1 Paquetes

Primero, debemos instalar, si es necesario, y cargar los paquetes que vamos a utilizar.

library(lsm)        # Para acceder a la base de datos survey
library(knitr)      # Para construir tablas
library(kableExtra) # Para mejorar la presentación de las tablas

2 Introducción

2.0.1 Conceptos básicos

La hipótesis nula, denotada por \(H_0\), representa la afirmación que se somete a evaluación. La hipótesis alternativa, denotada por \(H_1\), expresa la posibilidad que se desea contrastar.

El nivel de significancia se representa mediante \(\alpha\). En este documento se utilizará, salvo indicación contraria,

\[ \alpha=0.05. \]

La regla de decisión basada en el \(p\)-valor es:

si \(p\text{-valor}\leq\alpha\), se rechaza \(H_0\);
si \(p\text{-valor}>\alpha\), no se rechaza \(H_0\).

No rechazar \(H_0\) no significa demostrar que sea verdadera; únicamente indica que la muestra no proporciona evidencia estadística suficiente para rechazarla.

2.0.2 Argumento para definir el tipo de prueba

Todas las funciones permiten especificar el tipo de hipótesis alternativa mediante el argumento alternative. Este argumento determina si la prueba es bilateral, de cola derecha o de cola izquierda.

Selección del tipo de prueba mediante el argumento alternative.
Valor de alternative	Tipo de prueba	Hipótesis alternativa
`"two.sided"`	Bilateral	\(H_1:\ \theta \neq \theta_0\)
`"greater"`	Cola derecha	\(H_1:\ \theta \gt \theta_0\)
`"less"`	Cola izquierda	\(H_1:\ \theta \lt \theta_0\)

De acuerdo con el tipo de hipótesis alternativa, en el código de R se escribiría así:

alternative = "two.sided"  # Prueba bilateral
alternative = "greater"    # Prueba de cola derecha
alternative = "less"       # Prueba de cola izquierda

3 Resumen de funciones implementadas

La siguiente tabla resume las funciones desarrolladas en este capítulo y el procedimiento estadístico para el cual fueron diseñadas.

Resumen de las funciones implementadas.
Función	Descripción
Funciones auxiliares	Funciones de apoyo para formato numérico, definición de la hipótesis alternativa, cálculo del valor p, decisión de la prueba, conclusión y validación de argumentos.
ph_media_z()	Prueba Z para una media (σ conocida).
ph_media_t()	Prueba t para una media (σ desconocida).
ph_proporcion()	Prueba Z para una proporción.
ph_varianza()	Prueba χ² para una varianza.
ph_dif_medias_z()	Prueba Z para la diferencia de medias (σ₁ y σ₂ conocidas).
ph_dif_medias_t_si()	Prueba t para diferencia de medias (varianzas desconocidas e iguales).
ph_dif_medias_t_no()	Prueba t de Welch para diferencia de medias (varianzas desconocidas y diferentes).
ph_dif_proporciones()	Prueba Z para la diferencia de dos proporciones.
ph_razon_varianzas()	Prueba F para la razón de varianzas.

4 Funciones para pruebas de hipótesis

A continuación se presentan funciones desarrolladas para realizar las pruebas de hipótesis estudiadas en este capítulo. Cada función recibe las estadísticas muestrales necesarias y devuelve una tabla con las hipótesis, el estadístico de prueba, el p-valor, la decisión y una conclusión breve.

# ============================================================
# 1. Funciones auxiliares
# ============================================================

formato_num <- function(x, digitos = 4) {
  format(
    round(x, digitos),
    nsmall = 0,
    trim = TRUE,
    scientific = FALSE
  )
}

nombre_alternativa <- function(alternative) {
  switch(
    alternative,
    "two.sided" = "Bilateral",
    "greater"   = "Cola derecha",
    "less"      = "Cola izquierda"
  )
}

valor_p_normal <- function(estadistico, alternative) {
  switch(
    alternative,
    "two.sided" = 2 * pnorm(-abs(estadistico)),
    "greater"   = pnorm(estadistico, lower.tail = FALSE),
    "less"      = pnorm(estadistico)
  )
}

valor_p_t <- function(estadistico, gl, alternative) {
  switch(
    alternative,
    "two.sided" = 2 * pt(-abs(estadistico), df = gl),
    "greater"   = pt(estadistico, df = gl, lower.tail = FALSE),
    "less"      = pt(estadistico, df = gl)
  )
}

valor_p_chi <- function(estadistico, gl, alternative) {
  switch(
    alternative,
    "two.sided" = min(
      1,
      2 * min(
        pchisq(estadistico, df = gl),
        pchisq(estadistico, df = gl, lower.tail = FALSE)
      )
    ),
    "greater" = pchisq(estadistico, df = gl, lower.tail = FALSE),
    "less"    = pchisq(estadistico, df = gl)
  )
}

valor_p_f <- function(estadistico, gl1, gl2, alternative) {
  switch(
    alternative,
    "two.sided" = min(
      1,
      2 * min(
        pf(estadistico, df1 = gl1, df2 = gl2),
        pf(estadistico, df1 = gl1, df2 = gl2, lower.tail = FALSE)
      )
    ),
    "greater" = pf(
      estadistico,
      df1 = gl1,
      df2 = gl2,
      lower.tail = FALSE
    ),
    "less" = pf(
      estadistico,
      df1 = gl1,
      df2 = gl2
    )
  )
}

decision_prueba <- function(valor_p, alpha) {
  if (valor_p <= alpha) {
    "Rechazar H0"
  } else {
    "No rechazar H0"
  }
}

conclusion_prueba <- function(valor_p, alpha) {
  if (valor_p <= alpha) {
    paste0(
      "Existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = ",
      formato_num(alpha),
      ", para apoyar H1"
    )
  } else {
    paste0(
      "No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = ",
      formato_num(alpha),
      ", para apoyar H1"
    )
  }
}

validar_alternativa <- function(alternative) {
  match.arg(alternative, c("two.sided", "greater", "less"))
}


# ============================================================
# 2. Prueba Z para una media con sigma conocida
#    H0: mu = mu0
# ============================================================

ph_media_z <- function(media, sigma, n, mu0,
                       alpha = 0.05,
                       alternative = "two.sided",
                       digitos = 4) {
  
  alternative <- validar_alternativa(alternative)
  
  if (sigma <= 0 || n <= 1) {
    stop("sigma debe ser positiva y n debe ser mayor que 1.")
  }
  
  error_estandar <- sigma / sqrt(n)
  estadistico <- (media - mu0) / error_estandar
  valor_p <- valor_p_normal(estadistico, alternative)
  
  resultado <- data.frame(
    Medida = c(
      "Media muestral",
      "Media bajo H0",
      "σ",
      "n",
      "Error estándar",
      "Tipo de prueba",
      "Nivel de significancia",
      "Estadístico Z",
      "p-valor",
      "Decisión",
      "Conclusión"
    ),
    Valor = c(
      formato_num(media, digitos),
      formato_num(mu0, digitos),
      formato_num(sigma, digitos),
      n,
      formato_num(error_estandar, digitos),
      nombre_alternativa(alternative),
      formato_num(alpha, digitos),
      formato_num(estadistico, digitos),
      formato_num(valor_p, digitos),
      decision_prueba(valor_p, alpha),
      conclusion_prueba(valor_p, alpha)
    ),
    check.names = FALSE
  )
  
  knitr::kable(
    resultado,
    format = "html",
    col.names = c("Medida", "Valor"),
    align = c("l", "r")
  )
}


# ============================================================
# 3. Prueba t para una media con sigma desconocida
#    H0: mu = mu0
# ============================================================

ph_media_t <- function(media, s, n, mu0,
                       alpha = 0.05,
                       alternative = "two.sided",
                       digitos = 4) {
  
  alternative <- validar_alternativa(alternative)
  
  if (s <= 0 || n <= 1) {
    stop("s debe ser positiva y n debe ser mayor que 1.")
  }
  
  gl <- n - 1
  error_estandar <- s / sqrt(n)
  estadistico <- (media - mu0) / error_estandar
  valor_p <- valor_p_t(estadistico, gl, alternative)
  
  resultado <- data.frame(
    Medida = c(
      "Media muestral",
      "Media bajo H0",
      "s",
      "n",
      "Grados de libertad",
      "Error estándar",
      "Tipo de prueba",
      "Nivel de significancia",
      "Estadístico t",
      "p-valor",
      "Decisión",
      "Conclusión"
    ),
    Valor = c(
      formato_num(media, digitos),
      formato_num(mu0, digitos),
      formato_num(s, digitos),
      n,
      gl,
      formato_num(error_estandar, digitos),
      nombre_alternativa(alternative),
      formato_num(alpha, digitos),
      formato_num(estadistico, digitos),
      formato_num(valor_p, digitos),
      decision_prueba(valor_p, alpha),
      conclusion_prueba(valor_p, alpha)
    ),
    check.names = FALSE
  )
  
  knitr::kable(
    resultado,
    format = "html",
    col.names = c("Medida", "Valor"),
    align = c("l", "r")
  )
}


# ============================================================
# 4. Prueba Z para una proporción
#    H0: p = p0
# ============================================================

ph_proporcion <- function(exitos, n, p0,
                          alpha = 0.05,
                          alternative = "two.sided",
                          digitos = 4) {
  
  alternative <- validar_alternativa(alternative)
  
  if (exitos < 0 || exitos > n) {
    stop("El número de éxitos debe estar entre 0 y n.")
  }
  
  if (p0 <= 0 || p0 >= 1) {
    stop("p0 debe estar entre 0 y 1.")
  }
  
  proporcion <- exitos / n
  error_estandar <- sqrt(p0 * (1 - p0) / n)
  estadistico <- (proporcion - p0) / error_estandar
  valor_p <- valor_p_normal(estadistico, alternative)
  
  resultado <- data.frame(
    Medida = c(
      "Éxitos",
      "n",
      "Proporción muestral",
      "Proporción bajo H0",
      "ES bajo H0",
      "Tipo de prueba",
      "Nivel de significancia",
      "Estadístico Z",
      "p-valor",
      "Decisión",
      "Conclusión"
    ),
    Valor = c(
      exitos,
      n,
      formato_num(proporcion, digitos),
      formato_num(p0, digitos),
      formato_num(error_estandar, digitos),
      nombre_alternativa(alternative),
      formato_num(alpha, digitos),
      formato_num(estadistico, digitos),
      formato_num(valor_p, digitos),
      decision_prueba(valor_p, alpha),
      conclusion_prueba(valor_p, alpha)
    ),
    check.names = FALSE
  )
  
  knitr::kable(
    resultado,
    format = "html",
    col.names = c("Medida", "Valor"),
    align = c("l", "r")
  )
}


# ============================================================
# 5. Prueba chi-cuadrada para una varianza
#    H0: sigma^2 = varianza0
# ============================================================

ph_varianza <- function(varianza, n, varianza0,
                        alpha = 0.05,
                        alternative = "two.sided",
                        digitos = 4) {
  
  alternative <- validar_alternativa(alternative)
  
  if (varianza <= 0 || varianza0 <= 0 || n <= 1) {
    stop("Las varianzas deben ser positivas y n debe ser mayor que 1.")
  }
  
  gl <- n - 1
  estadistico <- gl * varianza / varianza0
  valor_p <- valor_p_chi(estadistico, gl, alternative)
  
  resultado <- data.frame(
    Medida = c(
      "Varianza muestral",
      "Varianza bajo H0",
      "n",
      "Grados de libertad",
      "Tipo de prueba",
      "Nivel de significancia",
      "Estadístico chi-cuadrada",
      "p-valor",
      "Decisión",
      "Conclusión"
    ),
    Valor = c(
      formato_num(varianza, digitos),
      formato_num(varianza0, digitos),
      n,
      gl,
      nombre_alternativa(alternative),
      formato_num(alpha, digitos),
      formato_num(estadistico, digitos),
      formato_num(valor_p, digitos),
      decision_prueba(valor_p, alpha),
      conclusion_prueba(valor_p, alpha)
    ),
    check.names = FALSE
  )
  
  knitr::kable(
    resultado,
    format = "html",
    col.names = c("Medida", "Valor"),
    align = c("l", "r")
  )
}


# ============================================================
# 6. Prueba Z para diferencia de medias
#    Varianzas poblacionales conocidas
#    H0: mu1 - mu2 = diferencia0
# ============================================================

ph_dif_medias_z <- function(media1, media2,
                            sigma1, sigma2,
                            n1, n2,
                            diferencia0 = 0,
                            alpha = 0.05,
                            alternative = "two.sided",
                            digitos = 4) {
  
  alternative <- validar_alternativa(alternative)
  
  if (sigma1 <= 0 || sigma2 <= 0 || n1 <= 1 || n2 <= 1) {
    stop("Las desviaciones deben ser positivas y los tamaños mayores que 1.")
  }
  
  diferencia <- media1 - media2
  
  error_estandar <- sqrt(
    sigma1^2 / n1 +
      sigma2^2 / n2
  )
  
  estadistico <- (diferencia - diferencia0) / error_estandar
  valor_p <- valor_p_normal(estadistico, alternative)
  
  resultado <- data.frame(
    Medida = c(
      "Media (Muestra 1)",
      "σ (Muestra 1)",
      "n (Muestra 1)",
      "Media (Muestra 2)",
      "σ (Muestra 2)",
      "n (Muestra 2)",
      "Diferencia observada",
      "Diferencia bajo H0",
      "Error estándar",
      "Tipo de prueba",
      "Nivel de significancia",
      "Estadístico Z",
      "p-valor",
      "Decisión",
      "Conclusión"
    ),
    Valor = c(
      formato_num(media1, digitos),
      formato_num(sigma1, digitos),
      n1,
      formato_num(media2, digitos),
      formato_num(sigma2, digitos),
      n2,
      formato_num(diferencia, digitos),
      formato_num(diferencia0, digitos),
      formato_num(error_estandar, digitos),
      nombre_alternativa(alternative),
      formato_num(alpha, digitos),
      formato_num(estadistico, digitos),
      formato_num(valor_p, digitos),
      decision_prueba(valor_p, alpha),
      conclusion_prueba(valor_p, alpha)
    ),
    check.names = FALSE
  )
  
  knitr::kable(
    resultado,
    format = "html",
    col.names = c("Medida", "Valor"),
    align = c("l", "r")
  )
}


# ============================================================
# 7. Prueba t para diferencia de medias
#    Varianzas desconocidas, pero iguales
#    H0: mu1 - mu2 = diferencia0
# ============================================================

ph_dif_medias_t_si <- function(media1, media2,
                               s1, s2,
                               n1, n2,
                               diferencia0 = 0,
                               alpha = 0.05,
                               alternative = "two.sided",
                               digitos = 4) {
  
  alternative <- validar_alternativa(alternative)
  
  if (s1 <= 0 || s2 <= 0 || n1 <= 1 || n2 <= 1) {
    stop("Las desviaciones deben ser positivas y los tamaños mayores que 1.")
  }
  
  diferencia <- media1 - media2
  gl <- n1 + n2 - 2
  
  varianza_combinada <- (
    (n1 - 1) * s1^2 +
      (n2 - 1) * s2^2
  ) / gl
  
  s_combinada <- sqrt(varianza_combinada)
  
  error_estandar <- s_combinada *
    sqrt(1 / n1 + 1 / n2)
  
  estadistico <- (diferencia - diferencia0) / error_estandar
  valor_p <- valor_p_t(estadistico, gl, alternative)
  
  resultado <- data.frame(
    Medida = c(
      "Media (Muestra 1)",
      "s (Muestra 1)",
      "n (Muestra 1)",
      "Media (Muestra 2)",
      "s (Muestra 2)",
      "n (Muestra 2)",
      "Diferencia observada",
      "Diferencia bajo H0",
      "Varianza combinada",
      "Desviación combinada",
      "Grados de libertad",
      "Error estándar",
      "Tipo de prueba",
      "Nivel de significancia",
      "Estadístico t",
      "p-valor",
      "Decisión",
      "Conclusión"
    ),
    Valor = c(
      formato_num(media1, digitos),
      formato_num(s1, digitos),
      n1,
      formato_num(media2, digitos),
      formato_num(s2, digitos),
      n2,
      formato_num(diferencia, digitos),
      formato_num(diferencia0, digitos),
      formato_num(varianza_combinada, digitos),
      formato_num(s_combinada, digitos),
      gl,
      formato_num(error_estandar, digitos),
      nombre_alternativa(alternative),
      formato_num(alpha, digitos),
      formato_num(estadistico, digitos),
      formato_num(valor_p, digitos),
      decision_prueba(valor_p, alpha),
      conclusion_prueba(valor_p, alpha)
    ),
    check.names = FALSE
  )
  
  knitr::kable(
    resultado,
    format = "html",
    col.names = c("Medida", "Valor"),
    align = c("l", "r")
  )
}


# ============================================================
# 8. Prueba t de Welch para diferencia de medias
#    Varianzas desconocidas y diferentes
#    H0: mu1 - mu2 = diferencia0
# ============================================================

ph_dif_medias_t_no <- function(media1, media2,
                               s1, s2,
                               n1, n2,
                               diferencia0 = 0,
                               alpha = 0.05,
                               alternative = "two.sided",
                               digitos = 4) {
  
  alternative <- validar_alternativa(alternative)
  
  if (s1 <= 0 || s2 <= 0 || n1 <= 1 || n2 <= 1) {
    stop("Las desviaciones deben ser positivas y los tamaños mayores que 1.")
  }
  
  diferencia <- media1 - media2
  termino1 <- s1^2 / n1
  termino2 <- s2^2 / n2
  
  error_estandar <- sqrt(termino1 + termino2)
  
  gl <- (termino1 + termino2)^2 /
    (
      termino1^2 / (n1 - 1) +
        termino2^2 / (n2 - 1)
    )
  
  estadistico <- (diferencia - diferencia0) / error_estandar
  valor_p <- valor_p_t(estadistico, gl, alternative)
  
  resultado <- data.frame(
    Medida = c(
      "Media (Muestra 1)",
      "s (Muestra 1)",
      "n (Muestra 1)",
      "Media (Muestra 2)",
      "s (Muestra 2)",
      "n (Muestra 2)",
      "Diferencia observada",
      "Diferencia bajo H0",
      "Grados de libertad",
      "Error estándar",
      "Tipo de prueba",
      "Nivel de significancia",
      "Estadístico t",
      "p-valor",
      "Decisión",
      "Conclusión"
    ),
    Valor = c(
      formato_num(media1, digitos),
      formato_num(s1, digitos),
      n1,
      formato_num(media2, digitos),
      formato_num(s2, digitos),
      n2,
      formato_num(diferencia, digitos),
      formato_num(diferencia0, digitos),
      formato_num(gl, digitos),
      formato_num(error_estandar, digitos),
      nombre_alternativa(alternative),
      formato_num(alpha, digitos),
      formato_num(estadistico, digitos),
      formato_num(valor_p, digitos),
      decision_prueba(valor_p, alpha),
      conclusion_prueba(valor_p, alpha)
    ),
    check.names = FALSE
  )
  
  knitr::kable(
    resultado,
    format = "html",
    col.names = c("Medida", "Valor"),
    align = c("l", "r")
  )
}


# ============================================================
# 9. Prueba Z para diferencia de proporciones
#    H0: p1 - p2 = 0
# ============================================================

ph_dif_proporciones <- function(exitos1, n1,
                                exitos2, n2,
                                alpha = 0.05,
                                alternative = "two.sided",
                                digitos = 4) {
  
  alternative <- validar_alternativa(alternative)
  
  if (exitos1 < 0 || exitos1 > n1 ||
      exitos2 < 0 || exitos2 > n2) {
    stop("Los números de éxitos deben estar entre 0 y n.")
  }
  
  p1 <- exitos1 / n1
  p2 <- exitos2 / n2
  diferencia <- p1 - p2
  
  proporcion_combinada <- (exitos1 + exitos2) / (n1 + n2)
  
  error_estandar <- sqrt(
    proporcion_combinada *
      (1 - proporcion_combinada) *
      (1 / n1 + 1 / n2)
  )
  
  estadistico <- diferencia / error_estandar
  valor_p <- valor_p_normal(estadistico, alternative)
  
  resultado <- data.frame(
    Medida = c(
      "Éxitos (Muestra 1)",
      "n (Muestra 1)",
      "Proporción (Muestra 1)",
      "Éxitos (Muestra 2)",
      "n (Muestra 2)",
      "Proporción (Muestra 2)",
      "Diferencia observada",
      "Proporción combinada",
      "ES bajo H0",
      "Tipo de prueba",
      "Nivel de significancia",
      "Estadístico Z",
      "p-valor",
      "Decisión",
      "Conclusión"
    ),
    Valor = c(
      exitos1,
      n1,
      formato_num(p1, digitos),
      exitos2,
      n2,
      formato_num(p2, digitos),
      formato_num(diferencia, digitos),
      formato_num(proporcion_combinada, digitos),
      formato_num(error_estandar, digitos),
      nombre_alternativa(alternative),
      formato_num(alpha, digitos),
      formato_num(estadistico, digitos),
      formato_num(valor_p, digitos),
      decision_prueba(valor_p, alpha),
      conclusion_prueba(valor_p, alpha)
    ),
    check.names = FALSE
  )
  
  knitr::kable(
    resultado,
    format = "html",
    col.names = c("Medida", "Valor"),
    align = c("l", "r")
  )
}


# ============================================================
# 10. Prueba F para la razón de varianzas
#     H0: sigma1^2 / sigma2^2 = razon0
# ============================================================

ph_razon_varianzas <- function(varianza1, varianza2,
                               n1, n2,
                               razon0 = 1,
                               alpha = 0.05,
                               alternative = "two.sided",
                               digitos = 4) {
  
  alternative <- validar_alternativa(alternative)
  
  if (varianza1 <= 0 || varianza2 <= 0 || razon0 <= 0) {
    stop("Las varianzas y la razón bajo H0 deben ser positivas.")
  }
  
  gl1 <- n1 - 1
  gl2 <- n2 - 1
  
  razon_muestral <- varianza1 / varianza2
  estadistico <- razon_muestral / razon0
  valor_p <- valor_p_f(estadistico, gl1, gl2, alternative)
  
  resultado <- data.frame(
    Medida = c(
      "Varianza (Muestra 1)",
      "n (Muestra 1)",
      "Grados de libertad (Muestra 1)",
      "Varianza (Muestra 2)",
      "n (Muestra 2)",
      "Grados de libertad (Muestra 2)",
      "Razón muestral",
      "Razón bajo H0",
      "Tipo de prueba",
      "Nivel de significancia",
      "Estadístico F",
      "p-valor",
      "Decisión",
      "Conclusión"
    ),
    Valor = c(
      formato_num(varianza1, digitos),
      n1,
      gl1,
      formato_num(varianza2, digitos),
      n2,
      gl2,
      formato_num(razon_muestral, digitos),
      formato_num(razon0, digitos),
      nombre_alternativa(alternative),
      formato_num(alpha, digitos),
      formato_num(estadistico, digitos),
      formato_num(valor_p, digitos),
      decision_prueba(valor_p, alpha),
      conclusion_prueba(valor_p, alpha)
    ),
    check.names = FALSE
  )
  
  knitr::kable(
    resultado,
    format = "html",
    col.names = c("Medida", "Valor"),
    align = c("l", "r")
  )
}

5 Ejemplos utilizando estadísticas resumidas

En esta sección se presentan ejemplos sencillos a partir de estadísticas resumidas.

5.0.1 Prueba para la media (con \(Z\))

Cuando la desviación estándar poblacional (\(\sigma\)) es conocida, se puede usar la distribución normal estándar para evaluar. En todos los casos se utiliza un nivel de significancia de \(\alpha=0.05\).

1. Prueba de una cola a la derecha

\[ H_0:\ \mu \leq 70 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:\ \mu > 70. \]

resultado <- ph_media_z(
  media = 71.8,
  sigma = 8.9,
  n = 100,
  mu0 = 70,
  alpha = 0.05,
  alternative = "greater"
)

resultado

Medida	Valor
Media muestral	71.8
Media bajo H0	70
σ	8.9
n	100
Error estándar	0.89
Tipo de prueba	Cola derecha
Nivel de significancia	0.05
Estadístico Z	2.0225
p-valor	0.0216
Decisión	Rechazar H0
Conclusión	Existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

2. Prueba de una cola a la izquierda

\[ H_0:\ \mu \geq 70 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:\ \mu < 70. \]

resultado <- ph_media_z(
  media = 71.8,
  sigma = 8.9,
  n = 100,
  mu0 = 70,
  alpha = 0.05,
  alternative = "less"
)

resultado

Medida	Valor
Media muestral	71.8
Media bajo H0	70
σ	8.9
n	100
Error estándar	0.89
Tipo de prueba	Cola izquierda
Nivel de significancia	0.05
Estadístico Z	2.0225
p-valor	0.9784
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

3. Prueba de dos colas o bilateral

\[ H_0:\ \mu = 70 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:\ \mu \neq 70. \]

resultado <- ph_media_z(
  media = 71.8,
  sigma = 8.9,
  n = 100,
  mu0 = 70,
  alpha = 0.05,
  alternative = "two.sided"
)

resultado

Medida	Valor
Media muestral	71.8
Media bajo H0	70
σ	8.9
n	100
Error estándar	0.89
Tipo de prueba	Bilateral
Nivel de significancia	0.05
Estadístico Z	2.0225
p-valor	0.0431
Decisión	Rechazar H0
Conclusión	Existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

5.0.2 Prueba para la media (con \(t\))

Cuando la desviación estándar poblacional es desconocida, se utiliza la desviación estándar muestral (\(s\)) y la distribución t de Student.

1. Prueba de una cola a la derecha

\[ H_0:\ \mu \leq 50 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:\ \mu > 50. \]

resultado <- ph_media_t(
  media = 54,
  s = 15,
  n = 20,
  mu0 = 50,
  alpha = 0.05,
  alternative = "greater"
)

resultado

Medida	Valor
Media muestral	54
Media bajo H0	50
s	15
n	20
Grados de libertad	19
Error estándar	3.3541
Tipo de prueba	Cola derecha
Nivel de significancia	0.05
Estadístico t	1.1926
p-valor	0.1239
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

2. Prueba de una cola a la izquierda

\[ H_0:\ \mu \geq 50 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:\ \mu < 50. \]

resultado <- ph_media_t(
  media = 54,
  s = 15,
  n = 20,
  mu0 = 50,
  alpha = 0.05,
  alternative = "less"
)

resultado

Medida	Valor
Media muestral	54
Media bajo H0	50
s	15
n	20
Grados de libertad	19
Error estándar	3.3541
Tipo de prueba	Cola izquierda
Nivel de significancia	0.05
Estadístico t	1.1926
p-valor	0.8761
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

3. Prueba de dos colas o bilateral

\[ H_0:\ \mu = 50 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:\ \mu \neq 50. \]

resultado <- ph_media_t(
  media = 54,
  s = 15,
  n = 20,
  mu0 = 50,
  alpha = 0.05,
  alternative = "two.sided"
)

resultado

Medida	Valor
Media muestral	54
Media bajo H0	50
s	15
n	20
Grados de libertad	19
Error estándar	3.3541
Tipo de prueba	Bilateral
Nivel de significancia	0.05
Estadístico t	1.1926
p-valor	0.2477
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

5.0.3 Prueba para la proporción

Este ejemplo realizamos pruebas de hipótesis relacionadas con una proporción poblacional a partir del número de éxitos observados en una muestra.

1. Prueba de una cola a la derecha

\[ H_0:\ p \leq 0.5 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:\ p > 0.5. \]

resultado <- ph_proporcion(
  exitos = 378,
  n = 802,
  p0 = 0.5,
  alpha = 0.1,
  alternative = "two.sided"
)

resultado

Medida	Valor
Éxitos	378
n	802
Proporción muestral	0.4713
Proporción bajo H0	0.5
ES bajo H0	0.0177
Tipo de prueba	Bilateral
Nivel de significancia	0.1
Estadístico Z	-1.6243
p-valor	0.1043
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.1, para apoyar H1

2. Prueba de una cola a la izquierda

\[ H_0:\ p \geq 0.5 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:\ p < 0.5. \]

resultado <- ph_proporcion(
  exitos = 378,
  n = 802,
  p0 = 0.5,
  alpha = 0.1,
  alternative = "two.sided"
)

resultado

Medida	Valor
Éxitos	378
n	802
Proporción muestral	0.4713
Proporción bajo H0	0.5
ES bajo H0	0.0177
Tipo de prueba	Bilateral
Nivel de significancia	0.1
Estadístico Z	-1.6243
p-valor	0.1043
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.1, para apoyar H1

3. Prueba de dos colas o bilateral

\[ H_0:\ p = 0.5 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:\ p \neq 0.5. \]

resultado <- ph_proporcion(
  exitos = 378,
  n = 802,
  p0 = 0.5,
  alpha = 0.1,
  alternative = "two.sided"
)

resultado

Medida	Valor
Éxitos	378
n	802
Proporción muestral	0.4713
Proporción bajo H0	0.5
ES bajo H0	0.0177
Tipo de prueba	Bilateral
Nivel de significancia	0.1
Estadístico Z	-1.6243
p-valor	0.1043
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.1, para apoyar H1

5.0.4 Prueba para la varianza

Las hipótesis que se evaluarán son:

\[ H_0:\ \sigma^2 = 16 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:\ \sigma^2 \neq 16. \]

resultado <- ph_varianza(
  varianza = 25,
  n = 30,
  varianza0 = 16,
  alpha = 0.05,
  alternative = "two.sided"
)

resultado

Medida	Valor
Varianza muestral	25
Varianza bajo H0	16
n	30
Grados de libertad	29
Tipo de prueba	Bilateral
Nivel de significancia	0.05
Estadístico chi-cuadrada	45.3125
p-valor	0.0549
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

5.0.5 Prueba para la diferencia de medias (con \(Z\))

Se contrasta la igualdad de las medias poblacionales.

La diferencia se calcula en el orden:

\[ \text{Grupo 1}-\text{Grupo 2}. \]

Las hipótesis que se evaluarán son:

\[ H_0:\ \mu_1 -\mu_2 = 0 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:\ \mu_1-\mu_2 \neq 0. \]

resultado <- ph_dif_medias_z(
  media1 = 45,
  media2 = 40,
  sigma1 = 8,
  sigma2 = 10,
  n1 = 50,
  n2 = 60,
  diferencia0 = 0,
  alpha = 0.05,
  alternative = "two.sided"
)

resultado

Medida	Valor
Media (Muestra 1)	45
σ (Muestra 1)	8
n (Muestra 1)	50
Media (Muestra 2)	40
σ (Muestra 2)	10
n (Muestra 2)	60
Diferencia observada	5
Diferencia bajo H0	0
Error estándar	1.7166
Tipo de prueba	Bilateral
Nivel de significancia	0.05
Estadístico Z	2.9128
p-valor	0.0036
Decisión	Rechazar H0
Conclusión	Existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

5.0.6 Prueba para la diferencia de medias (con \(t\), varianzas desconocidas e iguales)

Cuando las varianzas poblacionales son desconocidas, pero pueden asumirse iguales, se utiliza la varianza combinada (pooled variance).

La diferencia se calcula en el orden:

\[ \text{Grupo 1}-\text{Grupo 2}. \]

Las hipótesis que se evaluarán son:

\[ H_0:\ \mu_1 -\mu_2 = 0 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:\ \mu_1-\mu_2 \neq 0. \]

resultado <- ph_dif_medias_t_si(
  media1 = 45,
  media2 = 40,
  s1 = 8,
  s2 = 7,
  n1 = 30,
  n2 = 35,
  diferencia0 = 0,
  alpha = 0.05,
  alternative = "two.sided"
)

resultado

Medida	Valor
Media (Muestra 1)	45
s (Muestra 1)	8
n (Muestra 1)	30
Media (Muestra 2)	40
s (Muestra 2)	7
n (Muestra 2)	35
Diferencia observada	5
Diferencia bajo H0	0
Varianza combinada	55.9048
Desviación combinada	7.4769
Grados de libertad	63
Error estándar	1.8603
Tipo de prueba	Bilateral
Nivel de significancia	0.05
Estadístico t	2.6877
p-valor	0.0092
Decisión	Rechazar H0
Conclusión	Existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

5.0.7 Prueba para la diferencia de medias (con \(t\), varianzas desconocidas y diferentes)

Si no es razonable asumir igualdad de varianzas, se utiliza la prueba de Welch.

La diferencia se calcula en el orden:

\[ \text{Grupo 1}-\text{Grupo 2}. \]

Las hipótesis que se evaluarán son:

\[ H_0:\ \mu_1 -\mu_2 = 0 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:\ \mu_1-\mu_2 \neq 0. \]

resultado <- ph_dif_medias_t_no(
  media1 = 45,
  media2 = 40,
  s1 = 8,
  s2 = 12,
  n1 = 30,
  n2 = 35,
  diferencia0 = 0,
  alpha = 0.05,
  alternative = "two.sided"
)

resultado

Medida	Valor
Media (Muestra 1)	45
s (Muestra 1)	8
n (Muestra 1)	30
Media (Muestra 2)	40
s (Muestra 2)	12
n (Muestra 2)	35
Diferencia observada	5
Diferencia bajo H0	0
Grados de libertad	59.6104
Error estándar	2.4995
Tipo de prueba	Bilateral
Nivel de significancia	0.05
Estadístico t	2.0004
p-valor	0.05
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

5.0.8 Prueba para la diferencia de proporciones

Este ejemplo se evalúa si las dos proporciones poblacionales son iguales..

La diferencia se calcula en el orden:

\[ \text{Grupo 1}-\text{Grupo 2}. \]

1. Prueba de una cola a la derecha

\[ H_0: p_1-p_2 \leq 0 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:p_1-p_2 > 0. \]

resultado <- ph_dif_proporciones(
  exitos1 = 5,
  n1 = 100,
  exitos2 = 7,
  n2 = 150,
  alpha = 0.05,
  alternative = "greater"
)

resultado

Medida	Valor
Éxitos (Muestra 1)	5
n (Muestra 1)	100
Proporción (Muestra 1)	0.05
Éxitos (Muestra 2)	7
n (Muestra 2)	150
Proporción (Muestra 2)	0.0467
Diferencia observada	0.0033
Proporción combinada	0.048
ES bajo H0	0.0276
Tipo de prueba	Cola derecha
Nivel de significancia	0.05
Estadístico Z	0.1208
p-valor	0.4519
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

2. Prueba de una cola a la izquierda

\[ H_0:p_1-p_2 \geq 0 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:p_1-p_2 < 0. \]

resultado <- ph_dif_proporciones(
  exitos1 = 5,
  n1 = 100,
  exitos2 = 7,
  n2 = 150,
  alpha = 0.05,
  alternative = "less"
)

resultado

Medida	Valor
Éxitos (Muestra 1)	5
n (Muestra 1)	100
Proporción (Muestra 1)	0.05
Éxitos (Muestra 2)	7
n (Muestra 2)	150
Proporción (Muestra 2)	0.0467
Diferencia observada	0.0033
Proporción combinada	0.048
ES bajo H0	0.0276
Tipo de prueba	Cola izquierda
Nivel de significancia	0.05
Estadístico Z	0.1208
p-valor	0.5481
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

3. Prueba de dos colas o bilateral

\[ H_0:p_1-p_2 = 0 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:p_1-p_2 \neq 0. \]

resultado <- ph_dif_proporciones(
  exitos1 = 5,
  n1 = 100,
  exitos2 = 7,
  n2 = 150,
  alpha = 0.05,
  alternative = "two.sided"
)

resultado

Medida	Valor
Éxitos (Muestra 1)	5
n (Muestra 1)	100
Proporción (Muestra 1)	0.05
Éxitos (Muestra 2)	7
n (Muestra 2)	150
Proporción (Muestra 2)	0.0467
Diferencia observada	0.0033
Proporción combinada	0.048
ES bajo H0	0.0276
Tipo de prueba	Bilateral
Nivel de significancia	0.05
Estadístico Z	0.1208
p-valor	0.9039
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

5.0.9 Prueba para la razón de varianzas

Se evalúa si las dos varianzas poblacionales son iguales.

La razón se calcula en el orden:

\[ \frac{\text{Grupo 1}} {\text{Grupo 2}}. \]

1. Prueba de una cola a la derecha

\[ H_0:\sigma^2_1 \leq \sigma^2_2 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:\sigma^2_1 > \sigma^2_2. \]

resultado <- ph_razon_varianzas(
  varianza1 = 16,
  varianza2 = 9,
  n1 = 20,
  n2 = 25,
  razon0 = 1,
  alpha = 0.05,
  alternative = "greater"
)

resultado

Medida	Valor
Varianza (Muestra 1)	16
n (Muestra 1)	20
Grados de libertad (Muestra 1)	19
Varianza (Muestra 2)	9
n (Muestra 2)	25
Grados de libertad (Muestra 2)	24
Razón muestral	1.7778
Razón bajo H0	1
Tipo de prueba	Cola derecha
Nivel de significancia	0.05
Estadístico F	1.7778
p-valor	0.0914
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

2. Prueba de una cola a la izquierda

\[ H_0:\sigma^2_1 \geq \sigma^2_2 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:\sigma^2_1 < \sigma^2_2. \]

resultado <- ph_razon_varianzas(
  varianza1 = 16,
  varianza2 = 9,
  n1 = 20,
  n2 = 25,
  razon0 = 1,
  alpha = 0.05,
  alternative = "less"
)

resultado

Medida	Valor
Varianza (Muestra 1)	16
n (Muestra 1)	20
Grados de libertad (Muestra 1)	19
Varianza (Muestra 2)	9
n (Muestra 2)	25
Grados de libertad (Muestra 2)	24
Razón muestral	1.7778
Razón bajo H0	1
Tipo de prueba	Cola izquierda
Nivel de significancia	0.05
Estadístico F	1.7778
p-valor	0.9086
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

3. Prueba de dos colas o bilateral

\[ H_0:\sigma^2_1 = \sigma^2_2 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:\sigma^2_1 \neq \sigma^2_2. \]

resultado <- ph_razon_varianzas(
  varianza1 = 16,
  varianza2 = 9,
  n1 = 20,
  n2 = 25,
  razon0 = 1,
  alpha = 0.05,
  alternative = "two.sided"
)

resultado

Medida	Valor
Varianza (Muestra 1)	16
n (Muestra 1)	20
Grados de libertad (Muestra 1)	19
Varianza (Muestra 2)	9
n (Muestra 2)	25
Grados de libertad (Muestra 2)	24
Razón muestral	1.7778
Razón bajo H0	1
Tipo de prueba	Bilateral
Nivel de significancia	0.05
Estadístico F	1.7778
p-valor	0.1828
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

6 Ejemplos utilizando un data frame simulado

En esta sección construiremos un data frame sencillo a partir de vectores definidos manualmente. Posteriormente calcularemos las estadísticas muestrales necesarias y las utilizaremos como argumentos de las funciones definidas anteriormente. Suponga, en todos los casos, que las variables cuantitativas poblacionales seleccionadas siguen una distribución normal.

6.0.1 Construcción del data frame

El siguiente código crea un data frame con dos variables cuantitativas (puntaje e edad), una variable dicotómica (fumador) y una variable de agrupación (grupo), la cual identifica las dos muestras que se compararán en algunos de los ejemplos.

grupo <- c(
  rep("Grupo 1",10),
  rep("Grupo 2",10)
)

puntaje <- c(
  72,68,75,70,73,71,69,74,70,72,
  65,63,67,69,64,66,62,68,65,67
)

edad <- c(
  38,42,41,39,40,37,43,40,39,41,
  35,37,34,36,38,35,39,37,36,34
)

fumador <- c(
  "Sí","Sí","No","Sí","No", "Sí","Sí","No","Sí","Sí",
  "No","Sí","No","No","Sí", "No","Sí","No","Sí","No"
)

datos <- data.frame(
  grupo,
  puntaje,
  edad,
  fumador
)

datos

Data frame utilizado en los ejemplos simulados.
grupo	puntaje	edad	fumador
Grupo 1	72	38	Sí
Grupo 1	68	42	Sí
Grupo 1	75	41	No
Grupo 1	70	39	Sí
Grupo 1	73	40	No
Grupo 1	71	37	Sí
Grupo 1	69	43	Sí
Grupo 1	74	40	No
Grupo 1	70	39	Sí
Grupo 1	72	41	Sí
Grupo 2	65	35	No
Grupo 2	63	37	Sí
Grupo 2	67	34	No
Grupo 2	69	36	No
Grupo 2	64	38	Sí
Grupo 2	66	35	No
Grupo 2	62	39	Sí
Grupo 2	68	37	No
Grupo 2	65	36	Sí
Grupo 2	67	34	No

La variable grupo identifica las dos muestras; puntaje y edad son cuantitativas, mientras que fumador toma los valores Si para éxito y No para fracaso.

6.0.2 Prueba para la media (con \(Z\))

Para ilustrar el procedimiento con \(Z\), se calcula la media de \(x\) y se supone conocida una desviación estándar poblacional igual a \(9\).

1. Prueba de una cola a la derecha

\[ H_0:\ \mu \leq 68 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:\ \mu > 68. \]

# Calcula media y tamaño
media_puntaje <- mean(datos$puntaje)
n_puntaje <- length(datos$puntaje)

# Realiza la prueba
resultado <- ph_media_z(
  media = media_puntaje,
  sigma = 9,
  n = n_puntaje,
  mu0 = 68,
  alpha = 0.05,
  alternative = "greater"
)

resultado

Medida	Valor
Media muestral	68.5
Media bajo H0	68
σ	9
n	20
Error estándar	2.0125
Tipo de prueba	Cola derecha
Nivel de significancia	0.05
Estadístico Z	0.2485
p-valor	0.4019
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

2. Prueba de una cola a la izquierda

\[ H_0:\ \mu \geq 68 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:\ \mu < 68. \]

# Calcula media y tamaño
media_puntaje <- mean(datos$puntaje)
n_puntaje <- length(datos$puntaje)

# Realiza la prueba
resultado <- ph_media_z(
  media = media_puntaje,
  sigma = 9,
  n = n_puntaje,
  mu0 = 68,
  alpha = 0.05,
  alternative = "less"
)

resultado

Medida	Valor
Media muestral	68.5
Media bajo H0	68
σ	9
n	20
Error estándar	2.0125
Tipo de prueba	Cola izquierda
Nivel de significancia	0.05
Estadístico Z	0.2485
p-valor	0.5981
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

3. Prueba de dos colas o bilateral

\[ H_0:\ \mu = 68 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:\ \mu \neq 68. \]

# Calcula media y tamaño
media_puntaje <- mean(datos$puntaje)
n_puntaje <- length(datos$puntaje)

# Realiza la prueba
resultado <- ph_media_z(
  media = media_puntaje,
  sigma = 9,
  n = n_puntaje,
  mu0 = 68,
  alpha = 0.05,
  alternative = "two.sided"
)

resultado

Medida	Valor
Media muestral	68.5
Media bajo H0	68
σ	9
n	20
Error estándar	2.0125
Tipo de prueba	Bilateral
Nivel de significancia	0.05
Estadístico Z	0.2485
p-valor	0.8038
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

6.0.3 Prueba para la media (con \(t\))

Cuando la desviación estándar poblacional es desconocida y la población es normal, se utiliza la desviación estándar muestral (\(s\)) y la distribución t de Student.

1. Prueba de una cola a la derecha

\[ H_0:\ \mu \leq 50 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:\ \mu > 50. \]

resultado <- ph_media_t(
  media = 54,
  s = 15,
  n = 20,
  mu0 = 50,
  alpha = 0.05,
  alternative = "greater"
)

resultado

Medida	Valor
Media muestral	54
Media bajo H0	50
s	15
n	20
Grados de libertad	19
Error estándar	3.3541
Tipo de prueba	Cola derecha
Nivel de significancia	0.05
Estadístico t	1.1926
p-valor	0.1239
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

2. Prueba de una cola a la izquierda

\[ H_0:\ \mu \geq 50 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:\ \mu < 50. \]

resultado <- ph_media_t(
  media = 54,
  s = 15,
  n = 20,
  mu0 = 50,
  alpha = 0.05,
  alternative = "less"
)

resultado

Medida	Valor
Media muestral	54
Media bajo H0	50
s	15
n	20
Grados de libertad	19
Error estándar	3.3541
Tipo de prueba	Cola izquierda
Nivel de significancia	0.05
Estadístico t	1.1926
p-valor	0.8761
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

3. Prueba de dos colas o bilateral

\[ H_0:\ \mu = 50 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:\ \mu \neq 50. \]

resultado <- ph_media_t(
  media = 54,
  s = 15,
  n = 20,
  mu0 = 50,
  alpha = 0.05,
  alternative = "two.sided"
)

resultado

Medida	Valor
Media muestral	54
Media bajo H0	50
s	15
n	20
Grados de libertad	19
Error estándar	3.3541
Tipo de prueba	Bilateral
Nivel de significancia	0.05
Estadístico t	1.1926
p-valor	0.2477
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

6.0.4 Prueba para una proporción

En este caso, un valor igual a Sí en la variable exito representa un éxito. La suma del número de categorías de esta variable proporciona el número total de éxitos.

1. Prueba de una cola a la derecha

\[ H_0: p \leq 0.5 \qquad \text{frente a} \qquad H_1: p > 0.5. \]

# Calcula total de éxitos y tamaño
total_fumador <- sum(datos$fumador == "Sí")
n_fumador <- length(datos$fumador)

# Realiza la prueba
resultado <- ph_proporcion(
  exitos = total_fumador,
  n = n_fumador,
  p0 = 0.50,
  alpha = 0.05,
  alternative = "greater"
)

resultado

Medida	Valor
Éxitos	11
n	20
Proporción muestral	0.55
Proporción bajo H0	0.5
ES bajo H0	0.1118
Tipo de prueba	Cola derecha
Nivel de significancia	0.05
Estadístico Z	0.4472
p-valor	0.3274
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

2. Prueba de una cola a la izquierda

\[ H_0: p \geq 0.5 \qquad \text{frente a} \qquad H_1: p < 0.5. \]

# Calcula total de éxitos y tamaño
total_fumador <- sum(datos$fumador == "Sí")
n_fumador <- length(datos$fumador)

# Realiza la prueba
resultado <- ph_proporcion(
  exitos = total_fumador,
  n = n_fumador,
  p0 = 0.50,
  alpha = 0.05,
  alternative = "less"
)

resultado

Medida	Valor
Éxitos	11
n	20
Proporción muestral	0.55
Proporción bajo H0	0.5
ES bajo H0	0.1118
Tipo de prueba	Cola izquierda
Nivel de significancia	0.05
Estadístico Z	0.4472
p-valor	0.6726
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

3. Prueba de dos colas o bilateral

\[ H_0: p = 0.5 \qquad \text{frente a} \qquad H_1: p \neq 0.5. \]

# Calcula total de éxitos y tamaño
total_fumador <- sum(datos$fumador == "Sí")
n_fumador <- length(datos$fumador)

# Realiza la prueba
resultado <- ph_proporcion(
  exitos = total_fumador,
  n = n_fumador,
  p0 = 0.50,
  alpha = 0.05,
  alternative = "two.sided"
)

resultado

Medida	Valor
Éxitos	11
n	20
Proporción muestral	0.55
Proporción bajo H0	0.5
ES bajo H0	0.1118
Tipo de prueba	Bilateral
Nivel de significancia	0.05
Estadístico Z	0.4472
p-valor	0.6547
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

6.0.5 Prueba para la varianza

La varianza muestral de la variable Age se utiliza para estimar la varianza poblacional de las edades.

Las hipótesis que se evaluarán son:

\[ H_0: \sigma^2 = 4 \qquad \text{frente a} \qquad H_1: \sigma^2 \neq 4. \]

# Calcula varianza y tamaño
varianza_puntaje <- var(datos$puntaje)
n_puntaje <- length(datos$puntaje)

# Realiza la prueba
resultado <- ph_varianza(
  varianza = varianza_puntaje,
  n = n_puntaje,
  varianza0 = 4,
  alpha = 0.05,
  alternative = "two.sided"
)

resultado

Medida	Valor
Varianza muestral	13.5263
Varianza bajo H0	4
n	20
Grados de libertad	19
Tipo de prueba	Bilateral
Nivel de significancia	0.05
Estadístico chi-cuadrada	64.25
p-valor	0
Decisión	Rechazar H0
Conclusión	Existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

6.0.6 Preparación de las dos muestras

Para comparar las medias de los dos grupos, primero se separan los valores de la variable puntaje según el grupo al que pertenece cada observación. De esta manera se obtienen dos muestras independientes: una correspondiente al Grupo 1 y otra al Grupo 2.

# Se extraen los valores de la variable puntaje correspondientes a cada uno de los grupos.
puntaje1 <- datos$puntaje[datos$grupo == "Grupo 1"]
puntaje2 <- datos$puntaje[datos$grupo == "Grupo 2"]

# Se calculan las estadísticas resumidas de cada grupo.

media_gr1 <- mean(puntaje1)
media_gr2 <- mean(puntaje2)

s_gr1 <- sd(puntaje1)
s_gr2 <- sd(puntaje2)

n_gr1 <- length(puntaje1)
n_gr2 <- length(puntaje2)

A partir de estos resultados, se obtiene el siguiente resumen para cada grupo.

tabla_muestras <- data.frame(

  Estadística = c(
    "Tamaño muestral (n)",
    "Media",
    "Desviación estándar (s)"
  ),

  `Grupo 1` = c(
    n_gr1,
    round(media_gr1, 2),
    round(s_gr1, 2)
  ),

  `Grupo 2` = c(
    n_gr2,
    round(media_gr2, 2),
    round(s_gr2, 2)
  ),

  check.names = FALSE
)

tabla_muestras

Resumen de la variable puntaje por grupo.
Estadística	Grupo 1	Grupo 2
Tamaño muestral (n)	10.00	10.00
Media	71.40	65.60
Desviación estándar (s)	2.22	2.22

Las estadísticas presentadas en la tabla corresponden a los argumentos que posteriormente se utilizarán en las funciones para comparar las medias de los dos grupos:

media1 y media2: medias muestrales;
s1 y s2: desviaciones estándar muestrales;
n1 y n2: tamaños muestrales.

6.0.7 Prueba para la diferencia de medias con \(Z\)

Se evalúa si las medias poblacionales son iguales, suponiendo conocidas las desviaciones estándar poblacionales.

La diferencia se calcula en el orden:

\[ \text{Grupo 1}-\text{Grupo 2}. \]

1. Prueba de una cola a la derecha

\[ H_0: \mu_1 -\mu_2 \leq 0 \qquad \text{frente a} \qquad H_1: \mu_1-\mu_2 > 0. \]

# Calcula media y tamaño
resultado <- ph_dif_medias_z(
  media1 = media_gr1,
  media2 = media_gr2,
  sigma1 = 8,
  sigma2 = 10,
  n1 = n_gr1,
  n2 = n_gr2,
  diferencia0 = 0,
  alpha = 0.05,
  alternative = "greater"
)

resultado

Medida	Valor
Media (Muestra 1)	71.4
σ (Muestra 1)	8
n (Muestra 1)	10
Media (Muestra 2)	65.6
σ (Muestra 2)	10
n (Muestra 2)	10
Diferencia observada	5.8
Diferencia bajo H0	0
Error estándar	4.0497
Tipo de prueba	Cola derecha
Nivel de significancia	0.05
Estadístico Z	1.4322
p-valor	0.076
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

2. Prueba de una cola a la izquierda

\[ H_0: \mu_1 -\mu_2 \geq 0 \qquad \text{frente a} \qquad H_1: \mu_1 -\mu_2 < 0. \]

resultado <- ph_dif_medias_z(
  media1 = media_gr1,
  media2 = media_gr2,
  sigma1 = 8,
  sigma2 = 10,
  n1 = n_gr1,
  n2 = n_gr2,
  diferencia0 = 0,
  alpha = 0.05,
  alternative = "less"
)

resultado

Medida	Valor
Media (Muestra 1)	71.4
σ (Muestra 1)	8
n (Muestra 1)	10
Media (Muestra 2)	65.6
σ (Muestra 2)	10
n (Muestra 2)	10
Diferencia observada	5.8
Diferencia bajo H0	0
Error estándar	4.0497
Tipo de prueba	Cola izquierda
Nivel de significancia	0.05
Estadístico Z	1.4322
p-valor	0.924
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

3. Prueba de dos colas o bilateral

\[ H_0:\mu_1 -\mu_2 = 0 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:\mu_1 -\mu_2 \neq 0. \]

resultado <- ph_dif_medias_z(
  media1 = media_gr1,
  media2 = media_gr2,
  sigma1 = 8,
  sigma2 = 10,
  n1 = n_gr1,
  n2 = n_gr2,
  diferencia0 = 0,
  alpha = 0.05,
  alternative = "two.sided"
)

resultado

Medida	Valor
Media (Muestra 1)	71.4
σ (Muestra 1)	8
n (Muestra 1)	10
Media (Muestra 2)	65.6
σ (Muestra 2)	10
n (Muestra 2)	10
Diferencia observada	5.8
Diferencia bajo H0	0
Error estándar	4.0497
Tipo de prueba	Bilateral
Nivel de significancia	0.05
Estadístico Z	1.4322
p-valor	0.1521
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

6.0.8 Prueba para la diferencia de medias (con \(t\), varianzas iguales)

Este procedimiento utiliza una varianza combinada y supone que las dos poblaciones tienen la misma varianza.

La diferencia se calcula en el orden:

\[ \text{Grupo 1}-\text{Grupo 2}. \]

1. Prueba de una cola a la derecha

\[ H_0: \mu_1 -\mu_2 \leq 0 \qquad \text{frente a} \qquad H_1: \mu_1-\mu_2 > 0. \]

# Calcula media y tamaño
resultado <- ph_dif_medias_t_si(
  media1 = media_gr1,
  media2 = media_gr2,
  s1 = s_gr1,
  s2 = s_gr2,
  n1 = n_gr1,
  n2 = n_gr2,
  diferencia0 = 0,
  alpha = 0.05,
  alternative = "greater"
)

resultado

Medida	Valor
Media (Muestra 1)	71.4
s (Muestra 1)	2.2211
n (Muestra 1)	10
Media (Muestra 2)	65.6
s (Muestra 2)	2.2211
n (Muestra 2)	10
Diferencia observada	5.8
Diferencia bajo H0	0
Varianza combinada	4.9333
Desviación combinada	2.2211
Grados de libertad	18
Error estándar	0.9933
Tipo de prueba	Cola derecha
Nivel de significancia	0.05
Estadístico t	5.8391
p-valor	0
Decisión	Rechazar H0
Conclusión	Existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

2. Prueba de una cola a la izquierda

\[ H_0: \mu_1 -\mu_2 \geq 0 \qquad \text{frente a} \qquad H_1: \mu_1 -\mu_2 < 0. \]

resultado <- ph_dif_medias_t_si(
  media1 = media_gr1,
  media2 = media_gr2,
  s1 = s_gr1,
  s2 = s_gr2,
  n1 = n_gr1,
  n2 = n_gr2,
  diferencia0 = 0,
  alpha = 0.05,
  alternative = "less"
)

resultado

Medida	Valor
Media (Muestra 1)	71.4
s (Muestra 1)	2.2211
n (Muestra 1)	10
Media (Muestra 2)	65.6
s (Muestra 2)	2.2211
n (Muestra 2)	10
Diferencia observada	5.8
Diferencia bajo H0	0
Varianza combinada	4.9333
Desviación combinada	2.2211
Grados de libertad	18
Error estándar	0.9933
Tipo de prueba	Cola izquierda
Nivel de significancia	0.05
Estadístico t	5.8391
p-valor	1
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

3. Prueba de dos colas o bilateral

\[ H_0:\mu_1 -\mu_2 = 0 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:\mu_1 -\mu_2 \neq 0. \]

resultado <- ph_dif_medias_t_si(
  media1 = media_gr1,
  media2 = media_gr2,
  s1 = s_gr1,
  s2 = s_gr2,
  n1 = n_gr1,
  n2 = n_gr2,
  diferencia0 = 0,
  alpha = 0.05,
  alternative = "two.sided"
)

resultado

Medida	Valor
Media (Muestra 1)	71.4
s (Muestra 1)	2.2211
n (Muestra 1)	10
Media (Muestra 2)	65.6
s (Muestra 2)	2.2211
n (Muestra 2)	10
Diferencia observada	5.8
Diferencia bajo H0	0
Varianza combinada	4.9333
Desviación combinada	2.2211
Grados de libertad	18
Error estándar	0.9933
Tipo de prueba	Bilateral
Nivel de significancia	0.05
Estadístico t	5.8391
p-valor	0
Decisión	Rechazar H0
Conclusión	Existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

6.0.9 Prueba para la diferencia de medias (con \(t\), varianzas diferentes)

Cuando no se supone igualdad de varianzas, se utiliza el procedimiento de Welch.

La diferencia se calcula en el orden:

\[ \text{Grupo 1}-\text{Grupo 2}. \]

1. Prueba de una cola a la derecha

\[ H_0: \mu_1 -\mu_2 \leq 0 \qquad \text{frente a} \qquad H_1: \mu_1-\mu_2 > 0. \]

# Calcula media y tamaño
resultado <- ph_dif_medias_t_no(
  media1 = media_gr1,
  media2 = media_gr2,
  s1 = s_gr1,
  s2 = s_gr2,
  n1 = n_gr1,
  n2 = n_gr2,
  diferencia0 = 0,
  alpha = 0.05,
  alternative = "greater"
)

resultado

Medida	Valor
Media (Muestra 1)	71.4
s (Muestra 1)	2.2211
n (Muestra 1)	10
Media (Muestra 2)	65.6
s (Muestra 2)	2.2211
n (Muestra 2)	10
Diferencia observada	5.8
Diferencia bajo H0	0
Grados de libertad	18
Error estándar	0.9933
Tipo de prueba	Cola derecha
Nivel de significancia	0.05
Estadístico t	5.8391
p-valor	0
Decisión	Rechazar H0
Conclusión	Existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

2. Prueba de una cola a la izquierda

\[ H_0: \mu_1 -\mu_2 \geq 0 \qquad \text{frente a} \qquad H_1: \mu_1 -\mu_2 < 0. \]

resultado <- ph_dif_medias_t_no(
  media1 = media_gr1,
  media2 = media_gr2,
  s1 = s_gr1,
  s2 = s_gr2,
  n1 = n_gr1,
  n2 = n_gr2,
  diferencia0 = 0,
  alpha = 0.05,
  alternative = "less"
)

resultado

Medida	Valor
Media (Muestra 1)	71.4
s (Muestra 1)	2.2211
n (Muestra 1)	10
Media (Muestra 2)	65.6
s (Muestra 2)	2.2211
n (Muestra 2)	10
Diferencia observada	5.8
Diferencia bajo H0	0
Grados de libertad	18
Error estándar	0.9933
Tipo de prueba	Cola izquierda
Nivel de significancia	0.05
Estadístico t	5.8391
p-valor	1
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

3. Prueba de dos colas o bilateral

\[ H_0:\mu_1 -\mu_2 = 0 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:\mu_1 -\mu_2 \neq 0. \]

resultado <- ph_dif_medias_t_no(
  media1 = media_gr1,
  media2 = media_gr2,
  s1 = s_gr1,
  s2 = s_gr2,
  n1 = n_gr1,
  n2 = n_gr2,
  diferencia0 = 0,
  alpha = 0.05,
  alternative = "two.sided"
)

resultado

Medida	Valor
Media (Muestra 1)	71.4
s (Muestra 1)	2.2211
n (Muestra 1)	10
Media (Muestra 2)	65.6
s (Muestra 2)	2.2211
n (Muestra 2)	10
Diferencia observada	5.8
Diferencia bajo H0	0
Grados de libertad	18
Error estándar	0.9933
Tipo de prueba	Bilateral
Nivel de significancia	0.05
Estadístico t	5.8391
p-valor	0
Decisión	Rechazar H0
Conclusión	Existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

6.0.10 Prueba para la diferencia de proporciones

Se evalúa si la proporción de éxitos es igual en los dos grupos.

Se calcula el número de éxitos y el tamaño muestral dentro de cada grupo.

La diferencia se calcula en el orden:

\[ \text{Grupo 1}-\text{Grupo 2}. \]

1. Prueba de una cola a la derecha

\[ H_0: p_1-p_2 \leq 0 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:p_1-p_2 > 0. \]

# Se calcula el número de éxitos para cada uno de los dos grupos
fumador_gr1 <- sum(datos$fumador[datos$grupo == "Grupo 1"] == "Sí")
fumador_gr2 <- sum(datos$fumador[datos$grupo == "Grupo 2"] == "Sí")

# Se calcula el tamaño muestral para cada uno de los dos grupos
n_gr1 <- sum(datos$grupo == "Grupo 1")
n_gr2 <- sum(datos$grupo == "Grupo 2")

# Realiza la prueba
resultado <- ph_dif_proporciones(
  exitos1 = fumador_gr1,
  n1 = n_gr1,
  exitos2 = fumador_gr2,
  n2 = n_gr2,
  alpha = 0.05,
  alternative = "greater"
)

resultado

Medida	Valor
Éxitos (Muestra 1)	7
n (Muestra 1)	10
Proporción (Muestra 1)	0.7
Éxitos (Muestra 2)	4
n (Muestra 2)	10
Proporción (Muestra 2)	0.4
Diferencia observada	0.3
Proporción combinada	0.55
ES bajo H0	0.2225
Tipo de prueba	Cola derecha
Nivel de significancia	0.05
Estadístico Z	1.3484
p-valor	0.0888
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

2. Prueba de una cola a la izquierda

\[ H_0:p_1-p_2 \geq 0 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:p_1-p_2 < 0. \]

# Se calcula el número de éxitos para cada uno de los dos grupos
fumador_gr1 <- sum(datos$fumador[datos$grupo == "Grupo 1"] == "Sí")
fumador_gr2 <- sum(datos$fumador[datos$grupo == "Grupo 2"] == "Sí")

# Se calcula el tamaño muestral para cada uno de los dos grupos
n_gr1 <- sum(datos$grupo == "Grupo 1")
n_gr2 <- sum(datos$grupo == "Grupo 2")

# Realiza la prueba
resultado <- ph_dif_proporciones(
  exitos1 = fumador_gr1,
  n1 = n_gr1,
  exitos2 = fumador_gr2,
  n2 = n_gr2,
  alpha = 0.05,
  alternative = "less"
)

resultado

Medida	Valor
Éxitos (Muestra 1)	7
n (Muestra 1)	10
Proporción (Muestra 1)	0.7
Éxitos (Muestra 2)	4
n (Muestra 2)	10
Proporción (Muestra 2)	0.4
Diferencia observada	0.3
Proporción combinada	0.55
ES bajo H0	0.2225
Tipo de prueba	Cola izquierda
Nivel de significancia	0.05
Estadístico Z	1.3484
p-valor	0.9112
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

3. Prueba de dos colas o bilateral

\[ H_0:p_1-p_2 = 0 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:p_1-p_2 \neq 0. \]

# Se calcula el número de éxitos para cada uno de los dos grupos
fumador_gr1 <- sum(datos$fumador[datos$grupo == "Grupo 1"] == "Sí")
fumador_gr2 <- sum(datos$fumador[datos$grupo == "Grupo 2"] == "Sí")

# Se calcula el tamaño muestral para cada uno de los dos grupos
n_gr1 <- sum(datos$grupo == "Grupo 1")
n_gr2 <- sum(datos$grupo == "Grupo 2")

# Realiza la prueba
resultado <- ph_dif_proporciones(
  exitos1 = fumador_gr1,
  n1 = n_gr1,
  exitos2 = fumador_gr2,
  n2 = n_gr2,
  alpha = 0.05,
  alternative = "two.sided"
)

resultado

Medida	Valor
Éxitos (Muestra 1)	7
n (Muestra 1)	10
Proporción (Muestra 1)	0.7
Éxitos (Muestra 2)	4
n (Muestra 2)	10
Proporción (Muestra 2)	0.4
Diferencia observada	0.3
Proporción combinada	0.55
ES bajo H0	0.2225
Tipo de prueba	Bilateral
Nivel de significancia	0.05
Estadístico Z	1.3484
p-valor	0.1775
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

6.0.11 Prueba para la razón de varianzas

Se evalúa si las varianzas poblacionales de x son iguales en los dos grupos.

La razón se calcula en el orden:

\[ \frac{\text{Grupo 1}} {\text{Grupo 2}}. \]

1. Prueba de una cola a la derecha

\[ H_0:\sigma^2_1 \leq \sigma^2_2 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:\sigma^2_1 > \sigma^2_2. \]

# Calcula las varianzas  para cada uno de los dos grupos
var_gr1 <- var(puntaje1)
var_gr2 <- var(puntaje2)

# Se calcula el tamaño muestral de cada grupo.
n_gr1 <- length(puntaje1)
n_gr2 <- length(puntaje2)

# Realiza la prueba
resultado <- ph_razon_varianzas(
  varianza1 = var_gr1,
  varianza2 = var_gr2,
  n1 = n_gr1,
  n2 = n_gr2,
  razon0 = 1,
  alpha = 0.05,
  alternative = "greater"
)

resultado

Medida	Valor
Varianza (Muestra 1)	4.9333
n (Muestra 1)	10
Grados de libertad (Muestra 1)	9
Varianza (Muestra 2)	4.9333
n (Muestra 2)	10
Grados de libertad (Muestra 2)	9
Razón muestral	1
Razón bajo H0	1
Tipo de prueba	Cola derecha
Nivel de significancia	0.05
Estadístico F	1
p-valor	0.5
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

2. Prueba de una cola a la izquierda

\[ H_0:\sigma^2_1 \geq \sigma^2_2 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:\sigma^2_1 < \sigma^2_2. \]

# Calcula las varianzas  para cada uno de los dos grupos
var_gr1 <- var(puntaje1)
var_gr2 <- var(puntaje2)

# Se calcula el tamaño muestral de cada grupo.
n_gr1 <- length(puntaje1)
n_gr2 <- length(puntaje2)

# Realiza la prueba
resultado <- ph_razon_varianzas(
  varianza1 = var_gr1,
  varianza2 = var_gr2,
  n1 = n_gr1,
  n2 = n_gr2,
  razon0 = 1,
  alpha = 0.05,
  alternative = "less"
)

resultado

Medida	Valor
Varianza (Muestra 1)	4.9333
n (Muestra 1)	10
Grados de libertad (Muestra 1)	9
Varianza (Muestra 2)	4.9333
n (Muestra 2)	10
Grados de libertad (Muestra 2)	9
Razón muestral	1
Razón bajo H0	1
Tipo de prueba	Cola izquierda
Nivel de significancia	0.05
Estadístico F	1
p-valor	0.5
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

3. Prueba de dos colas o bilateral

\[ H_0:\sigma^2_1 = \sigma^2_2 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:\sigma^2_1 \neq \sigma^2_2. \]

# Calcula las varianzas  para cada uno de los dos grupos
var_gr1 <- var(puntaje1)
var_gr2 <- var(puntaje2)

# Se calcula el tamaño muestral de cada grupo.
n_gr1 <- length(puntaje1)
n_gr2 <- length(puntaje2)

# Realiza la prueba
resultado <- ph_razon_varianzas(
  varianza1 = var_gr1,
  varianza2 = var_gr2,
  n1 = n_gr1,
  n2 = n_gr2,
  razon0 = 1,
  alpha = 0.05,
  alternative = "two.sided"
)

resultado

Medida	Valor
Varianza (Muestra 1)	4.9333
n (Muestra 1)	10
Grados de libertad (Muestra 1)	9
Varianza (Muestra 2)	4.9333
n (Muestra 2)	10
Grados de libertad (Muestra 2)	9
Razón muestral	1
Razón bajo H0	1
Tipo de prueba	Bilateral
Nivel de significancia	0.05
Estadístico F	1
p-valor	1
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

7 Ejemplos utilizando una base de datos

En esta sección se utiliza el conjunto de datos survey del paquete lsm, recopilado mediante una encuesta aplicada a una muestra de estudiantes universitarios. La descripción de sus variables puede consultarse en este enlace (clic aquí).

Las estadísticas resumidas se calcularán directamente a partir de las variables de la base de datos. Suponga, en todos los casos, que las variables cuantitativas poblacionales seleccionadas siguen una distribución normal.

7.0.1 Nuestro data frame

Para acceder a la base de datos, hacemos:

#Base de datos
datosCompleto <- lsm::survey

# Para algunos ejemplos de esta sección utilizaremos únicamente las primeras 100 observaciones
df1 <- datosCompleto[1:100,]

# Para otros ejemplos de esta sección utilizaremos únicamente las primeras 29 observaciones
df2 <- datosCompleto[1:29,]

# Dimensión de las dos bases de datos (observaciones, variables)
dim(datosCompleto)
dim(df1)

## Dimensión de la base de datos original: 800 observaciones y 66 variables.

## Dimensión del primer data frame (df1) utilizado en los ejemplos: 100 observaciones y 66 variables.

## Dimensión del segundo data frame (df2) utilizado en los ejemplos: 29 observaciones y 66 variables.

7.0.2 Variables que vamos a utilizar para los ejemplos

En los siguientes ejemplos utilizaremos las variables Age, Gender y School.

Age representa la edad del estudiante.
Gender tiene las categorías Female y male.
School tiene, entre otros, los niveles Private y Public.

7.0.3 Verificar los niveles de las variables seleccionadas

Antes de continuar, se verifican los niveles observados.

unique(df1$Gender)
unique(df1$School)

## Niveles de Gender: Female Male

## Niveles de School: Private Public

7.0.4 Prueba para la media (con \(Z\))

Para ilustrar el procedimiento con \(Z\), se evalúa si la edad media poblacional es igual a 20 años, suponiendo conocida una desviación estándar poblacional de 6 años.

1. Prueba de una cola a la derecha

\[ H_0: \mu \leq 20 \qquad \text{frente a} \qquad H_1: \mu > 20. \]

# Elimina los valores perdidos (NA)
edad <- df1$Age[!is.na(df1$Age)] 

# Calcula media y tamaño
media_edad <- mean(edad)
n_edad <- length(edad)

# Realiza la prueba
resultado <- ph_media_z(
  media = media_edad,
  sigma = 6,
  n = n_edad,
  mu0 = 20,
  alpha = 0.05,
  alternative = "greater"
)

resultado

Medida	Valor
Media muestral	18.9374
Media bajo H0	20
σ	6
n	100
Error estándar	0.6
Tipo de prueba	Cola derecha
Nivel de significancia	0.05
Estadístico Z	-1.771
p-valor	0.9617
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

2. Prueba de una cola a la izquierda

\[ H_0: \mu \geq 20 \qquad \text{frente a} \qquad H_1: \mu < 20. \]

# Elimina los valores perdidos (NA)
edad <- df1$Age[!is.na(df1$Age)] 

# Calcula media y tamaño
media_edad <- mean(edad)
n_edad <- length(edad)

# Realiza la prueba
resultado <- ph_media_z(
  media = media_edad,
  sigma = 6,
  n = n_edad,
  mu0 = 20,
  alpha = 0.05,
  alternative = "less"
)

resultado

Medida	Valor
Media muestral	18.9374
Media bajo H0	20
σ	6
n	100
Error estándar	0.6
Tipo de prueba	Cola izquierda
Nivel de significancia	0.05
Estadístico Z	-1.771
p-valor	0.0383
Decisión	Rechazar H0
Conclusión	Existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

3. Prueba de dos colas o bilateral

\[ H_0: \mu = 20 \qquad \text{frente a} \qquad H_1: \mu \neq 20. \]

# Elimina los valores perdidos (NA)
edad <- df1$Age[!is.na(df1$Age)] 

# Calcula media y tamaño
media_edad <- mean(edad)
n_edad <- length(edad)

# Realiza la prueba
resultado <- ph_media_z(
  media = media_edad,
  sigma = 6,
  n = n_edad,
  mu0 = 20,
  alpha = 0.05,
  alternative = "two.sided"
)

resultado

Medida	Valor
Media muestral	18.9374
Media bajo H0	20
σ	6
n	100
Error estándar	0.6
Tipo de prueba	Bilateral
Nivel de significancia	0.05
Estadístico Z	-1.771
p-valor	0.0766
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

7.0.5 Prueba para la media (con \(t\))

Cuando la desviación estándar poblacional es desconocida y la población es normal, se utiliza la desviación estándar muestral (\(s\)) de la variable Age y la distribución \(t\) de Student.

1. Prueba de una cola a la derecha

\[ H_0: \mu \leq 20 \qquad \text{frente a} \qquad H_1: \mu > 20. \]

# Elimina los valores perdidos (NA)
edad <- df2$Age[!is.na(df2$Age)] 

# Calcula media, desviación y tamaño
media_edad <- mean(edad)
s_edad <- sd(edad)
n_edad <- length(edad)

# Realiza la prueba
resultado <- ph_media_t(
  media = media_edad,
  s = s_edad,
  n = n_edad,
  mu0 = 20,
  alpha = 0.05,
  alternative = "greater"
)

resultado

Medida	Valor
Media muestral	19.2641
Media bajo H0	20
s	2.0637
n	29
Grados de libertad	28
Error estándar	0.3832
Tipo de prueba	Cola derecha
Nivel de significancia	0.05
Estadístico t	-1.9202
p-valor	0.9675
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

2. Prueba de una cola a la izquierda

\[ H_0: \mu \geq 20 \qquad \text{frente a} \qquad H_1: \mu < 20. \]

# Elimina los valores perdidos (NA)
edad <- df2$Age[!is.na(df2$Age)] 

# Calcula media, desviación y tamaño
media_edad <- mean(edad)
s_edad <- sd(edad)
n_edad <- length(edad)

# Realiza la prueba
resultado <- ph_media_t(
  media = media_edad,
  s = s_edad,
  n = n_edad,
  mu0 = 20,
  alpha = 0.05,
  alternative = "less"
)

resultado

Medida	Valor
Media muestral	19.2641
Media bajo H0	20
s	2.0637
n	29
Grados de libertad	28
Error estándar	0.3832
Tipo de prueba	Cola izquierda
Nivel de significancia	0.05
Estadístico t	-1.9202
p-valor	0.0325
Decisión	Rechazar H0
Conclusión	Existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

3. Prueba de dos colas o bilateral

\[ H_0: \mu = 20 \qquad \text{frente a} \qquad H_1: \mu \neq 20. \]

# Elimina los valores perdidos (NA)
edad <- df2$Age[!is.na(df2$Age)] 

# Calcula media, desviación y tamaño
media_edad <- mean(edad)
s_edad <- sd(edad)
n_edad <- length(edad)

# Realiza la prueba
resultado <- ph_media_t(
  media = media_edad,
  s = s_edad,
  n = n_edad,
  mu0 = 20,
  alpha = 0.05,
  alternative = "two.sided"
)

resultado

Medida	Valor
Media muestral	19.2641
Media bajo H0	20
s	2.0637
n	29
Grados de libertad	28
Error estándar	0.3832
Tipo de prueba	Bilateral
Nivel de significancia	0.05
Estadístico t	-1.9202
p-valor	0.0651
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

7.0.6 Prueba para una proporción

En este ejemplo se estima la proporción poblacional de estudiantes de género Female. El número de éxitos corresponde al número de observaciones clasificadas como Female.

1. Prueba de una cola a la derecha

\[ H_0: p \leq 0.5 \qquad \text{frente a} \qquad H_1: p > 0.5. \]

# Elimina los valores perdidos (NA)
genero <- df1$Gender[!is.na(df1$Gender)]

# Calcula número de estudiantes de género Female (éxitos) y tamaño total de la muestra.
total_fem <- sum(genero == "Female")
n_fem <- length(genero)

# Realiza la prueba
resultado <- ph_proporcion(
  exitos = total_fem,
  n = n_fem,
  p0 = 0.50,
  alpha = 0.05,
  alternative = "greater"
)

resultado

Medida	Valor
Éxitos	49
n	100
Proporción muestral	0.49
Proporción bajo H0	0.5
ES bajo H0	0.05
Tipo de prueba	Cola derecha
Nivel de significancia	0.05
Estadístico Z	-0.2
p-valor	0.5793
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

2. Prueba de una cola a la izquierda

\[ H_0: p \geq 0.5 \qquad \text{frente a} \qquad H_1: p < 0.5. \]

# Elimina los valores perdidos (NA)
genero <- df1$Gender[!is.na(df1$Gender)]

# Calcula número de estudiantes de género Female (éxitos) y tamaño total de la muestra.
total_fem <- sum(genero == "Female")
n_fem <- length(genero)

# Realiza la prueba
resultado <- ph_proporcion(
  exitos = total_fem,
  n = n_fem,
  p0 = 0.50,
  alpha = 0.05,
  alternative = "less"
)

resultado

Medida	Valor
Éxitos	49
n	100
Proporción muestral	0.49
Proporción bajo H0	0.5
ES bajo H0	0.05
Tipo de prueba	Cola izquierda
Nivel de significancia	0.05
Estadístico Z	-0.2
p-valor	0.4207
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

3. Prueba de dos colas o bilateral

\[ H_0: p = 0.5 \qquad \text{frente a} \qquad H_1: p \neq 0.5. \]

# Elimina los valores perdidos (NA)
genero <- df1$Gender[!is.na(df1$Gender)]

# Calcula número de estudiantes de género Female (éxitos) y tamaño total de la muestra.
total_fem <- sum(genero == "Female")
n_fem <- length(genero)

# Realiza la prueba
resultado <- ph_proporcion(
  exitos = total_fem,
  n = n_fem,
  p0 = 0.50,
  alpha = 0.05,
  alternative = "two.sided"
)

resultado

Medida	Valor
Éxitos	49
n	100
Proporción muestral	0.49
Proporción bajo H0	0.5
ES bajo H0	0.05
Tipo de prueba	Bilateral
Nivel de significancia	0.05
Estadístico Z	-0.2
p-valor	0.8415
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

7.0.7 Prueba para la varianza

La varianza muestral de la variable Age se utiliza para estimar la varianza poblacional de las edades.

Las hipótesis que se evaluarán son:

\[ H_0: \sigma^2 = 4 \qquad \text{frente a} \qquad H_1: \sigma^2 \neq 4. \]

# Elimina los valores perdidos (NA)
edad <- df1$Age[!is.na(df1$Age)]

# Calcula varianza y tamaño
varianza_edad <- var(edad)
n_edad <- length(edad)

# Realiza la prueba
resultado <- ph_varianza(
  varianza = varianza_edad,
  n = n_edad,
  varianza0 = 4,
  alpha = 0.05,
  alternative = "two.sided"
)

resultado

Medida	Valor
Varianza muestral	4.0816
Varianza bajo H0	4
n	100
Grados de libertad	99
Tipo de prueba	Bilateral
Nivel de significancia	0.05
Estadístico chi-cuadrada	101.0187
p-valor	0.8494
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

7.0.8 Preparación y resumen de los dos grupos con los datos de `df1`

Primero se eliminan las observaciones con valores faltantes en Age o School. Luego se conservan únicamente los estudiantes procedentes de colegios Private y Public.

# Conservar solo observaciones válidas de Age y School, correspondientes a colegios privados o públicos.

datos_edad_df1 <- df1[
  !is.na(df1$Age) &
  !is.na(df1$School) &
  df1$School %in% c("Private", "Public"),
]

# Se separan las edades según el tipo de colegio.
edad_private_df1 <- datos_edad_df1$Age[datos_edad_df1$School == "Private"]
edad_public_df1 <- datos_edad_df1$Age[datos_edad_df1$School == "Public"]

# Se calculan las estadísticas resumidas de cada grupo.
media_private_df1 <- mean(edad_private_df1)
media_public_df1 <- mean(edad_public_df1)

s_private_df1 <- sd(edad_private_df1)
s_public_df1 <- sd(edad_public_df1)

n_private_df1 <- length(edad_private_df1)
n_public_df1 <- length(edad_public_df1)

A partir de estos resultados, se obtiene el siguiente resumen para cada grupo:

tabla_muestras <- data.frame(
  Estadística = c(
    "Tamaño muestral (n)",
    "Media",
    "Desviación estándar"
  ),
  Private = c(n_private_df1, round(media_private_df1, 2), round(s_private_df1, 2)),
  Public = c(n_public_df1, round(media_public_df1, 2), round(s_public_df1, 2)),
  check.names = FALSE
)

tabla_muestras

Resumen de la variable Age según el tipo de colegio.
Estadística	Private	Public
Tamaño muestral (n)	50.00	50.00
Media	19.08	18.79
Desviación estándar	2.19	1.84

Las estadísticas presentadas en la tabla corresponden a los argumentos que se utilizarán posteriormente en las funciones para comparar las medias de los dos grupos:

media1 y media2: medias muestrales;
s1 y s2: desviaciones estándar muestrales;
n1 y n2: tamaños muestrales.

En los procedimientos siguientes, el grupo Private se considerará como el Grupo 1 y el grupo Public como el Grupo 2.

7.0.9 Preparación y resumen de los dos grupos con los datos de `df2`

Primero se eliminan las observaciones con valores faltantes en Age o School. Luego se conservan únicamente los estudiantes procedentes de colegios Private y Public.

# Conservar solo observaciones válidas de Age y School, correspondientes a colegios privados o públicos.

datos_edad_df2 <- df2[
  !is.na(df2$Age) &
  !is.na(df2$School) &
  df2$School %in% c("Private", "Public"),
]

# Se separan las edades según el tipo de colegio.
edad_private_df2 <- datos_edad_df2$Age[datos_edad_df2$School == "Private"]
edad_public_df2 <- datos_edad_df2$Age[datos_edad_df2$School == "Public"]

# Se calculan las estadísticas resumidas de cada grupo.
media_private_df2 <- mean(edad_private_df2)
media_public_df2 <- mean(edad_public_df2)

s_private_df2 <- sd(edad_private_df2)
s_public_df2 <- sd(edad_public_df2)

n_private_df2 <- length(edad_private_df2)
n_public_df2 <- length(edad_public_df2)

A partir de estos resultados, se obtiene el siguiente resumen para cada grupo:

tabla_muestras <- data.frame(
  Estadística = c(
    "Tamaño muestral (n)",
    "Media",
    "Desviación estándar"
  ),
  Private = c(n_private_df2, round(media_private_df2, 2), round(s_private_df2, 2)),
  Public = c(n_public_df2, round(media_public_df2, 2), round(s_public_df2, 2)),
  check.names = FALSE
)

tabla_muestras

Resumen de la variable Age según el tipo de colegio.
Estadística	Private	Public
Tamaño muestral (n)	15.00	14.00
Media	19.20	19.33
Desviación estándar	2.37	1.77

Las estadísticas presentadas en la tabla corresponden a los argumentos que se utilizarán posteriormente en las funciones para comparar las medias de los dos grupos:

media1 y media2: medias muestrales;
s1 y s2: desviaciones estándar muestrales;
n1 y n2: tamaños muestrales.

En los procedimientos siguientes, el grupo Private se considerará como el Grupo 1 y el grupo Public como el Grupo 2.

7.0.10 Prueba para la diferencia de medias (con \(Z\))

Se estima la diferencia entre la edad media de los estudiantes procedentes de colegios privados y públicos. Es decir, la diferencia se calcula en el orden:

\[ \text{Private}-\text{Public}. \]

Para ilustrar el procedimiento con \(Z\), se supondrán conocidas desviaciones estándar poblacionales iguales a \(6\) años.

1. Prueba de una cola a la derecha

\[ H_0: \mu_1 -\mu_2 \leq 0 \qquad \text{frente a} \qquad H_1: \mu_1-\mu_2 > 0. \]

# Calcula media y tamaño
resultado <- ph_dif_medias_z(
  media1 = media_private_df1,
  media2 = media_public_df1,
  sigma1 = 6,
  sigma2 = 6,
  n1 = n_private_df1,
  n2 = n_public_df1,
  diferencia0 = 0,
  alpha = 0.05,
  alternative = "greater"
)

resultado

Medida	Valor
Media (Muestra 1)	19.0842
σ (Muestra 1)	6
n (Muestra 1)	50
Media (Muestra 2)	18.7906
σ (Muestra 2)	6
n (Muestra 2)	50
Diferencia observada	0.2936
Diferencia bajo H0	0
Error estándar	1.2
Tipo de prueba	Cola derecha
Nivel de significancia	0.05
Estadístico Z	0.2447
p-valor	0.4034
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

2. Prueba de una cola a la izquierda

\[ H_0: \mu_1 -\mu_2 \geq 0 \qquad \text{frente a} \qquad H_1: \mu_1 -\mu_2 < 0. \]

resultado <- ph_dif_medias_z(
  media1 = media_private_df1,
  media2 = media_public_df1,
  sigma1 = 6,
  sigma2 = 6,
  n1 = n_private_df1,
  n2 = n_public_df1,
  diferencia0 = 0,
  alpha = 0.05,
  alternative = "less"
)

resultado

Medida	Valor
Media (Muestra 1)	19.0842
σ (Muestra 1)	6
n (Muestra 1)	50
Media (Muestra 2)	18.7906
σ (Muestra 2)	6
n (Muestra 2)	50
Diferencia observada	0.2936
Diferencia bajo H0	0
Error estándar	1.2
Tipo de prueba	Cola izquierda
Nivel de significancia	0.05
Estadístico Z	0.2447
p-valor	0.5966
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

3. Prueba de dos colas o bilateral

\[ H_0:\mu_1 -\mu_2 = 0 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:\mu_1 -\mu_2 \neq 0. \]

resultado <- ph_dif_medias_z(
  media1 = media_private_df1,
  media2 = media_public_df1,
  sigma1 = 6,
  sigma2 = 6,
  n1 = n_private_df1,
  n2 = n_public_df1,
  diferencia0 = 0,
  alpha = 0.05,
  alternative = "two.sided"
)

resultado

Medida	Valor
Media (Muestra 1)	19.0842
σ (Muestra 1)	6
n (Muestra 1)	50
Media (Muestra 2)	18.7906
σ (Muestra 2)	6
n (Muestra 2)	50
Diferencia observada	0.2936
Diferencia bajo H0	0
Error estándar	1.2
Tipo de prueba	Bilateral
Nivel de significancia	0.05
Estadístico Z	0.2447
p-valor	0.8067
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

7.0.11 Prueba para la diferencia de medias (con \(t\), varianzas iguales)

Este procedimiento compara las edades medias de los dos grupos suponiendo que las varianzas poblacionales son desconocidas, pero iguales.

La diferencia se calcula en el orden:

\[ \text{Private}-\text{Public}. \]

1. Prueba de una cola a la derecha

\[ H_0: \mu_1 -\mu_2 \leq 0 \qquad \text{frente a} \qquad H_1: \mu_1-\mu_2 > 0. \]

# Calcula media y tamaño
resultado <- ph_dif_medias_t_si(
  media1 = media_private_df2,
  media2 = media_public_df2,
  s1 = s_private_df2,
  s2 = s_public_df2,
  n1 = n_private_df2,
  n2 = n_public_df2,
  diferencia0 = 0,
  alpha = 0.05,
  alternative = "greater"
)

resultado

Medida	Valor
Media (Muestra 1)	19.1993
s (Muestra 1)	2.3681
n (Muestra 1)	15
Media (Muestra 2)	19.3336
s (Muestra 2)	1.7672
n (Muestra 2)	14
Diferencia observada	-0.1342
Diferencia bajo H0	0
Varianza combinada	4.4116
Desviación combinada	2.1004
Grados de libertad	27
Error estándar	0.7805
Tipo de prueba	Cola derecha
Nivel de significancia	0.05
Estadístico t	-0.172
p-valor	0.5676
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

2. Prueba de una cola a la izquierda

\[ H_0: \mu_1 -\mu_2 \geq 0 \qquad \text{frente a} \qquad H_1: \mu_1 -\mu_2 < 0. \]

resultado <- ph_dif_medias_t_si(
  media1 = media_private_df2,
  media2 = media_public_df2,
  s1 = s_private_df2,
  s2 = s_public_df2,
  n1 = n_private_df2,
  n2 = n_public_df2,
  diferencia0 = 0,
  alpha = 0.05,
  alternative = "less"
)

resultado

Medida	Valor
Media (Muestra 1)	19.1993
s (Muestra 1)	2.3681
n (Muestra 1)	15
Media (Muestra 2)	19.3336
s (Muestra 2)	1.7672
n (Muestra 2)	14
Diferencia observada	-0.1342
Diferencia bajo H0	0
Varianza combinada	4.4116
Desviación combinada	2.1004
Grados de libertad	27
Error estándar	0.7805
Tipo de prueba	Cola izquierda
Nivel de significancia	0.05
Estadístico t	-0.172
p-valor	0.4324
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

3. Prueba de dos colas o bilateral

\[ H_0:\mu_1 -\mu_2 = 0 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:\mu_1 -\mu_2 \neq 0. \]

resultado <- ph_dif_medias_t_si(
  media1 = media_private_df2,
  media2 = media_public_df2,
  s1 = s_private_df2,
  s2 = s_public_df2,
  n1 = n_private_df2,
  n2 = n_public_df2,
  diferencia0 = 0,
  alpha = 0.05,
  alternative = "two.sided"
)

resultado

Medida	Valor
Media (Muestra 1)	19.1993
s (Muestra 1)	2.3681
n (Muestra 1)	15
Media (Muestra 2)	19.3336
s (Muestra 2)	1.7672
n (Muestra 2)	14
Diferencia observada	-0.1342
Diferencia bajo H0	0
Varianza combinada	4.4116
Desviación combinada	2.1004
Grados de libertad	27
Error estándar	0.7805
Tipo de prueba	Bilateral
Nivel de significancia	0.05
Estadístico t	-0.172
p-valor	0.8647
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

7.0.12 Prueba para la diferencia de medias (con \(t\), varianzas diferentes)

Cuando no se supone igualdad de varianzas, se utiliza el procedimiento de Welch para comparar las edades medias de los dos grupos.

La diferencia se calcula en el orden:

\[ \text{Private}-\text{Public}. \]

1. Prueba de una cola a la derecha

\[ H_0: \mu_1 -\mu_2 \leq 0 \qquad \text{frente a} \qquad H_1: \mu_1-\mu_2 > 0. \]

resultado <- ph_dif_medias_t_no(
  media1 = media_private_df2,
  media2 = media_public_df2,
  s1 = s_private_df2,
  s2 = s_public_df2,
  n1 = n_private_df2,
  n2 = n_public_df2,
  diferencia0 = 0,
  alpha = 0.05,
  alternative = "greater"
)

resultado

Medida	Valor
Media (Muestra 1)	19.1993
s (Muestra 1)	2.3681
n (Muestra 1)	15
Media (Muestra 2)	19.3336
s (Muestra 2)	1.7672
n (Muestra 2)	14
Diferencia observada	-0.1342
Diferencia bajo H0	0
Grados de libertad	25.7995
Error estándar	0.7726
Tipo de prueba	Cola derecha
Nivel de significancia	0.05
Estadístico t	-0.1737
p-valor	0.5683
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

2. Prueba de una cola a la izquierda

\[ H_0: \mu_1 -\mu_2 \geq 0 \qquad \text{frente a} \qquad H_1: \mu_1 -\mu_2 < 0. \]

resultado <- ph_dif_medias_t_no(
  media1 = media_private_df2,
  media2 = media_public_df2,
  s1 = s_private_df2,
  s2 = s_public_df2,
  n1 = n_private_df2,
  n2 = n_public_df2,
  diferencia0 = 0,
  alpha = 0.05,
  alternative = "less"
)

resultado

Medida	Valor
Media (Muestra 1)	19.1993
s (Muestra 1)	2.3681
n (Muestra 1)	15
Media (Muestra 2)	19.3336
s (Muestra 2)	1.7672
n (Muestra 2)	14
Diferencia observada	-0.1342
Diferencia bajo H0	0
Grados de libertad	25.7995
Error estándar	0.7726
Tipo de prueba	Cola izquierda
Nivel de significancia	0.05
Estadístico t	-0.1737
p-valor	0.4317
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

3. Prueba de dos colas o bilateral

\[ H_0:\mu_1 -\mu_2 = 0 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:\mu_1 -\mu_2 \neq 0. \]

resultado <- ph_dif_medias_t_no(
  media1 = media_private_df2,
  media2 = media_public_df2,
  s1 = s_private_df2,
  s2 = s_public_df2,
  n1 = n_private_df2,
  n2 = n_public_df2,
  diferencia0 = 0,
  alpha = 0.05,
  alternative = "two.sided"
)

resultado

Medida	Valor
Media (Muestra 1)	19.1993
s (Muestra 1)	2.3681
n (Muestra 1)	15
Media (Muestra 2)	19.3336
s (Muestra 2)	1.7672
n (Muestra 2)	14
Diferencia observada	-0.1342
Diferencia bajo H0	0
Grados de libertad	25.7995
Error estándar	0.7726
Tipo de prueba	Bilateral
Nivel de significancia	0.05
Estadístico t	-0.1737
p-valor	0.8634
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

7.0.13 Preparación de los datos para comparar proporciones

Para comparar la proporción de mujeres entre los estudiantes procedentes de colegios privados y públicos:

Primero se eliminan las observaciones con valores faltantes en las variables Gender y School.
Posteriormente se conservan únicamente los estudiantes provenientes de colegios Private y Public.

# Conservar solo observaciones válidas de Gender y School (para colegios privados o públicos).

datos_genero_df1 <- df1[
  !is.na(df1$Gender) &
  !is.na(df1$School) &
  df1$School %in% c("Private", "Public"),
]

# Se separa la variable Gender según el tipo de colegio.
genero_private_df1 <- datos_genero_df1$Gender[datos_genero_df1$School == "Private"]
genero_public_df1 <- datos_genero_df1$Gender[datos_genero_df1$School == "Public"]

# Se cuenta el número de estudiantes de género Female (éxitos) en cada grupo.
exitos_private_df1 <- sum(genero_private_df1 == "Female")
exitos_public_df1 <- sum(genero_public_df1 == "Female")

# Se calcula el tamaño muestral de cada grupo.
n_private_genero_df1 <- length(genero_private_df1)
n_public_genero_df1 <- length(genero_public_df1)

A partir de estos resultados, se obtiene el siguiente resumen para cada grupo:

tabla_genero <- data.frame(
  Estadística = c(
    "Tamaño muestral (n)",
    "Número de mujeres (éxitos)",
    "Proporción de mujeres"
  ),
  Private = c(
    n_private_genero_df1,
    exitos_private_df1,
    round(exitos_private_df1 / n_private_genero_df1, 3)
  ),
  Public = c(
    n_public_genero_df1,
    exitos_public_df1,
    round(exitos_public_df1 / n_public_genero_df1, 3)
  ),
  check.names = FALSE
)

tabla_genero

Resumen de la variable Gender según el tipo de colegio.
Estadística	Private	Public
Tamaño muestral (n)	50.00	50.00
Número de mujeres (éxitos)	26.00	23.00
Proporción de mujeres	0.52	0.46

Observe que las cantidades éxitos y n corresponden exactamente a los argumentos que posteriormente se utilizarán en la función ph_dif_proporciones().

7.0.14 Prueba para la diferencia de proporciones

Se estima la diferencia entre la proporción de mujeres procedentes de colegios privados y la proporción de mujeres procedentes de colegios públicos.

La diferencia se calcula en el orden:

\[ \text{Private}-\text{Public}. \]

1. Prueba de una cola a la derecha

\[ H_0: p_1-p_2 \leq 0 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:p_1-p_2 > 0. \]

resultado <- ph_dif_proporciones(
  exitos1 = exitos_private_df1,
  n1 = n_private_genero_df1,
  exitos2 = exitos_public_df1,
  n2 = n_public_genero_df1,
  alpha = 0.05,
  alternative = "greater"
)

resultado

Medida	Valor
Éxitos (Muestra 1)	26
n (Muestra 1)	50
Proporción (Muestra 1)	0.52
Éxitos (Muestra 2)	23
n (Muestra 2)	50
Proporción (Muestra 2)	0.46
Diferencia observada	0.06
Proporción combinada	0.49
ES bajo H0	0.1
Tipo de prueba	Cola derecha
Nivel de significancia	0.05
Estadístico Z	0.6001
p-valor	0.2742
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

2. Prueba de una cola a la izquierda

\[ H_0:p_1-p_2 \geq 0 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:p_1-p_2 < 0. \]

resultado <- ph_dif_proporciones(
  exitos1 = exitos_private_df1,
  n1 = n_private_genero_df1,
  exitos2 = exitos_public_df1,
  n2 = n_public_genero_df1,
  alpha = 0.05,
  alternative = "less"
)

resultado

Medida	Valor
Éxitos (Muestra 1)	26
n (Muestra 1)	50
Proporción (Muestra 1)	0.52
Éxitos (Muestra 2)	23
n (Muestra 2)	50
Proporción (Muestra 2)	0.46
Diferencia observada	0.06
Proporción combinada	0.49
ES bajo H0	0.1
Tipo de prueba	Cola izquierda
Nivel de significancia	0.05
Estadístico Z	0.6001
p-valor	0.7258
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

3. Prueba de dos colas o bilateral

\[ H_0:p_1-p_2 = 0 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:p_1-p_2 \neq 0. \]

resultado <- ph_dif_proporciones(
  exitos1 = exitos_private_df1,
  n1 = n_private_genero_df1,
  exitos2 = exitos_public_df1,
  n2 = n_public_genero_df1,
  alpha = 0.05,
  alternative = "two.sided"
)

resultado

Medida	Valor
Éxitos (Muestra 1)	26
n (Muestra 1)	50
Proporción (Muestra 1)	0.52
Éxitos (Muestra 2)	23
n (Muestra 2)	50
Proporción (Muestra 2)	0.46
Diferencia observada	0.06
Proporción combinada	0.49
ES bajo H0	0.1
Tipo de prueba	Bilateral
Nivel de significancia	0.05
Estadístico Z	0.6001
p-valor	0.5484
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

7.0.15 Prueba para la razón de varianzas

Se compara la variabilidad de las edades entre los estudiantes procedentes de colegios privados y públicos. En este caso, se evalúa si las varianzas poblacionales de las edades son iguales.

La razón se calcula en el orden:

\[ \frac{\text{Private}} {\text{Public}}. \]

1. Prueba de una cola a la derecha

\[ H_0:\sigma^2_1 \leq \sigma^2_2 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:\sigma^2_1 > \sigma^2_2. \]

# Calcula varianzas
varianza_private_df1 <- var(edad_private_df1)
varianza_public_df1 <- var(edad_public_df1)


resultado <- ph_razon_varianzas(
  varianza1 = varianza_private_df1,
  varianza2 = varianza_public_df1,
  n1 = n_private_df1,
  n2 = n_public_df1,
  razon0 = 1,
  alpha = 0.05,
  alternative = "greater"
)

resultado

Medida	Valor
Varianza (Muestra 1)	4.8177
n (Muestra 1)	50
Grados de libertad (Muestra 1)	49
Varianza (Muestra 2)	3.3848
n (Muestra 2)	50
Grados de libertad (Muestra 2)	49
Razón muestral	1.4233
Razón bajo H0	1
Tipo de prueba	Cola derecha
Nivel de significancia	0.05
Estadístico F	1.4233
p-valor	0.1101
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

2. Prueba de una cola a la izquierda

\[ H_0:\sigma^2_1 \geq \sigma^2_2 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:\sigma^2_1 < \sigma^2_2. \]

# Calcula varianzas
varianza_private_df1 <- var(edad_private_df1)
varianza_public_df1 <- var(edad_public_df1)


resultado <- ph_razon_varianzas(
  varianza1 = varianza_private_df1,
  varianza2 = varianza_public_df1,
  n1 = n_private_df1,
  n2 = n_public_df1,
  razon0 = 1,
  alpha = 0.05,
  alternative = "less"
)

resultado

Medida	Valor
Varianza (Muestra 1)	4.8177
n (Muestra 1)	50
Grados de libertad (Muestra 1)	49
Varianza (Muestra 2)	3.3848
n (Muestra 2)	50
Grados de libertad (Muestra 2)	49
Razón muestral	1.4233
Razón bajo H0	1
Tipo de prueba	Cola izquierda
Nivel de significancia	0.05
Estadístico F	1.4233
p-valor	0.8899
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

3. Prueba de dos colas o bilateral

\[ H_0:\sigma^2_1 = \sigma^2_2 \qquad \text{frente a} \qquad H_1:\sigma^2_1 \neq \sigma^2_2. \]

# Calcula varianzas
varianza_private_df1 <- var(edad_private_df1)
varianza_public_df1 <- var(edad_public_df1)


resultado <- ph_razon_varianzas(
  varianza1 = varianza_private_df1,
  varianza2 = varianza_public_df1,
  n1 = n_private_df1,
  n2 = n_public_df1,
  razon0 = 1,
  alpha = 0.05,
  alternative = "two.sided"
)

resultado

Medida	Valor
Varianza (Muestra 1)	4.8177
n (Muestra 1)	50
Grados de libertad (Muestra 1)	49
Varianza (Muestra 2)	3.3848
n (Muestra 2)	50
Grados de libertad (Muestra 2)	49
Razón muestral	1.4233
Razón bajo H0	1
Tipo de prueba	Bilateral
Nivel de significancia	0.05
Estadístico F	1.4233
p-valor	0.2202
Decisión	No rechazar H0
Conclusión	No existe evidencia estadística suficiente, al nivel α = 0.05, para apoyar H1

8 Proyecto: Pruebas de Hipótesis

8.0.1 Tema

Pruebas de hipótesis para uno y dos parámetros.

8.0.2 Objetivo

Aplicar los procedimientos estudiados para formular, ejecutar e interpretar pruebas de hipótesis para para uno y dos parámetros poblacionales utilizando un conjunto de datos real. Asimismo, fortalecer las habilidades para seleccionar muestras, obtener las estadísticas muestrales necesarias a partir de una base de datos y documentar adecuadamente todo el proceso mediante R Markdown.

8.0.3 Base de datos

Utilice el conjunto de datos survey del paquete lsm, empleado durante las clases.

8.0.4 Lineamientos

Los lineamientos generales para la elaboración, entrega y evaluación de esta actividad se encuentran disponibles en:

https://rpubs.com/hllinas/R_Lineamiento_EstInf

No es necesario repetir dichos lineamientos en este documento.

8.0.5 Actividades

Conociendo la base de datos

Responda las siguientes preguntas:
1. ¿Cuántas observaciones tiene la base de datos?
2. ¿Cuántas variables contiene?
3. Muestre los nombres de todas las variables.
4. Seleccione:
  - Dos variables cuantitativas que utilizará con el fin de realizar pruebas para la media y la varianza;
  - Dos variables dicotómicas que utilizará con el fin de realizar pruebas para una proporción;
  - Una variable categórica con exactamente dos niveles que utilizará para definir los dos grupos que serán comparados en los intervalos de confianza para dos parámetros.
5. Justifique brevemente la selección realizada.
Importante:
- Las variables seleccionadas no podrán ser las mismas utilizadas durante las clases o en los ejemplos de las notas del curso. Cada estudiante deberá elegir un conjunto diferente de variables que cumpla las condiciones anteriores.

Selección de una muestra
1. Construya un nuevo data frame denominado Muestra1, compuesto por más de 100 observaciones seleccionadas de la base de datos original.
2. Construya un segundo data frame denominado Muestra2, compuesto por menos de 29 observaciones seleccionadas de la base de datos original.
3. Asegúrese de que tanto Muestra1 como Muestra2 contengan observaciones correspondientes a los dos niveles de la variable categórica seleccionada para comparar las dos poblaciones.
4. Todas las estimaciones realizadas en la actividad deberán calcularse utilizando únicamente Muestra1 o Muestra2, según corresponda.

Supuestos

Suponga, en todos los casos, que las variables cuantitativas poblacionales seleccionadas siguen una distribución normal.

Prueba de hipóstesis para un parámetro

Considere las muestras construidas en el punto 2 y realice las siguientes estimaciones:
1. Utilizando Muestra1 (muestra grande), realice una prueba de hipótesis sobre la media poblacional, empleando la aproximación basada en la distribución normal.
2. Utilizando Muestra1 (muestra grande), realice una prueba de hipótesis sobre la media poblacional, empleando la aproximación basada en la distribución normal y utilizando una variable cuantitativa diferente de la empleada en el inciso anterior.
3. Utilizando Muestra2 (muestra pequeña), realice una prueba de hipótesis sobre la media poblacional, suponiendo que la desviación estándar poblacional es desconocida. Emplee la distribución \(t\) de Student.
4. Utilizando nuevamente Muestra2, realice otra prueba de hipótesis sobre la media poblacional mediante la distribución \(t\) de Student, utilizando una variable cuantitativa diferente de la empleada en el inciso anterior.
5. Utilizando Muestra1, realice una prueba de hipótesis sobre una proporción poblacional, a partir de una las variables dicotómicas seleccionadas.
6. Utilizando Muestra1, realice una prueba de hipótesis sobre una proporción poblacional, a partir de la segunda variable dicotómica seleccionada.
Para cada prueba:
- Presente claramente los resultados obtenidos.
- Identifique el parámetro poblacional que se está evaluando.
- Presente e interprete los principales elementos del procedimiento: \(H_0\), \(H_1\), estimación puntual, tipo de prueba, p-valor y decisión.
- Interprete el resultado obtenido en el contexto de la variable y del problema analizado.
- Organice el desarrollo de acuerdo con la plantilla utilizada en clase: datos, supuestos, conclusión, fórmula, procedimiento, resultados e interpretación.

Comparación entre procedimientos

A partir de los resultados obtenidos, responda las siguientes preguntas:
1. ¿Qué diferencias conceptuales y prácticas existen entre una prueba de hipótesis para la media basada en la distribución \(Z\) y una basada en la distribución \(t\) de Student? Explique en qué situaciones resulta apropiado utilizar cada una.
2. Compare los resultados obtenidos con Muestra1 y Muestra2. ¿Qué efecto parece tener el tamaño de la muestra sobre el error estándar, el estadístico de prueba y el p-valor? Explique a partir de los resultados obtenidos.
3. ¿Qué diferencias observa entre los valores críticos asociados con las distribuciones \(Z\) y \(t\) de Student? Explique por qué se presentan estas diferencias y qué ocurre con ellas a medida que aumenta el tamaño de la muestra.
4. Compare las pruebas de hipótesis realizadas para proporciones. ¿Qué diferencias observa en los estadísticos de prueba, los p-valores y las decisiones obtenidas? Explique los resultados en el contexto de las variables analizadas.

Preparación de los dos grupos

Utilizando la variable categórica seleccionada en el punto 1:
1. Construya dos subconjuntos de datos, uno para cada nivel de la variable categórica.
2. Seleccione una variable cuantitativa que permita comparar las medias y las varianzas de los dos grupos.
3. Seleccione una variable dicotómica que permita comparar las proporciones de los dos grupos.
4. Obtenga, para cada grupo, todas las estadísticas resumidas necesarias para realizar las pruebas de hipótesis solicitadas en la siguiente sección..

Pruebas para dos parámetros

Utilizando los dos grupos definidos anteriormente, realice:
1. Una prueba de hipótesis sobre la diferencia de medias suponiendo conocidas las desviaciones estándar poblacionales.
2. Una prueba de hipótesis sobre la diferencia de medias suponiendo desconocidas pero iguales las varianzas poblacionales.
3. Una prueba de hipótesis sobre la diferencia de medias suponiendo desconocidas y diferentes las varianzas poblacionales.
4. Una prueba de hipótesis sobre la diferencia de proporciones poblacionales.
5. Una prueba de hipótesis sobre la razón de varianzas poblacionales.
Para cada prueba:
- Presente claramente los resultados obtenidos.
- Identifique el parámetro poblacional que se está evaluando.
- Presente e interprete los principales elementos del procedimiento: \(H_0\), \(H_1\), estimación puntual, tipo de prueba, p-valor y decisión.
- Interprete el resultado obtenido en el contexto de la variable y del problema analizado.
- Organice el desarrollo de acuerdo con la plantilla utilizada en clase: datos, supuestos, conclusión, fórmula, procedimiento, resultados e interpretación.

Comparación entre procedimientos

Responda las siguientes preguntas:
1. ¿Qué diferencias conceptuales y prácticas observa entre las pruebas de hipótesis basadas en las distribuciones \(Z\) y \(t\) de Student?
2. Compare las tres pruebas realizadas para la diferencia de medias poblacionales. ¿Qué similitudes y diferencias observa entre ellas? Explique teniendo en cuenta los supuestos utilizados en cada procedimiento.
3. ¿Qué efecto tiene el supuesto de varianzas iguales o diferentes sobre el estadístico de prueba, los grados de libertad y el p-valor en la comparación de dos medias poblacionales?
4. ¿Qué información aporta la prueba de hipótesis para la diferencia de proporciones poblacionales? Interprete el resultado obtenido en términos de la evidencia estadística a favor de \(H_1\).
5. ¿Qué información aporta la prueba de hipótesis para la razón de varianzas poblacionales? Explique cómo puede utilizarse para determinar si existe evidencia de diferencias en la variabilidad de los dos grupos.

Conclusión

Escriba una conclusión de dos o tres párrafos en la que analice los principales resultados obtenidos en las pruebas de hipótesis realizadas.

Entre otros aspectos, responda:
1. ¿Qué conclusiones pueden obtenerse sobre los parámetros poblacionales a partir de las pruebas realizadas?
2. ¿Qué efecto tuvo el tamaño de la muestra sobre el error estándar, el estadístico de prueba y el p-valor?
3. ¿Qué diferencias encontró entre los procedimientos basados en las distribuciones \(Z\) y \(t\) de Student?
4. ¿Qué limitaciones deben tenerse en cuenta al interpretar los resultados de las pruebas de hipótesis realizadas?

8.0.6 Recomendaciones

Todas las hipótesis deben escribirse con notación estadística.
Todas las tablas deberán estar numeradas y tituladas.
Todas las afirmaciones deberán sustentarse con los resultados obtenidos.
Todas las decisiones deben justificarse mediante el p-valor y el nivel de significancia.
No escriba “se acepta \(H_0\)“; utilice “no se rechaza \(H_0\)”.
Muestre el código utilizado para obtener las estadísticas resumidas antes de realizar cada prueba.
Justifique cualquier supuesto realizado (por ejemplo, la desviación estándar poblacional utilizada en los procedimientos con el estadístico \(Z\)).
El código debe estar comentado y ejecutarse sin errores.
Recuerde consultar los lineamientos generales del curso para conocer los requisitos de reproducibilidad, entrega y evaluación.

9 Ejercicios (pruebas de hipótesis para una media)

15. Gasto mensual en servicios de apoyo psicológico

Un informe universitario afirmó que los estudiantes que utilizan servicios particulares de apoyo psicológico gastan, en promedio, 95 mil pesos mensuales en este tipo de atención.

Considerando que este promedio podría ser demasiado alto, un investigador seleccionó una muestra aleatoria de 50 estudiantes y encontró un gasto promedio de 92.25 miles de pesos, con una desviación estándar de 10 miles de pesos.

Con estos resultados, ponga a prueba, con un nivel de significancia de 0.05, la afirmación del informe acerca del gasto promedio mensual.

Además, calcule e interprete el p-valor correspondiente.

16. Puntaje promedio de bienestar psicológico

Un programa de promoción de la salud mental considera que, después de participar en una intervención psicológica, los estudiantes deberían obtener un puntaje promedio de bienestar psicológico de al menos 10 puntos.

Una muestra aleatoria de 15 estudiantes que participaron en el programa presentó un puntaje promedio de 9.5 puntos y una desviación estándar de 0.9 puntos.

Suponiendo que la distribución de los puntajes es normal, determine si existe evidencia de que el puntaje promedio de bienestar psicológico de los estudiantes que participan en el programa es menor de 10 puntos, utilizando un nivel de significancia de 0.01.

Además, calcule e interprete el p-valor correspondiente.

17. Puntaje en una prueba psicológica

Los puntajes, en una escala de 1 a 100, obtenidos por 10 participantes en una prueba psicológica fueron:

\[ 76 \qquad 79 \qquad 85 \qquad 94 \qquad 81 \qquad 43 \qquad 61 \qquad 67 \qquad 70 \qquad 74. \]

Suponga que estos puntajes proceden de una población normal y determine si existe evidencia de que el puntaje promedio de la población es diferente de 70 puntos, utilizando un nivel de significancia de 0.05.

Además, calcule e interprete el p-valor correspondiente.

18. Mejoría porcentual después de una intervención psicológica

Los incrementos porcentuales en un indicador de bienestar psicológico observados en una muestra aleatoria de 8 participantes después de una intervención fueron:

\[ 16.1 \qquad 14.4 \qquad 12.9 \qquad 13.7 \qquad 14.9 \qquad 14.6 \qquad 12.5 \qquad 15.3. \]

Realice una prueba con un nivel de significancia del 5% para determinar si el incremento porcentual promedio del indicador de bienestar psicológico en la población es diferente de 14.

Suponga que la población de valores se distribuye normalmente.

Además, calcule e interprete el p-valor correspondiente.

19. Intervalo de confianza para la mejoría psicológica

Para los datos del ejercicio 18, construya un intervalo del 95% de confianza para el incremento porcentual promedio del indicador de bienestar psicológico en la población.

¿Contiene el intervalo el valor de referencia de 14%?

Compare la conclusión obtenida mediante el intervalo de confianza con la obtenida en la prueba de hipótesis del ejercicio anterior y con el p-valor correspondiente.

20. Tiempo de respuesta en una tarea cognitiva

En una prueba de atención, el tiempo de respuesta de los participantes se distribuye aproximadamente de forma normal, con una media de 800 milisegundos y una desviación estándar de 40 milisegundos.

Se desea determinar si el tiempo promedio de respuesta ha cambiado. Para ello, se selecciona una muestra aleatoria de 30 participantes, obteniéndose un tiempo promedio de respuesta de 788 milisegundos.

Determine si existe evidencia de que el tiempo promedio de respuesta de los participantes es diferente de 800 milisegundos, utilizando un nivel de significancia de 0.04.

Además, calcule e interprete el p-valor correspondiente.

21. Horas promedio de sueño

Una muestra aleatoria de 64 estudiantes universitarios reportó dormir, en promedio, 5.23 horas por noche, con una desviación estándar de 0.24 horas.

Determine si existe evidencia de que el número promedio de horas de sueño por noche de los estudiantes universitarios es menor de 5.5 horas, utilizando un nivel de significancia de 0.05.

Además, calcule e interprete el p-valor correspondiente.

22. Puntaje de resiliencia después de una intervención

En estudios anteriores se ha observado que un determinado grupo de personas presenta un puntaje promedio de resiliencia de 35 puntos. Se plantea que, después de participar en un programa de intervención psicológica, el puntaje promedio podría alcanzar aproximadamente 40 puntos.

Una muestra aleatoria de 64 participantes que realizaron la intervención obtuvo un puntaje promedio de 38 puntos, con una desviación estándar de 5.8 puntos.

Determine si existe evidencia de que el puntaje promedio de resiliencia de las personas que participan en la intervención es menor de 40 puntos, utilizando un nivel de significancia de 0.025.

Además, calcule e interprete el p-valor correspondiente.

23. Puntaje promedio en una escala psicológica

Un investigador desea evaluar si el puntaje promedio de una población en una determinada escala psicológica es igual a 10 puntos.

Los puntajes obtenidos en una muestra aleatoria de 10 participantes fueron:

\[ 10.2 \qquad 9.7 \qquad 10.1 \qquad 10.3 \qquad 10.1 \qquad 9.8 \qquad 9.9 \qquad 10.4 \qquad 10.3 \qquad 9.8. \]

Pruebe la hipótesis de que el puntaje promedio poblacional es de 10 puntos.

Utilice un nivel de significancia de 0.01 y suponga que la distribución de los puntajes es normal.

Además, calcule e interprete el p-valor correspondiente.

24. Tiempo de respuesta en una prueba de atención

En una prueba computarizada de atención se considera como referencia un tiempo promedio de respuesta de 220 milisegundos.

Una muestra aleatoria de 20 participantes presentó un tiempo medio de respuesta de 224 milisegundos y una desviación estándar de 24.5 milisegundos.

¿Sugieren estos resultados, con un nivel de significancia de 0.05, que el tiempo promedio de respuesta de la población es mayor de 220 milisegundos?

Suponga que la distribución de los tiempos de respuesta es normal.

Además, calcule e interprete el p-valor correspondiente.

25. Tiempo para completar una evaluación psicológica

Por experiencia de años anteriores, se sabe que el tiempo requerido por los estudiantes para completar una determinada evaluación psicológica es una variable aleatoria normal con una media de 35 minutos.

Una muestra aleatoria de 20 estudiantes requirió, en promedio, 33.1 minutos para completar la evaluación, con una desviación estándar de 4.3 minutos.

Determine si existe evidencia de que el tiempo promedio requerido por los estudiantes para completar la evaluación psicológica es menor de 35 minutos, utilizando un nivel de significancia de 0.025.

Suponga que la población en cuestión es normal.

Además, calcule e interprete el p-valor correspondiente.

26. Puntaje de estrés académico

En una escala de estrés académico, estudios anteriores indican que los estudiantes universitarios presentan un puntaje promedio de 30 puntos.

Un psicólogo considera que los estudiantes que participan en un programa de manejo del estrés podrían presentar un puntaje promedio menor que este valor.

Para evaluar esta afirmación, se selecciona una muestra aleatoria de 16 estudiantes que participaron en el programa. Al finalizar, se obtiene un puntaje promedio de 27.5 puntos, con una desviación estándar de 4.8 puntos.

Suponga que los puntajes de estrés académico se distribuyen normalmente.

Determine si existe evidencia de que el puntaje promedio de estrés académico de los estudiantes que participan en el programa es menor de 30 puntos, utilizando un nivel de significancia de 0.05.

Calcule el estadístico de prueba y el p-valor correspondiente. Con base en los resultados, formule una conclusión en el contexto del problema.

27. Puntaje promedio de regulación emocional

Un centro de atención psicológica evalúa un programa de intervención antes de adoptarlo de manera general. El centro considera que el verdadero puntaje promedio de regulación emocional después de la intervención debe ser por lo menos de 50 puntos.

Por experiencias anteriores, se considera razonable asumir que la distribución poblacional de los puntajes es normal, con una desviación estándar de 3 puntos.

Para una muestra aleatoria de 9 participantes, el puntaje promedio observado fue de 48.2 puntos.

Contraste, con un nivel de significancia del 10%, la hipótesis nula de que el puntaje promedio poblacional es al menos de 50 puntos.

Además, calcule e interprete el p-valor correspondiente.

28. Cambio en un indicador psicológico

Después de aplicar un nuevo programa de intervención psicológica, se examinaron los cambios observados en un indicador estandarizado de bienestar en 76 participantes seleccionados aleatoriamente.

El cambio promedio observado en la muestra fue de 0.078 y la desviación estándar fue de 0.201.

Contraste, con un nivel de significancia del 10%, la hipótesis nula de que el cambio promedio en la población es 0 frente a una alternativa bilateral.

Además, calcule e interprete el p-valor correspondiente.

29. Puntaje de bienestar psicológico e intervalos de confianza

En una escala de bienestar psicológico, se considera como valor de referencia poblacional un puntaje promedio de 50 puntos.

Un psicólogo desea determinar si los estudiantes que participan en un programa de promoción del bienestar presentan, en promedio, un puntaje superior a este valor de referencia.

Se selecciona una muestra aleatoria de 25 estudiantes que participaron en el programa y se obtiene un puntaje promedio de 52.8 puntos, con una desviación estándar de 8 puntos.

Suponga que los puntajes de bienestar psicológico se distribuyen normalmente.

Determine si existe evidencia de que el puntaje promedio de bienestar psicológico de los estudiantes que participan en el programa es mayor de 50 puntos, utilizando un nivel de significancia de 0.05.

Calcule el estadístico de prueba y el p-valor correspondiente. Interprete el resultado en el contexto del problema.

Construya un intervalo bilateral del 95% de confianza para el puntaje promedio de bienestar psicológico de la población. ¿El intervalo contiene el valor de referencia de 50 puntos?
Construya un intervalo bilateral del 90% de confianza para el puntaje promedio de bienestar psicológico de la población. ¿El intervalo contiene el valor de referencia de 50 puntos?
Compare los resultados obtenidos mediante la prueba de hipótesis y los dos intervalos de confianza. ¿Qué relación observa entre la prueba unilateral realizada con un nivel de significancia del 5% y el intervalo bilateral del 90% de confianza?

30. Tiempo de reacción en una tarea psicológica

Cuando una tarea computarizada de evaluación psicológica funciona correctamente, los participantes presentan un tiempo promedio de reacción de 200 milisegundos.

Una muestra aleatoria de 9 participantes presentó los siguientes tiempos de reacción, en milisegundos:

\[ 208\qquad 201\qquad 197\qquad 203 \qquad 209\qquad 214\qquad 197\qquad 197\qquad 206. \]

Suponiendo que la distribución poblacional es normal, contraste, con un nivel de significancia del 5%, la hipótesis nula de que el tiempo promedio de reacción es de 200 milisegundos frente a una alternativa bilateral.

Además, calcule e interprete el p-valor correspondiente.

31. Efecto de una intervención sobre el tiempo de sueño

Un equipo de psicólogos afirma que una determinada intervención incrementa el tiempo de sueño de los participantes en una media de al menos 50 minutos.

En una muestra de 20 participantes, el incremento promedio observado fue de 41.3 minutos, con una desviación estándar de 12.2 minutos.

Contraste, con un nivel de significancia del 5%, la hipótesis nula de que el incremento medio poblacional es al menos de 50 minutos.

Indique cualquier supuesto necesario para realizar el contraste.

Suponga que la población en cuestión es normal.

Además, calcule e interprete el p-valor correspondiente.

32. Tiempo dedicado a redes sociales

En una población de estudiantes universitarios se considera que el tiempo promedio esperado de uso de redes sociales es de 160 minutos diarios, con una desviación estándar poblacional de 30 minutos.

Se selecciona una muestra aleatoria de 36 estudiantes y se observa un tiempo promedio de uso de 172 minutos diarios.

Utilizando un nivel de significancia de 0.05, determine si existe evidencia de que el tiempo promedio verdadero de uso de redes sociales sea mayor que 160 minutos.

Además, calcule e interprete el p-valor correspondiente.

33. Puntaje promedio de satisfacción con una intervención

Un programa de atención psicológica considera que funciona adecuadamente si produce un puntaje promedio de satisfacción de al menos 2.8 puntos, con una desviación estándar de 0.20 puntos.

Los puntajes más altos se consideran satisfactorios, mientras que los puntajes bajos pueden indicar que es necesario realizar ajustes al programa.

Se selecciona una muestra aleatoria de 25 participantes y se obtiene un puntaje promedio de 2.73 puntos.

Utilizando un nivel de significancia de 0.05, determine si existe evidencia suficiente para considerar que el programa requiere ajustes.

Suponga que la población en cuestión es normal.

Además, calcule e interprete el p-valor correspondiente.

34. Puntaje obtenido después de un programa de entrenamiento cognitivo

Los responsables de un programa de entrenamiento cognitivo aseguran que los participantes que completan el programa alcanzan un puntaje promedio de al menos 140 puntos en una determinada prueba psicológica.

Un grupo de investigadores independientes desea evaluar esta afirmación y mide el puntaje de una muestra aleatoria de 20 participantes que finalizaron recientemente el programa.

Los resultados obtenidos fueron:

\[ 136.7 \qquad 134.1 \qquad 138.8 \qquad 139.1 \qquad 141.8 \qquad 137.3 \qquad 133.5 \qquad 138.2 \qquad 144.4 \qquad 139.2 \]

\[ 136.3 \qquad 135.6 \qquad 138.0 \qquad 140.9 \qquad 140.6 \qquad 141.1 \qquad 139.7 \qquad 136.7 \qquad 137.4 \qquad 140.0 \]

Utilice un nivel de significancia de 0.05 para determinar si existe evidencia de que los responsables del programa están sobreestimando el puntaje promedio alcanzado por los participantes. Calcule e interprete también el p-valor correspondiente.

¿Cuál sería su respuesta en el inciso (a) si los dos primeros valores fueran 146.7 y 144.1 en lugar de 136.7 y 134.1? Calcule nuevamente el estadístico de prueba y el p-valor correspondiente.

10 Ejercicios (pruebas de hipótesis para una proporción)

35. Preferencia por atención psicológica presencial

Un centro de bienestar universitario afirma que el 40% de los estudiantes prefieren recibir atención psicológica de manera presencial en lugar de utilizar modalidades virtuales.

Para evaluar esta afirmación, se seleccionó una muestra aleatoria de 200 estudiantes universitarios, de los cuales 92 manifestaron preferir la atención psicológica presencial.

Utilizando un nivel de significancia de 0.05, determine si existe evidencia suficiente para concluir que la proporción de estudiantes que prefieren la atención psicológica presencial es diferente del 40%.

Plantee las hipótesis correspondientes, realice la prueba de hipótesis y calcule e interprete el p-valor.

36. Uso de servicios de atención psicológica

Una universidad afirma que una quinta parte de sus estudiantes utiliza algún servicio de atención psicológica durante el semestre.

¿Tenemos razones para dudar de esta afirmación si, en una muestra aleatoria de 1.000 estudiantes, se encuentra que 136 utilizaron estos servicios?

Utilice un nivel de significancia de 0.01.

Plantee las hipótesis correspondientes, realice la prueba y calcule e interprete el p-valor.

37. Síntomas elevados de ansiedad

De una muestra aleatoria de 150 estudiantes universitarios, 50 manifestaron presentar síntomas elevados de ansiedad durante gran parte del día.

Contraste, con un nivel de significancia del 5%, la hipótesis nula de que como máximo el 25% de los estudiantes universitarios presentan estos síntomas.

Además, calcule e interprete el p-valor correspondiente.

38. Desacuerdo con una afirmación sobre atención psicológica

En una muestra aleatoria de 998 estudiantes universitarios, el 17.3% se mostró, en alguna medida, en desacuerdo con la afirmación:

“Todos los estudiantes universitarios deberían participar periódicamente en actividades de promoción de la salud mental.”

Contraste, con un nivel de significancia del 5%, la hipótesis nula de que al menos el 25% de los estudiantes universitarios estarían en desacuerdo con dicha afirmación.

Además, calcule e interprete el p-valor correspondiente.

39. Percepción de estrés académico

De una muestra aleatoria de 199 estudiantes universitarios, 104 se mostraron, en alguna medida, de acuerdo con la afirmación:

“Mi nivel de estrés académico es elevado.”

Contraste, con un nivel de significancia del 10%, la hipótesis nula de que la mitad de los miembros de esta población estarían de acuerdo con esta afirmación.

Además, calcule e interprete el p-valor correspondiente.

40. Participación en programas de bienestar psicológico

De una muestra aleatoria de 172 estudiantes universitarios, 118 afirmaron haberse acogido a programas institucionales de bienestar psicológico durante su permanencia en la universidad.

Contraste la hipótesis nula de que estos programas han sido utilizados por el 75% de los estudiantes frente a la alternativa de que el porcentaje poblacional es menor del 75%.

Utilice un nivel de significancia de 0.05.

Además, calcule e interprete el p-valor correspondiente.

41. Abandono de un programa de intervención psicológica

Los registros históricos de un centro de atención psicológica indican que el 25% de las personas que comienzan un programa de intervención lo abandonan antes de finalizarlo.

Con el propósito de reducir esta proporción, se implementó una nueva estrategia de acompañamiento en una muestra de 150 participantes. Al finalizar el programa, se encontró que 29 de ellos lo habían abandonado.

Para un nivel de significancia de 0.01, determine si existe evidencia de que la proporción de participantes que abandonan el programa con la nueva estrategia es menor que 0.25.

Además, calcule e interprete el p-valor correspondiente.

42. Efectividad de una campaña de promoción de la salud mental

Una universidad desea aumentar la proporción de 0.40 estudiantes que participan en actividades de promoción de la salud mental.

Con este propósito, se diseña y distribuye material informativo sobre los beneficios de estas actividades entre los estudiantes del campus durante una semana.

Posteriormente, se selecciona una muestra aleatoria de 500 estudiantes y 227 de ellos indican haber participado en alguna de las actividades promovidas.

Para un nivel de significancia de 0.05, determine si existe evidencia de que la proporción de participación es mayor que el valor anterior de 0.40.

Además, calcule e interprete el p-valor correspondiente.

43. Uso de estrategias para el manejo del estrés

Un psicólogo afirma que el 30% de los estudiantes universitarios no utiliza ninguna estrategia específica para manejar el estrés académico.

Una muestra de 480 estudiantes indicó que 128 de ellos no utilizan ninguna estrategia para el manejo del estrés.

Pruebe la afirmación del psicólogo utilizando un nivel de significancia de 0.05.

Además, calcule e interprete el p-valor correspondiente.

44. Síntomas persistentes de estrés académico

Un investigador considera que los problemas de bienestar psicológico observados en un grupo de estudiantes podrían estar relacionados con la persistencia del estrés académico y sostiene que al menos el 70% de los estudiantes presentan síntomas de estrés desde hace más de dos meses.

Una muestra aleatoria de 120 estudiantes indica que 78 presentan síntomas de estrés desde hace más de dos meses.

Pruebe la afirmación del investigador con un nivel de significancia de 0.05.

Además, calcule e interprete el p-valor correspondiente.

45. Implementación de un programa de apoyo psicológico

Una universidad planea implementar un programa especial de apoyo psicológico para sus estudiantes y ha establecido que el programa se implementará de manera permanente si más del 15% de los estudiantes manifiestan interés en participar.

En una prueba preliminar realizada con una muestra de 500 estudiantes, 88 manifestaron interés en participar en el programa.

¿Se debe implementar el programa?

Realice una prueba de hipótesis que permita sustentar su decisión, utilizando un nivel de significancia de 0.01.

Calcule e interprete el p-valor correspondiente y formule una conclusión en el contexto del problema.

11 Ejercicios (pruebas de hipótesis para la diferencia de dos proporciones)

46. Preferencia por modalidades de atención psicológica

Se realizó un estudio para determinar si los estudiantes de dos universidades presentan la misma preferencia por una de dos modalidades de atención psicológica: presencial (A) y virtual (B).

De 300 estudiantes de la universidad 1, seleccionados al azar, 171 manifestaron preferir la modalidad A. Por otra parte, de 236 estudiantes de la universidad 2, seleccionados al azar, 40 manifestaron preferir la modalidad B.

Utilizando un nivel de significancia de 0.05, determine si existe evidencia de que las proporciones de estudiantes que prefieren la modalidad A son diferentes en las dos universidades.

Además, calcule e interprete el p-valor correspondiente.

47. Puntajes bajos en una prueba de bienestar psicológico

Para estudiar el bienestar psicológico de estudiantes universitarios, se seleccionaron muestras aleatorias independientes de 50 hombres y 75 mujeres y se les aplicó una prueba psicológica.

En el grupo de hombres, 15 obtuvieron calificaciones menores de 2.0, en una escala de 1.0 a 5.0, mientras que en el grupo de mujeres 24 obtuvieron calificaciones menores de 2.0.

Determine si existe evidencia de que la proporción de estudiantes con calificaciones menores de 2.0 es diferente entre hombres y mujeres, utilizando un nivel de significancia de 0.05. Calcule e interprete el p-valor correspondiente.
Construya un intervalo del 95% de confianza para la diferencia entre las proporciones de hombres y mujeres con calificaciones menores de 2.0. Interprete el intervalo en el contexto del problema.

48. Participación voluntaria en una encuesta psicológica

En un estudio sobre disposición a participar en investigaciones psicológicas, se invitó a hombres y mujeres a responder voluntariamente un cuestionario.

Los resultados obtenidos fueron:

Hombres: \(n_1=175\), de los cuales 97 aceptaron participar.
Mujeres: \(n_2=250\), de las cuales 143 aceptaron participar.

Determine si existe evidencia de que la proporción de personas que aceptan participar en la encuesta psicológica es diferente entre hombres y mujeres, utilizando un nivel de significancia de 0.01. Calcule e interprete el p-valor correspondiente.
Construya un intervalo del 99% de confianza para la diferencia entre las verdaderas proporciones de hombres y mujeres que aceptan participar. Interprete el resultado.

49. Síntomas elevados de estrés en dos universidades

Se realizó un estudio para comparar la presencia de síntomas elevados de estrés académico entre estudiantes de dos universidades, A y B.

De 969 estudiantes evaluados en la universidad A, 510 presentaron síntomas elevados de estrés, mientras que de 250 estudiantes evaluados en la universidad B, 150 presentaron estos síntomas.

Utilizando un nivel de significancia de 0.05, determine si los datos proporcionan evidencia de que las proporciones de estudiantes con síntomas elevados de estrés son diferentes en las dos universidades.

Además, calcule e interprete el p-valor correspondiente.

50. Búsqueda de información sobre estrategias de manejo del estrés

En un estudio sobre bienestar psicológico se compararon estudiantes que pertenecían a dos programas universitarios diferentes.

De una muestra aleatoria de 368 estudiantes del primer programa, 92 manifestaron estar intentando aprender más sobre estrategias para el manejo del estrés. En una muestra aleatoria independiente de 116 estudiantes del segundo programa, 37 manifestaron lo mismo.

Determine si existe evidencia de que las proporciones de estudiantes interesados en aprender estrategias para el manejo del estrés son diferentes en los dos programas, utilizando un nivel de significancia de 0.05.

Además, calcule e interprete el p-valor correspondiente.

51. Percepción de equidad en la distribución de tareas domésticas

Se utilizaron muestras de 1.545 hombres y 1.691 mujeres para estudiar la percepción de equidad en la distribución de las tareas domésticas en parejas con doble aporte económico.

El estudio indicó que el 67.5% de los hombres consideraba justa la división de las tareas domésticas, mientras que el 60.8% de las mujeres tenía la misma percepción.

Determine si existe evidencia de que la proporción de hombres que considera justa la distribución de las tareas domésticas es mayor que la proporción correspondiente de mujeres, utilizando un nivel de significancia de 0.05.

Calcule e interprete el p-valor correspondiente.

52. Mejoría después de diferentes intensidades de intervención psicológica

En un estudio diseñado para evaluar la eficacia de un nuevo programa de intervención psicológica, 73 participantes, con edades comprendidas entre los 18 y los 75 años, fueron distribuidos en tres grupos.

A los participantes del primer grupo se les aplicó una intervención de alta intensidad; a los del segundo grupo, una intervención de baja intensidad; y los del tercer grupo participaron en una condición de control.

Después de cuatro semanas, 19 de los 24 participantes del grupo de alta intensidad manifestaron sentirse mejor, mientras que 11 de los 25 participantes del grupo de baja intensidad y 2 de los 24 participantes del grupo de control manifestaron mejoría.

Determine si existe evidencia de que la proporción de participantes que se sienten mejor es mayor en el grupo de intervención de alta intensidad que en el grupo de baja intensidad, utilizando un nivel de significancia de 0.05.

Calcule e interprete el p-valor correspondiente y formule una conclusión en el contexto del estudio.

53. Disfrute de actividades sociales

Se seleccionó una muestra de 500 personas para estudiar algunos aspectos relacionados con el comportamiento social. Entre las preguntas formuladas se encontraba:

“¿Disfruta participar en actividades sociales con otras personas?”

De los 240 hombres encuestados, 136 respondieron afirmativamente, mientras que de las 260 mujeres, 224 también respondieron que sí.

Determine si existe evidencia de que la proporción de personas que disfruta participar en actividades sociales es diferente entre hombres y mujeres, utilizando un nivel de significancia de 0.01. Calcule e interprete el p-valor correspondiente.
¿Cuál sería su conclusión si 206 hombres, en lugar de 136, hubieran respondido que disfrutan participar en actividades sociales? Realice nuevamente la prueba y calcule el p-valor correspondiente.

54. Percepción de equidad de dos métodos de evaluación

Un psicólogo organizacional desea investigar la percepción de los empleados sobre la equidad de dos métodos de evaluación del desempeño.

Para comparar los métodos, se asignaron al azar 160 empleados: 78 fueron evaluados mediante el método 1, en el cual los empleados proporcionan retroalimentación al supervisor como parte del proceso, y 82 mediante el método 2, en el cual los empleados realizan una autoevaluación de su desempeño.

Después de las evaluaciones, se preguntó a los empleados si consideraban justo o injusto el procedimiento utilizado.

De los 78 empleados evaluados mediante el método 1, 63 consideraron que el procedimiento era justo, mientras que 49 de los 82 empleados evaluados mediante el método 2 respondieron lo mismo.

Utilizando un nivel de significancia de 0.05, determine si existe evidencia de que las proporciones de empleados que consideran justo el procedimiento son diferentes entre los dos métodos de evaluación.

Además, calcule e interprete el p-valor correspondiente.

55. Comprensión de materiales psicoeducativos

Un psicólogo desea comparar la comprensión de dos materiales psicoeducativos diseñados para explicar estrategias de manejo de la ansiedad.

Para ello, seleccionó una muestra aleatoria de 100 participantes. De estos, 50 fueron asignados al azar para leer el material A y los otros 50 para leer el material B.

Con base en una medida estandarizada de comprensión, 17 participantes consideraron comprensible el material A y 23 consideraron comprensible el material B.

Utilizando un nivel de significancia de 0.10, determine si existe evidencia de que las proporciones de participantes que comprenden adecuadamente los materiales son diferentes entre los grupos A y B.

Además, calcule e interprete el p-valor correspondiente.

12 Ejercicios (pruebas de hipótesis para la diferencia de dos medias)

56. Bienestar psicológico en dos grupos de estudiantes

Se desea determinar si existen diferencias en el nivel promedio de bienestar psicológico entre hombres y mujeres universitarios de la misma edad.

Para ello, se seleccionaron muestras aleatorias independientes y se obtuvieron los siguientes resultados en una escala de bienestar psicológico:

Hombres: \(n_1=50\), promedio = 2.1 y desviación estándar = 0.8.
Mujeres: \(n_2=75\), promedio = 2.3 y desviación estándar = 0.7.

Utilizando un nivel de significancia de 0.01, determine si existe evidencia de que el puntaje promedio de bienestar psicológico es diferente entre hombres y mujeres. Calcule e interprete el p-valor correspondiente.
Construya un intervalo del 99% de confianza para la diferencia entre los puntajes promedio de bienestar psicológico de hombres y mujeres. Interprete el resultado.

57. Efectividad de un programa de intervención psicológica

Se aplicó un programa de intervención psicológica a 12 personas que presentaban dificultades de adaptación al entorno laboral.

A cada participante se le aplicó una prueba psicológica antes de iniciar el programa y nuevamente después de 9 meses.

Los puntajes obtenidos fueron:

Participante	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Antes	100	105	107	101	108	90	96	90	105	97	103	99
Después	116	118	125	123	116	100	106	101	108	103	106	112

Determine si existe evidencia de que el programa de intervención aumenta el puntaje promedio obtenido en la prueba psicológica, utilizando un nivel de significancia de 0.05.

Calcule e interprete el p-valor correspondiente.

Suponga que las diferencias de los puntajes se distribuyen normalmente.

58. Comparación de dos programas para el manejo de la ansiedad

Se desea comparar la reducción en los puntajes de ansiedad obtenida mediante dos programas de intervención psicológica, A y B.

Se seleccionaron dos muestras aleatorias independientes. En el programa A participaron 40 personas y en el programa B participaron 50.

Los resultados fueron:

Programa A: reducción promedio = 14.3 puntos y desviación estándar = 2.9 puntos.
Programa B: reducción promedio = 15.7 puntos y desviación estándar = 3.8 puntos.

Utilizando un nivel de significancia de 0.01, determine si existe evidencia de que la reducción promedio de la ansiedad es diferente entre los dos programas. Calcule e interprete el p-valor correspondiente.
Construya un intervalo del 99% de confianza para la diferencia entre las reducciones promedio de los dos programas. Interprete el resultado.

59. Duración del efecto de dos intervenciones psicológicas

Un investigador afirma que la duración promedio del efecto de una intervención psicológica de tipo A excede la duración promedio del efecto de una intervención de tipo B en al menos 12 días.

Para evaluar esta afirmación se seleccionaron 50 participantes para cada tipo de intervención.

Los participantes que recibieron la intervención A presentaron una duración promedio del efecto de 86.7 días, con una desviación estándar de 6.28 días. Los participantes que recibieron la intervención B presentaron una duración promedio de 77.8 días, con una desviación estándar de 5.61 días.

Utilizando un nivel de significancia de 0.05, determine si existe evidencia de que la diferencia entre las duraciones promedio de los efectos de las intervenciones A y B es menor de 12 días.

Calcule e interprete el p-valor correspondiente y formule una conclusión acerca de la afirmación del investigador.

60. Comparación de dos técnicas de relajación

Se desea comparar el efecto de dos técnicas de relajación sobre un indicador psicológico. Las dos técnicas se aplicaron a los mismos 10 participantes.

Los puntajes obtenidos fueron:

Participante	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Técnica A	3.3	5.7	5.2	3.7	7.0	5.6	3.1	5.5	8.4	6.3
Técnica B	5.6	5.9	6.0	6.2	12.2	12.1	4.2	7.4	7.6	11.8

Determine si existe evidencia de que el puntaje promedio obtenido con la técnica B es mayor que el obtenido con la técnica A, utilizando un nivel de significancia de 0.05.

Calcule e interprete el p-valor correspondiente.

Suponga que las diferencias entre los puntajes se distribuyen normalmente.

61. Tiempo hasta una recaída después de una intervención psicológica

Se desea estudiar si una nueva intervención psicológica aumenta el tiempo hasta una recaída en personas que presentan un determinado problema psicológico.

Cinco participantes recibieron la intervención y cuatro formaron parte de un grupo de control.

Los tiempos hasta la recaída, expresados en años, fueron:

Con intervención: 1.4, 4.6, 0.9, 2.1, 5.3.
Sin intervención: 2.8, 3.1, 1.9, 0.5.

Determine si existe evidencia de que el tiempo promedio hasta una recaída es mayor entre las personas que reciben la intervención psicológica, utilizando un nivel de significancia de 0.05.

Calcule e interprete el p-valor correspondiente.

Suponga que las dos poblaciones se distribuyen normalmente con varianzas iguales.

62. Tiempo para completar dos versiones de una tarea cognitiva

Un psicólogo desea comparar dos versiones, A y B, de una tarea cognitiva.

Se seleccionaron participantes para realizar las dos versiones de la tarea y se obtuvieron los siguientes resultados para el tiempo requerido, medido en milisegundos:

Versión A: promedio = 37,900 milisegundos y desviación estándar = 5,100 milisegundos.
Versión B: promedio = 39,800 milisegundos y desviación estándar = 5,900 milisegundos.

Utilizando un nivel de significancia de 0.05, determine si existe evidencia de que el tiempo promedio requerido para completar las dos versiones de la tarea es diferente.

Calcule e interprete el p-valor correspondiente.

Suponga que las poblaciones se distribuyen aproximadamente de forma normal con varianzas iguales.

63. Satisfacción con la distribución de las tareas domésticas

Un psicólogo seleccionó al azar 15 parejas y solicitó a cada integrante que completara un cuestionario sobre su nivel de satisfacción con la distribución de las tareas domésticas.

Los resultados fueron:

Pareja	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Hombres	33	57	32	54	52	34	60	40	59	39	40	59	44	32	55
Mujeres	44	60	55	68	40	48	57	49	47	52	58	51	66	60	68

Determine si existe evidencia de que el puntaje promedio de satisfacción de los hombres es mayor que el de sus parejas, utilizando un nivel de significancia de 0.05.

Calcule e interprete el p-valor correspondiente.

Suponga que las diferencias de los puntajes se distribuyen normalmente.

64. Duración de la concentración con dos estrategias

Se desea comparar el tiempo de concentración sostenida alcanzado por participantes que utilizan dos estrategias psicológicas diferentes, A y B.

Los tiempos observados, en minutos, fueron:

Estrategia A: 109, 92, 102, 86, 98.
Estrategia B: 134, 92, 87, 114, 81, 165, 97.

Determine si existe evidencia de que el tiempo promedio de concentración con la estrategia B excede en más de 10 minutos al obtenido con la estrategia A, utilizando un nivel de significancia de 0.10.

Calcule e interprete el p-valor correspondiente.

Suponga que las distribuciones de los tiempos son aproximadamente normales con varianzas iguales.

65. Tiempo de fijación visual ante estímulos emocionales

Un investigador desea determinar si existe una diferencia en el tiempo promedio de fijación visual ante estímulos emocionales entre dos grupos de participantes.

Los tiempos de fijación, medidos en milisegundos, fueron:

Grupo 1:

\[ 2.200 \qquad 4.250 \qquad 15.040 \qquad 5.030 \qquad 860 \qquad 13.700 \qquad 10.730 \qquad 11.400 \]

\[ 17.660 \qquad 22.800 \qquad 1.130 \qquad 1.690 \qquad 4.980 \qquad 11.910 \qquad 8.130 \qquad 26.850 \]

Grupo 2:

\[ 1.330 \qquad 6.890 \qquad 3.320 \qquad 7.720 \qquad 1.230 \qquad 2.800 \]

\[ 2.810 \qquad 4.670 \qquad 7.330 \qquad 2.190 \qquad 7.030 \qquad 2.130 \]

Determine si existe evidencia de que los tiempos promedio de fijación visual son diferentes entre los dos grupos, utilizando un nivel de significancia de 0.05.

Calcule e interprete el p-valor correspondiente.

Suponga que las observaciones proceden de poblaciones normales con varianzas diferentes.

66. Comparación de dos grupos emparejados en bienestar psicológico

Se realizó un estudio comparativo entre dos grupos de estudiantes que participaron en programas diferentes de promoción del bienestar psicológico.

Se formaron 145 pares de estudiantes, procurando que los integrantes de cada pareja fueran lo más similares posible en características como edad y nivel inicial de bienestar psicológico.

Para cada pareja se calculó la diferencia entre un indicador estandarizado de bienestar del participante del grupo A y el correspondiente participante del grupo B.

La diferencia promedio fue de 0.0518, con una desviación estándar de 0.3055.

Utilizando un nivel de significancia de 0.05, determine si existe evidencia de que los valores promedio del indicador de bienestar psicológico son diferentes entre los dos grupos.

Calcule e interprete el p-valor correspondiente.

67. Comparación de dos programas de reducción de ansiedad

Un psicólogo desea comparar dos programas para reducir los niveles de ansiedad.

Diez participantes fueron asignados a un programa intensivo y otros diez a un programa convencional.

En el programa intensivo, la reducción promedio del puntaje de ansiedad fue de 9.254 puntos, con una desviación estándar de 2.107 puntos. En el programa convencional, la reducción promedio fue de 8.167 puntos, con una desviación estándar de 1.681 puntos.

Suponiendo que las dos poblaciones tienen distribución normal con la misma varianza, determine si existe evidencia de que la reducción promedio de la ansiedad es mayor con el programa intensivo, utilizando un nivel de significancia de 0.10.

Calcule e interprete el p-valor correspondiente.

68. Puntajes de bienestar psicológico en dos grupos

Se obtuvieron muestras aleatorias independientes de dos grupos de estudiantes y se midió un puntaje de bienestar psicológico.

Los resultados fueron:

Grupo 1: \(n_1=11\), promedio = 14 y desviación estándar = 6.
Grupo 2: \(n_2=9\), promedio = 17 y desviación estándar = 8.

Suponga que las poblaciones son normales con varianzas iguales.

Utilizando un nivel de significancia de 0.05, determine si existe evidencia de que los puntajes promedio de bienestar psicológico son diferentes entre los dos grupos. Calcule e interprete el p-valor correspondiente.
Construya un intervalo del 95% de confianza para la diferencia entre los puntajes promedio de los dos grupos. Interprete el resultado.

69. Comparación de dos métodos de entrenamiento cognitivo

Se aplicaron dos métodos de entrenamiento cognitivo, A y B, a dos grupos independientes de estudiantes universitarios seleccionados aleatoriamente.

Al finalizar el entrenamiento, se aplicó una prueba cognitiva en una escala de 1 a 100.

Los resultados fueron:

Método A: \(n_1=10\), promedio = 63 y desviación estándar = 7.2.
Método B: \(n_2=13\), promedio = 68 y desviación estándar = 8.4.

Utilizando un nivel de significancia de 0.01, determine si existe evidencia de que los puntajes promedio obtenidos con los dos métodos son diferentes. Calcule e interprete el p-valor correspondiente.
Construya un intervalo del 99% de confianza para la diferencia entre los puntajes promedio de los dos métodos. Interprete el resultado.

70. Calidad del sueño en dos grupos de estudiantes

Se desea determinar si existen diferencias en un puntaje de calidad del sueño entre dos grupos independientes de estudiantes universitarios.

Los resultados obtenidos fueron:

Grupo A: \(n_1=14\), promedio = 11.2 y desviación estándar = 2.2.
Grupo B: \(n_2=11\), promedio = 12.4 y desviación estándar = 1.9.

Utilizando un nivel de significancia de 0.05, determine si existe evidencia de que el puntaje promedio de calidad del sueño es diferente entre los dos grupos mediante:

Una prueba de hipótesis. Calcule e interprete el p-valor correspondiente.
Un intervalo de confianza para la diferencia entre los puntajes promedio. Interprete el resultado.

71. Efectividad de un programa de entrenamiento cognitivo

Un nuevo programa de entrenamiento cognitivo fue aplicado a 10 estudiantes seleccionados aleatoriamente.

A cada estudiante se le aplicó una prueba antes de iniciar el programa y nuevamente después de finalizarlo. Los puntajes, en una escala de 1 a 1,000, fueron:

Estudiante	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Antes	588	592	606	619	600	597	596	610	598	613
Después	588	610	607	623	591	599	599	612	607	610

Suponga que las diferencias entre los puntajes antes y después se distribuyen normalmente.

Determine si existe evidencia de que el programa aumenta el puntaje promedio obtenido en la prueba cognitiva, utilizando un nivel de significancia de 0.05.

Calcule e interprete el p-valor correspondiente.

72. Programa para reducir el tiempo perdido por estrés

Se realizó un estudio para evaluar la efectividad de un programa psicológico dirigido a reducir el tiempo que los trabajadores dejan de realizar sus actividades habituales como consecuencia del estrés.

Se registró el número promedio de horas perdidas durante un determinado periodo en seis participantes antes y después de aplicar el programa.

Los resultados fueron:

Participante	1	2	3	4	5	6
Antes	40	66	44	72	60	32
Después	33	60	45	67	54	31

Determine si existe evidencia de que el programa disminuye el número promedio de horas perdidas debido al estrés, utilizando un nivel de significancia de 0.05. Calcule e interprete el p-valor correspondiente.
Construya un intervalo del 95% de confianza para la diferencia promedio entre las horas perdidas antes y después de aplicar el programa. Interprete el resultado.

73. Efecto de una intervención sobre el estrés percibido

Se aplicó un programa psicológico para reducir el estrés percibido a 14 participantes.

Los puntajes obtenidos antes de comenzar el programa y después de un mes fueron:

Participante	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Antes	88	76	57	60	59	54	68	65	63	60	56	62	62	65
Después	78	75	58	60	52	52	65	66	59	58	55	59	60	63

Suponga que las diferencias entre los puntajes se distribuyen normalmente.

Utilizando un nivel de significancia de 0.05, determine si existe evidencia de que la intervención reduce el puntaje promedio de estrés percibido. Calcule e interprete el p-valor correspondiente.
Construya un intervalo del 95% de confianza para la diferencia promedio entre los puntajes antes y después de la intervención. Interprete el resultado.

74. Distribución de la diferencia entre dos medias muestrales

En dos poblaciones de estudiantes, los puntajes promedio de satisfacción con la vida son 4.1 y 4.5 puntos, respectivamente.

Suponga que estos valores corresponden a los promedios poblacionales.

Se selecciona una muestra de 100 estudiantes de la población A y otra muestra de 100 estudiantes de la población B.

¿Cuál es el valor promedio esperado de la diferencia entre los dos promedios muestrales?

Explique de qué manera influyen los tamaños muestrales especificados en este resultado.

Suponga que las desviaciones estándar poblacionales de los puntajes son 1.8 puntos para la población A y 2.0 puntos para la población B.

Con los tamaños muestrales anteriores, determine la varianza y la desviación estándar de la diferencia entre los dos promedios muestrales.

Represente gráficamente la distribución aproximada de la diferencia entre los dos promedios muestrales e incluya una escala apropiada en el eje horizontal.

¿La forma de la distribución sería necesariamente la misma si se seleccionaran únicamente 10 estudiantes de cada población? Explique.

75. Tiempo para completar una tarea cognitiva

Se desea comparar el tiempo requerido por dos grupos de participantes para completar una tarea cognitiva.

En una muestra de 12 participantes del grupo A, el tiempo promedio fue de 19.20 minutos, con una desviación estándar de 1.58 minutos.

En una muestra de 12 participantes del grupo B, el tiempo promedio fue de 23.13 minutos, con una desviación estándar de 4.01 minutos.

Determine si existe evidencia de que el tiempo promedio requerido para completar la tarea cognitiva es diferente entre los dos grupos, utilizando un nivel de significancia de 0.05.

Calcule e interprete el p-valor correspondiente.

Indique qué supuestos deben realizarse acerca de las distribuciones de los tiempos.

76. Tiempo para conciliar el sueño

Se desea evaluar el efecto de una intervención psicológica sobre el tiempo necesario para conciliar el sueño.

Los resultados obtenidos fueron:

Grupo	\(n\)	Promedio	Desviación estándar
Intervención	8	32.8	2.6
Control	10	40.5	2.5

Determine si los datos proporcionan evidencia de que el tiempo promedio para conciliar el sueño en el grupo de control supera en más de 5 minutos al tiempo promedio del grupo que recibió la intervención, utilizando un nivel de significancia de 0.01.

Calcule e interprete el p-valor correspondiente.

13 Ejercicios (pruebas de hipótesis para la varianza y la razón de varianzas)

77. Variabilidad en un puntaje de estrés académico

En un estudio sobre estrés académico se obtuvieron los siguientes puntajes en una muestra aleatoria de estudiantes:

\[ 14 \qquad 13 \qquad 14 \qquad 12 \qquad 10 \qquad 12 \qquad 10 \qquad 13 \qquad 11 \qquad 12 \qquad 13 \]

Suponga que los puntajes proceden de una población normal.

Determine si existe evidencia de que la desviación estándar poblacional de los puntajes de estrés académico es menor de 2.5 puntos, utilizando un nivel de significancia de 0.05.

Calcule e interprete el p-valor correspondiente.

78. Variabilidad en el tiempo para completar una prueba psicológica

Un centro de evaluación psicológica considera que la desviación estándar del tiempo requerido para completar una determinada prueba no debe ser mayor de 5 minutos.

Para evaluar esta afirmación, se seleccionó una muestra aleatoria de 12 participantes y se obtuvo una varianza muestral de 5.7.

Suponga que los tiempos requeridos para completar la prueba se distribuyen normalmente.

Determine si existe evidencia de que la desviación estándar poblacional del tiempo requerido para completar la prueba es mayor de 5 minutos, utilizando un nivel de significancia de 0.05.

Calcule e interprete el p-valor correspondiente.

79. Variabilidad en los tiempos de reacción

En una prueba computarizada de atención, una variabilidad elevada en los tiempos de reacción puede indicar poca consistencia en las respuestas de los participantes.

Se considera que la varianza de los tiempos de reacción no debería superar 0.00017.

En una muestra aleatoria de 25 participantes se obtuvo una desviación estándar muestral de 0.015.

Suponga que los tiempos de reacción se distribuyen normalmente.

Determine si existe evidencia de que la varianza poblacional de los tiempos de reacción es mayor de 0.00017, utilizando un nivel de significancia de 0.01.

Calcule e interprete el p-valor correspondiente.

80. Variabilidad en el porcentaje de respuestas omitidas

En una prueba psicológica computarizada se analiza el porcentaje de respuestas omitidas por los participantes. Se considera deseable que este porcentaje permanezca cercano al 2%.

Se seleccionó una muestra aleatoria de 20 participantes y se obtuvieron los siguientes porcentajes de respuestas omitidas:

\[ 1.85 \qquad 2.25 \qquad 2.01 \qquad 1.90 \qquad 1.97 \qquad 1.80 \qquad 2.05 \qquad 2.23 \qquad 1.65 \qquad 1.86 \]

\[ 2.02 \qquad 2.09 \qquad 2.04 \qquad 2.07 \qquad 2.14 \qquad 1.93 \qquad 2.08 \qquad 2.17 \qquad 1.91 \qquad 1.93 \]

Suponga que los porcentajes se distribuyen normalmente.

Construya un intervalo del 95% de confianza para la varianza poblacional de los porcentajes de respuestas omitidas.
Determine si existe evidencia de que la varianza poblacional de los porcentajes de respuestas omitidas excede el 1%, utilizando un nivel de significancia de 0.05.

Calcule e interprete el p-valor correspondiente.

81. Variabilidad de los tiempos de reacción en dos grupos

Un investigador desea comparar la variabilidad de los tiempos de reacción obtenidos por dos grupos independientes de participantes en una tarea cognitiva.

En una muestra de 20 participantes del grupo A se obtuvo una desviación estándar de 40.5 milisegundos, mientras que en una muestra de 20 participantes del grupo B se obtuvo una desviación estándar de 32.1 milisegundos.

Suponga que los tiempos de reacción de ambos grupos se distribuyen normalmente.

Determine si existe evidencia de que las varianzas poblacionales de los tiempos de reacción son diferentes entre los dos grupos, utilizando un nivel de significancia de 0.10.

Calcule e interprete el p-valor correspondiente.

82. Variabilidad en dos versiones de una escala psicológica

Se desea comparar la variabilidad de los puntajes obtenidos mediante dos versiones, A y B, de una escala psicológica.

Se seleccionaron muestras independientes y se obtuvieron los siguientes resultados:

Versión A: \(n_1=31\), varianza muestral = 0.045.
Versión B: \(n_2=21\), varianza muestral = 0.080.

Suponga que los puntajes obtenidos con ambas versiones se distribuyen normalmente.

Determine si existe evidencia de que las varianzas poblacionales de los puntajes obtenidos con las dos versiones son diferentes, utilizando un nivel de significancia de 0.10. Calcule e interprete el p-valor correspondiente.
Construya un intervalo del 90% de confianza para la razón entre las desviaciones estándar poblacionales de las dos versiones. Interprete el resultado.

83. Variabilidad con dos procedimientos de evaluación psicológica

Un centro de evaluación psicológica está considerando reemplazar su procedimiento actual de aplicación de una prueba por uno nuevo que pretende producir mediciones más consistentes.

Con el procedimiento anterior se evaluaron 21 participantes y se obtuvo una varianza muestral de 0.16. Con el nuevo procedimiento se evaluaron 20 participantes y se obtuvo una varianza muestral de 0.09.

Suponga que los puntajes obtenidos mediante ambos procedimientos se distribuyen normalmente.

Determine, utilizando un nivel de significancia de 0.05, si existe evidencia de que la varianza poblacional del procedimiento anterior es menor que la del procedimiento nuevo. Calcule e interprete el p-valor correspondiente.
Construya un intervalo del 90% de confianza para la razón entre las desviaciones estándar poblacionales de los dos procedimientos. Interprete el resultado.
Con base en los resultados obtenidos, ¿qué puede concluir acerca de la variabilidad de ambos procedimientos?

84. Variabilidad en una escala psicológica

Un investigador considera que la varianza poblacional de los puntajes obtenidos en una determinada escala psicológica es de 0.03.

Para evaluar esta afirmación se obtuvieron los siguientes puntajes en una muestra aleatoria de 10 participantes:

\[ 10.2 \qquad 9.7 \qquad 10.1 \qquad 10.3 \qquad 10.1 \qquad 9.8 \qquad 9.9 \qquad 10.4 \qquad 10.3 \qquad 9.8 \]

Suponga que los puntajes se distribuyen normalmente.

Determine si existe evidencia de que la varianza poblacional de los puntajes es diferente de 0.03, utilizando un nivel de significancia de 0.01.

Calcule e interprete el p-valor correspondiente.

85. Variabilidad en el tiempo para completar una evaluación psicológica

Una muestra aleatoria de 20 estudiantes presentó una desviación estándar de 4.51 minutos.

Determine si existe evidencia de que la desviación estándar poblacional del tiempo requerido para completar la evaluación es menor de 6 minutos, utilizando un nivel de significancia de 0.05.

Calcule e interprete el p-valor correspondiente.

86. Variabilidad de los puntajes de estrés en docentes

A partir de estudios anteriores, se sabe que los puntajes de estrés laboral de los trabajadores del sector público presentan una distribución aproximadamente normal con una desviación estándar de 1.30 puntos.

Un investigador plantea que los puntajes de estrés laboral de los docentes podrían presentar una mayor variabilidad.

En una muestra aleatoria de 12 docentes se obtuvo una desviación estándar de 1.75 puntos.

Determine si existe evidencia de que la desviación estándar de los puntajes de estrés laboral de los docentes es mayor de 1.30 puntos, utilizando un nivel de significancia de 0.01.

Calcule e interprete el p-valor correspondiente.

87. Variabilidad en una prueba de atención

Una prueba de atención se considera poco consistente si la varianza de los puntajes obtenidos por los participantes excede 1.15.

En una muestra aleatoria de 25 participantes se obtuvo una varianza de 2.03.

Suponga que los puntajes se distribuyen aproximadamente de forma normal.

Determine si existe evidencia de que la varianza poblacional de los puntajes es mayor de 1.15, utilizando un nivel de significancia de 0.05.

Calcule e interprete el p-valor correspondiente.

88. Variabilidad de los puntajes de ansiedad en dos universidades

Se realizó un estudio para comparar la variabilidad de los puntajes de ansiedad de estudiantes de dos universidades, A y B.

Estudios anteriores sugieren que los puntajes se distribuyen aproximadamente de forma normal.

Se seleccionó una muestra aleatoria de 11 estudiantes de la universidad A y una muestra aleatoria de 14 estudiantes de la universidad B. Las desviaciones estándar obtenidas fueron:

Universidad A: 6.1 puntos.
Universidad B: 5.3 puntos.

Determine si existe evidencia de que la varianza de los puntajes de ansiedad en la universidad A es mayor que la correspondiente a la universidad B, utilizando un nivel de significancia de 0.01.

Calcule e interprete el p-valor correspondiente.

89. Variabilidad del tiempo de fijación visual en dos grupos

Con referencia a los datos del ejercicio 65, determine si existe evidencia de que las varianzas poblacionales de los tiempos de fijación visual son diferentes entre los dos grupos de participantes, utilizando un nivel de significancia de 0.05.

Calcule e interprete el p-valor correspondiente.

90. Variabilidad del tiempo para completar dos versiones de una tarea cognitiva

Con referencia al ejercicio 62, determine si existe evidencia de que las desviaciones estándar poblacionales de los tiempos requeridos para completar las versiones A y B de la tarea cognitiva son diferentes, utilizando un nivel de significancia de 0.05.

Calcule e interprete el p-valor correspondiente.

91. Variabilidad de la concentración sostenida con dos estrategias

Con referencia a los datos del ejercicio 64, determine si existe evidencia de que las varianzas poblacionales de los tiempos de concentración sostenida son diferentes entre las estrategias A y B, utilizando un nivel de significancia de 0.10.

Calcule e interprete el p-valor correspondiente.

92. Consistencia de dos versiones de una tarea psicológica

Un investigador desea comparar la consistencia de dos versiones de una tarea psicológica computarizada.

Los puntajes obtenidos fueron:

Versión 1:

\[ 0.48 \qquad 0.39 \qquad 0.42 \qquad 0.52 \qquad 0.40 \qquad 0.48 \qquad 0.52 \qquad 0.52 \]

Versión 2:

\[ 0.38 \qquad 0.37 \qquad 0.39 \qquad 0.41 \qquad 0.38 \qquad 0.39 \qquad 0.40 \qquad 0.39 \] Suponga que los puntajes de ambas poblaciones se distribuyen normalmente.

Se sospecha que la versión 1 presenta una variabilidad diferente de la versión 2.

Determine si existe evidencia de que las desviaciones estándar poblacionales de los puntajes obtenidos con las dos versiones son diferentes, utilizando un nivel de significancia de 0.10.

Calcule e interprete el p-valor correspondiente.

93. Variabilidad de los tiempos de reacción ante dos tipos de estímulos

Se seleccionaron aleatoriamente participantes para comparar la variabilidad de sus tiempos de reacción ante dos tipos diferentes de estímulos psicológicos.

Los tiempos de reacción registrados fueron:

Estímulo 1:

\[ 494 \qquad 306 \qquad 210 \qquad 105 \qquad 880 \qquad 141 \qquad 359 \qquad 247 \qquad 940 \qquad 882 \]

\[ 940 \qquad 241 \qquad 190 \qquad 300 \qquad 435 \qquad 241 \qquad 380 \qquad 200 \qquad 223 \qquad 188 \]

Estímulo 2:

\[ 20 \qquad 223 \qquad 60 \qquad 20 \qquad 95 \qquad 360 \qquad 70 \qquad 140 \qquad 160 \qquad 20 \]

\[ 235 \qquad 380 \qquad 200 \qquad 175 \qquad 85 \qquad 65 \qquad 220 \qquad 400 \qquad 217 \qquad 58 \]

Suponga que los tiempos de reacción en ambas poblaciones se distribuyen normalmente.

Determine si existe evidencia de que las varianzas poblacionales de los tiempos de reacción son diferentes entre los dos tipos de estímulos, utilizando un nivel de significancia de 0.10.

Calcule e interprete el p-valor correspondiente.

94. Variabilidad en el tiempo de realización de una tarea cognitiva

Después de introducir un nuevo procedimiento de aplicación de una tarea cognitiva, un investigador registró el tiempo requerido para completarla durante ocho aplicaciones.

Los tiempos observados fueron:

\[ 571 \qquad 598 \qquad 639 \qquad 582 \qquad 618 \qquad 660 \qquad 638 \qquad 625 \]

El investigador considera que una varianza superior a 500 indicaría una variabilidad excesiva en los tiempos de realización de la tarea.

Suponga que los tiempos se distribuyen normalmente.

Determine si existe evidencia de que la varianza poblacional de los tiempos requeridos para completar la tarea es mayor de 500, utilizando un nivel de significancia de 0.10.

Calcule e interprete el p-valor correspondiente.

95. Variabilidad de las calificaciones después de una nueva estrategia de enseñanza

Una profesora de un curso de Psicología decidió introducir una hora adicional de práctica semanal con el propósito de favorecer el trabajo independiente y una mayor comprensión de los contenidos.

Un colega sugirió que esta estrategia podría incrementar la variabilidad de las calificaciones de los estudiantes. La profesora, por el contrario, considera que la nueva estrategia podría reducirla.

A partir de cursos anteriores se sabe que las calificaciones del examen final se distribuyen normalmente, con una desviación estándar de 18.2 puntos, en una escala de 1 a 100.

En un grupo de 25 estudiantes que utilizó la nueva estrategia se obtuvo una desviación estándar de 15.3 puntos.

Determine si existe evidencia de que la desviación estándar de las calificaciones con la nueva estrategia es menor de 18.2 puntos, utilizando un nivel de significancia de 0.10.

Calcule e interprete el p-valor correspondiente.

96. Comparación de la variabilidad de dos programas para reducir la ansiedad

En el ejercicio 67 se compararon dos programas para reducir los niveles de ansiedad.

En el programa intensivo participaron 10 personas y se obtuvo una desviación estándar de 2.107 puntos. En el programa convencional participaron otros 10 individuos y se obtuvo una desviación estándar de 1.681 puntos.

En el análisis anterior se asumió que las varianzas poblacionales de la reducción de los puntajes de ansiedad eran iguales.

Determine si existe evidencia de que las varianzas poblacionales de la reducción de los puntajes de ansiedad son diferentes entre los dos programas, utilizando un nivel de significancia de 0.10.

Calcule e interprete el p-valor correspondiente.

Anexos

RStudio, R Markdown y R (por lo menos, el capítulo 1): Click derecho aquí.
Lineamientos (actividades de análisis de datos): Click derecho aquí.
Tablas estadísticas: Click derecho aquí.
Tabla de supuestos: Click derecho aquí.

Texto guía

LLinás, H. (2006); Estadística inferencial. Barranquilla: Editorial Universidad del Norte.

Bibliografía complementaria

LLinás, H., Rojas, C. (2005). Estadística descriptiva y distribuciones de probabilidad. Barranquilla: Editorial Universidad del Norte.
Consultar mis notas de clase: Estadística inferencial
Consultar el documento RPubs :: Enlace y materiales de ayuda.
Agresti, A., Franklin, C., & Klingenberg, B. (2018). Statistics: The Art and Science of Learning from Data, 4/E.
Puede consultarse mis siguientes documentos:

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ESTADÍSTICA INFERENCIAL

Pruebas de hipótesis con R (resumen)

Dr. rer. nat. Humberto LLinás Solano

1 Paquetes

2 Introducción

2.0.1 Conceptos básicos

2.0.2 Argumento para definir el tipo de prueba

3 Resumen de funciones implementadas

4 Funciones para pruebas de hipótesis

5 Ejemplos utilizando estadísticas resumidas

5.0.1 Prueba para la media (con \(Z\))

5.0.2 Prueba para la media (con \(t\))

5.0.3 Prueba para la proporción

5.0.4 Prueba para la varianza

5.0.5 Prueba para la diferencia de medias (con \(Z\))

5.0.6 Prueba para la diferencia de medias (con \(t\), varianzas desconocidas e iguales)

5.0.7 Prueba para la diferencia de medias (con \(t\), varianzas desconocidas y diferentes)

5.0.8 Prueba para la diferencia de proporciones

5.0.9 Prueba para la razón de varianzas

6 Ejemplos utilizando un data frame simulado

6.0.1 Construcción del data frame

6.0.2 Prueba para la media (con \(Z\))

6.0.3 Prueba para la media (con \(t\))

6.0.4 Prueba para una proporción

6.0.5 Prueba para la varianza

6.0.6 Preparación de las dos muestras

6.0.7 Prueba para la diferencia de medias con \(Z\)

6.0.8 Prueba para la diferencia de medias (con \(t\), varianzas iguales)

6.0.9 Prueba para la diferencia de medias (con \(t\), varianzas diferentes)

6.0.10 Prueba para la diferencia de proporciones

6.0.11 Prueba para la razón de varianzas

7 Ejemplos utilizando una base de datos

7.0.1 Nuestro data frame

7.0.2 Variables que vamos a utilizar para los ejemplos

7.0.3 Verificar los niveles de las variables seleccionadas

7.0.4 Prueba para la media (con \(Z\))

7.0.5 Prueba para la media (con \(t\))

7.0.6 Prueba para una proporción

7.0.7 Prueba para la varianza

7.0.8 Preparación y resumen de los dos grupos con los datos de df1

7.0.9 Preparación y resumen de los dos grupos con los datos de df2

7.0.10 Prueba para la diferencia de medias (con \(Z\))

7.0.11 Prueba para la diferencia de medias (con \(t\), varianzas iguales)

7.0.12 Prueba para la diferencia de medias (con \(t\), varianzas diferentes)

7.0.13 Preparación de los datos para comparar proporciones

7.0.14 Prueba para la diferencia de proporciones

7.0.15 Prueba para la razón de varianzas

8 Proyecto: Pruebas de Hipótesis

8.0.1 Tema

8.0.2 Objetivo

8.0.3 Base de datos

8.0.4 Lineamientos

8.0.5 Actividades

8.0.6 Recomendaciones

9 Ejercicios (pruebas de hipótesis para una media)

15. Gasto mensual en servicios de apoyo psicológico

16. Puntaje promedio de bienestar psicológico

17. Puntaje en una prueba psicológica

18. Mejoría porcentual después de una intervención psicológica

19. Intervalo de confianza para la mejoría psicológica

20. Tiempo de respuesta en una tarea cognitiva

21. Horas promedio de sueño

22. Puntaje de resiliencia después de una intervención

23. Puntaje promedio en una escala psicológica

24. Tiempo de respuesta en una prueba de atención

25. Tiempo para completar una evaluación psicológica

26. Puntaje de estrés académico

27. Puntaje promedio de regulación emocional

28. Cambio en un indicador psicológico

29. Puntaje de bienestar psicológico e intervalos de confianza

30. Tiempo de reacción en una tarea psicológica

31. Efecto de una intervención sobre el tiempo de sueño

32. Tiempo dedicado a redes sociales

33. Puntaje promedio de satisfacción con una intervención

34. Puntaje obtenido después de un programa de entrenamiento cognitivo

10 Ejercicios (pruebas de hipótesis para una proporción)

35. Preferencia por atención psicológica presencial

36. Uso de servicios de atención psicológica

37. Síntomas elevados de ansiedad

38. Desacuerdo con una afirmación sobre atención psicológica

7.0.8 Preparación y resumen de los dos grupos con los datos de `df1`

7.0.9 Preparación y resumen de los dos grupos con los datos de `df2`