Matemáticas Actuariales I

Introducción a la Ciencia Actuarial

M.C. Claudia Gisela Vázquez Cruz

Bienvenidos

Horario

Martes Miércoles Jueves

12-14 8-10 8-10

Encuadre

Presentación del Programa

Indice

UNIDAD 1. La Economía del Seguro

1.1 La teoría de la utilidad aplicada al problema del seguro. 1.2 Los elementos del seguro. 1.3 Selección del seguro óptimo

UNIDAD 2. Modelos de Supervivencia y Tablas de Mortalidad.

UNIDAD 3. Anualidades.

UNIDAD 4. Seguros.

UNIDAD 4. Reserva Matemática.

Evaluación

Matemáticas Actuariales I

El objetivo del curso es estudiar los métodos de la matemática actuarial para calcular cuantitativamente el pago (prima) que debe cobrar la compañía de seguros por la prestación de su servicio y el capital a reservar para el cumplimiento de sus obligaciones, únicamente para el caso de los riesgos contingentes.

Riesgo

El Diccionario de la Real Academia Española (2014), “el riesgo como contingencia o proximidad de un daño en donde contingencia lo interpreta como la posibilidad de que algo suceda o no suceda”

Originalmente la palabra riesgo significa roca peligrosa. Es una palabra que se deriva de los vocablos latinos riesco e italiano risico, donde risico significa la acción de adentrarse por el camino más escarpado.

Modelos de Supervivencia

Objetivos

Al finalizar este módulo el estudiante será capaz de:

  • Comprender la variable aleatoria vida futura.
  • Interpretar funciones de supervivencia.
  • Calcular probabilidades actuariales.
  • Analizar la fuerza de mortalidad.
  • Calcular esperanza de vida.
  • Simular tiempos de vida utilizando R.

¿Qué es un modelo de supervivencia?

Uno de los principales objetivos de las Matemáticas Actuariales consiste en estudiar fenómenos cuya duración es incierta. En el ámbito de los seguros de personas, las pensiones y la seguridad social, el tiempo hasta que ocurre un determinado evento —como el fallecimiento, la invalidez o la jubilación— no puede conocerse con exactitud. Sin embargo, sí es posible describirlo mediante modelos probabilísticos.

Los modelos de supervivencia constituyen el conjunto de herramientas matemáticas y estadísticas que permiten analizar el tiempo transcurrido hasta la ocurrencia de un evento de interés. En Actuaría, dicho evento suele ser el fallecimiento de una persona asegurada, aunque también pueden estudiarse otros sucesos, como la aparición de una enfermedad, el retiro laboral o la cancelación de una póliza.

Estos modelos permiten responder preguntas fundamentales para una compañía de seguros, por ejemplo:

  • ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de 35 años sobreviva los próximos 20 años?

  • ¿Cuál es la esperanza de vida de una persona de determinada edad?

  • ¿Qué prima debe cobrarse por un seguro de vida?

  • ¿Cuánto dinero debe reservar una aseguradora para cumplir con sus obligaciones futuras?

Los modelos de supervivencia permiten describir el tiempo hasta la ocurrencia de un evento, como el fallecimiento de una persona asegurada.

Son fundamentales para:

  • Seguros de vida

  • Pensiones

  • Salud

  • Seguridad Social

Variable Aleatoria Tiempo de Vida

Sea

T=Tiempo futuro de vida de una persona de edad x

donde:

  • T≥0

  • Es una variable aleatoria continua.

  • Se mide generalmente en años.

Ejemplo:

Una persona de 30 años vive 48 años más.

Entonces

T=48

Función de Distribución

F(t)=P(T≤t)

Probabilidad de que una persona fallezca antes del tiempo t

Función de Supervivencia

S(t)=P(T>t)

Esta es la función más importante en Matemáticas Actuariales.

Además,

S(t)=1−F(t)

Ejemplo

Una persona tiene actualmente 35 años.

Si fallece a los 82 años,

[ T=47 ]

años.

Curva de Supervivencia

Función de Densidad

f(t)=dF(t)/dt

Fuerza de Mortalidad

La fuerza de mortalidad es

μ(t)=f(t)/S(t)

Su interpretación actuarial es la tasa instantánea de mortalidad condicionada a haber sobrevivido hasta la edad t

Representa la tasa instantánea de mortalidad condicionada a haber sobrevivido hasta la edad (t).

Simulación de Vidas

Comparación

Ejercicio

Sea

[ ]

Calcular

  1. Esperanza de vida.
  2. Probabilidad de sobrevivir 20 años.
  3. Probabilidad de fallecer antes de 40 años.
  4. Graficar la función de supervivencia.

Código del ejercicio

[1] 40
[1] 0.6065307
[1] 0.6321206

Conclusiones

  • Los modelos de supervivencia constituyen la base de las Matemáticas Actuariales.
  • Permiten modelar el tiempo hasta el fallecimiento.
  • Son esenciales para la valuación de seguros y pensiones.

Bibliografía

Dickson, Hardy & Waters.

Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks.

Promislow.

Fundamentals of Actuarial Mathematics.

Klugman, Panjer & Willmot.

Loss Models.

Índice

  1. Introducción a las Tablas de Mortalidad
  2. Concepto y Definición
  3. Historia de las Tablas de Mortalidad
  4. Componentes de una Tabla de Mortalidad
  5. Funciones Biométricas
  6. Probabilidades de Supervivencia y Muerte
  7. Esperanza de Vida
  8. Fuerza de Mortalidad
  9. Construcción de una Tabla de Mortalidad
  10. Aplicaciones Actuariales
  11. Ejemplos con R
  12. Ejercicios Prácticos
  13. Conclusiones

Tema 1

Introducción a las Tablas de Mortalidad

Objetivo

Comprender la importancia de las tablas de mortalidad como herramienta fundamental para el análisis de la supervivencia de una población y su aplicación en los seguros, las pensiones y la gestión actuarial del riesgo.

¿Qué es una Tabla de Mortalidad?

Una tabla de mortalidad es un instrumento estadístico que resume el comportamiento de la mortalidad y la supervivencia de una población.

Permite conocer:

  • El número de personas que sobreviven a cada edad.
  • La probabilidad de fallecer entre dos edades consecutivas.
  • La probabilidad de sobrevivir.
  • La esperanza de vida restante.

Estas tablas constituyen la base de numerosos modelos utilizados en la ciencia actuarial.

¿Por qué son importantes?

Las tablas de mortalidad permiten:

  • Calcular primas de seguros de vida.
  • Determinar reservas matemáticas.
  • Valuar rentas vitalicias.
  • Diseñar planes de pensiones.
  • Evaluar riesgos demográficos.
  • Estimar la esperanza de vida.

Sin ellas sería imposible realizar cálculos actuariales confiables.

Aplicaciones en Actuaría

Las tablas de mortalidad son utilizadas en:

  • Seguros de vida.
  • Seguros de accidentes.
  • Pensiones públicas.
  • Pensiones privadas.
  • Seguridad Social.
  • Reaseguro.
  • Administración de riesgos.
  • Finanzas actuariales.

Ejemplo cotidiano

Suponga una población inicial de 100,000 recién nacidos.

Conforme transcurre el tiempo algunas personas fallecen y otras continúan con vida.

La tabla de mortalidad registra el número de sobrevivientes en cada edad y permite responder preguntas como:

  • ¿Cuántas personas llegarán a los 60 años?
  • ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de 40 años sobreviva hasta los 65?
  • ¿Cuál es la esperanza de vida a los 30 años?

Representación gráfica

Interpretación de la gráfica

Se observa que:

  • La población inicial es de 100,000 individuos.
  • Conforme aumenta la edad, el número de sobrevivientes disminuye.
  • El descenso es lento durante la infancia y la juventud.
  • En edades avanzadas la disminución es más acelerada.

Este comportamiento es característico de una población real.

Relación con los Seguros

Las compañías aseguradoras utilizan las tablas de mortalidad para:

  • Estimar la frecuencia esperada de fallecimientos.
  • Calcular el costo esperado de los seguros.
  • Determinar primas actuarialmente justas.
  • Evaluar reservas técnicas.
  • Analizar la solvencia financiera.

Relación con las Pensiones

En los sistemas de pensiones las tablas permiten:

  • Estimar cuánto tiempo vivirá un pensionado.
  • Calcular el monto de las rentas vitalicias.
  • Determinar el costo actuarial de un sistema pensionario.
  • Proyectar obligaciones futuras.

Ejemplo en R

Supongamos una población inicial de 100,000 personas y una reducción constante del 2 % anual.

  Edad Sobrevivientes
1    0         100000
2    1          98000
3    2          96040
4    3          94119
5    4          92237
6    5          90392

Visualización

Ideas clave

Las tablas de mortalidad:

  • Describen el comportamiento de la supervivencia.
  • Son una herramienta estadística.
  • Constituyen la base de la matemática actuarial.
  • Se utilizan en seguros y pensiones.
  • Facilitan la estimación del riesgo de longevidad.

Actividad

En equipos, respondan las siguientes preguntas:

  1. ¿Por qué una aseguradora necesita conocer la probabilidad de fallecimiento de sus asegurados?
  2. ¿Qué diferencias existirían entre una población joven y una población envejecida?
  3. ¿Cómo afectaría el aumento de la esperanza de vida al costo de las pensiones?

Resumen del Tema 1

En esta unidad aprendimos que:

  • Una tabla de mortalidad resume el comportamiento de la supervivencia de una población.
  • Constituye la herramienta fundamental para los cálculos actuariales.
  • Tiene aplicaciones en seguros, pensiones y gestión del riesgo.
  • Permite estimar probabilidades de muerte, supervivencia y esperanza de vida.