Taller: Estimación de parámetros modelo regresión lineal simple

Ejercicio 1.

Estime, de manera manual (excel), mediante mínimos cuadrados, los coeficientes de regresión del modelo. Muestre cada uno de los pasos, cálculos y ecuaciones usadas para encontrar los parámetros.

Paso 1 Organización de los datos.

Se organizaron los datos correspondientes a la variable independiente, carga transportada (X), y a la variable dependiente, consumo de combustible (Y), para las 26 observaciones suministradas en el problema.

Paso 2 Cálculo de las medias.

Como segundo paso del método de mínimos cuadrados, se calcularon las medias de las variables X y Y, utilizando las siguientes expresiones:

\[ \bar{X} = \frac{\sum X_i}{n} \]

\[ \bar{Y} = \frac{\sum Y_i}{n} \] Los valores obtenidos fueron: \[ \bar{X} = 17{,}5 \] \[ \bar{Y} = 36{,}6 \]

Paso 3 Cálculo de las desviaciones respecto a la media

Posteriormente se calcularon las desviaciones de cada observación respecto a su media, con el fin de obtener los términos necesarios para la estimación de los coeficientes del modelo.

\[ X_i - \bar{X} \] \[ Y_i - \bar{Y} \]

Paso 4 Cálculo de los productos y cuadrados.

A partir de las desviaciones se calcularon los productos cruzados y los cuadrados de las desviaciones de la variable independiente.

\[ (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y}) \] \[ (X_i - \bar{X})^2 \]

Finalmente, se obtuvieron las siguientes sumatorias:

\[ \sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y}) = 1719{,}9 \] \[ \sum (X_i - \bar{X})^2 = 1462{,}5 \]

Paso 5 Estimación de la pendiente

La pendiente del modelo se obtuvo mediante la siguiente expresión:

\[ \hat{\beta}_1 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (X_i - \bar{X})^2} \]

Sustituyendo los valores obtenidos:

\[ \hat{\beta}_1 = \frac{1719{,}9}{1462{,}5} \] \[ \boxed{\hat{\beta}_1 = 1{,}176} \]

Paso 6 Estimación del intercepto.

Una vez estimada la pendiente, se calculó el intercepto mediante la siguiente expresión: \[ \hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{X} \] Sustituyendo los valores obtenidos: \[ \hat{\beta}_0 = 36{,}6 - (1{,}176)(17{,}5) \] \[ \boxed{\hat{\beta}_0 = 16{,}02} \]

Paso 7 Modelo de regresión lineal estimado.

Con los coeficientes obtenidos mediante el método de mínimos cuadrados, el modelo de regresión lineal simple es:

\[ \boxed{\hat{Y} = 16{,}02 + 1{,}176X} \]

Ejercicio 2.

Use R - RStudio para realizar la estimación de los coeficientes de regresión del modelo. Es necesario en este punto mostrar él código usado y los resultados obtenidos.

library(readxl)
datos <- read_excel("C:/Users/jbula/Downloads/datos.xlsx")
carga <- datos$`Carga (toneladas) X`
consumo <- datos$`Consumo (L/100 km) Y`
modelo <- lm(consumo ~ carga)
summary(modelo)

Call:
lm(formula = consumo ~ carga)

Residuals:
   Min     1Q Median     3Q    Max 
-0.372 -0.207  0.010  0.199  0.320 

Coefficients:
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) 16.020000   0.117534   136.3   <2e-16 ***
carga        1.176000   0.006173   190.5   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.2361 on 24 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.9993,    Adjusted R-squared:  0.9993 
F-statistic: 3.629e+04 on 1 and 24 DF,  p-value: < 2.2e-16

Interpretación

Tanto en Excel como en RStudio, mediante el método de mínimos cuadrados se estimaron correctamente los parámetros del modelo de regresión lineal simple, obteniendo una ecuación que describe la relación entre la carga transportada y el consumo de combustible de los camiones. El modelo indica que, por cada tonelada adicional de carga transportada, el consumo de combustible aumenta en promedio 1,176 L/100 km, lo que confirma la sospecha inicial del gerente. El intercepto (16,02) representa el consumo estimado cuando la carga transportada es igual a cero toneladas. El modelo de regresión estimado constituye una herramienta útil para la empresa, ya que permite estimar el consumo esperado de combustible para diferentes niveles de carga.