Unidad 1. Muestreo
Fundamentos, diseño, selección de muestras y aplicaciones en R
Luis Alejandro Ferro Alfonso
Introducción al muestreo
¿Por qué realizar un muestreo?
Cuando una organización necesita información para tomar decisiones, surge una pregunta aparentemente sencilla:
¿Debemos estudiar a todos los elementos de la población o basta con analizar una parte de ellos?
En principio, podría pensarse que estudiar a toda la población es la mejor alternativa. Si se desea conocer la opinión de todos los clientes de una empresa, el comportamiento de todos sus empleados o la calidad de toda la producción, parecería lógico observar cada uno de los elementos involucrados.
Sin embargo, en la práctica, estudiar a toda la población no siempre es posible ni conveniente. En muchos casos, realizar una enumeración completa o censo puede ser demasiado costoso, lento, complejo o incluso destructivo.
Por esta razón surge el muestreo, una de las herramientas fundamentales de la Estadística Inferencial.
El muestreo consiste en seleccionar una parte de la población con el propósito de obtener información que permita describir o inferir las características del conjunto completo.
La idea puede parecer arriesgada al principio:
¿Cómo es posible conocer las características de miles o millones de elementos observando solamente una parte de ellos?
La respuesta depende de la forma como se seleccione la muestra.
Una muestra no debe escogerse únicamente por comodidad. Para que los resultados puedan utilizarse con confianza, la muestra debe representar adecuadamente las características relevantes de la población.
Cuando la selección se realiza mediante un procedimiento apropiado, una muestra relativamente pequeña puede proporcionar información suficientemente precisa para apoyar la toma de decisiones.
Censo y muestra
Un censo consiste en observar, medir o consultar a todos los elementos que conforman una población.
Una muestra corresponde a una parte de la población seleccionada para su estudio.
La diferencia principal puede resumirse de la siguiente manera:
| Característica | Censo | Muestra |
|---|---|---|
| Elementos estudiados | Toda la población | Una parte de la población |
| Costo | Generalmente alto | Generalmente menor |
| Tiempo requerido | Alto | Menor |
| Organización | Compleja | Más manejable |
| Error muestral | No existe | Puede existir |
| Error de medición | Puede existir | Puede existir |
| Aplicación en pruebas destructivas | No recomendable | Apropiada |
| Posibilidad de repetición | Limitada | Mayor |
Un censo elimina el error que aparece por observar solamente una parte de la población. Sin embargo, no elimina otros errores como:
- respuestas incorrectas;
- registros duplicados;
- elementos omitidos;
- preguntas mal formuladas;
- errores de digitación;
- falta de respuesta;
- clasificación incorrecta de los datos.
Por tanto, estudiar toda la población no garantiza automáticamente un resultado perfecto.
Razones para utilizar una muestra
Las organizaciones recurren al muestreo por diferentes razones.
Razones económicas
Estudiar toda la población puede exigir una inversión considerable en:
- personal;
- desplazamientos;
- llamadas;
- formularios;
- plataformas;
- procesamiento;
- almacenamiento;
- supervisión;
- análisis de la información.
Una muestra permite concentrar los recursos en un grupo más pequeño y controlar mejor la calidad del proceso.
Razones temporales
En muchas decisiones administrativas, la información debe obtenerse rápidamente.
Una empresa que necesita ajustar el precio de un producto no puede esperar varios meses para conocer la opinión de todos sus clientes.
Una muestra permite obtener resultados en un tiempo compatible con la decisión que debe tomarse.
Razones operativas
Algunas poblaciones están distribuidas en diferentes ciudades, sucursales, regiones o canales.
Localizar y contactar a todos sus elementos puede resultar logísticamente muy complejo.
Pruebas destructivas
En ciertos procesos de control de calidad, la medición destruye el objeto analizado.
Por ejemplo:
- evaluar la duración de una batería;
- comprobar la resistencia de una pieza;
- analizar la vida útil de un bombillo;
- realizar pruebas microbiológicas;
- verificar la resistencia de un material.
En estas situaciones, analizar toda la población significaría destruir toda la producción.
Poblaciones muy grandes o continuas
Algunos procesos generan nuevas observaciones permanentemente:
- llamadas telefónicas;
- transacciones bancarias;
- compras en línea;
- tiempos de espera;
- unidades producidas;
- visitas a una página web.
En estos casos, la población puede considerarse conceptualmente infinita y un censo resulta imposible.
Ejemplos de aplicación
Ejemplo 1. Control de calidad en una empresa de alimentos
Una empresa produce diariamente 48.000 envases de yogur. Cada envase debe contener un peso neto de 200 gramos.
El departamento de calidad desea verificar si la máquina llenadora está funcionando correctamente.
Una posibilidad sería pesar los 48.000 envases producidos durante el día. Sin embargo, esta alternativa presenta varios inconvenientes:
- se necesitaría detener parcialmente la producción;
- sería necesario disponer de personal durante toda la jornada;
- el proceso de inspección sería costoso;
- algunas verificaciones adicionales requerirían abrir los envases;
- los productos abiertos ya no podrían venderse;
- los resultados podrían estar disponibles demasiado tarde para corregir la máquina.
Por esta razón, la empresa decide seleccionar 300 envases distribuidos a lo largo de la jornada.
Sobre esta muestra se calculan:
- el peso promedio;
- la desviación estándar;
- el porcentaje de envases con menos de 200 gramos;
- el porcentaje de envases por fuera de las especificaciones.
En este estudio:
- la población está formada por los 48.000 envases producidos durante el día;
- la muestra está formada por los 300 envases seleccionados;
- la unidad de análisis es cada envase;
- la variable principal es el peso neto del producto.
La empresa no necesita conocer individualmente el peso de cada envase. Su verdadero interés consiste en responder preguntas como:
- ¿Cuál es el peso promedio de la producción?
- ¿La máquina está entregando menos producto del especificado?
- ¿Existe demasiada variabilidad?
- ¿Es necesario detener y ajustar la máquina?
La información obtenida en la muestra permite tomar decisiones sobre toda la producción.
Pregunta de reflexión
Suponga que los 300 envases se seleccionan únicamente durante los primeros diez minutos de producción.
¿Considera que la muestra representaría adecuadamente toda la jornada?
Probablemente no. La máquina puede cambiar su comportamiento durante el día debido a:
- temperatura;
- desgaste;
- ajustes;
- cambios de turno;
- variaciones en la materia prima;
- mantenimiento.
Por esta razón, además del tamaño de la muestra, es importante considerar cómo y cuándo se seleccionan los elementos.
Ejemplo 2. Encuesta de satisfacción en una universidad
Una universidad tiene 21.500 estudiantes matriculados y desea conocer su nivel de satisfacción con los servicios institucionales.
La administración considera inicialmente enviar una encuesta a todos los estudiantes.
Suponga que responder el cuestionario requiere aproximadamente 12 minutos.
El tiempo total solicitado a los estudiantes sería:
\[ 21.500 \times 12 = 258.000 \text{ minutos} \]
Al convertir este resultado a horas:
\[ \frac{258.000}{60}=4.300 \text{ horas} \]
Esto significa que, en conjunto, los estudiantes dedicarían 4.300 horas a responder el cuestionario.
Además, la universidad tendría que asumir actividades como:
- diseñar y validar el instrumento;
- enviar las invitaciones;
- realizar recordatorios;
- revisar respuestas incompletas;
- eliminar registros duplicados;
- depurar inconsistencias;
- analizar la información;
- redactar el informe final.
Después de evaluar estas condiciones, la universidad decide seleccionar una muestra de 1.000 estudiantes.
En este caso:
\[ \frac{1.000}{21.500}\times100=4,65\% \]
La muestra representa aproximadamente el 4,65 % de la población estudiantil.
Sin embargo, este porcentaje por sí solo no garantiza que la muestra sea adecuada.
La universidad debe procurar que estén representados:
- todos los programas académicos;
- las diferentes facultades;
- estudiantes presenciales y virtuales;
- jornadas diurnas y nocturnas;
- distintos semestres;
- diferentes sedes.
Si la muestra se seleccionara únicamente entre estudiantes presenciales de primer semestre, los resultados no representarían adecuadamente a toda la universidad.
Conclusión del ejemplo
El objetivo del muestreo no es estudiar menos personas por simple comodidad.
El verdadero propósito es obtener información confiable utilizando de manera eficiente los recursos disponibles.
Una buena muestra debe equilibrar:
- costo;
- tiempo;
- precisión;
- representatividad;
- viabilidad operativa.
Síntesis conceptual
Los ejemplos anteriores muestran que el muestreo es necesario cuando estudiar toda la población resulta:
- demasiado costoso;
- demasiado lento;
- operacionalmente complejo;
- destructivo;
- innecesario;
- o imposible.
La relación general puede representarse así:
POBLACIÓN
│
│ Selección de una parte
▼
MUESTRA
│
│ Recolección y análisis
▼
ESTADÍSTICAS MUESTRALES
│
│ Inferencia
▼
CONCLUSIONES SOBRE LA POBLACIÓNLa calidad de las conclusiones depende de la calidad de la muestra.
Una muestra grande mal seleccionada puede producir peores resultados que una muestra pequeña correctamente diseñada.
Ejercicios propuestos
Ejercicio 1. Empresa de telefonía móvil
Una empresa de telefonía móvil posee 850.000 clientes activos y desea estimar el porcentaje de usuarios satisfechos con su servicio de internet.
Responda:
- ¿Cuál es la población del estudio?
- ¿Cuál sería la unidad de análisis?
- ¿Considera conveniente realizar un censo? Justifique.
- Mencione al menos cuatro dificultades que aparecerían si se intentara entrevistar a todos los clientes.
- Explique tres ventajas de utilizar una muestra.
- ¿Qué grupos de clientes deberían estar representados en la muestra?
Ejercicio 2. Producción de botellas
Una fábrica produce diariamente 95.000 botellas de agua.
El laboratorio de calidad propone analizar 450 botellas seleccionadas durante la jornada.
Responda:
- ¿Cuál es la población?
- ¿Cuál es la muestra?
- ¿Cuál es la unidad de análisis?
- ¿Por qué no sería conveniente analizar las 95.000 botellas?
- ¿Qué podría ocurrir si las 450 botellas se seleccionaran únicamente al iniciar la jornada?
- Proponga una forma más adecuada de distribuir la selección durante el día.
Ejercicio 3. Comercio electrónico
Una empresa de comercio electrónico desea estimar el tiempo promedio de entrega de los pedidos realizados durante el último semestre.
La empresa decide analizar una muestra de órdenes de compra.
Responda:
- ¿Cuál es la población del estudio?
- ¿Cuál es la unidad de análisis?
- ¿Qué variable debería medirse?
- ¿Por qué podría utilizarse una muestra en lugar de revisar todos los pedidos?
- ¿Qué condiciones debería cumplir la muestra?
- ¿Qué sesgo podría aparecer si solo se analizaran pedidos entregados en una ciudad?
- ¿Qué problemas surgirían si únicamente se seleccionaran pedidos entregados a tiempo?
Muestreo aleatorio o probabilístico
Hasta este punto hemos establecido que una muestra es una parte de la población seleccionada con el propósito de obtener información sobre el conjunto completo.
Sin embargo, seleccionar una parte de la población no garantiza que se haya construido una buena muestra.
Suponga que una empresa desea conocer la satisfacción de sus clientes y decide entrevistar a las primeras 300 personas que ingresen a una de sus sucursales un lunes en la mañana. Aunque se obtendrán 300 respuestas, el procedimiento presenta limitaciones importantes:
- los clientes digitales no pueden ser seleccionados;
- los usuarios de otras sucursales quedan excluidos;
- los clientes que visitan la empresa en otros horarios no participan;
- las personas que no realizan trámites presenciales no tienen oportunidad de aparecer;
- determinados tipos de clientes podrían quedar sobrerrepresentados.
Existe una muestra, pero no se conoce con claridad la oportunidad que tenía cada integrante de la población de formar parte de ella.
El problema no consiste únicamente en cuántas personas fueron entrevistadas. El verdadero problema está en cómo fueron seleccionadas.
El muestreo aleatorio, también denominado muestreo probabilístico, busca resolver esta dificultad mediante procedimientos de selección basados en el azar.
En una muestra probabilística se conocen, o al menos pueden calcularse, las probabilidades de inclusión de los elementos de la población. Esto permite evaluar de manera objetiva el proceso de selección y construir inferencias sobre la población.
¿Qué es el muestreo probabilístico?
El muestreo probabilístico es un conjunto de procedimientos en los cuales la selección de las unidades se realiza mediante un mecanismo aleatorio conocido.
Para que un diseño pueda considerarse probabilístico, debe cumplir al menos las siguientes condiciones:
- La población debe estar definida.
- Las unidades que pueden ser seleccionadas deben estar identificadas.
- El mecanismo de selección debe incorporar el azar.
- Cada elemento debe tener una probabilidad conocida de inclusión.
- Ningún elemento elegible debe tener probabilidad igual a cero.
Si representamos mediante \(\pi_i\) la probabilidad de que la unidad \(i\) sea incluida en la muestra, podemos escribir:
\[ \pi_i=P(i\in s) \]
donde:
- \(i\) representa un elemento de la población;
- \(s\) representa la muestra;
- \(P(i\in s)\) es la probabilidad de que el elemento \(i\) pertenezca a la muestra.
La probabilidad de inclusión no necesariamente debe ser igual para todos los elementos.
En el muestreo aleatorio simple, todos tienen la misma probabilidad. En otros diseños, como el muestreo estratificado no proporcional, ciertos grupos pueden seleccionarse con mayor intensidad. Lo fundamental es que las probabilidades sean conocidas y que el procedimiento pueda explicarse y reproducirse.
Selección aleatoria no significa selección improvisada
En el lenguaje cotidiano, la expresión “escoger al azar” se utiliza a veces para describir una elección espontánea:
“Tomé algunos registros al azar de la base”.
Esta afirmación no demuestra que se haya aplicado un procedimiento aleatorio.
Por ejemplo, no existe verdadera aleatoriedad cuando se seleccionan:
- las primeras filas de una base;
- los nombres que parecen más variados;
- los registros que están completos;
- los casos más fáciles de contactar;
- las personas que están disponibles;
- los elementos que el investigador considera representativos.
La selección aleatoria exige un mecanismo verificable, como:
- un generador de números aleatorios;
- una tabla de dígitos aleatorios;
- un sorteo correctamente ejecutado;
- una función estadística de un programa informático;
- un procedimiento sistemático con inicio aleatorio.
El azar estadístico no consiste en seleccionar sin pensar. Consiste en aplicar una regla de selección en la cual la decisión no depende de las preferencias del investigador.
¿Por qué es importante conocer las probabilidades de selección?
Conocer las probabilidades de inclusión permite establecer la relación entre la muestra observada y la población.
Cuando estas probabilidades son conocidas, es posible:
- calcular estimaciones de medias, proporciones y totales;
- medir la variabilidad producida por el muestreo;
- calcular errores estándar;
- construir intervalos de confianza;
- comparar diseños muestrales;
- aplicar ponderaciones;
- evaluar el grado de precisión;
- sustentar la generalización de los resultados.
En cambio, cuando una persona se incluye por facilidad, voluntad o decisión subjetiva, no puede determinarse con precisión qué parte de la población representa.
Probabilidad de inclusión y ponderación
La probabilidad de inclusión indica qué oportunidad tiene una unidad de ser seleccionada.
La ponderación muestral expresa cuántos elementos de la población representa aproximadamente cada unidad seleccionada.
La ponderación básica se define como:
\[ w_i=\frac{1}{\pi_i} \]
donde:
- \(w_i\) es la ponderación de la unidad \(i\);
- \(\pi_i\) es su probabilidad de inclusión.
Ejemplo introductorio
Una empresa tiene 10.000 clientes y selecciona 500 mediante un procedimiento en el cual todos tienen la misma probabilidad.
La probabilidad de inclusión es:
\[ \pi_i=\frac{500}{10.000}=0,05 \]
Cada cliente tiene una probabilidad del 5 % de ser seleccionado.
La ponderación es:
\[ w_i=\frac{1}{0,05}=20 \]
Cada persona seleccionada representa aproximadamente 20 clientes de la población.
Esto no significa que cada entrevistado sea idéntico a otros 19 clientes. Significa que, bajo el diseño utilizado, su participación tiene un peso equivalente a 20 unidades poblacionales.
Principales métodos de muestreo probabilístico
Los principales métodos son:
- muestreo aleatorio simple;
- muestreo sistemático;
- muestreo estratificado;
- muestreo por conglomerados o racimos.
| Método | Forma de selección | Aplicación frecuente |
|---|---|---|
| Aleatorio simple | Selección directa de unidades de toda la población | Bases completas y poblaciones relativamente homogéneas |
| Sistemático | Inicio aleatorio y selección cada cierto intervalo | Listados ordenados y procesos productivos |
| Estratificado | División en estratos y selección dentro de todos ellos | Poblaciones con grupos diferenciados |
| Conglomerados | Selección de algunos grupos naturales | Poblaciones dispersas geográficamente |
Los cuatro métodos incorporan mecanismos aleatorios. Sin embargo, el muestreo aleatorio simple ocupa un lugar especial porque constituye la base conceptual de muchos procedimientos de inferencia estadística.
Muestreo aleatorio simple
¿Qué es el muestreo aleatorio simple?
El muestreo aleatorio simple, abreviado frecuentemente como MAS, es un procedimiento en el que todas las muestras posibles de tamaño \(n\) tienen la misma probabilidad de ser seleccionadas.
Esta definición contiene dos propiedades relacionadas, pero diferentes:
- Cada elemento de la población tiene la misma probabilidad de inclusión.
- Cada combinación posible de \(n\) elementos tiene la misma probabilidad de constituir la muestra.
La segunda propiedad es más exigente.
Que todos los elementos tengan la misma probabilidad individual no garantiza siempre que todas las combinaciones posibles puedan aparecer. Esta diferencia será importante cuando se estudie el muestreo sistemático.
Notación básica
Utilizaremos:
\[ N=\text{tamaño de la población} \]
\[ n=\text{tamaño de la muestra} \]
Si el muestreo aleatorio simple se realiza sin reemplazo, la probabilidad de inclusión de cualquier elemento es:
\[ \pi_i=\frac{n}{N} \]
La fracción de muestreo es:
\[ f=\frac{n}{N} \]
En un muestreo aleatorio simple con probabilidades iguales:
\[ \pi_i=f \]
¿Cuántas muestras diferentes pueden seleccionarse?
Cuando se seleccionan \(n\) unidades de una población de tamaño \(N\), sin reemplazo y sin considerar el orden, el número de muestras posibles es:
\[ \binom{N}{n} = \frac{N!}{n!(N-n)!} \]
Esta expresión se conoce como coeficiente binomial.
En un muestreo aleatorio simple, cada una de esas muestras debe tener probabilidad:
\[ P(s)=\frac{1}{\binom{N}{n}} \]
Ejemplo conceptual: selección de dos estudiantes
Un seminario está conformado por cuatro estudiantes:
\[ A,\ B,\ C,\ D \]
El docente desea seleccionar dos estudiantes para entrevistarlos.
La población tiene tamaño:
\[ N=4 \]
La muestra tendrá tamaño:
\[ n=2 \]
El número de muestras posibles es:
\[ \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} \]
Como:
\[ 4!=4\times3\times2\times1=24 \]
\[ 2!=2\times1=2 \]
entonces:
\[ \binom{4}{2} = \frac{24}{2\times2} = 6 \]
Las seis muestras posibles son:
\[ AB,\ AC,\ AD,\ BC,\ BD,\ CD \]
Si el procedimiento es verdaderamente aleatorio simple, todas deben tener la misma probabilidad:
\[ P(AB)=P(AC)=P(AD)=P(BC)=P(BD)=P(CD)=\frac{1}{6} \]
La tabla resume el espacio muestral:
| Muestra | Probabilidad |
|---|---|
| \(AB\) | \(1/6\) |
| \(AC\) | \(1/6\) |
| \(AD\) | \(1/6\) |
| \(BC\) | \(1/6\) |
| \(BD\) | \(1/6\) |
| \(CD\) | \(1/6\) |
Probabilidad de inclusión de cada estudiante
El estudiante \(A\) aparece en tres muestras:
\[ AB,\ AC,\ AD \]
Por tanto:
\[ P(A\in s) = P(AB)+P(AC)+P(AD) \]
\[ P(A\in s) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]
También puede calcularse mediante:
\[ \pi_A=\frac{n}{N} \]
\[ \pi_A=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \]
El mismo resultado se obtiene para los demás estudiantes.
| Estudiante | Muestras en las que aparece | Probabilidad de inclusión |
|---|---|---|
| A | AB, AC, AD | \(3/6=1/2\) |
| B | AB, BC, BD | \(3/6=1/2\) |
| C | AC, BC, CD | \(3/6=1/2\) |
| D | AD, BD, CD | \(3/6=1/2\) |
Todos tienen la misma oportunidad de inclusión.
Verificación del ejemplo en R
Podemos construir todas las combinaciones posibles con la función
combn().
estudiantes <- c("A", "B", "C", "D")
muestras_posibles <- combn(
estudiantes,
m = 2,
simplify = FALSE
)
muestras_posibles## [[1]]
## [1] "A" "B"
##
## [[2]]
## [1] "A" "C"
##
## [[3]]
## [1] "A" "D"
##
## [[4]]
## [1] "B" "C"
##
## [[5]]
## [1] "B" "D"
##
## [[6]]
## [1] "C" "D"Podemos convertir las combinaciones en texto:
## [1] "AB" "AC" "AD" "BC" "BD" "CD"Número total de muestras:
## [1] 6También puede verificarse mediante:
## [1] 6Simulación de muchas selecciones
Si repetimos el procedimiento muchas veces, cada muestra debería aparecer aproximadamente con la misma frecuencia.
set.seed(2026)
selecciones <- replicate(
12000,
paste(
sort(sample(estudiantes, size = 2, replace = FALSE)),
collapse = ""
)
)
frecuencias <- table(selecciones)
frecuencias## selecciones
## AB AC AD BC BD CD
## 2038 1996 2042 1973 2005 1946Proporciones observadas:
## selecciones
## AB AC AD BC BD CD
## 0.1698333 0.1663333 0.1701667 0.1644167 0.1670833 0.1621667Cada proporción debería estar cerca de:
\[ \frac{1}{6}\approx0,1667 \]
No serán exactamente iguales porque se trata de una simulación finita. Sin embargo, al aumentar el número de repeticiones, las frecuencias relativas tienden a aproximarse a la probabilidad teórica.
Ejemplo aplicado: auditoría de facturas
Una empresa registró 12.000 facturas durante el trimestre. El equipo de auditoría desea seleccionar 300 para verificar:
- existencia de soportes;
- autorización;
- clasificación contable;
- impuestos;
- fecha de registro;
- posible duplicidad;
- correspondencia entre factura y pago.
La población es:
Las 12.000 facturas registradas durante el trimestre.
La unidad de análisis es:
Cada factura.
Los tamaños son:
\[ N=12.000 \]
\[ n=300 \]
La probabilidad de inclusión es:
\[ \pi_i=\frac{300}{12.000}=0,025 \]
Cada factura tiene una probabilidad de 2,5 % de ser seleccionada.
La ponderación es:
\[ w_i=\frac{1}{0,025}=40 \]
Cada factura seleccionada representa aproximadamente 40 facturas del trimestre.
Construcción de una base ficticia de facturas
set.seed(320)
facturas <- data.frame(
id_factura = sprintf("FAC-%05d", 1:12000),
sede = sample(
c("Bogotá", "Medellín", "Cali", "Barranquilla"),
size = 12000,
replace = TRUE,
prob = c(0.45, 0.22, 0.20, 0.13)
),
valor = round(
rlnorm(
12000,
meanlog = log(650000),
sdlog = 0.80
)
),
tiene_error = rbinom(
12000,
size = 1,
prob = 0.06
)
)
head(facturas)Seleccionamos 300 facturas sin reemplazo:
set.seed(725)
indices_seleccionados <- sample(
seq_len(nrow(facturas)),
size = 300,
replace = FALSE
)
muestra_facturas <- facturas[
indices_seleccionados,
]
head(muestra_facturas)Verificamos el tamaño:
## [1] 300Estimación de una media y una proporción
Valor promedio de las facturas seleccionadas:
## [1] 867040.2Proporción de facturas con error:
## [1] 0.08666667Si se desea expresar como porcentaje:
## [1] 8.666667La media muestral estima el valor promedio poblacional y la proporción muestral estima el porcentaje poblacional de facturas con errores.
En una situación real, los valores poblacionales serían desconocidos. En la simulación podemos compararlos:
comparacion <- data.frame(
Medida = c(
"Valor promedio",
"Proporción con error"
),
Poblacion = c(
mean(facturas$valor),
mean(facturas$tiene_error)
),
Muestra = c(
mean(muestra_facturas$valor),
mean(muestra_facturas$tiene_error)
)
)
comparacionLa muestra no tiene que producir exactamente el mismo resultado que la población. La diferencia es consecuencia natural del muestreo.
Poblaciones finitas e infinitas
Población finita
Una población es finita cuando tiene un número determinado o potencialmente enumerado de elementos.
Ejemplos:
- 12.000 facturas del trimestre;
- 4.500 estudiantes matriculados;
- 850 trabajadores;
- 60 sucursales;
- 95.000 botellas producidas;
- 32 departamentos de un país.
En una población finita existe un valor definido de \(N\).
Población infinita
Una población se considera infinita cuando no es posible enumerar todos sus elementos o cuando el proceso continúa generando observaciones.
Ejemplos:
- llamadas futuras a un centro de atención;
- unidades futuras de una línea de producción;
- transacciones que continuará procesando un banco;
- tiempos de espera de futuros clientes;
- resultados de repetir indefinidamente un experimento;
- visitas futuras a una página web.
No siempre se trata de infinito en un sentido físico estricto. En la práctica, también se usa esta aproximación para poblaciones tan grandes o dinámicas que no pueden enumerarse razonablemente.
Ejemplo: tiempos de espera
Un banco desea estudiar el tiempo de espera de los clientes.
Durante los próximos años continuarán llegando nuevas personas. No existe una lista definitiva de todos los tiempos de espera que llegarán a observarse.
Por ello, la población puede conceptualizarse como:
Todos los tiempos de espera que puede generar el sistema bajo determinadas condiciones operativas.
El banco selecciona una muestra de clientes durante un periodo y utiliza sus tiempos para aprender sobre el funcionamiento del proceso.
Diferencia práctica
| Característica | Población finita | Población infinita |
|---|---|---|
| Tamaño | Definido como \(N\) | No se fija o no puede enumerarse |
| Marco muestral | Puede construirse | Frecuentemente no existe como lista completa |
| Ejemplo | Facturas del año | Llamadas futuras |
| Reemplazo | Puede modificar probabilidades | El efecto suele ser despreciable |
| Corrección por población finita | Puede ser necesaria | No se utiliza |
Muestreo con reemplazo y sin reemplazo
Muestreo sin reemplazo
En el muestreo sin reemplazo, una unidad seleccionada no vuelve a estar disponible para las selecciones siguientes.
Una factura no debería aparecer dos veces en la misma muestra de auditoría. Un empleado seleccionado para una encuesta no necesita ser seleccionado nuevamente en esa misma muestra.
En R:
## [1] 9 7 8 6 3Los valores no se repiten.
Muestreo con reemplazo
En el muestreo con reemplazo, después de seleccionar una unidad, esta vuelve a incorporarse antes de la siguiente extracción.
Por ello, una misma unidad puede aparecer más de una vez.
## [1] 9 10 7 8 6Es posible observar repeticiones.
Ejemplo con los cuatro estudiantes
Con selección sin reemplazo y muestras de tamaño 2, las combinaciones son:
\[ AB,\ AC,\ AD,\ BC,\ BD,\ CD \]
No son posibles:
\[ AA,\ BB,\ CC,\ DD \]
Con reemplazo sí serían posibles selecciones como:
\[ AA,\ AB,\ AC,\ AD,\ BA,\ BB,\ldots \]
Además, si se considera el orden, \(AB\) y \(BA\) serían resultados diferentes del procedimiento de extracción.
Probabilidad de selección con reemplazo
Si se selecciona un estudiante de una población de cuatro:
\[ P(A)=\frac{1}{4} \]
Con reemplazo, la probabilidad de seleccionar a \(A\) dos veces es:
\[ P(AA) = P(A)\times P(A) \]
\[ P(AA) = \frac{1}{4}\times\frac{1}{4} = \frac{1}{16} \]
La probabilidad de seleccionar primero \(A\) y luego \(B\) es:
\[ P(AB) = \frac{1}{4}\times\frac{1}{4} = \frac{1}{16} \]
Cada secuencia ordenada de dos selecciones tiene probabilidad \(1/16\).
¿Cuál método se usa con mayor frecuencia?
En encuestas y auditorías sobre poblaciones finitas suele utilizarse muestreo sin reemplazo, porque no tiene sentido entrevistar o revisar repetidamente la misma unidad.
El muestreo con reemplazo es importante en:
- teoría de probabilidad;
- simulación;
- métodos bootstrap;
- poblaciones conceptualmente infinitas;
- diseños especiales.
Cómo seleccionar una muestra aleatoria simple
Preparación del marco muestral
Antes de utilizar un generador aleatorio debe revisarse el marco.
El procedimiento recomendado es:
- Definir la población.
- Establecer criterios de inclusión y exclusión.
- Eliminar registros duplicados.
- Excluir unidades no elegibles.
- Asignar un identificador único;
- determinar el tamaño \(n\);
- generar la selección;
- conservar evidencia del procedimiento.
Un programa puede seleccionar perfectamente al azar dentro de una base defectuosa. Aleatorizar basura produce basura con certificado matemático.
Método de papeletas
Para poblaciones pequeñas pueden escribirse los identificadores en papeletas iguales, mezclarlas y extraer la cantidad requerida.
El método solo es válido si:
- todas las papeletas tienen la misma forma;
- no pueden distinguirse al tacto;
- la mezcla es suficiente;
- no existen omisiones ni duplicados;
- la extracción no está manipulada.
La dificultad aumenta rápidamente con poblaciones grandes.
Tabla de números aleatorios
Antes del uso extendido de computadores, se utilizaban tablas de dígitos aleatorios.
El procedimiento general consiste en:
- numerar la población;
- escoger un punto de inicio;
- fijar una dirección de lectura;
- leer grupos con el número de dígitos requerido;
- descartar códigos fuera del rango;
- descartar repetidos cuando el muestreo es sin reemplazo;
- continuar hasta completar \(n\).
Ejemplo
Una empresa tiene 100 empleados identificados del 00 al 99 y desea seleccionar 10.
Suponga que la secuencia aleatoria comienza así:
\[ 15,\ 09,\ 41,\ 74,\ 00,\ 72,\ 67,\ 55,\ 71,\ 35 \]
La muestra sería:
| Orden | Código |
|---|---|
| 1 | 15 |
| 2 | 09 |
| 3 | 41 |
| 4 | 74 |
| 5 | 00 |
| 6 | 72 |
| 7 | 67 |
| 8 | 55 |
| 9 | 71 |
| 10 | 35 |
La regla de lectura debe definirse antes de observar qué empleados corresponden a los números. De lo contrario, podría introducirse selección subjetiva.
Selección con R
Para seleccionar una muestra aleatoria simple de identificadores:
set.seed(2026)
empleados_seleccionados <- sample(
1:100,
size = 10,
replace = FALSE
)
empleados_seleccionados## [1] 93 97 38 45 91 36 48 5 31 44La instrucción set.seed() permite reproducir la
selección.
Si otra persona utiliza la misma semilla y el mismo código, obtendrá la misma muestra.
¿Por qué usar una semilla?
Los generadores utilizados por el computador producen secuencias pseudoaleatorias. Estas tienen propiedades adecuadas para el análisis estadístico, pero se generan mediante algoritmos.
La semilla fija el punto inicial de la secuencia.
## [1] 7 15 18 9 19Si se vuelve a ejecutar desde la misma semilla:
## [1] 7 15 18 9 19se obtiene el mismo resultado.
Esto es útil para:
- reproducibilidad;
- auditoría;
- validación;
- documentación;
- trabajo académico.
Selección desde una base de datos
Suponga una base de empleados:
set.seed(2026)
empleados <- data.frame(
id = sprintf("EMP-%04d", 1:2000),
sede = sample(
c("Bogotá", "Medellín", "Cali"),
size = 2000,
replace = TRUE,
prob = c(0.50, 0.30, 0.20)
),
salario = round(
rnorm(
2000,
mean = 3200000,
sd = 750000
)
),
antiguedad = round(
rexp(
2000,
rate = 1/5
),
1
)
)
head(empleados)Selección de 150 empleados:
set.seed(742)
indices <- sample(
seq_len(nrow(empleados)),
size = 150,
replace = FALSE
)
muestra_empleados <- empleados[
indices,
]
head(muestra_empleados)Verificación:
## [1] 150## [1] 150Ambos valores deben ser 150.
Ejemplo guiado: satisfacción de trabajadores
Una compañía tiene 3.200 trabajadores y desea estimar la satisfacción laboral media mediante una muestra aleatoria simple de 200.
Identificación de los elementos
Población:
Todos los 3.200 trabajadores activos en la fecha del estudio.
Unidad de análisis:
Cada trabajador.
Marco muestral:
Base actualizada de trabajadores con identificador único.
Tamaños:
\[ N=3.200 \]
\[ n=200 \]
Probabilidad de inclusión
\[ \pi_i=\frac{n}{N} \]
\[ \pi_i=\frac{200}{3.200}=0,0625 \]
Cada trabajador tiene una probabilidad de 6,25 % de ser seleccionado.
Ponderación
\[ w_i=\frac{1}{0,0625}=16 \]
Cada trabajador seleccionado representa aproximadamente 16 trabajadores.
Fracción de muestreo
\[ f=\frac{200}{3.200}=0,0625 \]
La muestra representa 6,25 % de la población.
Selección en R
set.seed(850)
trabajadores <- data.frame(
id = sprintf("TR-%04d", 1:3200),
satisfaccion = sample(
1:10,
size = 3200,
replace = TRUE,
prob = c(
0.02, 0.03, 0.05, 0.08, 0.12,
0.16, 0.20, 0.17, 0.11, 0.06
)
),
modalidad = sample(
c("Presencial", "Híbrida", "Remota"),
size = 3200,
replace = TRUE,
prob = c(0.55, 0.30, 0.15)
)
)
set.seed(400)
muestra_trabajadores <- trabajadores[
sample(
seq_len(nrow(trabajadores)),
size = 200,
replace = FALSE
),
]
head(muestra_trabajadores)Estimación de la satisfacción media
## [1] 6.505Interpretación sugerida:
La satisfacción media observada en la muestra fue de 6.5 puntos sobre 10. Este valor constituye una estimación puntual de la satisfacción media de los 3.200 trabajadores.
Estimación de una proporción
Suponga que se considera satisfecho a un trabajador con puntuación igual o superior a 8.
muestra_trabajadores$satisfecho <- ifelse(
muestra_trabajadores$satisfaccion >= 8,
1,
0
)
proporcion_satisfechos <- mean(
muestra_trabajadores$satisfecho
)
proporcion_satisfechos## [1] 0.395Porcentaje:
## [1] 39.5Interpretación:
En la muestra, 39.5 % de los trabajadores obtuvo una calificación de satisfacción igual o superior a 8. Esta proporción muestral estima el porcentaje poblacional de trabajadores satisfechos.
¿La muestra garantiza representación de todas las modalidades?
No necesariamente.
El muestreo aleatorio simple ofrece la misma probabilidad individual, pero no obliga a obtener cantidades específicas de trabajadores presenciales, híbridos y remotos.
Podemos revisar la composición:
##
## Híbrida Presencial Remota
## 0.25 0.58 0.17Y compararla con la población:
data.frame(
Poblacion = prop.table(
table(trabajadores$modalidad)
),
Muestra = prop.table(
table(muestra_trabajadores$modalidad)
)
)Las proporciones serán parecidas, pero no necesariamente idénticas.
Cuando resulta indispensable garantizar cantidades mínimas por modalidad, podría convenir un muestreo estratificado.
Ventajas del muestreo aleatorio simple
Igualdad de oportunidades
Cada elemento tiene la misma probabilidad de inclusión.
Reducción de intervención subjetiva
El investigador no elige manualmente quién entra.
Fundamento matemático claro
Permite calcular errores estándar, intervalos de confianza y otras medidas inferenciales.
Facilidad conceptual
Es uno de los diseños más sencillos de explicar.
Implementación directa
Puede aplicarse con programas como R, Excel o software estadístico.
Reproducibilidad
La selección puede documentarse mediante semilla, fecha, código y versión de la base.
Limitaciones del muestreo aleatorio simple
Requiere un marco completo
Si la base no contiene todos los elementos, la selección no cubrirá la población objetivo.
Puede ser costoso en poblaciones dispersas
Una muestra aleatoria podría seleccionar unidades ubicadas en muchas regiones.
No garantiza subgrupos pequeños
Un grupo minoritario podría quedar con pocos casos o incluso no aparecer.
Puede desaprovechar información auxiliar
Si ya se conoce que existen grupos muy diferentes, la estratificación puede ser más eficiente.
Es sensible a la no respuesta
La muestra inicial puede ser aleatoria, pero la muestra final de respondientes puede dejar de serlo.
Una muestra inicialmente aleatoria puede terminar sesgada
Suponga que una empresa selecciona aleatoriamente 1.000 clientes. Sin embargo:
- 700 responden;
- 300 no responden.
Si la no respuesta ocurre completamente al azar, el problema podría limitarse a una reducción de tamaño.
Pero si responden principalmente los clientes más satisfechos, el resultado final estará sesgado.
La aleatoriedad del sorteo inicial no corrige automáticamente:
- falta de respuesta;
- datos de contacto incorrectos;
- abandono de la encuesta;
- rechazos;
- errores de medición.
Una muestra aleatoria no es una varita mágica. El diseño puede comenzar bien y arruinarse durante la ejecución.
Ejercicios propuestos
Ejercicio 4. Selección de estudiantes
Una universidad tiene 5.000 estudiantes y desea seleccionar 250 mediante muestreo aleatorio simple.
Responda:
- ¿Cuál es el tamaño de la población?
- ¿Cuál es el tamaño de la muestra?
- ¿Cuál es la probabilidad de inclusión de cada estudiante?
- ¿Cuál es la ponderación básica?
- ¿Cuántos estudiantes representa aproximadamente cada seleccionado?
- ¿El procedimiento garantiza que todas las facultades tengan exactamente la misma representación? Explique.
Ejercicio 5. Comité empresarial
Un comité está integrado por cinco personas:
\[ A,\ B,\ C,\ D,\ E \]
Se seleccionarán dos para asistir a una reunión.
Responda:
- ¿Cuántas muestras diferentes pueden formarse?
- Enumere todas las muestras posibles.
- ¿Cuál es la probabilidad de cada muestra?
- ¿Cuál es la probabilidad de inclusión de cada integrante?
- Verifique el resultado mediante \(n/N\).
Ejercicio 6. Auditoría de créditos
Un banco tiene 18.000 créditos activos y desea revisar 360 mediante muestreo aleatorio simple.
Responda:
- Defina la población.
- Identifique la unidad de análisis.
- Calcule la probabilidad de inclusión.
- Calcule la ponderación.
- Explique por qué seleccionar los primeros 360 créditos de la base no sería aleatorio.
- Mencione dos problemas que debería revisarse antes de realizar el sorteo.
Ejercicio 7. Muestreo con reemplazo
Se tiene una población formada por:
\[ A,\ B,\ C \]
Se seleccionan dos unidades con reemplazo y se considera el orden.
Responda:
- Enumere todos los resultados posibles.
- ¿Cuántos resultados existen?
- ¿Cuál es la probabilidad de cada resultado?
- ¿Cuál es la probabilidad de obtener \(AA\)?
- ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar dos unidades diferentes?
Diseño de experimentos
Hasta ahora hemos estudiado cómo seleccionar una muestra de una población. Sin embargo, obtener una muestra adecuada no es suficiente cuando el objetivo consiste en comparar tratamientos, evaluar cambios o determinar si una intervención produce un efecto.
En estas situaciones no basta con observar lo que ocurre. Es necesario planear cuidadosamente las condiciones bajo las cuales se obtendrán los datos.
El diseño de experimentos es el proceso mediante el cual se organiza una investigación para estudiar el efecto de una o más variables sobre una respuesta de interés.
La idea central es sencilla:
Un buen experimento debe permitir distinguir el efecto real del tratamiento de las variaciones producidas por otros factores.
Por ejemplo, una empresa puede desear saber si una nueva estrategia de capacitación mejora la productividad de sus trabajadores. Si simplemente compara a quienes recibieron la capacitación con quienes no la recibieron, podría encontrar diferencias. Sin embargo, estas diferencias también podrían explicarse por:
- experiencia previa;
- nivel educativo;
- tipo de cargo;
- motivación;
- antigüedad;
- turno de trabajo;
- jefe inmediato;
- condiciones del equipo.
Por esta razón, el experimento debe diseñarse de manera que el efecto de la capacitación pueda separarse de otras posibles explicaciones.
¿Qué es un experimento?
Un experimento es una actividad planificada en la cual se modifican deliberadamente una o más condiciones para observar su efecto sobre una variable de respuesta.
En un experimento aparecen varios elementos fundamentales:
- objetivo;
- unidad experimental;
- tratamiento;
- factor;
- nivel;
- variable de respuesta;
- variables de control;
- aleatorización;
- repetición;
- análisis de resultados.
Diferencia entre estudio observacional y experimento
En un estudio observacional, el investigador registra lo que ocurre sin intervenir directamente.
En un experimento, el investigador asigna o modifica condiciones.
| Característica | Estudio observacional | Experimento |
|---|---|---|
| Intervención | No | Sí |
| Asignación de tratamientos | No controlada | Controlada |
| Capacidad para estudiar causalidad | Limitada | Mayor |
| Ejemplo | Observar hábitos de compra | Cambiar el precio de un producto |
| Riesgo de confusión | Alto | Puede reducirse con diseño |
Ejemplo
Una empresa observa que los empleados que realizaron un curso voluntario tienen mayor productividad.
Este resultado no demuestra que el curso haya causado la mejora, porque quienes se inscribieron podrían ser más motivados desde el inicio.
Si la empresa asigna aleatoriamente a los trabajadores a dos grupos:
- grupo con capacitación;
- grupo sin capacitación;
entonces la comparación tendría un fundamento más fuerte para evaluar causalidad.
Elementos de un diseño experimental
Objetivo del experimento
Todo experimento debe comenzar con una pregunta clara.
Ejemplo impreciso:
Queremos estudiar dos baterías.
Ejemplo preciso:
Queremos determinar si la batería A tiene un mayor tiempo promedio de funcionamiento que la batería B bajo condiciones comparables.
El objetivo debe indicar:
- qué se compara;
- qué se desea medir;
- cuál es la población de interés;
- bajo qué condiciones;
- qué decisión se espera tomar.
Unidad experimental
La unidad experimental es el elemento más pequeño al que se aplica un tratamiento de manera independiente.
Ejemplos:
| Experimento | Unidad experimental |
|---|---|
| Comparación de baterías | Cada batería |
| Evaluación de una capacitación | Cada trabajador |
| Comparación de fertilizantes | Cada parcela |
| Evaluación de un empaque | Cada consumidor |
| Comparación de métodos de enseñanza | Cada estudiante o cada curso |
| Prueba de publicidad | Cada ciudad o segmento |
La unidad experimental no siempre coincide con la unidad de análisis.
Por ejemplo, si una estrategia educativa se aplica a un curso completo, el curso puede ser la unidad experimental, aunque se midan resultados individuales de los estudiantes.
Factor
Un factor es una variable que el investigador manipula o controla para evaluar su efecto.
Ejemplos:
- tipo de batería;
- método de enseñanza;
- tipo de publicidad;
- temperatura;
- material;
- jornada;
- empaque;
- dosis;
- canal de comunicación.
Nivel
Los niveles son las categorías o valores específicos de un factor.
Ejemplo:
Factor:
Tipo de batería.
Niveles:
- batería A;
- batería B.
Otro ejemplo:
Factor:
Temperatura.
Niveles:
- baja;
- media;
- alta.
Tratamiento
Un tratamiento es una condición experimental específica.
Cuando existe un solo factor, cada nivel puede considerarse un tratamiento.
Cuando existen varios factores, un tratamiento corresponde a una combinación de niveles.
Ejemplo
Factores:
- batería: A o B;
- temperatura: alta o baja.
Tratamientos:
- A con temperatura alta;
- A con temperatura baja;
- B con temperatura alta;
- B con temperatura baja.
Variable de respuesta
La variable de respuesta es la característica que se mide para evaluar el efecto de los tratamientos.
Debe estar definida de manera:
- clara;
- observable;
- medible;
- consistente;
- relevante para la decisión.
Ejemplo
Si una empresa desea comparar dos baterías, podría medir:
- tiempo hasta agotamiento;
- número de arranques;
- voltaje después de cierto tiempo;
- vida útil en meses.
No sería suficiente hablar de “mejor desempeño” sin especificar cómo se medirá.
Variables de control
Son variables que podrían afectar la respuesta y que deben mantenerse constantes, registrarse o incorporarse en el diseño.
Ejemplo en una prueba de baterías:
- temperatura;
- tipo de motor;
- antigüedad del motor;
- estado de los cables;
- carga inicial;
- operador;
- duración de cada arranque.
Si estas variables cambian entre tratamientos, podrían confundirse con el efecto de la batería.
Fases del diseño experimental
Definir la pregunta
El primer paso consiste en formular el problema.
Ejemplo:
¿La batería A presenta mayor duración promedio que la batería B bajo condiciones comparables?
Esta formulación es mejor que preguntar simplemente:
¿Cuál batería es mejor?
La palabra “mejor” puede significar:
- mayor duración;
- menor costo;
- mayor potencia;
- menor peso;
- mayor resistencia;
- mayor seguridad.
Definir la variable de respuesta
Suponga que se decide medir:
\[ Y=\text{tiempo, en minutos, hasta que la batería se agota} \]
La variable debe medirse de la misma forma para todas las unidades.
Seleccionar los tratamientos
Se compararán:
- tratamiento A: batería de la empresa;
- tratamiento B: batería competidora.
Determinar el tamaño de la muestra
La empresa debe decidir cuántas baterías probar.
Una muestra muy pequeña puede producir resultados inestables.
Una muestra excesivamente grande puede aumentar el costo sin aportar beneficios proporcionales.
Suponga que se eligen:
\[ n_A=10 \]
\[ n_B=10 \]
En total:
\[ n=20 \]
Controlar las condiciones
Para que la comparación sea válida, se deben mantener condiciones similares:
- misma marca y modelo de motor;
- misma temperatura;
- mismos cables;
- misma carga inicial;
- mismo procedimiento;
- mismo tiempo entre intentos;
- mismo criterio de agotamiento.
Aleatorizar
La aleatorización consiste en asignar los tratamientos o el orden de ejecución mediante un procedimiento aleatorio.
Esto evita que factores no controlados queden asociados sistemáticamente con un tratamiento.
Ejemplo
Suponga que se prueban primero todas las baterías A y luego todas las B.
Si la temperatura cambia durante el día, el efecto de la temperatura puede confundirse con el tipo de batería.
Una mejor estrategia sería aleatorizar el orden de las 20 pruebas.
set.seed(2026)
tratamientos <- rep(
c("A", "B"),
each = 10
)
orden_pruebas <- sample(
tratamientos,
size = 20,
replace = FALSE
)
orden_pruebas## [1] "A" "A" "B" "B" "B" "B" "A" "A" "B" "A" "A" "A" "A" "A" "B" "B" "B" "B" "A"
## [20] "B"Ejecutar el experimento
Durante la ejecución deben registrarse:
- tratamiento;
- unidad;
- condiciones;
- respuesta;
- incidentes;
- desviaciones del protocolo.
Un experimento puede estar bien diseñado en el papel y mal ejecutado en la práctica. Por eso, la documentación es esencial.
Analizar los datos
El análisis busca responder si las diferencias observadas pueden atribuirse al tratamiento o si podrían explicarse por variación aleatoria.
En etapas posteriores del curso, esta comparación puede realizarse mediante:
- intervalos de confianza;
- pruebas de hipótesis;
- análisis de varianza;
- modelos de regresión.
Comunicar la conclusión
La conclusión debe responder la pregunta original.
No basta con decir:
Hubo diferencias.
Conviene indicar:
- dirección de la diferencia;
- magnitud;
- incertidumbre;
- condiciones del experimento;
- limitaciones;
- alcance de la generalización.
Ejemplo guiado: comparación de baterías
Una empresa desea comparar su batería A con una batería competidora B.
Objetivo
Determinar si la batería A presenta mayor duración promedio que la batería B.
Variable de respuesta
\[ Y=\text{tiempo en minutos hasta el agotamiento} \]
Factor
\[ \text{Tipo de batería} \]
Niveles
- A;
Unidad experimental
Cada batería probada.
Tamaño de muestra
Se seleccionan 10 baterías de cada tipo.
\[ n_A=10 \]
\[ n_B=10 \]
Condiciones controladas
- mismo modelo de motor;
- misma temperatura;
- mismo cableado;
- mismo protocolo de arranque;
- mismo criterio de agotamiento.
Datos simulados
set.seed(100)
baterias <- data.frame(
tipo = rep(c("A", "B"), each = 10),
duracion = c(
round(rnorm(10, mean = 128, sd = 8), 1),
round(rnorm(10, mean = 116, sd = 9), 1)
)
)
bateriasResumen descriptivo
Visualización
boxplot(
duracion ~ tipo,
data = baterias,
xlab = "Tipo de batería",
ylab = "Duración en minutos",
main = "Comparación de duración"
)
Interpretación inicial
Si la media de A es mayor que la de B, existe evidencia descriptiva de una diferencia.
Sin embargo, todavía debe analizarse si:
- la diferencia es suficientemente grande;
- la variabilidad es baja o alta;
- el tamaño de muestra es adecuado;
- las condiciones fueron comparables;
- la diferencia podría deberse al azar.
Principios básicos del diseño experimental
Aleatorización
La aleatorización reduce el riesgo de que factores no controlados favorezcan sistemáticamente un tratamiento.
Ejemplo:
Si un operador más experimentado prueba siempre la batería A y un operador nuevo prueba siempre la B, el efecto del operador se confunde con el efecto de la batería.
La asignación aleatoria ayuda a distribuir estos factores.
Repetición
La repetición consiste en aplicar cada tratamiento a varias unidades experimentales.
Probar una sola batería A y una sola B sería insuficiente.
La repetición permite:
- estimar variabilidad;
- reducir influencia de casos extremos;
- mejorar precisión;
- evaluar consistencia.
Control local
El control local consiste en reducir la variabilidad usando:
- condiciones constantes;
- bloques;
- emparejamiento;
- mediciones estandarizadas;
- criterios uniformes.
Variables de confusión
Una variable de confusión es una variable que afecta la respuesta y está relacionada con el tratamiento.
Ejemplo
Una empresa compara dos métodos de capacitación:
- método A aplicado en turno diurno;
- método B aplicado en turno nocturno.
Si el turno influye en el desempeño, no será posible saber si la diferencia se debe al método o al horario.
El tratamiento y el turno están confundidos.
Cómo reducir la confusión
- asignación aleatoria;
- mantener condiciones constantes;
- bloquear;
- emparejar unidades;
- medir variables relevantes;
- distribuir tratamientos entre condiciones.
Diseño completamente aleatorizado
En un diseño completamente aleatorizado, las unidades experimentales se asignan al azar a los tratamientos.
Ejemplo
Una empresa tiene 40 trabajadores y desea comparar dos métodos de capacitación.
Se asignan aleatoriamente:
- 20 al método A;
- 20 al método B.
set.seed(77)
trabajadores <- paste0("T", 1:40)
asignacion <- sample(
rep(c("Método A", "Método B"), each = 20)
)
diseño <- data.frame(
trabajador = trabajadores,
tratamiento = asignacion
)
head(diseño, 10)Ventajas
- sencillo;
- fácil de analizar;
- adecuado cuando las unidades son relativamente homogéneas.
Limitaciones
- puede perder precisión si existen grupos muy diferentes;
- no controla explícitamente factores conocidos.
Diseño en bloques
Un bloque es un grupo de unidades similares respecto a una variable importante.
El objetivo es comparar tratamientos dentro de grupos relativamente homogéneos.
Ejemplo
Una empresa desea comparar dos métodos de capacitación, pero reconoce que la antigüedad influye en el desempeño.
Puede crear bloques:
- menos de 2 años;
- entre 2 y 5 años;
- más de 5 años.
Dentro de cada bloque, asigna aleatoriamente los métodos.
Esto permite separar:
- efecto del método;
- efecto de la antigüedad.
Ejemplo de asignación en bloques
set.seed(88)
empleados <- data.frame(
id = paste0("E", 1:30),
bloque = rep(
c("Baja antigüedad", "Media antigüedad", "Alta antigüedad"),
each = 10
)
)
empleados$tratamiento <- unlist(
lapply(
split(empleados, empleados$bloque),
function(x) {
sample(rep(c("A", "B"), each = 5))
}
)
)
empleadosExperimentos factoriales
Un experimento factorial estudia simultáneamente dos o más factores.
La principal ventaja es que permite analizar:
- efecto de cada factor;
- efecto conjunto;
- posibles interacciones.
¿Qué es una interacción?
Existe interacción cuando el efecto de un factor depende del nivel de otro.
Ejemplo
Una campaña publicitaria puede funcionar bien en redes sociales para jóvenes, pero no para adultos mayores.
El efecto del canal depende del grupo de edad.
Ejemplo factorial de baterías
Se estudian cuatro factores:
- tipo de batería;
- temperatura;
- condición del motor;
- condición del cable.
Cada factor tiene dos niveles.
Factores y niveles
| Factor | Nivel 1 | Nivel 2 |
|---|---|---|
| Batería | A | B |
| Temperatura | Caliente | Fría |
| Motor | Nuevo | Viejo |
| Cable | Bueno | Desgastado |
El número total de combinaciones es:
\[ 2\times2\times2\times2=16 \]
Generación de las combinaciones en R
diseño_factorial <- expand.grid(
bateria = c("A", "B"),
temperatura = c("Caliente", "Fría"),
motor = c("Nuevo", "Viejo"),
cable = c("Bueno", "Desgastado")
)
diseño_factorialAleatorización del orden
set.seed(900)
diseño_factorial$orden <- sample(
seq_len(nrow(diseño_factorial))
)
diseño_factorial <- diseño_factorial[
order(diseño_factorial$orden),
]
diseño_factorial¿Por qué aleatorizar el orden?
Si las pruebas se ejecutan siempre en el mismo orden, cambios temporales pueden afectar los resultados:
- temperatura;
- desgaste;
- operador;
- fatiga;
- condiciones ambientales;
- calibración.
La aleatorización distribuye estos efectos de forma más equilibrada.
Crecimiento del número de combinaciones
El número de tratamientos en un diseño factorial completo es el producto del número de niveles de cada factor.
Ejemplo
Si se tienen:
- 2 baterías;
- 5 temperaturas;
- 4 condiciones de motor;
- 3 condiciones de cable;
entonces:
\[ 2\times5\times4\times3=120 \]
tratamientos.
Si cada tratamiento se repite tres veces:
\[ 120\times3=360 \]
pruebas.
Este crecimiento puede hacer costoso el experimento.
Diseño factorial completo y fraccionado
Factorial completo
Incluye todas las combinaciones posibles.
Ventajas:
- evalúa todos los efectos;
- permite estudiar interacciones;
- ofrece información amplia.
Limitaciones:
- alto costo;
- gran número de pruebas;
- complejidad operativa.
Factorial fraccionado
Utiliza solo una parte cuidadosamente seleccionada de las combinaciones.
Ventajas:
- reduce costo;
- disminuye tiempo;
- permite estudiar muchos factores.
Limitaciones:
- algunos efectos pueden quedar confundidos;
- requiere diseño especializado;
- puede no estimar todas las interacciones.
Cuadrado latino
El cuadrado latino es un diseño que permite estudiar un tratamiento controlando simultáneamente dos fuentes de variación.
Se utiliza cuando:
- existe un factor principal;
- se desean controlar dos factores adicionales;
- cada factor tiene el mismo número de niveles.
Ejemplo
Una empresa desea probar cuatro empaques en cuatro ciudades y cuatro periodos publicitarios.
En lugar de realizar:
\[ 4\times4\times4=64 \]
combinaciones, puede organizar un cuadrado latino de 16 pruebas.
Un ejemplo de estructura es:
| Ciudad / Periodo | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| A | I | II | III | IV |
| B | II | III | IV | I |
| C | III | IV | I | II |
| D | IV | I | II | III |
Cada tratamiento aparece una vez en cada fila y una vez en cada columna.
Ejemplo aplicado: campaña comercial
Una empresa desea evaluar dos mensajes publicitarios:
- mensaje A;
- mensaje B.
La variable de respuesta será:
\[ Y=\text{porcentaje de clientes que hacen clic} \]
La empresa reconoce que el dispositivo puede influir:
- móvil;
- computador.
Diseño factorial
Factores:
- mensaje;
- dispositivo.
Combinaciones:
| Mensaje | Dispositivo |
|---|---|
| A | Móvil |
| A | Computador |
| B | Móvil |
| B | Computador |
Número de combinaciones:
\[ 2\times2=4 \]
Datos simulados
set.seed(456)
publicidad <- expand.grid(
mensaje = c("A", "B"),
dispositivo = c("Móvil", "Computador"),
repeticion = 1:20
)
publicidad$clic <- rbinom(
nrow(publicidad),
size = 1,
prob = ifelse(
publicidad$mensaje == "A" &
publicidad$dispositivo == "Móvil",
0.18,
ifelse(
publicidad$mensaje == "A" &
publicidad$dispositivo == "Computador",
0.10,
ifelse(
publicidad$mensaje == "B" &
publicidad$dispositivo == "Móvil",
0.12,
0.14
)
)
)
)
head(publicidad)Cómo evaluar críticamente una afirmación experimental
Cuando una empresa afirma:
“Nuestro producto fue superior en pruebas científicas”.
Conviene preguntar:
- ¿Cuál fue el objetivo?
- ¿Qué variable se midió?
- ¿Cuál fue la muestra?
- ¿Cómo se asignaron los tratamientos?
- ¿Hubo aleatorización?
- ¿Cuántas repeticiones se realizaron?
- ¿Se controlaron variables importantes?
- ¿Quién financió el experimento?
- ¿La diferencia fue grande o solo estadísticamente detectable?
- ¿Las condiciones se parecen a la realidad?
- ¿Los resultados fueron replicados?
Una prueba estadística sofisticada no corrige un experimento mal diseñado.
El análisis no puede rescatar datos producidos por un diseño defectuoso.
Ejercicios propuestos
Ejercicio 8. Capacitación empresarial
Una empresa desea comparar dos métodos de capacitación para sus vendedores.
Responda:
- ¿Cuál podría ser la unidad experimental?
- ¿Cuál es el factor?
- ¿Cuáles son los niveles?
- Proponga una variable de respuesta.
- Mencione tres variables de control.
- Explique cómo realizaría la asignación aleatoria.
- ¿Qué riesgo existiría si el método A se aplicara solo a vendedores nuevos?
Ejercicio 9. Comparación de empaques
Una empresa quiere comparar tres diseños de empaque para un nuevo producto.
La variable de respuesta será la intención de compra.
Responda:
- Identifique el factor.
- Identifique los niveles.
- Identifique la variable de respuesta.
- Proponga una unidad experimental.
- Explique por qué se necesita repetición.
- Mencione dos variables de confusión.
- Proponga una forma de aleatorizar.
Ejercicio 10. Diseño factorial
Una empresa desea estudiar:
- dos precios;
- tres tipos de publicidad;
- dos canales de venta.
Responda:
- ¿Cuántos factores existen?
- ¿Cuántos niveles tiene cada factor?
- ¿Cuántas combinaciones requiere un factorial completo?
- Si cada combinación se repite cinco veces, ¿cuántas observaciones se requieren?
- ¿Qué posibles interacciones podrían estudiarse?
Introducción a las distribuciones de muestreo
Hasta este punto hemos estudiado cómo seleccionar una muestra de una población. Sin embargo, seleccionar una muestra es apenas el comienzo del proceso inferencial.
Una vez obtenida la muestra, se calculan estadísticas como:
- la media;
- la mediana;
- la proporción;
- la desviación estándar;
- la varianza;
- el rango.
Estas estadísticas se utilizan para aproximar características desconocidas de la población.
Pero aparece una dificultad fundamental:
Si seleccionamos una muestra diferente de la misma población, probablemente obtendremos un resultado diferente.
Suponga que una universidad desea estimar la estatura promedio de sus estudiantes. Si selecciona una muestra aleatoria de 30 estudiantes, podría obtener:
\[ \bar{x}_1=168,4\text{ cm} \]
Si selecciona una segunda muestra del mismo tamaño:
\[ \bar{x}_2=170,1\text{ cm} \]
En una tercera muestra:
\[ \bar{x}_3=167,8\text{ cm} \]
Las tres muestras provienen de la misma población y fueron seleccionadas mediante el mismo procedimiento. Sin embargo, sus medias no son iguales.
Esto no significa necesariamente que alguna muestra esté mal seleccionada.
La diferencia aparece porque cada muestra contiene una combinación distinta de estudiantes.
A este fenómeno se le denomina variabilidad muestral.
La variabilidad entre muestras
Cuando se seleccionan muestras diferentes de una misma población, las estadísticas calculadas cambian de una muestra a otra.
Pueden variar:
- las medias;
- las proporciones;
- las medianas;
- las desviaciones estándar;
- los rangos;
- los coeficientes de correlación.
Esta variación no es un error de digitación ni una falla del investigador. Es una consecuencia natural de trabajar con una parte de la población.
Ejemplo introductorio
Una empresa tiene 10.000 clientes. La satisfacción promedio real de toda la población es:
\[ \mu=75 \]
Se seleccionan cinco muestras aleatorias de 100 clientes.
Los resultados podrían ser:
| Muestra | Media de satisfacción |
|---|---|
| 1 | 74,2 |
| 2 | 76,1 |
| 3 | 73,8 |
| 4 | 75,5 |
| 5 | 74,9 |
Ninguna de las medias coincide exactamente con la media poblacional.
Sin embargo, todas están relativamente cerca.
La pregunta estadística ya no es únicamente:
¿Cuál fue la media de una muestra?
Ahora también interesa responder:
¿Cómo se comportan las medias de todas las muestras posibles?
La respuesta conduce al concepto de distribución de muestreo.
¿Qué es una distribución de muestreo?
Una distribución de muestreo es la distribución de probabilidad de una estadística calculada a partir de todas las muestras posibles de un mismo tamaño tomadas de una población.
La estadística puede ser:
- una media;
- una proporción;
- una mediana;
- una varianza;
- una desviación estándar;
- un rango.
Por tanto, pueden existir:
- distribución de muestreo de la media;
- distribución de muestreo de la proporción;
- distribución de muestreo de la mediana;
- distribución de muestreo de la varianza;
- distribución de muestreo del rango.
La expresión distribución de muestreo no se refiere a la distribución de los datos de una sola muestra.
Se refiere a la distribución de una estadística obtenida al repetir muchas veces el proceso de selección.
Tres distribuciones que no deben confundirse
En este tema aparecen tres distribuciones diferentes:
- distribución de la población;
- distribución de una muestra;
- distribución de muestreo de una estadística.
Distribución de la población
Describe los valores de todos los elementos de la población.
Por ejemplo, una empresa tiene 20.000 trabajadores y registra sus salarios.
La distribución poblacional muestra:
- salarios bajos;
- salarios medios;
- salarios altos;
- concentración;
- dispersión;
- asimetría.
Su media es el parámetro:
\[ \mu \]
y su desviación estándar es:
\[ \sigma \]
Distribución de una muestra
Describe los valores observados en una muestra particular.
Si se seleccionan 200 trabajadores, la distribución muestral muestra los salarios de esos 200 casos.
Su media es:
\[ \bar{x} \]
y su desviación estándar es:
\[ s \]
Una muestra distinta produciría otra distribución.
Distribución de muestreo
Describe los valores de una estadística obtenida en muchas muestras.
Si se toman 5.000 muestras de 200 trabajadores y se calcula la media salarial de cada una, se obtienen:
\[ \bar{x}_1,\bar{x}_2,\bar{x}_3,\ldots,\bar{x}_{5000} \]
La distribución formada por esas 5.000 medias es una distribución de muestreo de la media.
Comparación conceptual
| Distribución | Elementos que contiene | Medida central |
|---|---|---|
| Población | Valores de todas las unidades | \(\mu\) |
| Muestra | Valores de las unidades seleccionadas | \(\bar{x}\) |
| Distribución de muestreo | Estadísticas de muchas muestras | \(\mu_{\bar{x}}\) |
La distribución de muestreo no contiene personas, productos ni facturas. Contiene estadísticas calculadas a partir de muestras.
Ejemplo conceptual: medias de diferentes muestras
Suponga una población pequeña formada por cinco valores:
\[ 2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10 \]
La media poblacional es:
\[ \mu= \frac{2+4+6+8+10}{5} \]
\[ \mu=6 \]
Se seleccionan muestras de tamaño 2 sin reemplazo.
Las muestras posibles son:
\[ (2,4),\ (2,6),\ (2,8),\ (2,10), \]
\[ (4,6),\ (4,8),\ (4,10), \]
\[ (6,8),\ (6,10),\ (8,10) \]
El número de muestras es:
\[ \binom{5}{2}=10 \]
Calculamos la media de cada muestra.
| Muestra | Media |
|---|---|
| \((2,4)\) | 3 |
| \((2,6)\) | 4 |
| \((2,8)\) | 5 |
| \((2,10)\) | 6 |
| \((4,6)\) | 5 |
| \((4,8)\) | 6 |
| \((4,10)\) | 7 |
| \((6,8)\) | 7 |
| \((6,10)\) | 8 |
| \((8,10)\) | 9 |
La distribución de muestreo de la media está formada por:
\[ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 5,\ 6,\ 7,\ 7,\ 8,\ 9 \]
Observe que algunos valores aparecen más de una vez.
La distribución de frecuencias es:
| Media muestral | Frecuencia | Probabilidad |
|---|---|---|
| 3 | 1 | 0,10 |
| 4 | 1 | 0,10 |
| 5 | 2 | 0,20 |
| 6 | 2 | 0,20 |
| 7 | 2 | 0,20 |
| 8 | 1 | 0,10 |
| 9 | 1 | 0,10 |
Media de la distribución de muestreo
Calculamos el promedio de las diez medias:
\[ \mu_{\bar{x}} = \frac{ 3+4+5+6+5+6+7+7+8+9 }{10} \]
\[ \mu_{\bar{x}}=6 \]
La media de la distribución de muestreo coincide con la media poblacional:
\[ \mu_{\bar{x}}=\mu \]
Este resultado es fundamental.
Indica que, en promedio, la media muestral apunta correctamente hacia la media poblacional.
Construcción del ejemplo en R
## [1] 6Generamos todas las muestras posibles de tamaño 2:
## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
## [1,] 2 2 2 2 4 4 4 6 6 8
## [2,] 4 6 8 10 6 8 10 8 10 10Calculamos la media de cada muestra:
## [1] 3 4 5 6 5 6 7 7 8 9Construimos una tabla:
tabla_medias <- data.frame(
muestra = apply(
muestras,
2,
function(x) paste(x, collapse = ", ")
),
media = medias_muestrales
)
tabla_mediasComparamos la media poblacional con la media de las medias:
## media_poblacional media_distribucion_muestral
## 6 6Gráfica de la distribución de muestreo
barplot(
table(medias_muestrales) / length(medias_muestrales),
xlab = "Media muestral",
ylab = "Probabilidad",
main = "Distribución de muestreo de la media"
)
La gráfica no representa los valores individuales de la población.
Representa las medias que pueden obtenerse al seleccionar muestras de tamaño 2.
Distribución de muestreo de la media
La distribución de muestreo de la media es la distribución de probabilidad de todas las medias posibles calculadas a partir de muestras de tamaño \(n\).
Se representa mediante:
\[ \bar{X} \]
La letra mayúscula recuerda que antes de seleccionar la muestra, la media muestral es una variable aleatoria.
Después de observar una muestra específica, se obtiene un valor:
\[ \bar{x} \]
Media de la distribución de muestreo
La media de todas las medias muestrales es:
\[ \mu_{\bar{X}}=\mu \]
Esto significa que la media muestral es un estimador insesgado de la media poblacional.
No quiere decir que cada muestra produzca exactamente \(\mu\).
Significa que, si el proceso se repitiera muchas veces, las medias muestrales quedarían centradas alrededor de \(\mu\).
Ejemplo empresarial
Una empresa tiene una satisfacción poblacional promedio de:
\[ \mu=78 \]
Al seleccionar diferentes muestras podrían obtenerse:
\[ 76,9,\ 78,8,\ 77,4,\ 79,2,\ 78,1 \]
Las medias varían, pero tienden a ubicarse alrededor de 78.
No debe esperarse que una muestra particular produzca exactamente el parámetro poblacional.
Distribución de muestreo de una proporción
La misma lógica se aplica a las proporciones.
Suponga que en una población el 30 % de los clientes presenta mora:
\[ p=0,30 \]
Se seleccionan muchas muestras de 100 clientes y se calcula en cada una:
\[ \hat{p} = \frac{\text{Número de clientes con mora}}{100} \]
Podrían obtenerse proporciones como:
\[ 0,27,\ 0,31,\ 0,35,\ 0,29,\ 0,32 \]
La distribución de esas proporciones constituye la distribución de muestreo de la proporción.
Su media es:
\[ \mu_{\hat{p}}=p \]
En promedio, la proporción muestral apunta hacia la proporción poblacional.
Ejemplo aplicado: productos defectuosos
Una fábrica sabe que 8 % de su producción presenta defectos:
\[ p=0,08 \]
Se seleccionan muestras de 200 productos.
En diferentes muestras podrían observarse:
| Muestra | Productos defectuosos | Proporción |
|---|---|---|
| 1 | 14 | 0,070 |
| 2 | 19 | 0,095 |
| 3 | 17 | 0,085 |
| 4 | 12 | 0,060 |
| 5 | 18 | 0,090 |
Las proporciones son distintas aunque provienen de la misma población.
Simulación de una distribución de muestreo
Suponga una población de 50.000 clientes con satisfacción promedio cercana a 75.
set.seed(2026)
poblacion_satisfaccion <- rnorm(
50000,
mean = 75,
sd = 12
)
mean(poblacion_satisfaccion)## [1] 75.0309## [1] 12.03601Seleccionamos una muestra de 100 clientes:
set.seed(10)
muestra_1 <- sample(
poblacion_satisfaccion,
size = 100,
replace = FALSE
)
mean(muestra_1)## [1] 73.94121Una segunda muestra:
set.seed(20)
muestra_2 <- sample(
poblacion_satisfaccion,
size = 100,
replace = FALSE
)
mean(muestra_2)## [1] 73.94909Una tercera:
set.seed(30)
muestra_3 <- sample(
poblacion_satisfaccion,
size = 100,
replace = FALSE
)
mean(muestra_3)## [1] 73.90224Las medias son diferentes.
Repetición del proceso
Seleccionamos 5.000 muestras de tamaño 100 y calculamos sus medias.
set.seed(400)
medias_simuladas <- replicate(
5000,
mean(
sample(
poblacion_satisfaccion,
size = 100,
replace = FALSE
)
)
)
head(medias_simuladas)## [1] 75.69016 73.97091 74.82124 74.80050 76.26857 75.52653Comparación de medias
## media_poblacional media_de_medias
## 75.03090 75.06375Los dos valores deberían ser muy cercanos.
Histograma de las medias
hist(
medias_simuladas,
breaks = 35,
xlab = "Media muestral",
ylab = "Frecuencia",
main = "Distribución de muestreo de la media"
)
abline(
v = mean(poblacion_satisfaccion),
lwd = 2,
lty = 2
)
La línea vertical representa la media poblacional.
La mayoría de las medias muestrales se concentra alrededor de ese valor.
Concepto de error estándar
La distribución de muestreo tiene su propia desviación estándar.
La desviación estándar de una distribución de muestreo recibe el nombre de error estándar.
Para la media se denomina:
Error estándar de la media.
Para la proporción:
Error estándar de la proporción.
El error estándar mide cuánto varía una estadística entre diferentes muestras.
Diferencia entre desviación estándar y error estándar
La desviación estándar describe la variabilidad de las observaciones individuales.
El error estándar describe la variabilidad de una estadística entre muestras.
| Medida | ¿Qué variabilidad describe? |
|---|---|
| Desviación estándar | Diferencias entre individuos |
| Error estándar | Diferencias entre estadísticas muestrales |
Ejemplo intuitivo
Suponga que los salarios de una empresa presentan gran variabilidad:
- algunos trabajadores ganan $1.800.000;
- otros $3.000.000;
- algunos $8.000.000;
- otros $15.000.000.
La desviación estándar poblacional puede ser grande.
Sin embargo, si se seleccionan muestras grandes, las medias de esas muestras pueden ser relativamente estables.
Por tanto:
- los salarios individuales pueden estar muy dispersos;
- las medias muestrales pueden estar mucho menos dispersas.
Error estándar de la media
Cuando se toma una muestra aleatoria de una población con desviación estándar \(\sigma\), el error estándar de la media es:
\[ \sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
donde:
- \(\sigma_{\bar{X}}\) es el error estándar de la media;
- \(\sigma\) es la desviación estándar poblacional;
- \(n\) es el tamaño de la muestra.
Interpretación
El error estándar indica qué tanto tienden a variar las medias muestrales alrededor de la media poblacional.
Un error estándar pequeño significa que las medias de diferentes muestras suelen estar cerca unas de otras.
Un error estándar grande indica mayor variabilidad entre muestras.
Ejemplo guiado
Una población tiene:
\[ \mu=80 \]
\[ \sigma=15 \]
Se seleccionan muestras de tamaño:
\[ n=100 \]
El error estándar es:
\[ \sigma_{\bar{X}} = \frac{15}{\sqrt{100}} \]
\[ \sigma_{\bar{X}} = \frac{15}{10} \]
\[ \sigma_{\bar{X}}=1,5 \]
Esto significa que las medias de muestras de tamaño 100 presentan una desviación estándar de 1,5 unidades alrededor de la media poblacional.
No significa que cada observación se encuentre a 1,5 puntos de la media.
Se refiere a la variabilidad de las medias.
Comparación con diferentes tamaños de muestra
Mantengamos:
\[ \sigma=15 \]
Para \(n=25\)
\[ \sigma_{\bar{X}} = \frac{15}{\sqrt{25}} = 3 \]
Para \(n=100\)
\[ \sigma_{\bar{X}} = \frac{15}{\sqrt{100}} = 1,5 \]
Para \(n=400\)
\[ \sigma_{\bar{X}} = \frac{15}{\sqrt{400}} = 0,75 \]
| Tamaño de muestra | Error estándar |
|---|---|
| 25 | 3,00 |
| 100 | 1,50 |
| 400 | 0,75 |
A medida que aumenta el tamaño de la muestra, el error estándar disminuye.
Una relación que no es lineal
Para reducir el error estándar a la mitad, no basta con duplicar el tamaño de la muestra.
Como:
\[ \sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
para reducir el error a la mitad debe multiplicarse \(n\) por cuatro.
Ejemplo:
\[ n=100 \Rightarrow \sigma_{\bar{X}}=1,5 \]
Para obtener:
\[ \sigma_{\bar{X}}=0,75 \]
se necesita:
\[ n=400 \]
Esto muestra que existe un rendimiento decreciente al aumentar la muestra.
Simulación del efecto del tamaño de muestra
Usaremos la misma población y compararemos muestras de tamaños:
\[ n=10,\ 30,\ 100,\ 500 \]
set.seed(600)
tamanos <- c(10, 30, 100, 500)
resultados_error <- data.frame(
n = tamanos,
error_estandar_simulado = sapply(
tamanos,
function(n) {
medias <- replicate(
3000,
mean(
sample(
poblacion_satisfaccion,
size = n,
replace = FALSE
)
)
)
sd(medias)
}
)
)
resultados_errorTambién calculamos el valor teórico:
sigma_poblacion <- sd(
poblacion_satisfaccion
)
resultados_error$error_estandar_teorico <-
sigma_poblacion / sqrt(resultados_error$n)
resultados_errorLos valores simulados y teóricos deberían ser cercanos.
Error estándar de una proporción
Para una proporción poblacional \(p\), el error estándar de la proporción muestral es:
\[ \sigma_{\hat{p}} = \sqrt{ \frac{p(1-p)}{n} } \]
donde:
- \(p\) es la proporción poblacional;
- \(1-p\) es la proporción complementaria;
- \(n\) es el tamaño de la muestra.
Ejemplo guiado
Una empresa sabe que 40 % de sus clientes utiliza la aplicación móvil:
\[ p=0,40 \]
Se seleccionan muestras de:
\[ n=200 \]
El error estándar es:
\[ \sigma_{\hat{p}} = \sqrt{ \frac{0,40(1-0,40)}{200} } \]
\[ \sigma_{\hat{p}} = \sqrt{ \frac{0,40(0,60)}{200} } \]
\[ \sigma_{\hat{p}} = \sqrt{ \frac{0,24}{200} } \]
\[ \sigma_{\hat{p}} = \sqrt{0,0012} \]
\[ \sigma_{\hat{p}} \approx0,0346 \]
En términos porcentuales:
\[ 0,0346\times100=3,46\% \]
Las proporciones de diferentes muestras de 200 clientes tienden a variar aproximadamente 3,46 puntos porcentuales alrededor de \(p=0,40\).
Error de muestreo y error estándar
Estos conceptos están relacionados, pero no son idénticos.
El error de muestreo de una muestra particular puede expresarse como:
\[ \bar{x}-\mu \]
para una media, o:
\[ \hat{p}-p \]
para una proporción.
El error estándar describe la variabilidad típica de esos errores entre muchas muestras.
Ejemplo
Suponga:
\[ \mu=80 \]
y una muestra produce:
\[ \bar{x}=82 \]
El error de muestreo es:
\[ \bar{x}-\mu = 82-80 = 2 \]
Si el error estándar es 1,5, la media observada se encuentra:
\[ \frac{2}{1,5}=1,33 \]
errores estándar por encima de la media poblacional.
Una media diferente no implica una muestra defectuosa
Suponga que una máquina llena botellas con:
\[ \mu=125\text{ gramos} \]
y una muestra produce:
\[ \bar{x}=130\text{ gramos} \]
No puede concluirse inmediatamente que la muestra no es representativa.
Las medias muestrales varían.
Para evaluar si 130 es un resultado inusual se necesita conocer:
- la desviación estándar poblacional;
- el tamaño de la muestra;
- el error estándar;
- la forma de la distribución de muestreo.
La simple diferencia entre 125 y 130 no basta.
Ejemplo guiado: tiempos de entrega
Una empresa de comercio electrónico procesa 100.000 pedidos.
El tiempo promedio poblacional de entrega es:
\[ \mu=4,8\text{ días} \]
La desviación estándar es:
\[ \sigma=2,4\text{ días} \]
Se seleccionan muestras de:
\[ n=144 \]
Error estándar
\[ \sigma_{\bar{X}} = \frac{2,4}{\sqrt{144}} \]
\[ \sigma_{\bar{X}} = \frac{2,4}{12} \]
\[ \sigma_{\bar{X}}=0,2 \]
Las medias muestrales tienden a variar alrededor de 4,8 días con una desviación estándar de 0,2 días.
Interpretación de una muestra
Suponga que una muestra produce:
\[ \bar{x}=5,1 \]
La diferencia es:
\[ 5,1-4,8=0,3 \]
En unidades de error estándar:
\[ \frac{0,3}{0,2}=1,5 \]
La media muestral se encuentra 1,5 errores estándar por encima de la media poblacional.
Este resultado no parece extraordinariamente lejano.
Ejemplo guiado: satisfacción de clientes
Una empresa tiene una proporción poblacional de clientes satisfechos de:
\[ p=0,72 \]
Se seleccionan muestras de:
\[ n=400 \]
El error estándar es:
\[ \sigma_{\hat{p}} = \sqrt{ \frac{0,72(0,28)}{400} } \]
\[ \sigma_{\hat{p}} = \sqrt{ \frac{0,2016}{400} } \]
\[ \sigma_{\hat{p}} = \sqrt{0,000504} \]
\[ \sigma_{\hat{p}} \approx0,02245 \]
En porcentaje:
\[ 2,245\% \]
La proporción de clientes satisfechos variará normalmente alrededor de 72 %, con una desviación estándar aproximada de 2,25 puntos porcentuales.
¿Por qué son importantes las distribuciones de muestreo?
Las distribuciones de muestreo permiten:
- comprender la variabilidad de las estadísticas;
- medir la precisión de una estimación;
- calcular errores estándar;
- construir intervalos de confianza;
- realizar pruebas de hipótesis;
- comparar resultados con lo esperado;
- determinar tamaños de muestra;
- evaluar si una diferencia puede atribuirse al azar.
Sin este concepto no sería posible avanzar hacia la inferencia estadística.
La inferencia no depende únicamente del valor observado. También depende de cuánto podría variar ese valor si se repitiera el muestreo.
Errores frecuentes
Confundir datos con estadísticas
La distribución de muestreo de la media contiene medias, no observaciones individuales.
Esperar que la muestra coincida exactamente con la población
Una muestra aleatoria normalmente produce diferencias.
Interpretar el error estándar como un error cometido por el investigador
El error estándar describe variabilidad aleatoria, no descuido.
Confundir desviación estándar con error estándar
La primera describe individuos; el segundo describe estadísticas.
Pensar que duplicar \(n\) reduce el error a la mitad
Para reducirlo a la mitad se necesita cuadruplicar el tamaño.
Creer que una media diferente indica sesgo
Una diferencia puede deberse únicamente a variabilidad muestral.
Ejercicio 11. Población pequeña
Considere la población:
\[ 1,\ 3,\ 5,\ 7 \]
Se seleccionan muestras de tamaño 2 sin reemplazo.
Responda:
- Calcule la media poblacional.
- Enumere todas las muestras posibles.
- Calcule la media de cada muestra.
- Construya la distribución de muestreo.
- Calcule la media de las medias muestrales.
- Compare el resultado con la media poblacional.
Ejercicio 12. Tiempos de atención
Un banco tiene tiempos de atención con:
\[ \mu=18\text{ minutos} \]
\[ \sigma=6\text{ minutos} \]
Se seleccionan muestras de tamaño:
\[ n=36 \]
Responda:
- ¿Cuál es la media de la distribución de muestreo?
- Calcule el error estándar.
- Interprete el resultado.
- Si una muestra produce una media de 20 minutos, calcule el error de muestreo.
- Exprese la diferencia en unidades de error estándar.
Ejercicio 13. Clientes con mora
La proporción poblacional de clientes con mora es:
\[ p=0,25 \]
Se seleccionan muestras de:
\[ n=300 \]
Responda:
- ¿Cuál es la media de la distribución de muestreo de \(\hat{p}\)?
- Calcule el error estándar.
- Exprese el resultado en porcentaje.
- Si una muestra produce \(\hat{p}=0,29\), calcule el error de muestreo.
- ¿La proporción muestral debe ser exactamente igual a 0,25?
Ejercicio 14. Comparación de tamaños
Una población tiene:
\[ \sigma=20 \]
Calcule el error estándar para:
\[ n=25,\quad n=100,\quad n=400 \]
Responda:
- ¿Cómo cambia el error estándar?
- ¿Qué tamaño produce mayor precisión?
- ¿Cuántas veces debe aumentarse \(n\) para reducir el error estándar a la mitad?
Distribuciones de muestreo a detalle
En la sección anterior introdujimos la idea de distribución de muestreo y observamos que una estadística, como la media o la proporción, cambia de una muestra a otra.
Ahora profundizaremos en este concepto para utilizarlo de manera operativa.
El objetivo es responder preguntas como:
- ¿qué valores puede tomar una media muestral?;
- ¿qué tan cerca suele estar de la media poblacional?;
- ¿cómo influye el tamaño de la muestra?;
- ¿qué probabilidad existe de obtener una media dentro de cierto intervalo?;
- ¿qué ocurre cuando la población no tiene distribución normal?;
- ¿por qué el Teorema Central del Límite es tan importante?
La distribución de muestreo constituye el puente entre los datos observados en una muestra y las conclusiones que se formulan sobre una población.
Construcción conceptual de una distribución de muestreo
Suponga que una empresa industrial utiliza miles de filtros en su sistema de control ambiental.
La variable de interés es:
\[ X=\text{horas de funcionamiento antes de que un filtro se obstruya} \]
La población está formada por todos los filtros que podrían utilizarse bajo las mismas condiciones operativas.
Esta población tiene:
\[ \mu=\text{media poblacional de duración} \]
\[ \sigma=\text{desviación estándar poblacional} \]
Si se selecciona una muestra de diez filtros, se obtiene una distribución muestral con:
\[ \bar{x}_1=\text{media de la primera muestra} \]
\[ s_1=\text{desviación estándar de la primera muestra} \]
Si se selecciona una segunda muestra:
\[ \bar{x}_2,\quad s_2 \]
Y una tercera:
\[ \bar{x}_3,\quad s_3 \]
Cada muestra contiene filtros diferentes. Por ello, las medias y desviaciones estándar no tienen que coincidir.
Si fuera posible seleccionar todas las muestras de tamaño diez y calcular la media de cada una, se obtendría:
\[ \bar{x}_1,\bar{x}_2,\bar{x}_3,\ldots \]
La distribución formada por estas medias es la distribución de muestreo de la media.
Esta distribución tiene:
\[ \mu_{\bar{X}} = \text{media de todas las medias muestrales} \]
y
\[ \sigma_{\bar{X}} = \text{desviación estándar de todas las medias muestrales} \]
La cantidad \(\sigma_{\bar{X}}\) recibe el nombre de error estándar de la media.
Tres niveles de información
Es importante distinguir tres niveles.
Población
Contiene los valores de todas las unidades.
Ejemplo:
\[ X_1,X_2,\ldots,X_N \]
Tiene:
\[ \mu,\quad \sigma \]
Muestra
Contiene los valores de las unidades seleccionadas.
Ejemplo:
\[ x_1,x_2,\ldots,x_n \]
Tiene:
\[ \bar{x},\quad s \]
Distribución de muestreo
Contiene las estadísticas obtenidas en todas las muestras posibles.
Ejemplo:
\[ \bar{x}_1,\bar{x}_2,\ldots \]
Tiene:
\[ \mu_{\bar{X}},\quad \sigma_{\bar{X}} \]
La siguiente tabla resume la diferencia:
| Nivel | Elementos | Media | Desviación estándar |
|---|---|---|---|
| Población | Observaciones poblacionales | \(\mu\) | \(\sigma\) |
| Muestra | Observaciones seleccionadas | \(\bar{x}\) | \(s\) |
| Distribución de muestreo | Estadísticas de muchas muestras | \(\mu_{\bar{X}}\) | \(\sigma_{\bar{X}}\) |
La distribución de muestreo de la media no contiene personas, productos o facturas. Contiene medias calculadas a partir de muestras.
Distribución de muestreo de la media
La distribución de muestreo de la media presenta dos propiedades fundamentales.
Media de la distribución de muestreo
La media de todas las medias muestrales es igual a la media poblacional:
\[ \mu_{\bar{X}}=\mu \]
Esto significa que la media muestral es un estimador insesgado de la media poblacional.
No significa que cada muestra produzca exactamente el valor de \(\mu\).
Significa que, si se repitiera el muestreo muchas veces, las medias quedarían centradas alrededor del parámetro poblacional.
Error estándar de la media
Para una población muy grande o conceptualmente infinita:
\[ \sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
donde:
- \(\sigma_{\bar{X}}\): error estándar de la media;
- \(\sigma\): desviación estándar poblacional;
- \(n\): tamaño de la muestra.
Esta relación muestra que el error estándar disminuye cuando aumenta el tamaño de la muestra.
Interpretación del error estándar
El error estándar mide cuánto varían las medias muestrales de una muestra a otra.
Un error estándar pequeño indica que las medias muestrales están muy concentradas alrededor de \(\mu\).
Un error estándar grande indica que las medias muestrales presentan mayor dispersión.
La desviación estándar poblacional mide variación entre individuos.
El error estándar mide variación entre medias.
Ejemplo guiado: cuentas de ahorro
Un banco sabe que los saldos de sus cuentas de ahorro tienen:
\[ \mu=\$2.000 \]
\[ \sigma=\$600 \]
Se seleccionan muestras de:
\[ n=100 \]
Media de la distribución muestral
\[ \mu_{\bar{X}}=\mu \]
\[ \mu_{\bar{X}}=\$2.000 \]
Error estándar
\[ \sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
\[ \sigma_{\bar{X}} = \frac{600}{\sqrt{100}} \]
\[ \sigma_{\bar{X}} = \frac{600}{10} \]
\[ \sigma_{\bar{X}}=\$60 \]
Las medias de muestras de 100 cuentas se distribuyen alrededor de $2.000 con una desviación estándar de $60.
Estandarización de una media muestral
Cuando la distribución de muestreo es normal, una media muestral puede transformarse en un valor \(z\):
\[ z = \frac{\bar{x}-\mu} {\sigma_{\bar{X}}} \]
Como:
\[ \sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
también puede escribirse:
\[ z = \frac{\bar{x}-\mu} {\sigma/\sqrt{n}} \]
El valor \(z\) indica cuántos errores estándar se encuentra la media muestral por encima o por debajo de la media poblacional.
Ejemplo guiado: probabilidad entre dos medias
Continuemos con:
\[ \mu=\$2.000 \]
\[ \sigma=\$600 \]
\[ n=100 \]
Deseamos calcular:
\[ P(1.900<\bar{X}<2.050) \]
Ya sabemos que:
\[ \sigma_{\bar{X}}=60 \]
Estandarización del límite inferior
\[ z_1 = \frac{1.900-2.000}{60} \]
\[ z_1 = \frac{-100}{60} \]
\[ z_1=-1,67 \]
Estandarización del límite superior
\[ z_2 = \frac{2.050-2.000}{60} \]
\[ z_2 = \frac{50}{60} \]
\[ z_2=0,83 \]
Por tanto:
\[ P(1.900<\bar{X}<2.050) = P(-1,67<Z<0,83) \]
En R:
## [1] 0.7492709El resultado es aproximadamente:
\[ 0,749 \]
Interpretación:
Existe aproximadamente 74,9 % de probabilidad de que la media de una muestra de 100 cuentas esté entre $1.900 y $2.050.
Muestreo de poblaciones normales
Cuando la población tiene distribución normal:
\[ X\sim N(\mu,\sigma) \]
la distribución de muestreo de la media también es normal para cualquier tamaño de muestra:
\[ \bar{X} \sim N \left( \mu, \frac{\sigma^2}{n} \right) \]
Esta propiedad no requiere que \(n\) sea grande.
Si la población original es normal, la distribución de las medias también lo es.
Ejemplo guiado: rendimiento de una inversión
El rendimiento anual de una inversión sigue una distribución normal con:
\[ \mu=\$7.500 \]
\[ \sigma=\$3.300 \]
Se consideran muestras de:
\[ n=1.800 \]
Deseamos calcular:
\[ P(\bar{X}>7.700) \]
Error estándar
\[ \sigma_{\bar{X}} = \frac{3.300}{\sqrt{1.800}} \]
## [1] 77.78175El error estándar es aproximadamente:
\[ 77,78 \]
Valor estandarizado
\[ z = \frac{7.700-7.500}{77,78} \]
\[ z\approx2,57 \]
Efecto del tamaño de la muestra
Suponga una población con:
\[ \mu=100 \]
\[ \sigma=25 \]
Calculemos el error estándar para distintos tamaños.
Para \(n=5\)
\[ \sigma_{\bar{X}} = \frac{25}{\sqrt{5}} \approx11,18 \]
Para \(n=20\)
\[ \sigma_{\bar{X}} = \frac{25}{\sqrt{20}} \approx5,59 \]
Para \(n=100\)
\[ \sigma_{\bar{X}} = \frac{25}{\sqrt{100}} = 2,5 \]
| Tamaño | Error estándar |
|---|---|
| 5 | 11,18 |
| 20 | 5,59 |
| 100 | 2,50 |
A medida que \(n\) aumenta, la distribución de muestreo se concentra alrededor de \(\mu\).
Visualización en R
mu <- 100
sigma <- 25
x <- seq(50, 150, length.out = 500)
plot(
x,
dnorm(x, mean = mu, sd = sigma),
type = "l",
lwd = 2,
xlab = "Valor",
ylab = "Densidad",
main = "Población y distribuciones muestrales"
)
lines(
x,
dnorm(x, mean = mu, sd = sigma / sqrt(5)),
lwd = 2,
lty = 2
)
lines(
x,
dnorm(x, mean = mu, sd = sigma / sqrt(20)),
lwd = 2,
lty = 3
)
lines(
x,
dnorm(x, mean = mu, sd = sigma / sqrt(100)),
lwd = 2,
lty = 4
)
legend(
"topright",
legend = c(
"Población",
"n = 5",
"n = 20",
"n = 100"
),
lty = c(1, 2, 3, 4),
lwd = 2,
bty = "n"
)
Las curvas correspondientes a muestras grandes son más estrechas.
Poblaciones no normales
En la práctica, muchas variables no tienen distribución normal.
Ejemplos:
- ingresos;
- tiempos de espera;
- montos de compra;
- duración de llamadas;
- número de reclamaciones;
- tiempo de entrega;
- saldos de cuentas.
Estas variables pueden ser:
- asimétricas;
- discretas;
- concentradas;
- con valores extremos;
- multimodales.
La pregunta importante es:
¿Qué forma tiene la distribución de muestreo de la media cuando la población no es normal?
La respuesta conduce al Teorema Central del Límite.
Ejemplo con una población pequeña no normal
Considere la población:
\[ 3,\ 3,\ 7,\ 9,\ 14 \]
La media poblacional es:
\[ \mu = \frac{3+3+7+9+14}{5} \]
\[ \mu = \frac{36}{5} \]
\[ \mu=7,2 \]
Se seleccionan muestras de tamaño 3 sin reemplazo.
El número de muestras es:
\[ \binom{5}{3}=10 \]
Las muestras posibles son:
| Muestra | Valores | Media |
|---|---|---|
| 1 | 3, 3, 7 | 4,33 |
| 2 | 3, 3, 9 | 5,00 |
| 3 | 3, 3, 14 | 6,67 |
| 4 | 3, 7, 9 | 6,33 |
| 5 | 3, 7, 14 | 8,00 |
| 6 | 3, 9, 14 | 8,67 |
| 7 | 3, 7, 9 | 6,33 |
| 8 | 3, 7, 14 | 8,00 |
| 9 | 3, 9, 14 | 8,67 |
| 10 | 7, 9, 14 | 10,00 |
La media de las medias muestrales es:
\[ \mu_{\bar{X}}=7,2 \]
Aunque la población no es normal, la distribución de muestreo sigue centrada en \(\mu\).
Verificación en R
poblacion <- c(3, 3, 7, 9, 14)
media_poblacional <- mean(poblacion)
muestras <- combn(
poblacion,
m = 3
)
medias <- apply(
muestras,
2,
mean
)
media_poblacional## [1] 7.2## [1] 4.333333 5.000000 6.666667 6.333333 8.000000 8.666667 6.333333
## [8] 8.000000 8.666667 10.000000## [1] 7.2
Teorema Central del Límite
El Teorema Central del Límite establece que, bajo condiciones generales, la distribución de muestreo de la media se aproxima a una distribución normal cuando aumenta el tamaño de la muestra, aunque la población original no sea normal.
Simbólicamente:
\[ \bar{X} \approx N \left( \mu, \frac{\sigma^2}{n} \right) \]
para un tamaño de muestra suficientemente grande.
Implicaciones fundamentales
El teorema implica que:
- La media de la distribución de muestreo es:
\[ \mu_{\bar{X}}=\mu \]
- El error estándar es:
\[ \sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
La distribución de \(\bar{X}\) se aproxima a la normal cuando \(n\) aumenta.
Es posible calcular probabilidades sobre medias muestrales sin conocer exactamente la forma de la población.
Regla práctica de \(n\geq30\)
En cursos introductorios suele utilizarse:
\[ n\geq30 \]
como criterio práctico para aplicar la aproximación normal.
Sin embargo, esta regla no debe interpretarse como una frontera absoluta.
- Si la población es aproximadamente normal, muestras menores pueden ser suficientes.
- Si la población tiene asimetría fuerte o valores extremos, puede necesitarse un tamaño mayor.
- Si la población es extremadamente irregular, \(n=30\) puede no bastar.
El número 30 no es un hechizo estadístico. Es una regla práctica, no una garantía universal.
Simulación del Teorema Central del Límite
Construiremos una población muy asimétrica mediante una distribución exponencial.
## [1] 9.981482## [1] 9.982577Forma de la población
La distribución presenta una cola larga hacia la derecha.
Distribuciones de medias para distintos tamaños
set.seed(500)
medias_n2 <- replicate(
5000,
mean(
sample(
poblacion_asimetrica,
size = 2,
replace = TRUE
)
)
)
medias_n5 <- replicate(
5000,
mean(
sample(
poblacion_asimetrica,
size = 5,
replace = TRUE
)
)
)
medias_n30 <- replicate(
5000,
mean(
sample(
poblacion_asimetrica,
size = 30,
replace = TRUE
)
)
)
medias_n100 <- replicate(
5000,
mean(
sample(
poblacion_asimetrica,
size = 100,
replace = TRUE
)
)
)Visualización conjunta
par(mfrow = c(2, 2))
hist(
medias_n2,
breaks = 35,
main = "n = 2",
xlab = "Media muestral"
)
hist(
medias_n5,
breaks = 35,
main = "n = 5",
xlab = "Media muestral"
)
hist(
medias_n30,
breaks = 35,
main = "n = 30",
xlab = "Media muestral"
)
hist(
medias_n100,
breaks = 35,
main = "n = 100",
xlab = "Media muestral"
)
A medida que aumenta \(n\):
- disminuye la asimetría;
- la distribución se vuelve más simétrica;
- las medias se concentran;
- la forma se aproxima a una campana normal.
Ejemplo guiado con Teorema Central del Límite
La distribución de ingresos anuales de los cajeros de un banco es asimétrica y tiene:
\[ \mu=\$19.000 \]
\[ \sigma=\$2.000 \]
Se seleccionan:
\[ n=30 \]
cajeros.
Deseamos calcular:
\[ P(\bar{X}>19.750) \]
Aunque la población no es normal, utilizaremos el Teorema Central del Límite.
Error estándar
\[ \sigma_{\bar{X}} = \frac{2.000}{\sqrt{30}} \]
## [1] 365.1484\[ \sigma_{\bar{X}} \approx365,15 \]
Estandarización
\[ z = \frac{19.750-19.000}{365,15} \]
\[ z = \frac{750}{365,15} \]
\[ z\approx2,05 \]
Probabilidad
\[ P(\bar{X}>19.750) = P(Z>2,05) \]
## [1] 0.0199898El resultado es aproximadamente:
\[ 0,020 \]
Interpretación:
Existe cerca de 2 % de probabilidad de obtener una media superior a $19.750 en una muestra aleatoria de 30 cajeros, si la media poblacional es $19.000.
Probabilidades con medias muestrales
Para calcular probabilidades con medias muestrales se recomienda seguir cinco pasos.
Identificar los parámetros
\[ \mu,\quad \sigma,\quad n \]
Calcular el error estándar
\[ \sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
Identificar la región de probabilidad
Por ejemplo:
\[ P(\bar{X}>a) \]
\[ P(\bar{X}<a) \]
\[ P(a<\bar{X}<b) \]
Estandarizar
\[ z = \frac{\bar{x}-\mu} {\sigma/\sqrt{n}} \]
Ejemplo guiado: probabilidad menor que un valor
Una máquina produce piezas con:
\[ \mu=50 \]
\[ \sigma=8 \]
Se seleccionan muestras de:
\[ n=64 \]
Calcule:
\[ P(\bar{X}<48) \]
Error estándar
\[ \sigma_{\bar{X}} = \frac{8}{\sqrt{64}} = 1 \]
Valor \(z\)
\[ z = \frac{48-50}{1} = -2 \]
Ejemplo guiado: probabilidad entre dos valores
Una población tiene:
\[ \mu=98,6 \]
\[ \sigma=17,2 \]
Se toma una muestra de:
\[ n=25 \]
Calcule:
\[ P(92<\bar{X}<102) \]
Error estándar
\[ \sigma_{\bar{X}} = \frac{17,2}{\sqrt{25}} \]
\[ \sigma_{\bar{X}} = 3,44 \]
Valores estandarizados
\[ z_1 = \frac{92-98,6}{3,44} \approx-1,92 \]
\[ z_2 = \frac{102-98,6}{3,44} \approx0,99 \]
Comparación de una observación individual con una media muestral
No debe confundirse:
\[ P(X>a) \]
con:
\[ P(\bar{X}>a) \]
Para una observación individual se utiliza:
\[ \sigma \]
Para una media muestral se utiliza:
\[ \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
Ejemplo
El costo de un apartamento tiene:
\[ \mu=\$62.000 \]
\[ \sigma=\$4.200 \]
Probabilidad de que un apartamento cueste al menos $65.000
\[ P(X\geq65.000) \]
## [1] 0.2375253Probabilidad de que el promedio de dos apartamentos sea al menos $65.000
\[ P(\bar{X}\geq65.000) \]
El error estándar es:
\[ \frac{4200}{\sqrt{2}} \]
## [1] 0.1562111La segunda probabilidad es menor porque las medias muestrales tienen menos variabilidad.
Sumas y promedios
En algunos problemas interesa la suma total en lugar del promedio.
Si:
\[ T=\sum_{i=1}^{n}X_i \]
entonces:
\[ E(T)=n\mu \]
y
\[ \sigma_T=\sigma\sqrt{n} \]
En cambio, para la media:
\[ E(\bar{X})=\mu \]
y
\[ \sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
Ejemplo guiado: peso total de pasajeros
Un transbordador transporta 25 pasajeros.
El peso de cada pasajero sigue una distribución normal con:
\[ \mu=168\text{ libras} \]
\[ \sigma^2=361 \]
Por tanto:
\[ \sigma=19 \]
El peso total es:
\[ T=\sum_{i=1}^{25}X_i \]
Media del peso total
\[ \mu_T = 25(168) \]
\[ \mu_T=4.200 \]
Desviación estándar del peso total
\[ \sigma_T = 19\sqrt{25} \]
\[ \sigma_T=95 \]
Deseamos:
\[ P(T>4.250) \]
Estandarización
\[ z = \frac{4.250-4.200}{95} \]
\[ z\approx0,526 \]
Corrección por población finita
La fórmula:
\[ \sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
se utiliza cuando:
- la población es infinita;
- la población es muy grande;
- el muestreo se realiza con reemplazo;
- la fracción de muestreo es pequeña.
Cuando se muestrea sin reemplazo desde una población finita y la muestra representa una proporción importante de ella, se utiliza la corrección:
\[ \sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \sqrt{ \frac{N-n}{N-1} } \]
El factor:
\[ \sqrt{ \frac{N-n}{N-1} } \]
se denomina factor de corrección por población finita.
¿Cuándo utilizar la corrección?
Una regla práctica es aplicarla cuando:
\[ \frac{n}{N}>0,05 \]
es decir, cuando la muestra supera aproximadamente 5 % de la población.
Ejemplo
Una empresa tiene:
\[ N=500 \]
trabajadores.
Se seleccionan:
\[ n=100 \]
La desviación estándar poblacional es:
\[ \sigma=12 \]
Sin corrección
\[ \sigma_{\bar{X}} = \frac{12}{\sqrt{100}} = 1,2 \]
Ejemplo integrador
Una entidad financiera sabe que el saldo mensual de sus clientes tiene:
\[ \mu=\$112 \]
\[ \sigma=\$56 \]
Se seleccionan:
\[ n=50 \]
cuentas.
Calcule:
\[ P(\bar{X}<100) \]
y
\[ P(100<\bar{X}<130) \]
Error estándar
\[ \sigma_{\bar{X}} = \frac{56}{\sqrt{50}} \]
## [1] 7.919596\[ \sigma_{\bar{X}} \approx7,92 \]
Probabilidad de una media menor que 100
\[ z = \frac{100-112}{7,92} \]
\[ z\approx-1,52 \]
## [1] 0.06485723Probabilidad entre 100 y 130
## [1] 0.923625Interpretación
La primera probabilidad indica qué tan frecuente sería obtener una media inferior a $100 en muestras de 50 cuentas.
La segunda indica qué proporción de medias muestrales estaría entre $100 y $130.
Errores frecuentes
Usar \(\sigma\) en lugar de \(\sigma/\sqrt{n}\)
Cuando la variable es una media muestral, debe utilizarse el error estándar.
Confundir una observación con una media
\[ P(X>a) \]
y
\[ P(\bar{X}>a) \]
son problemas diferentes.
Aplicar el Teorema Central del Límite sin revisar el contexto
Una población extremadamente asimétrica o con valores extremos puede necesitar muestras mayores.
Interpretar el error estándar como un error humano
El error estándar es una medida de variabilidad aleatoria.
Creer que una muestra grande corrige sesgo
El Teorema Central del Límite corrige la forma de la distribución de medias, no un mal diseño de selección.
Pensar que la media muestral siempre coincide con \(\mu\)
La igualdad se cumple en promedio, no en cada muestra.
Ejercicio 15. Cuentas bancarias
Los saldos de cuentas tienen:
\[ \mu=\$2.400 \]
\[ \sigma=\$720 \]
Se seleccionan muestras de:
\[ n=144 \]
Responda:
- Calcule la media de la distribución de muestreo.
- Calcule el error estándar.
- Calcule \(P(\bar{X}>2.520)\).
- Calcule \(P(2.300<\bar{X}<2.500)\).
- Interprete los resultados.
Ejercicio 16. Tiempos de entrega
Una empresa tiene tiempos de entrega con:
\[ \mu=5,2\text{ días} \]
\[ \sigma=2,1\text{ días} \]
Se seleccionan:
\[ n=49 \]
pedidos.
Responda:
- Calcule el error estándar.
- Calcule \(P(\bar{X}<4,8)\).
- Calcule \(P(\bar{X}>5,8)\).
- Calcule \(P(4,9<\bar{X}<5,5)\).
- ¿Qué ocurriría con las probabilidades si \(n\) aumentara a 196?
Ejercicio 17. Población no normal
El monto de compra de los clientes es fuertemente asimétrico, con:
\[ \mu=\$180.000 \]
\[ \sigma=\$90.000 \]
Se seleccionan:
\[ n=64 \]
clientes.
Responda:
- ¿Puede aproximarse la distribución de \(\bar{X}\) mediante una normal?
- Calcule el error estándar.
- Calcule \(P(\bar{X}>200.000)\).
- Explique el papel del Teorema Central del Límite.
- ¿La distribución de los montos individuales se vuelve normal?
Ejercicio 18. Peso total
El peso de un pasajero tiene:
\[ \mu=72\text{ kg} \]
\[ \sigma=11\text{ kg} \]
Un ascensor transporta 12 personas.
Responda:
- Calcule el peso total esperado.
- Calcule la desviación estándar del peso total.
- Calcule la probabilidad de que el peso total supere 900 kg.
- Explique por qué no se utiliza \(\sigma/\sqrt{n}\).
- Calcule el peso promedio esperado de los 12 pasajeros.
Solución de los ejercicios propuestos
A continuación se presentan las soluciones desarrolladas paso a paso. El propósito no es únicamente identificar la respuesta correcta, sino comprender cómo se define la población, cómo se reconoce la unidad de análisis y qué criterios deben considerarse al decidir entre un censo y una muestra.
Solución Ejercicio 1. Empresa de telefonía móvil
Una empresa de telefonía móvil posee 850.000 clientes activos y desea estimar el porcentaje de usuarios satisfechos con su servicio de internet.
¿Cuál es la población del estudio?
La población está formada por:
Los 850.000 clientes activos de la empresa de telefonía móvil.
La población corresponde al conjunto completo sobre el cual la empresa desea obtener información.
En este caso, la organización no desea conocer únicamente la opinión de algunos clientes. Su interés real es estimar el nivel de satisfacción de todos los usuarios activos.
Por tanto:
\[ N=850.000 \]
donde \(N\) representa el tamaño de la población.
¿Cuál sería la unidad de análisis?
La unidad de análisis es:
Cada cliente activo de la empresa.
Cada cliente constituye una unidad porque sobre él se desea registrar información relacionada con su nivel de satisfacción.
Por ejemplo, para cada cliente podrían medirse variables como:
- nivel de satisfacción;
- tipo de plan contratado;
- ciudad de residencia;
- antigüedad como cliente;
- frecuencia de fallas;
- velocidad percibida del servicio;
- número de reclamaciones;
- intención de continuar con la empresa.
Es importante no confundir la unidad de análisis con el servicio de internet. El servicio es el objeto evaluado, pero quien proporciona la información es cada cliente.
¿Sería conveniente realizar un censo?
En este caso, no parece conveniente realizar un censo.
Un censo implicaría intentar contactar a los 850.000 clientes activos. Aunque técnicamente podría enviarse una invitación masiva, obtener y procesar información válida de toda la población sería muy complejo.
El problema puede analizarse desde varios puntos de vista.
Tiempo requerido
Suponga que cada encuesta necesita solamente cinco minutos.
El tiempo total de respuesta sería:
\[ 850.000\times5=4.250.000\text{ minutos} \]
Al convertir a horas:
\[ \frac{4.250.000}{60}=70.833,33\text{ horas} \]
Esto representa una cantidad enorme de tiempo acumulado entre los participantes.
Costo
La empresa tendría que asumir costos asociados con:
- llamadas telefónicas;
- mensajes de texto;
- correos electrónicos;
- plataformas de encuesta;
- personal de seguimiento;
- procesamiento de datos;
- validación de respuestas;
- elaboración del informe.
No respuesta
Aunque la empresa intente contactar a todos los clientes, no todos responderán.
Algunas personas:
- no abrirán el mensaje;
- tendrán datos de contacto desactualizados;
- no estarán interesadas;
- abandonarán la encuesta;
- responderán de manera incompleta.
Por tanto, una invitación censal no garantiza una respuesta censal.
Oportunidad de la información
Si el proceso tarda demasiado, los resultados pueden llegar cuando las condiciones del servicio ya hayan cambiado.
Por estas razones, una muestra correctamente seleccionada sería una alternativa más eficiente.
¿Qué dificultades aparecerían al entrevistar a todos los clientes?
Entre las principales dificultades se encuentran las siguientes.
Alto costo económico
Contactar a 850.000 clientes requiere una inversión considerable en medios de comunicación, personal y procesamiento.
Tiempo excesivo
El periodo de recolección podría extenderse demasiado y retrasar la toma de decisiones.
Datos de contacto incompletos
No todos los clientes tendrán teléfono o correo actualizado.
No respuesta
Una parte importante de los clientes podría negarse a participar o abandonar la encuesta.
Duplicación de respuestas
Un cliente podría responder más de una vez si no se controla correctamente el acceso al cuestionario.
Respuestas de baja calidad
Una encuesta masiva puede generar respuestas apresuradas, incompletas o poco reflexivas.
Procesamiento complejo
La depuración y análisis de cientos de miles de registros demandaría gran capacidad técnica.
Pérdida de actualidad
Mientras se completa el estudio, algunos clientes podrían cambiar de plan, cancelar el servicio o modificar su percepción.
¿Qué ventajas ofrecería utilizar una muestra?
Una muestra bien diseñada ofrecería varias ventajas.
Reducción de costos
La empresa puede concentrar sus recursos en un número menor de clientes.
Mayor rapidez
La información puede obtenerse en un periodo más corto.
Mejor control de calidad
Es posible supervisar mejor la recolección, validar respuestas y corregir inconsistencias.
Mayor profundidad
La encuesta puede incluir preguntas más completas sin sobrecargar el proceso.
Posibilidad de repetición
La empresa puede realizar estudios periódicos para comparar la satisfacción a lo largo del tiempo.
Mejor capacidad de análisis
Una base más manejable facilita la depuración, visualización e interpretación de los resultados.
¿Qué grupos deberían estar representados?
La muestra debería reflejar la diversidad de la población.
Entre los grupos que podrían considerarse se encuentran:
- ciudades o regiones;
- tipo de plan;
- modalidad prepago o pospago;
- clientes residenciales y empresariales;
- antigüedad como cliente;
- nivel de consumo;
- tecnología utilizada;
- clientes con y sin reclamaciones;
- zonas urbanas y rurales;
- diferentes rangos de edad.
La selección de estos grupos depende de la pregunta específica de investigación.
Por ejemplo, si la empresa sospecha que la satisfacción varía según la ciudad, deberá garantizar representación suficiente de las distintas regiones.
Conclusión
La empresa no necesita entrevistar a los 850.000 clientes para estimar el nivel de satisfacción.
Necesita una muestra que:
- sea suficientemente amplia;
- incluya los principales segmentos;
- se seleccione mediante un procedimiento adecuado;
- controle la no respuesta;
- permita generalizar con prudencia.
Solución Ejercicio 2. Producción de botellas
Una fábrica produce diariamente 95.000 botellas de agua y el laboratorio selecciona 450 botellas para verificar la calidad.
¿Cuál es la población?
La población está formada por:
Las 95.000 botellas producidas durante la jornada.
Por tanto:
\[ N=95.000 \]
Es importante incluir el periodo en la definición.
No basta con decir “todas las botellas de la empresa”, porque la producción puede cambiar entre días, turnos o lotes.
Una definición más precisa sería:
Todas las botellas de agua fabricadas por la planta durante la jornada evaluada.
¿Cuál es la muestra?
La muestra está formada por:
Las 450 botellas seleccionadas para el análisis de calidad.
Por tanto:
\[ n=450 \]
Estas botellas son las unidades que serán medidas directamente.
¿Cuál es la unidad de análisis?
La unidad de análisis es:
Cada botella producida.
Sobre cada botella pueden medirse variables como:
- volumen de agua;
- peso total;
- sellado;
- calidad de la tapa;
- nivel de contaminación;
- estado de la etiqueta;
- resistencia del envase;
- presencia de defectos.
¿Por qué no sería conveniente analizar las 95.000 botellas?
Analizar toda la producción podría ser innecesario y costoso.
Costo de inspección
Cada botella requeriría tiempo, equipos y personal.
Interrupción del proceso
Una revisión total podría ralentizar la línea de producción.
Pruebas destructivas
Algunas evaluaciones pueden requerir abrir la botella, perforar el envase o realizar análisis microbiológicos.
Las botellas sometidas a estas pruebas no podrían venderse.
Retraso en la distribución
Esperar la inspección de las 95.000 unidades podría impedir que el producto saliera a tiempo.
Uso ineficiente de recursos
Si el proceso funciona de manera estable, revisar cada unidad aportaría poca información adicional frente al costo involucrado.
¿Qué ocurriría si las 450 botellas se seleccionaran únicamente al iniciar la jornada?
La muestra podría no representar toda la producción.
El comportamiento de la máquina puede cambiar durante el día debido a:
- calentamiento del equipo;
- desgaste;
- cambios de turno;
- ajustes del operador;
- cambios en la presión;
- variaciones en la materia prima;
- mantenimiento;
- limpieza;
- fatiga del personal.
Si todas las botellas se toman al inicio, el estudio describirá principalmente las condiciones iniciales de producción.
Podría ocurrir que:
- al comienzo el proceso funcione correctamente;
- varias horas después aparezca una falla;
- la muestra no detecte el problema;
- se concluya erróneamente que toda la producción cumple.
Este sería un problema de selección.
¿Cómo podría distribuirse mejor la muestra?
Una estrategia más adecuada sería distribuir las 450 botellas durante toda la jornada.
Suponga que la producción se realiza durante nueve horas.
Podrían seleccionarse:
\[ \frac{450}{9}=50 \]
botellas por hora.
Otra alternativa sería seleccionar una botella cada cierto número de unidades.
El intervalo sistemático sería:
\[ k=\frac{N}{n} \]
\[ k=\frac{95.000}{450}\approx211,11 \]
Esto significa que podría seleccionarse aproximadamente una botella cada 211 unidades, después de escoger un punto de inicio aleatorio.
Por ejemplo, si el inicio aleatorio fuera la botella 83, la selección seguiría aproximadamente así:
\[ 83,\ 294,\ 505,\ 716,\ldots \]
De esta manera, la muestra quedaría distribuida a lo largo de toda la producción.
Propuesta de diseño
Una propuesta más completa podría combinar:
- selección por turnos;
- selección por hora;
- selección a intervalos regulares;
- arranque aleatorio;
- registro de máquina y operador;
- control por lote.
Por ejemplo:
| Turno | Botellas seleccionadas |
|---|---|
| Mañana | 150 |
| Tarde | 150 |
| Noche | 150 |
| Total | 450 |
Dentro de cada turno, las botellas podrían seleccionarse sistemáticamente.
Conclusión
El tamaño de la muestra no es el único aspecto importante.
Las 450 botellas deben estar distribuidas de manera que representen:
- toda la jornada;
- todos los turnos;
- diferentes momentos de producción;
- posibles cambios del proceso.
Solución Ejercicio 3. Comercio electrónico
Una empresa desea estimar el tiempo promedio de entrega de los pedidos realizados durante el último semestre.
¿Cuál es la población?
La población está formada por:
Todos los pedidos realizados durante el último semestre que cumplen los criterios definidos por la empresa.
La definición debe precisar si se incluyen:
- pedidos cancelados;
- devoluciones;
- entregas fallidas;
- pedidos internacionales;
- pedidos recogidos en tienda;
- productos digitales;
- pedidos pendientes.
Una definición posible sería:
Todos los pedidos físicos despachados y entregados por la empresa durante el último semestre.
Esta definición evita mezclar pedidos que no son comparables.
¿Cuál es la unidad de análisis?
La unidad de análisis es:
Cada pedido realizado.
Cada pedido constituye una observación independiente dentro de la base, siempre que la empresa defina adecuadamente sus criterios.
¿Qué variable debería medirse?
La variable principal es el tiempo de entrega.
Puede definirse como:
\[ \text{Tiempo de entrega} = \text{Fecha y hora de entrega} - \text{Fecha y hora de confirmación} \]
Sin embargo, la empresa debe decidir desde qué momento comienza el conteo.
Posibles puntos de inicio:
- creación del pedido;
- confirmación del pago;
- aprobación del pedido;
- salida del centro de distribución;
- entrega al transportador.
La definición debe ser consistente para todos los registros.
La unidad de medida podría ser:
- horas;
- días calendario;
- días hábiles.
¿Por qué utilizar una muestra?
La empresa podría tener cientos de miles o millones de pedidos.
Revisar todos puede resultar innecesario cuando:
- la base es muy grande;
- existen registros incompletos;
- se necesita una respuesta rápida;
- el análisis detallado requiere depuración manual;
- se desea comparar segmentos específicos.
Una muestra permite:
- reducir el tiempo de procesamiento;
- revisar con mayor detalle la calidad de los registros;
- detectar problemas logísticos;
- estimar el tiempo promedio;
- comparar ciudades, transportadores o tipos de producto.
¿Qué condiciones debería cumplir la muestra?
La muestra debería representar la diversidad de pedidos.
Debería incluir:
- diferentes ciudades;
- zonas urbanas y rurales;
- diversos transportadores;
- distintos tipos de producto;
- pedidos pequeños y grandes;
- diferentes meses del semestre;
- temporadas de alta y baja demanda;
- entregas rápidas y tardías;
- distintos centros de distribución.
También debería evitar seleccionar únicamente pedidos fáciles de analizar.
¿Qué sesgo aparecería si solo se analizaran pedidos de una ciudad?
Se produciría un sesgo de cobertura o selección geográfica.
Los tiempos de entrega pueden depender de:
- distancia;
- infraestructura;
- tráfico;
- ubicación de centros logísticos;
- disponibilidad de transportadores;
- condiciones climáticas;
- seguridad;
- tipo de zona.
Si solo se analiza Bogotá, por ejemplo, los resultados no necesariamente representarían pedidos enviados a municipios pequeños o zonas rurales.
La empresa podría obtener una media válida para esa ciudad, pero no para toda su operación.
¿Qué problemas surgirían si únicamente se seleccionaran pedidos entregados a tiempo?
La muestra estaría sesgada porque excluiría precisamente los pedidos con problemas.
El promedio calculado sería artificialmente bajo.
Suponga que existen cinco tiempos de entrega:
\[ 2,\ 3,\ 3,\ 5,\ 12 \]
El promedio real es:
\[ \bar{x} = \frac{2+3+3+5+12}{5} = 5 \]
Si se excluye el pedido tardío de 12 días:
\[ \bar{x} = \frac{2+3+3+5}{4} = 3,25 \]
La estimación disminuiría de 5 a 3,25 días.
La empresa podría concluir erróneamente que su proceso funciona mejor de lo que realmente funciona.
Además, no podría identificar:
- causas de retraso;
- ciudades problemáticas;
- transportadores con bajo desempeño;
- productos difíciles de despachar;
- temporadas críticas.
Diseño sugerido
Una estrategia adecuada podría ser un muestreo estratificado.
Posibles estratos:
- ciudad o región;
- transportador;
- mes;
- tipo de producto;
- centro de distribución.
Dentro de cada estrato se seleccionarían pedidos aleatoriamente.
Conclusión
La muestra debe incluir tanto pedidos rápidos como tardíos.
Excluir los casos problemáticos transforma el estudio en una descripción parcial y optimista de la operación.
El objetivo no es producir un buen indicador, sino obtener un indicador que refleje la realidad.
Solución Ejercicio 4. Selección de estudiantes
La universidad tiene 5.000 estudiantes y desea seleccionar 250.
Tamaño de la población
\[ N=5.000 \]
Tamaño de la muestra
\[ n=250 \]
Probabilidad de inclusión
\[ \pi_i=\frac{n}{N} \]
\[ \pi_i=\frac{250}{5.000}=0,05 \]
Cada estudiante tiene una probabilidad de 5 % de formar parte de la muestra.
Ponderación básica
\[ w_i=\frac{1}{\pi_i} \]
\[ w_i=\frac{1}{0,05}=20 \]
Cada estudiante seleccionado representa aproximadamente 20 estudiantes de la población.
¿Se garantiza igual representación por facultad?
No.
El muestreo aleatorio simple garantiza igualdad de probabilidad individual, pero no fija cantidades específicas por facultad.
Es posible que una facultad grande tenga muchos seleccionados y una facultad pequeña tenga pocos.
Si se requiere garantizar representación de todas las facultades, debería considerarse muestreo estratificado.
Solución Ejercicio 5. Comité empresarial
La población está formada por cinco personas y se seleccionan dos.
\[ N=5 \]
\[ n=2 \]
Número de muestras
\[ \binom{5}{2} = \frac{5!}{2!3!} \]
\[ \binom{5}{2}=10 \]
Muestras posibles
\[ AB,\ AC,\ AD,\ AE,\ BC,\ BD,\ BE,\ CD,\ CE,\ DE \]
Probabilidad de cada muestra
\[ P(s)=\frac{1}{10} \]
Probabilidad de inclusión
Cada persona aparece en cuatro muestras.
Por ejemplo, \(A\) aparece en:
\[ AB,\ AC,\ AD,\ AE \]
Entonces:
\[ P(A\in s)=\frac{4}{10}=0,4 \]
Mediante la fórmula:
\[ \pi_i=\frac{n}{N} \]
\[ \pi_i=\frac{2}{5}=0,4 \]
Todos los integrantes tienen 40 % de probabilidad de inclusión.
Solución Ejercicio 6. Auditoría de créditos
Población
La población está formada por:
Los 18.000 créditos activos del banco en la fecha definida para el estudio.
Unidad de análisis
Cada crédito activo.
Probabilidad de inclusión
\[ \pi_i=\frac{360}{18.000} \]
\[ \pi_i=0,02 \]
Cada crédito tiene 2 % de probabilidad de ser seleccionado.
Ponderación
\[ w_i=\frac{1}{0,02}=50 \]
Cada crédito seleccionado representa aproximadamente 50 créditos.
¿Por qué no seleccionar los primeros 360?
Porque el orden de la base podría estar relacionado con:
- fecha de apertura;
- sucursal;
- tipo de producto;
- nivel de riesgo;
- estado de mora;
- ejecutivo responsable.
Los primeros 360 podrían compartir características que no representan al conjunto completo.
Además, no existiría un mecanismo aleatorio.
Problemas que deben revisarse
Antes de seleccionar deben revisarse, por ejemplo:
- registros duplicados;
- créditos cancelados incluidos por error;
- identificadores faltantes;
- clasificación desactualizada;
- créditos fuera del periodo;
- registros sin información esencial.
Solución Ejercicio 7. Muestreo con reemplazo
La población es:
\[ A,\ B,\ C \]
Se seleccionan dos unidades con reemplazo y se considera el orden.
Resultados posibles
\[ AA,\ AB,\ AC,\ BA,\ BB,\ BC,\ CA,\ CB,\ CC \]
Existen:
\[ 3\times3=9 \]
resultados posibles.
Probabilidad de cada resultado
Cada selección tiene probabilidad \(1/3\).
Por independencia:
\[ P(AA)=\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{9} \]
Lo mismo ocurre con cada secuencia.
Probabilidad de obtener \(AA\)
\[ P(AA)=\frac{1}{9} \]
Probabilidad de seleccionar dos unidades diferentes
Los resultados favorables son:
\[ AB,\ AC,\ BA,\ BC,\ CA,\ CB \]
Hay seis resultados favorables de nueve posibles.
\[ P(\text{diferentes})=\frac{6}{9} \]
\[ P(\text{diferentes})=\frac{2}{3} \]
También puede calcularse mediante el complemento:
\[ P(\text{diferentes}) = 1-P(\text{iguales}) \]
Los resultados iguales son:
\[ AA,\ BB,\ CC \]
\[ P(\text{iguales})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3} \]
Por tanto:
\[ P(\text{diferentes}) = 1-\frac{1}{3} = \frac{2}{3} \]
Solución Ejercicio 8. Capacitación empresarial
Unidad experimental
Cada vendedor puede ser una unidad experimental, siempre que el tratamiento se asigne individualmente.
Si la capacitación se aplica por equipos completos, la unidad experimental sería cada equipo.
Factor
El factor es:
Método de capacitación.
Niveles
- método A;
- método B.
Variable de respuesta
Podría utilizarse:
- ventas mensuales;
- tasa de conversión;
- número de clientes nuevos;
- desempeño en una prueba;
- cumplimiento de metas.
Una opción precisa sería:
\[ Y=\text{porcentaje de cumplimiento de la meta mensual} \]
Variables de control
- experiencia;
- zona comercial;
- tipo de producto;
- cartera asignada;
- jornada;
- tamaño del mercado.
Asignación aleatoria
Se puede construir una lista de vendedores elegibles y asignar aleatoriamente la mitad a cada método.
set.seed(1000)
vendedores <- paste0("V", 1:40)
tratamiento <- sample(
rep(c("A", "B"), each = 20)
)
data.frame(
vendedor = vendedores,
metodo = tratamiento
)Riesgo de aplicar A solo a nuevos
La experiencia quedaría confundida con el método.
Si los nuevos tienen menor desempeño, podría concluirse erróneamente que A es peor.
Solución Ejercicio 9. Comparación de empaques
Factor
Diseño de empaque.
Niveles
- empaque 1;
- empaque 2;
- empaque 3.
Variable de respuesta
Intención de compra.
Puede medirse como:
- escala de 1 a 10;
- elección entre opciones;
- probabilidad declarada;
- compra real.
Unidad experimental
Cada consumidor al que se presenta un empaque.
Necesidad de repetición
Una sola persona puede tener preferencias particulares.
La repetición permite:
- estimar variabilidad;
- reducir efecto de casos atípicos;
- obtener resultados más estables.
Variables de confusión
- edad;
- género;
- familiaridad con la marca;
- precio mostrado;
- ubicación del producto;
- nivel de ingreso.
Aleatorización
Los empaques pueden asignarse aleatoriamente a los consumidores.
También debe aleatorizarse el orden de presentación si una misma persona observa varios empaques.
Solución Ejercicio 10. Diseño factorial
Número de factores
Existen tres factores:
- precio;
- publicidad;
- canal.
Niveles
Precio:
\[ 2 \]
Publicidad:
\[ 3 \]
Canal:
\[ 2 \]
Combinaciones
\[ 2\times3\times2=12 \]
Se requieren 12 combinaciones en un factorial completo.
Repeticiones
Si cada combinación se repite cinco veces:
\[ 12\times5=60 \]
Se requieren 60 observaciones.
Interacciones posibles
Podrían estudiarse:
- precio y publicidad;
- precio y canal;
- publicidad y canal;
- precio, publicidad y canal.
Por ejemplo, una publicidad puede funcionar bien en línea, pero no en tiendas físicas. Eso sería una interacción entre publicidad y canal.
Solución Ejercicio 11. Población pequeña
La población es:
\[ 1,\ 3,\ 5,\ 7 \]
Media poblacional
\[ \mu= \frac{1+3+5+7}{4} \]
\[ \mu=\frac{16}{4}=4 \]
Muestras posibles
Como:
\[ N=4 \]
\[ n=2 \]
el número de muestras es:
\[ \binom{4}{2}=6 \]
Las muestras son:
\[ (1,3),\ (1,5),\ (1,7),\ (3,5),\ (3,7),\ (5,7) \]
Medias muestrales
\[ \bar{x}_{(1,3)}=\frac{1+3}{2}=2 \]
\[ \bar{x}_{(1,5)}=\frac{1+5}{2}=3 \]
\[ \bar{x}_{(1,7)}=\frac{1+7}{2}=4 \]
\[ \bar{x}_{(3,5)}=\frac{3+5}{2}=4 \]
\[ \bar{x}_{(3,7)}=\frac{3+7}{2}=5 \]
\[ \bar{x}_{(5,7)}=\frac{5+7}{2}=6 \]
La distribución de muestreo es:
\[ 2,\ 3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 6 \]
Media de las medias
\[ \mu_{\bar{x}} = \frac{2+3+4+4+5+6}{6} \]
\[ \mu_{\bar{x}} = \frac{24}{6} = 4 \]
Por tanto:
\[ \mu_{\bar{x}}=\mu=4 \]
La distribución de muestreo está centrada en la media poblacional.
Solución Ejercicio 12. Tiempos de atención
Se tiene:
\[ \mu=18 \]
\[ \sigma=6 \]
\[ n=36 \]
Media de la distribución de muestreo
\[ \mu_{\bar{X}}=\mu \]
\[ \mu_{\bar{X}}=18 \]
Error estándar
\[ \sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
\[ \sigma_{\bar{X}} = \frac{6}{\sqrt{36}} \]
\[ \sigma_{\bar{X}} = \frac{6}{6} = 1 \]
Interpretación
Las medias de muestras de 36 clientes tienden a variar alrededor de 18 minutos con una desviación estándar de 1 minuto.
Error de muestreo
Si:
\[ \bar{x}=20 \]
entonces:
\[ \bar{x}-\mu = 20-18 = 2 \]
La muestra sobreestima la media poblacional en 2 minutos.
Unidades de error estándar
\[ \frac{\bar{x}-\mu} {\sigma_{\bar{X}}} = \frac{2}{1} = 2 \]
La media observada está dos errores estándar por encima de la media poblacional.
Solución Ejercicio 13. Clientes con mora
Se tiene:
\[ p=0,25 \]
\[ n=300 \]
Media de la distribución
\[ \mu_{\hat{p}}=p \]
\[ \mu_{\hat{p}}=0,25 \]
Error estándar
\[ \sigma_{\hat{p}} = \sqrt{ \frac{p(1-p)}{n} } \]
\[ \sigma_{\hat{p}} = \sqrt{ \frac{0,25(0,75)}{300} } \]
\[ \sigma_{\hat{p}} = \sqrt{ \frac{0,1875}{300} } \]
\[ \sigma_{\hat{p}} = \sqrt{0,000625} \]
\[ \sigma_{\hat{p}}=0,025 \]
En porcentaje:
\[ 0,025\times100=2,5\% \]
Error de muestreo
Si:
\[ \hat{p}=0,29 \]
entonces:
\[ \hat{p}-p = 0,29-0,25 = 0,04 \]
La muestra sobreestima la proporción poblacional en 0,04, es decir, cuatro puntos porcentuales.
¿Debe coincidir exactamente?
No.
La proporción muestral varía entre muestras. No se espera que cada muestra produzca exactamente 0,25.
Solución Ejercicio 14. Comparación de tamaños
Se tiene:
\[ \sigma=20 \]
Para \(n=25\)
\[ \sigma_{\bar{X}} = \frac{20}{\sqrt{25}} = \frac{20}{5} = 4 \]
Para \(n=100\)
\[ \sigma_{\bar{X}} = \frac{20}{\sqrt{100}} = \frac{20}{10} = 2 \]
Para \(n=400\)
\[ \sigma_{\bar{X}} = \frac{20}{\sqrt{400}} = \frac{20}{20} = 1 \]
| \(n\) | Error estándar |
|---|---|
| 25 | 4 |
| 100 | 2 |
| 400 | 1 |
El error estándar disminuye a medida que aumenta \(n\).
La muestra de 400 observaciones produce la mayor precisión.
Para reducir el error estándar a la mitad, el tamaño muestral debe multiplicarse por cuatro.
Solución Ejercicio 15. Cuentas bancarias
Se tiene:
\[ \mu=2.400 \]
\[ \sigma=720 \]
\[ n=144 \]
Media de la distribución
\[ \mu_{\bar{X}}=\mu \]
\[ \mu_{\bar{X}}=2.400 \]
Error estándar
\[ \sigma_{\bar{X}} = \frac{720}{\sqrt{144}} \]
\[ \sigma_{\bar{X}} = \frac{720}{12} \]
\[ \sigma_{\bar{X}}=60 \]
Probabilidad de una media mayor que 2.520
\[ z = \frac{2.520-2.400}{60} \]
\[ z=2 \]
\[ P(\bar{X}>2.520) = P(Z>2) \]
## [1] 0.02275013\[ P(\bar{X}>2.520) \approx0,0228 \]
Probabilidad entre 2.300 y 2.500
\[ z_1 = \frac{2.300-2.400}{60} = -1,67 \]
\[ z_2 = \frac{2.500-2.400}{60} = 1,67 \]
## [1] 0.9044193Interpretación:
La mayoría de las medias de muestras de 144 cuentas se encontrará relativamente cerca de $2.400.
Solución Ejercicio 16. Tiempos de entrega
Se tiene:
\[ \mu=5,2 \]
\[ \sigma=2,1 \]
\[ n=49 \]
Error estándar
\[ \sigma_{\bar{X}} = \frac{2,1}{\sqrt{49}} \]
\[ \sigma_{\bar{X}} = \frac{2,1}{7} \]
\[ \sigma_{\bar{X}}=0,3 \]
Probabilidad de una media menor que 4,8
\[ z = \frac{4,8-5,2}{0,3} \]
\[ z=-1,33 \]
## [1] 0.09121122Probabilidad de una media mayor que 5,8
\[ z = \frac{5,8-5,2}{0,3} \]
\[ z=2 \]
## [1] 0.02275013Probabilidad entre 4,9 y 5,5
## [1] 0.6826895Si \(n=196\)
\[ \sigma_{\bar{X}} = \frac{2,1}{\sqrt{196}} \]
\[ \sigma_{\bar{X}} = \frac{2,1}{14} \]
\[ \sigma_{\bar{X}}=0,15 \]
El error estándar se reduce a la mitad porque el tamaño se cuadruplicó.
Las medias se concentrarán más cerca de 5,2.
Solución Ejercicio 17. Población no normal
Se tiene:
\[ \mu=180.000 \]
\[ \sigma=90.000 \]
\[ n=64 \]
Aproximación normal
Aunque la población es asimétrica, el tamaño:
\[ n=64 \]
es suficientemente grande para utilizar el Teorema Central del Límite como aproximación, siempre que no existan valores extremos extraordinariamente dominantes.
Error estándar
\[ \sigma_{\bar{X}} = \frac{90.000}{\sqrt{64}} \]
\[ \sigma_{\bar{X}} = \frac{90.000}{8} \]
\[ \sigma_{\bar{X}}=11.250 \]
Probabilidad de una media mayor que 200.000
\[ z = \frac{200.000-180.000}{11.250} \]
\[ z\approx1,78 \]
## [1] 0.03772018Papel del Teorema Central del Límite
El teorema permite aproximar la distribución de las medias muestrales mediante una normal, aunque los montos individuales sean asimétricos.
¿Los montos individuales se vuelven normales?
No.
La población original conserva su forma.
Lo que se aproxima a la normal es la distribución de las medias muestrales.
Solución Ejercicio 18. Peso total
Se tiene:
\[ \mu=72 \]
\[ \sigma=11 \]
\[ n=12 \]
Peso total esperado
\[ \mu_T=n\mu \]
\[ \mu_T=12(72) \]
\[ \mu_T=864\text{ kg} \]
Desviación estándar del total
\[ \sigma_T=\sigma\sqrt{n} \]
\[ \sigma_T=11\sqrt{12} \]
## [1] 38.10512\[ \sigma_T\approx38,11\text{ kg} \]
Probabilidad de superar 900 kg
\[ z = \frac{900-864}{38,11} \]
\[ z\approx0,94 \]
## [1] 0.172392¿Por qué no usar \(\sigma/\sqrt{n}\)?
Porque el problema pregunta por la suma total, no por la media.
Para una suma:
\[ \sigma_T=\sigma\sqrt{n} \]
Para una media:
\[ \sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
Peso promedio esperado
\[ \mu_{\bar{X}}=\mu \]
\[ \mu_{\bar{X}}=72\text{ kg} \]