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対数入門

\[ Y=\log_a X \]

\[ Y=a^X \]

と直線 Y=X に関して対称になる。

\[ \log_a P<\log_a Q \]

\[ \log_a P>\log_a Q \]

\[ \log_a P+\log_a Q=\log_a(PQ) \]

\[ \log_a P-\log_a Q = \log_a\left(\frac{P}{Q}\right) \] # 微分

微分とは？

  • 微分とは、ある任意の点における関数の傾きを示すものである。変化率とも考えられる。

  • 定義的なところで言えば、X が a から b の間で進む量は、次のように表される。

\[ b-a \]

Y が変化する量は、次のように表される。

\[ f(b)-f(a) \]

この二つを使うと、平均変化率は次の式で表される。

\[ \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \] - 微分係数は、b を a に近づけることで求められる。

\[ f'(a) = \lim_{b\to a} \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \]

または、次のように表す。

\[ f'(a) = \lim_{h\to0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \]

  • 微細な Y の変化を微細な X の変化で割ったものであり、関数上では傾きになる。

  • 微分の基本としては、指数を1つ下げて、下げる前の指数の数字を係数に掛ける。

一般に、次の公式が成り立つ。

\[ \frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1} \]

例えば、次の関数を微分する。

\[ 4X^4 \]

指数の 4 を係数に掛け、指数を1つ下げる。

\[ 4\cdot4X^3 = 16X^3 \] # いろいろな関数の微分

  • 積の微分

\[ (f(x)g(x))' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \]

  • 商の微分

\[ \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)} {g(x)^2} \]

  • 三角関数

\[ (\sin x)'=\cos x \]

\[ (\cos x)'=-\sin x \]

  • 対数関数

\[ (\log x)'=\frac1x \]

\[ (\log_a x)' = \frac1{x\log a} \]

\[ (\log |f(x)|)' = \frac{f'(x)}{f(x)} \]

  • 指数関数

\[ (e^x)'=e^x \]

\[ (a^x)' = a^x\log a \] # ネイピア数 e の解説

ネイピア数の導出

ネイピア数 \(e\) は、複利を無限回に分けた極限から導かれる。

① 複利の式

1年間の利率を100%とし、1年間を \(n\) 回に分けて複利計算すると、

\[ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \]

となる。

② 極限を考える

分割数 \(n\) を無限に大きくすると、

\[ n\rightarrow\infty \]

となる。

③ 二項定理で展開する

二項定理より、

\[ (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{\,n-k}b^k \]

ここで

\[ a=1,\qquad b=\frac1n \]

を代入すると、

\[ \left(1+\frac1n\right)^n = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots \]

という形になる。

④ 極限をとる

\(n\rightarrow\infty\) のとき、

\[ e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac1{k!} \]

となる。

⑤ 結果

したがって、

\[ e = 2.718281828\cdots \]

となる。

これは自然対数の底として用いられる重要な定数である。



対数問題






微分問題