempos de permanencia y las mayores acumulaciones de clientes. Este resultado sugiere que el proceso de relevo del personal constituye uno de los principales factores operativos que afectan el desempeño del sistema. Por ello, se recomienda implementar mecanismos que permitan realizar cambios de turno de forma escalonada o mantener personal disponible durante el periodo de transición para evitar interrupciones temporales en la capacidad de atención.

Asimismo, el análisis realizado mostró que los incrementos más importantes en la demanda ocurren de manera recurrente al finalizar los bloques de clase. Debido a que las asignaturas tienen una duración aproximada de dos horas, la cafetería enfrenta periodos predecibles de alta demanda al término de cada bloque académico. En consecuencia, se recomienda anticipar la preparación de productos, reforzar temporalmente el personal disponible y organizar los recursos del sistema durante estos horarios específicos con el propósito de reducir la formación de filas y mejorar los tiempos de atención.

En términos generales, los resultados obtenidos demuestran que las herramientas de teoría de colas, estadística aplicada y simulación constituyen metodologías efectivas para el análisis de sistemas reales de servicio. El modelo desarrollado permitió identificar los factores que generan los mayores niveles de congestión, evaluar el comportamiento probabilístico del sistema y proponer estrategias de mejora operativa orientadas a incrementar la eficiencia del servicio y reducir los tiempos de espera de los usuarios.

Finalmente, el modelo construido puede utilizarse como base para futuros estudios orientados a evaluar escenarios alternativos de operación, analizar cambios en la asignación de personal y estimar el impacto de nuevas políticas de atención antes de implementarlas en el sistema real.

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