Módulo 5: Probabilidad — Ejercicios de Práctica

Bioestadística Fundamental y Estadística Fundamental para las Ciencias de la Salud

Authors

Affiliations

Jose Miguel Leon Puentes

Universidad Nacional de Colombia

Johann David Sanchez Niño

Andrés Felipe Rache

Laura Camila Matheus Barrios

Brayan Stiven Martínez Rodríguez

Departamento de Estadística

Introducción

Este taller de refuerzo reúne 40 ejercicios extraídos del banco de ejercicios de monitoría basados en el Módulo 5: métodos de conteo, fundamentos de la probabilidad y las distribuciones de probabilidad discretas y continuas.

Ejercicio 1. Un etólogo estudia un numeroso grupo de babuinos en libertad. Observa que de los 150 animales del grupo, 5 tienen el pelo de un color extremadamente claro. ¿Cuál es la probabilidad de que la siguiente cría de babuino que nazca en el grupo porte esta coloración clara?

(Fuente: Rache, s.f.)

Ejercicio 2. De 140 trabajadores de la construcción sometidos a examen, 98 presentaban un número excesivo de astillas de amianto. ¿Cuál es la probabilidad de que uno de estos trabajadores seleccionado al azar tenga en los pulmones una cantidad indebida de astillas de amianto?

(Fuente: Rache, s.f.)

Ejercicio 3. En un banco de sangre hay cinco unidades disponibles de sangre del grupo A+. Una de ellas está erróneamente etiquetada y es, de hecho, del grupo O. Se selecciona aleatoriamente una de estas cinco unidades para llevar a cabo una transfusión. ¿Cuál es la probabilidad de que la unidad elegida sea la que ha sido erróneamente etiquetada?

(Fuente: Rache, s.f.)

Ejercicio 4. Un hombre es zurdo y su mujer diestra. La pareja tiene dos niños. Cada uno de ellos tiene exactamente la misma probabilidad de ser zurdo que de ser diestro. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos sean zurdos?

(Fuente: Rache, s.f.)

Ejercicio 5. Un médico tiene cuatro pacientes en la sala de espera. Uno de los casos es una urgencia, pero el paciente no se lo dice al médico.

¿De cuántas maneras distintas pueden atenderse estos pacientes?
¿De cuántas de estas maneras se atenderá primero al de la urgencia?
Si el orden se selecciona aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que el caso de urgencia sea atendido en primer lugar?

(Fuente: Rache, s.f.)

Ejercicio 6. Se ponen a prueba siete fármacos para descubrir su grado de eficacia contra el acné. Se pide a un investigador que ordene los fármacos de 1 a 7; el fármaco más eficaz recibirá el valor 1.

¿De cuántas maneras pueden asignarse los siete valores a los siete fármacos?
El fármaco D ha sido fabricado por la compañía interesada en la prueba, lo cual es desconocido por el investigador. Si se da el hecho de que éste no pueda establecer distinción alguna entre los productos y realmente asigna a cada fármaco un valor aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que el fármaco D reciba la valoración más alta?

(Fuente: Rache, s.f.)

Ejercicio 7. Un investigador tiene ocho plantas para experimentar con ellas. Se están investigando dos regímenes de riego diferentes: agua corriente (T) y agua ligeramente ácida (A), para simular la lluvia ácida. Cuatro plantas reciben agua corriente y el resto la solución ácida. Una asignación típica de los tratamientos a las plantas es ATTTAATA. ¿Cuántas asignaciones posibles hay?

(Fuente: Rache, s.f.)

Ejercicio 8. Se está preparando un nuevo compuesto para ayudar a reducir la sequedad de la piel. Se pide a quince mujeres, de aproximadamente la misma edad y con el mismo tipo de piel, que tomen parte en un experimento comparativo. Se seleccionan siete de ellas aleatoriamente y se les pide que se apliquen el producto en las manos durante dos semanas. El resto de las mujeres constituye el grupo control. Al final del experimento, se pide a un juez imparcial que escoja a las siete mujeres cuyas manos estén en mejores condiciones. Si, de hecho, el tratamiento no ha tenido ningún efecto:

¿Cuál es la probabilidad de que el juez seleccione por casualidad a las siete mujeres sobre las que se ha aplicado el compuesto experimental?
¿Cuál es la probabilidad de que se seleccionen cinco de las siete mujeres sobre las que se ha aplicado el compuesto experimental?

(Fuente: Rache, s.f.)

Ejercicio 9. Se dispone de un grupo de 12 pacientes para un determinado estudio. Se seleccionará a cinco de ellos con el fin de someterlos a un tratamiento experimental; los otros siete recibirán el tratamiento estándar y constituirán el grupo control.

¿De cuántas formas se puede seleccionar el grupo control?
¿Cuál es la probabilidad de que un individuo concreto A sea seleccionado para el grupo control?

(Fuente: Rache, s.f.)

Ejercicio 10. En el animalario de un laboratorio, un científico tiene seis jaulas diferentes de ratas blancas. Entre estas jaulas, dos contienen algunas ratas enfermas.

¿Cuál es la probabilidad de que, en una selección aleatoria de tres jaulas, ninguna con animales enfermos sea seleccionada?
¿Cuál es la probabilidad de que exactamente una de las jaulas con animales enfermos sea seleccionada?

(Fuente: Rache, s.f.)

Ejercicio 11. Un bosque contiene 25 ardillas de una especie rara, cinco de las cuales son capturadas, marcadas y liberadas. Después de algún tiempo, el investigador captura seis animales de esa misma especie y cuenta el número de animales marcados. ¿Cuál es la probabilidad de que dos de los capturados en la segunda ocasión estén marcados?

(Fuente: Rache, s.f.)

Ejercicio 12. Un químico tiene 10 muestras de agua tomadas de las aguas residuales de una fábrica de papel. Sin saberlo el químico, cuatro de las muestras son excesivamente ácidas. En una selección aleatoria de tres muestras, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente dos sean en exceso ácidas?

(Fuente: Rache, s.f.)

Ejercicio 13. El proyecto Delta es un proyecto para determinar si en Alaska tendría éxito una producción agrícola a gran escala. En este proyecto se seleccionan 22 personas de un grupo de 103 candidatos especializados y se les concede el derecho de adquirir parcelas de terreno para trabajar con fines agrícolas.

¿De cuántas maneras distintas pueden seleccionarse las 22 personas?
Si el proceso de selección se realiza aleatoriamente y su nombre está en el grupo de candidatos, ¿cuál es la probabilidad de que se le otorgue el derecho de adquirir tierras?

(Fuente: Rache, s.f.. Basado en la información de «Expanding Subartic Agriculture», Interdisciplinary Science Reviews, vol. 7, núm. 3, 1982, págs. 178-187)

Ejercicio 14. Supongamos que \(P[A_1\cap A_2]=0{,}04\), \(P[A_1]=0{,}06\), \(P[A_2]=0{,}10\). Hallar:

\(P[A_1 \cup A_2]\)
\(P[A_1 \cap A_2']\)
\(P[A_1' \cap A_2]\)
\(P[A_1' \cap A_2']\)

(Fuente: Rache, s.f.)

Ejercicio 15. Estudios sobre la depresión muestran que la aplicación de un determinado tratamiento mejora el estado del 72 % de aquellas personas sobre las que se aplica, no produce efecto alguno en un 10 %, y empeora el estado del resto. Se trata a un paciente que sufre de depresión, por estos medios:

¿Cuál es la probabilidad de que empeore?
¿Cuál es la probabilidad de que el tratamiento no vaya en detrimento de su estado?

(Fuente: Rache, s.f.)

Ejercicio 16. Se estima que el 30 % de los habitantes de Estados Unidos son obesos (\(A_1\)) y que el 3 % sufre diabetes (\(A_2\)). El 2 % es obeso y padece de diabetes. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona aleatoriamente elegida sea obesa o sufra diabetes?

(Fuente: Rache, s.f.)

Ejercicio 17. Tratando a bebés prematuros, la cantidad de oxígeno recibido puede afectar a su visión. Se puede categorizar a cada niño tratado como de visión normal, de lesión media, de lesión moderada, de lesión grave o ciego. Un estudio muestra que la probabilidad de que ocurra cada uno de estos sucesos es de 0.80, 0.10, 0.06 y 0.02, respectivamente.

Determinar la probabilidad de que un niño nazca con visión defectuosa.
Determinar la probabilidad de que un niño nazca con visión normal.

(Fuente: Rache, s.f.)

Ejercicio 18. Un químico analiza muestras de agua de mar para detectar la presencia de dos metales pesados: plomo y mercurio. Encuentra que el 38 % de las muestras tomadas en las proximidades de la desembocadura de un río en cuyas orillas se localizan numerosas plantas industriales tiene niveles tóxicos de plomo o de mercurio, y que el 32 % tiene nivel tóxico de plomo. De estas muestras, el 10 % contiene un nivel alto de ambos metales.

¿Cuál es la probabilidad de que una muestra dada contenga un alto nivel de mercurio?
¿Cuál es la probabilidad de que una muestra dada contenga solamente plomo?

(Fuente: Rache, s.f.)

Ejercicio 19. El suero de una mujer embarazada puede ser analizado por medio de un procedimiento llamado electroforesis en gel de almidón. Este procedimiento permite detectar la presencia de una zona proteínica llamada zona de embarazo, la cual se supone que es un indicador de que el niño es una hembra. Para investigar las propiedades de este test se seleccionaron 300 mujeres para su estudio. En la siguiente tabla se dan los resultados del test y los sexos de los niños nacidos:

Zona de embarazo	Varón (realidad −)	Mujer (realidad +)	Total
Presente (test +)	51	78	129
Ausente (test −)	96	75	171
Total	147	153	300

Halle la especificidad del procedimiento.
Halle la sensibilidad del procedimiento.

(Fuente: Rache, s.f.)

Ejercicio 20. Se sometió a 100 pacientes y 75 sujetos normales a un test de diagnóstico de la orina. En un 60 % de los casos, el diagnóstico fue positivo. Hubo también ocho falsos negativos. ¿Cuál es el coeficiente de falsos positivos aproximado?

(Fuente: Rache, s.f.)

Ejercicio 21. Se ha realizado un estudio de una técnica de inmunoensayo de enlace de enzimas (EIA) para examinar a donantes de sangre con el fin de detectar anticuerpos frente al VIH. Los sujetos se someten a la técnica EIA, y la presencia o ausencia de anticuerpos se confirma en una fecha posterior. En la siguiente tabla se proporcionan los datos:

Test EIA	Anticuerpos ausentes (−)	Anticuerpos presentes (+)
+	1000	30
−	98 969	1

El total de sujetos estudiados es 100 000.

Halle el valor predictivo positivo del test EIA.
Halle el valor predictivo negativo del test EIA.

(Fuente: Rache, s.f.)

Ejercicio 22. Se estima que entre la población total de Estados Unidos, el 55 % padece obesidad (\(A_1\)), el 20 % es hipertenso (\(A_2\)) y el 60 % es obeso o hipertenso. ¿Es, de hecho, independiente el que una persona sea obesa de que padezca hipertensión?

(Fuente: Rache, s.f.)

Ejercicio 23. Se estima que en Estados Unidos la probabilidad de que una madre muera durante el parto es 0,00022. Si no es de raza negra, la probabilidad de muerte es 0,00017, mientras que si lo es, esta probabilidad aumenta a 0,00064. Supongamos que el 10 % de los partos corresponde a mujeres negras.

Dibujar un diagrama de árbol describiendo las probabilidades dadas, y hallar las probabilidades correspondientes a las trayectorias en cada uno de los cuatro casos. (Sea \(D\) el suceso que denota que la madre muere y \(B\) el que alude a que es de raza negra.)
Haciendo uso del teorema de Bayes, hallar la probabilidad de que una madre que muere en el parto sea de raza negra.

(Fuente: Rache, s.f.)

Ejercicio 24. Un test diseñado para diagnosticar el cáncer de cuello uterino tiene un coeficiente de falsos negativos y falsos positivos de 0.05, cada uno. De una cierta población de mujeres, el 4 % está afectada por este tipo de cáncer. ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer de la población elegida aleatoriamente tenga cáncer de cuello uterino, dado que su resultado con el test es positivo?

(Fuente: Rache, s.f.)

Ejercicio 25. Se cree que la distribución de los grupos sanguíneos en Estados Unidos en la Segunda Guerra Mundial era: tipo A, 41 %; tipo B, 9 %; tipo AB, 4 %; y tipo O, 46 %. Se estima que en esa época, el 4 % de las personas pertenecientes al tipo O fue clasificado como del tipo A; el 88 % de los del tipo A fue correctamente clasificado; el 4 % de los del tipo B se clasificó como del tipo A, y el 10 % de los del tipo AB fue, igualmente, clasificado como del tipo A. Un soldado fue herido y conducido a la enfermería. Se le clasificó con el tipo A. ¿Cuál es la probabilidad de que tal grupo sea ciertamente el suyo?

(Fuente: Rache, s.f.)

Ejercicio 26. Sea \(X \sim Bin(10; 0{,}4)\), hallar:

\(P[X \le 4]\)
\(P[X < 4]\)
\(P[X = 4]\)
\(P[X \le 5]\)
\(P[X > 6]\)
\(P[3 \le X \le 6]\)
\(P[4 \le X \le 7]\)
\(P[3 < X < 6]\)

(Fuente: Rache, s.f.)

Ejercicio 27. Para estudiar la regulación hormonal de una línea metabólica, se inyecta a ratas albinas un fármaco que inhibe la síntesis de proteínas del organismo. En general, 4 de cada 20 ratas mueren a causa del fármaco antes de que el experimento haya concluido. Si se trata a 10 animales con el fármaco, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 8 lleguen vivos al final del experimento?

(Fuente: Rache, s.f.)

Ejercicio 28. Una compañía de petróleos dispone de diez tanques distribuidos a lo largo de una extensa área del Golfo de México. Los oficiales creen que, en condiciones normales, cada tanque tiene sólo un 1 % de posibilidades de tener una pérdida de petróleo en todo el año. Sea \(X\) el número de tanques que han experimentado pérdidas durante el año. Hallar \(E[X]\), \(Var[X]\).

(Fuente: Rache, s.f.)

Ejercicio 29. Una variable aleatoria Poisson \(X\) tiene parámetro \(\lambda = 10\).

Hallar \(E[X]\).
Calcular \(P[X \le 4]\).
Hallar \(P[X \ge 6]\).
Calcular \(P[4 \le X \le 12]\).
Hallar \(P[X = 9]\).

(Fuente: Rache, s.f.)

Ejercicio 30. En el estudio del sueño en los seres humanos se reconocen cinco fases (somnolencia, ligero, intermedio, profundo, REM) por medio del electroencefalograma. El sueño intermedio se caracteriza por la presencia de ondas de gran amplitud, que aparecen en un promedio de alrededor de dos ondas por segundo.

¿Cuál es la probabilidad de que, durante un sueño intermedio, no se presente ninguna de estas ondas durante un período de cinco segundos?
¿Cuál es la probabilidad de que aparezca un máximo de 15 de tales ondas en un período de cinco segundos?

(Fuente: Rache, s.f.)

Ejercicio 31. En una cierta población, se ha observado un número medio anual de muertes por cáncer de pulmón de 12. Si el número de muertes causadas por la enfermedad sigue una distribución de Poisson, ¿cuál es la probabilidad de que durante el año en curso:

¿Haya exactamente diez muertes por cáncer de pulmón?
¿Quince personas o más mueran a causa de la enfermedad?
¿Diez personas o menos mueran a causa de la enfermedad?

(Fuente: Rache, s.f.)

Ejercicio 32. Sea \(X \sim HG(n=10, N=20, M=8)\), hallar:

\(P[X \le 2]\)
\(P[X < 4]\)
\(P[X = 5]\)
\(P[3 \le X \le 6]\)
\(P[X \ge 6]\)
\(P[4 \le X \le 7]\)
\(P[3 < X < 6]\)

(Fuente: Rache, s.f.)

Ejercicio 33. En un grupo de 10 pollos que serán sometidos a un experimento, tres de ellos presentan una enfermedad congénita. Encontrar la probabilidad de que al seleccionar cinco animales, al menos uno de ellos padezca la enfermedad congénita.

(Fuente: Rache, s.f. Referencia bibliográfica original: [6, pág. 105])

Ejercicio 34. El plomo, como muchos otros elementos, está presente en el medio natural. La revolución industrial y la llegada del automóvil han incrementado la cantidad de plomo en el medio hasta el punto de que, en algunos individuos, la concentración de plomo puede alcanzar niveles peligrosos. Sea \(X\) la concentración de plomo en partes por millón en la corriente sanguínea de un individuo. Supongamos que \(X\) es una variable normal con media 0,25 y desviación típica 0,11. Una concentración superior o igual a 0,6 partes por millón se considera extremadamente alta. ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo seleccionado aleatoriamente esté incluido en esta categoría?

(Fuente: Rache, s.f.)

Ejercicio 35. La almeja roja es un importante producto procedente de las costas de Virginia. Varios trabajos han sido desarrollados para estimar el tamaño de la población y para determinar las propiedades físicas y reproductoras de estas almejas. Un estudio reciente ha puesto de manifiesto que la variable aleatoria \(H\), altura de la almeja, se distribuye aproximadamente según la curva normal con una media de 20.3 mm y una desviación típica de 1.4 mm. ¿Cuál es la probabilidad de que la siguiente almeja que se encuentre tenga una altura mayor a 23 mm?

(Fuente: Rache, s.f. Basado en la información encontrada en «Population Structure of the Arkshell Clams», de Katherine McGraw y Sally Dennis, Departamento de Biología, Universidad de Radford, y Michael Castagna, Instituto de Ciencias Marinas de Virginia, College de William y Mary, 1996, artículo técnico preparado para la Administración Nacional Oceánica y Atmosférica: Servicio Nacional de Pesca Marina)

Ejercicio 36. Entre los diabéticos, a la glucemia en ayunas puede suponérsele una distribución aproximadamente normal con media 106 mg/100 mL y desviación típica 8 mg/100 mL.

Calcular \(P[X < 120 \text{ mg}/100\text{ mL}]\).
¿Qué porcentaje de diabéticos tendrá niveles entre 90 y 120 mg/100 mL?
Calcular \(P[106 < X < 110]\).
Calcular \(P[X > 121 \text{ mg}/100\text{ mL}]\).
Encontrar un punto \(x_0\) tal que el 25 % de los diabéticos tenga una glucemia en ayunas \(X\) por debajo de él.

(Fuente: Rache, s.f.)

Ejercicio 37. La compañía Precision Scientific Instrument fabrica termómetros que se supone que dan lecturas de 0 °C en el punto de congelación del agua. Las pruebas en una muestra grande de estos instrumentos revelan que en el punto de congelación del agua, algunos termómetros dan lecturas por debajo de 0 (denotadas por números negativos) y otros dan lecturas por encima de 0 (denotadas por números positivos). Supongamos que la lectura media es 0 °C y que la desviación estándar de las lecturas es 1 °C. También supongamos que las lecturas están distribuidas normalmente. Si se selecciona un termómetro al azar, encuentra la probabilidad de que, en el punto de congelación del agua, la lectura sea menor que 1,58 °C.

(Fuente: Rache, s.f.)

Ejercicio 38. Se asume que los adultos tienen puntajes de coeficiente intelectual que se distribuyen normalmente con una media de 100 y una desviación estándar de 15 (según el test de Wechsler).

Encuentra la probabilidad de que un adulto seleccionado al azar tenga un coeficiente intelectual inferior a 130.
Encuentra la probabilidad de que un adulto seleccionado al azar tenga un coeficiente intelectual mayor que 131.5 (el requisito para ser miembro de la organización Mensa).
Encuentra la probabilidad de que un adulto seleccionado al azar tenga un coeficiente intelectual entre 90 y 110 (referido como el rango normal).
Encuentra la probabilidad de que un adulto seleccionado al azar tenga un coeficiente intelectual entre 110 y 120 (referido como normal brillante).
Encuentra \(P_{10}\), que es el puntaje de coeficiente intelectual que separa el 10 % inferior del 90 % superior.
Encuentra \(P_{60}\), que es el puntaje de coeficiente intelectual que separa el 60 % inferior del 40 % superior.
Encuentra el puntaje de coeficiente intelectual que separa el 35 % superior de los demás.
Encuentra el puntaje de coeficiente intelectual que separa el 85 % superior de los demás.

(Fuente: Rache, s.f.)

Ejercicio 39. Se sabe que el peso de los niños de 1 año de edad sigue (aproximadamente) una distribución \(N(7, 2^2)\) (en kg).

Calcula un intervalo centrado que cubra el peso del 95 % de los niños de 1 año.
Si acude a la clínica de un pediatra una madre con un niño de 1 año que pesa 10.5 kg, ¿en qué percentil se encuentra el niño en cuanto a peso?, es decir, ¿qué porcentaje de niños de esa edad pesa menos que él?
Calcula un intervalo centrado que contenga el 99 % de los valores del peso de niños de un año.
¿Qué porcentaje de niños de 1 año pesa menos de 3.5 kg?
¿Qué porcentaje de niños de 1 año pesa más de 4.5 kg?
¿Qué porcentaje de niños de 1 año pesa entre 6 y 8 kg?
¿Qué porcentaje de niños de 1 año pesa entre 8 y 9 kg?

(Fuente: Rache, s.f.)

Ejercicio 40. Un fitomejorador desea controlar la variabilidad de los brotes comerciales de espárrago, ya que las normas de embalaje establecen una longitud máxima de cajas de 23.5 cm. Suponiendo que la longitud de los brotes de este cultivo se distribuye normalmente, con una esperanza igual a 21 cm, ¿cuál debería ser el valor de la desviación estándar del carácter longitud del brote, para que la probabilidad de que existan espárragos que no puedan ser embalados no sea mayor a 0.05?

(Fuente: Rache, s.f.)

Referencias

Rache, A. F. (s.f.) - Solucionario Banco de Ejercicios – Bioestadística Fundamental [documento de monitoría]. Departamento de Estadística, Universidad Nacional de Colombia.
Interdisciplinary Science Reviews. (1982). Expanding Subartic Agriculture. Vol. 7, Núm. 3.
McGraw, K. A., & Dennis, R. (Radford University); Castagna, M. (Virginia Institute of Marine Science). (1996). Population Structure of the Arkshell Clams.