Taller: Estimación de parámetros modelo regresión lineal simple

##Ejercicio 1

Estime, de manera manual (excel), mediante mínimos cuadrados, los coeficientes de regresión del modelo. Muestre cada uno de los pasos, cálculos y ecuaciones usadas para encontrar los parámetros.

Paso 1. Ingreso y organización de los datos

Se registraron las 26 observaciones de la carga transportada, identificada como variable independiente (X), y del consumo de combustible, considerado como variable dependiente (Y), para posteriormente realizar el análisis de regresión.

Paso 2. Cálculo de las medias

Posteriormente, se determinaron los valores promedio de las variables (X) y (Y), aplicando las siguientes fórmulas: \[\bar{X} = \frac{\sum X_i}{n}\]

\[\bar{Y} = \frac{\sum Y_i}{n}\] Los valores obtenidos fueron: \[ \bar{X} = 17{,}5\]

\[\bar{Y} = 36{,}6\]

Paso 3. Cálculo de las desviaciones respecto a la media

Luego, se calculó la diferencia entre cada valor observado y su respectiva media, obteniendo así los datos necesarios para estimar los coeficientes del modelo.

\[X_i - \bar{X} \]

\[Y_i - \bar{Y} \]

Paso 4. Cálculo de productos y cuadrados

Con las desviaciones obtenidas, se calcularon los productos entre (X) y (Y), así como los cuadrados de las desviaciones de la variable (X). \[ (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y}) \] \[ (X_i - \bar{X})^2\]

Paso 5 Estimación de la pendiente

La pendiente del modelo se obtuvo mediante la siguiente expresión: \[ \hat{\beta}_1 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (X_i - \bar{X})^2} \]

reemplazando los valores obtenidos:

\[ \hat{\beta}_1 = \frac{1719{,}9}{1462{,}5} \] \[ \boxed{\hat{\beta}_1 = 1{,}176} \] ## Paso 6. Estimación del intercepto

Después de calcular la pendiente, se determinó el valor del intercepto utilizando la siguiente expresión: \[ \hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{X} \] Sustituyendo los valores obtenidos: \[ \hat{\beta}_0 = 36{,}6 - (1{,}176)(17{,}5) \] \[ \boxed{\hat{\beta}_0 = 16{,}02} \] ## Paso 7. Modelo de regresión lineal estimado

Finalmente, con los valores obtenidos para la pendiente y el intercepto, se construyó el siguiente modelo de regresión lineal simple: \[ \boxed{\hat{Y} = 16{,}02 + 1{,}176X} \]

Ejercicio 2

Use R - RStudio para realizar la estimación de los coeficientes de regresión del modelo. Es necesario en este punto mostrar él código usado y los resultados obtenidos.

library(readxl)
datos <- read_excel("C:/Users/carlo/Downloads/datos.xlsx")
View(datos)
carga <- datos$`Carga (toneladas) X`
consumo <- datos$`Consumo (L/100 km) Y`
modelo <- lm(consumo ~ carga)
summary(modelo)

Call:
lm(formula = consumo ~ carga)

Residuals:
   Min     1Q Median     3Q    Max 
-0.372 -0.207  0.010  0.199  0.320 

Coefficients:
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) 16.020000   0.117534   136.3   <2e-16 ***
carga        1.176000   0.006173   190.5   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.2361 on 24 degrees of freedom
  (13 observations deleted due to missingness)
Multiple R-squared:  0.9993,    Adjusted R-squared:  0.9993 
F-statistic: 3.629e+04 on 1 and 24 DF,  p-value: < 2.2e-16

Interpretación

El modelo muestra que, por cada tonelada adicional de carga, el consumo de combustible aumenta en promedio 1,176 L/100 km. El intercepto de 16,02 representa el consumo estimado sin carga. Por tanto, el modelo permite estimar el consumo según la carga transportada.