Semana 2: Operaciones básicas, jerarquía de operaciones, fracciones y decimales
Propósito de la clase
Esta sesión busca reforzar operaciones básicas y jerarquía de operaciones. Aunque parezcan contenidos escolares, son fundamentales para calcular porcentajes, tasas, variaciones, presupuestos y resultados electorales.
Al finalizar la clase, las y los estudiantes deberían poder:
- Resolver operaciones combinadas respetando la jerarquía.
- Trabajar con fracciones y decimales.
- Detectar errores frecuentes en cálculos simples.
- Aplicar operaciones básicas a situaciones de Ciencias Sociales.
Ustedes deciden…
- Tenemos $100 millones. No alcanza para todo… ¿Qué hacemos?
Tenemos 4 alternativas:
- Salud mental juvenil: $40 millones
- Vivienda: $50 millones
- Becas: $30 millones
- Seguridad: $35 millones
¿Qué financian?
¿Existe una respuesta correcta? Matemáticamente podemos determinar qué combinaciones son posibles. Pero la matemática no decide qué necesidad es más importante.
Antes de comenzar…
Una cifra:
12.500 personas
¿Es mucho?
Depende
- ¿12.500 respecto de qué?
- ¿Una comuna?
- ¿Una región?
- ¿Un país?
- ¿Una encuesta?
- ¿Una universidad?
- ¿Una elección?
Ahora tenemos contexto
Supongamos que un programa social incorporó:
12.500 nuevos beneficiarios durante 2026.
¿Ahora podemos decir que el aumento fue grande?
Todavía no.
Necesitamos conocer…
¿cuántas personas había antes?
Dos escenarios
Programa A
Antes: 15.000
Nuevos: +12.500
Programa B
Antes: 5.000.000
Nuevos: +12.500
El mismo número…
12.500 puede representar situaciones completamente distintas.
Primera idea de hoy
Una cantidad aislada contiene información limitada.
Para interpretarla necesitamos establecer: ¿respecto de qué estamos comparando?
Hoy aprenderemos a distinguir
- cantidades absolutas
- diferencias
- relaciones entre cantidades
- fracciones
- decimales
- resultados positivos y negativos
- orden de las operaciones.
Pero hay una idea más importante
Estudiaremos… qué pregunta responde cada operación.
Las cuatro operaciones
Sumar: ¿Cuánto tenemos en total?
Restar: ¿Cuál es la diferencia?
Multiplicar: ¿Qué ocurre cuando una cantidad se repite o escala?
Dividir: ¿Cómo se distribuye o compara una cantidad?
Pensemos en un caso
Un programa atiende personas en tres territorios:
| Territorio | Personas atendidas |
|---|---|
| A | 1.845 |
| B | 2.317 |
| C | 976 |
Primera pregunta
¿Cuántas personas fueron atendidas en total?
¿Qué operación necesitamos?
Una suma
Construimos la operación
\[ 1.845 + 2.317 + 976 \]
\[ =5.138 \]
¿Qué significa 5.138?
No basta con escribir:
5.138
La respuesta completa es:
El programa atendió a 5.138 personas en los tres territorios.
Cambiemos la pregunta
Con los mismos datos:
| Territorio | Personas atendidas |
|---|---|
| A | 1.845 |
| B | 2.317 |
| C | 976 |
¿Cuántas personas más fueron atendidas en B que en C?
Ahora no queremos un total
Queremos una… diferencia
\[ 2.317-976 \]
\[ =1.341 \]
Interpretación: El territorio B atendió 1.341 personas más que el territorio C.
Mismos datos
Distinta pregunta.
Distinta operación.
Antes de calcular, pregúntese:
¿Qué quiero saber?
No: “¿Qué fórmula debo usar?”
Sino: “¿Qué representa la pregunta?”
Un tercer problema
Un programa entrega un aporte de: $85.000
a cada una de: 240 personas
¿Cuánto dinero se necesita?
¿Qué estamos haciendo?
Tenemos una cantidad que se repite:
\[ 85.000+85.000+85.000+\cdots \]
240 veces.
Podemos expresarlo como:
\[ 85.000\times240 \]
Resultado
\[ 85.000\times240 = 20.400.000 \]
Por lo tanto:
El programa requiere $20.400.000 para financiar los 240 aportes.
Ahora invertimos el problema
Tenemos:
$20.400.000
para distribuir igualmente entre:
240 personas
¿Cuánto corresponde a cada persona?
División
\[ \frac{20.400.000}{240} \]
\[ =85.000 \]
Multiplicación y división
Son operaciones estrechamente relacionadas.
\[ 85.000\times240=20.400.000 \]
y
\[ 20.400.000\div240=85.000 \]
Una pausa
Hasta aquí hemos trabajado con resultados positivos.
Pero en Ciencias Sociales…
los números negativos también tienen significado.
Un presupuesto
Una institución registra:
| Concepto | Millones de pesos |
|---|---|
| Ingresos | 1.240 |
| Gastos | 1.315 |
Definimos:
\[ Balance=Ingresos-Gastos \]
Calculemos
\[ 1.240-1.315 \]
\[ =-75 \]
¿Qué significa −75?
¿Significa que existen…
“menos 75 millones”?
No exactamente.
El signo tiene significado
\[ Balance=-75 \]
significa:
Los gastos superaron los ingresos en $75 millones.
Si hubiese ocurrido lo contrario…
Ingresos:
\[ 1.315 \]
Gastos:
\[ 1.240 \]
Entonces:
\[ 1.315-1.240=75 \]
Podemos interpretar el signo
“+ = Superávit”
“0 = Equilibrio”
“- = Déficit”
Un resultado negativo no es necesariamente un error.
Puede representar:
- una disminución
- una deuda
- un déficit
- una pérdida
- una diferencia en sentido contrario
- una variación negativa.
El contexto determina el significado
\[ -75 \]
por sí solo dice poco.
Pero:
\[ Balance=-75\text{ millones} \]
contiene información interpretable.
Ahora pensemos en relaciones
Una encuesta contiene: 1.200 respuestas
De ellas: 780 corresponden a mujeres
¿Cómo podemos representar esa relación?
Una fracción
Podemos escribir:
\[ \frac{780}{1.200} \]
La parte está en el numerador.
El total está en el denominador.
En términos generales
\[ \frac{\text{parte}}{\text{total}} \]
nos permite expresar cuánto representa una parte respecto del conjunto.
Simplifiquemos
\[ \frac{780}{1.200} \]
Dividimos numerador y denominador por 60:
\[ \frac{13}{20} \]
Pero también podemos escribirlo como decimal
\[ \frac{780}{1.200} = 0,65 \]
¿Qué significa 0,65?
Significa que por cada unidad del total tenemos:
\[ 0,65 \]
de la característica estudiada.
También podemos escribir:
\[ 0,65=\frac{65}{100} \]
Y aquí aparece algo conocido…
\[ \frac{65}{100} \]
65%
Pero todavía no entraremos allí
Los porcentajes serán el centro de la próxima semana.
Hoy nos interesa comprender que:
\[ \frac{780}{1.200} = \frac{13}{20} = 0,65 \]
son distintas formas de representar la misma relación.
Fracciones y decimales
No son solamente operaciones escolares.
Nos permiten representar:
- partes de una población
- distribución de recursos
- composición de una muestra
- participación de grupos
- razones entre cantidades.
Fracciones y decimales
Una fracción expresa una parte de un total. Por ejemplo:
\[\frac{1}{4}\]
significa una de cuatro partes iguales. En decimal equivale a:
\[0,25\]
Y en porcentaje equivale a:
\[25\%\]
Estas tres formas representan la misma idea, pero se usan en contextos distintos.
Fracciones en problemas sociales
Si en un curso de 40 estudiantes, 10 trabajan además de estudiar, entonces:
\[\frac{10}{40} = \frac{1}{4} = 0,25 = 25\%\]
La interpretación es:
Una de cada cuatro personas del curso trabaja además de estudiar.
La matemática no termina en el cálculo. Lo importante es transformar el resultado en una frase comprensible.
Errores frecuentes
Algunos errores habituales son:
- Sumar porcentajes que tienen bases distintas.
- Dividir en el orden incorrecto.
- Olvidar paréntesis.
- Confundir número absoluto con proporción.
- Redondear demasiado pronto.
Ejemplo: si 300 personas de una comuna A y 300 personas de una comuna B votan, eso no significa la misma participación si una comuna tiene 500 habitantes y la otra 5.000.
Ejercicios guiados
Resolver en conjunto:
- \(15 + 5 \times 2\)
- \((15 + 5) \times 2\)
- \(30 \div 5 + 4\)
- \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\)
- \(0,2 + 0,35\)
Pensemos ahora en un estudio
Realizar una encuesta tiene:
Costo fijo: $450.000
más Costo por encuesta: $3.500
Se aplicarán: 200 encuestas
¿Cuánto costará el estudio?
Podemos representar el problema así:
\[ 450.000+3.500\times200 \]
¿Qué hacemos primero?
Opción A
\[ 450.000+3.500 \]
y luego multiplicamos por 200.
Opción B
\[ 3.500\times200 \]
y luego sumamos $450.000.
Probemos la opción A
\[ (450.000+3.500)\times200 \]
\[ =453.500\times200 \]
\[ =90.700.000 \]
Probemos la opción B
\[ 450.000+(3.500\times200) \]
\[ =450.000+700.000 \]
\[ =1.150.000 \]
¿Cuál representa el problema?
El costo fijo ocurre…
una sola vez.
Mientras que el costo de $3.500 ocurre…
200 veces.
Por eso:
\[ 450.000+(3.500\times200) \]
La jerarquía de operaciones
Existe para evitar interpretaciones ambiguas.
Orden convencional
\[ \boxed{ \text{Paréntesis} \rightarrow \text{Potencias} \rightarrow \text{Multiplicación y división} \rightarrow \text{Suma y resta} } \]
Algo que ustedes recuerdan como… PAPOMUDAS
- PA = Paréntesis
- PO = Potencia
- MU = Multiplicación
- D = División
- A = Adición
- S = Sustracción
Cuando dos operaciones tienen igual prioridad
- Multiplicación y división:
de izquierda a derecha
- Suma y resta:
de izquierda a derecha
Ejemplo
\[ 30\div5+6 \]
Primero:
\[ 30\div5=6 \]
Luego:
\[ 6+6=12 \]
Otro ejemplo
\[ 4^2+3\times2 \]
Primero:
\[ 4^2=16 \]
y
\[ 3\times2=6 \]
Finalmente:
\[ 16+6=22 \]
No se trata de memorizar una regla
La jerarquía permite que:
\[ 450.000+3.500\times200 \]
tenga un significado único.
Sin ella, una misma expresión podría producir respuestas diferentes.
Ahora integremos todo
Un estudio de opinión pública
Presupuesto disponible:
$18.500.000
Costo de diseño y preparación:
$4.250.000
Costo por encuesta aplicada:
$9.500
Número de encuestas:
1.200
Pregunta 1: ¿Cuál es el costo de aplicar las 1.200 encuestas?
¿Qué operación representa el problema?
\[ 9.500\times1.200 \]
Resolvemos
\[ 9.500\times1.200 = 11.400.000 \]
La aplicación de las encuestas cuesta $11.400.000.
Pregunta 2: ¿Cuál es el costo total del estudio?
Tenemos:
\[ 4.250.000 \]
de costos iniciales
más
\[ 11.400.000 \]
de aplicación.
Costo total
\[ 4.250.000+11.400.000 \]
\[ =15.650.000 \]
El estudio tiene un costo total de $15.650.000.
Pregunta 3: ¿Cuánto presupuesto queda disponible?
Presupuesto: 18.500.000
Costo: 15.650.000
Saldo 18.500.000-15.650.000
\[ =2.850.000 \]
Después de financiar el estudio quedan $2.850.000 disponibles.
Pregunta 4:¿Cuál es el costo promedio por encuesta?
Aquí necesitamos pensar.
¿Dividimos solamente el costo de aplicación?
¿O el costo completo del estudio?
Si queremos el costo total promedio…
\[ \frac{15.650.000}{1.200} \]
\[ \approx13.041,67 \]
Pero… Nos habían dicho que aplicar una encuesta costaba:
$9.500
- ¿Cómo puede ser que el costo promedio sea:
$13.041,67?
Porque existen costos fijos
Cada encuesta tiene un costo directo de:
\[ 9.500 \]
Pero el estudio también tiene:
\[ 4.250.000 \]
en costos de diseño y preparación.
Al distribuir esos costos…
\[ \frac{4.250.000}{1.200} \approx3.541,67 \]
Entonces:
\[ 9.500+3.541,67 \approx13.041,67 \]
Lo que aprendimos hoy
- Una cantidad necesita contexto.
- Cada operación responde una pregunta diferente.
- Los números negativos pueden tener significado sustantivo.
- Fracciones y decimales representan relaciones entre cantidades.
- La jerarquía de operaciones evita ambigüedades.
- Un resultado debe interpretarse.
Antes de irnos…
Una institución informa:
“Este año atendimos 3.200 personas más.”
¿Qué necesitarían saber antes de concluir que el programa tuvo un gran crecimiento?
Matemáticas para las Cs. Sociales I