Hintergrund

Hintergrund dieses Dokuments ist das eigene explorative Vorgehen hinsichtlich der physikalischen Grundlagen der Musik. Anlass war die Behandlung von Intervallen im Rahmen der Stimmbildung mit Peter Peinstingl an der Erzabtei St. Peter in Salzburg.

Es ist weithin bekannt, dass Töne aus Frequenzen bestehen, welche die Häufigkeit von Schwingungen innerhalb einer festgesetzten Zeit angeben. Prinzipiell werden Frequenzen in der Musik bzw. Akustik in Hertz (Hz) angegeben. Herz beschreibt die Anzahl der Schwingungen innerhalb einer Sekunde. Während die Tonhöhe mittels der Frequenz der Schwingungen beschrieben werden kann, wird die Lautstärke über die Amplitude einer Schwingung ausgedrückt.

Hier ein Beispiel für den Kammerton A:

# Define frequency (cycles per second)
f <- 440 

# Create time sequence (0 to 0.5 second in milliseconds)
time <- seq(0, 0.2, length.out = 200)

# Calculate sine wave with frequency multiplier
amplitude <- sin(2 * pi * f * time)

# combine for plotting
df_hz <- data.frame(Zeit = time,
                    Amplitude = amplitude)

# Generate plot
plot(time, amplitude, 
     type = "l",
     lwd = 2,
     main = paste("Sinuswelle mit Frequenz =", f, "Hz (Kammerton A)"), 
     xlab = "Zeit (Sekunden)", 
     ylab = "Amplitude")

# 5. Add horizontal center guide line
abline(h = 0, lty = 2, col = "gray")

Frequenzen für Klaviertasten (88er Klaviatur)

Mit folgender Formel können die Frequenzen der jeweiligen Frequenzen für eine bestimmte Klaviertaste berechnet werden. In dieser Formel wird davon ausgegangen, dass der Kammerton A an der 49 Position der Klaviatur ist.

\[\LARGE Hz_{Taste} = 440 * 2 ^ {\frac{Nr.Taste - 49}{12}}\] Anhand des Exponenten in dieser Formel kann man zwei relevante Tatsachen ablesen:

  1. Zunächst handelt es sich nicht um eine lineare Funktion. Das bedeutet, dass die Frequenzen - anders wie wahrgenommen - nicht dem linearen Trend einer geraden Linie folgen, sondern dass sie bei höheren Tönen steil (oder eben exponentiell) ansteigen. Wie es dazu kommt, dass unsere Wahrnehmung der Intervalle zwischen zwei tiefen und zwei hohen Tönen jedoch gleich bleibt, wird unten näher beleuchtet.

  2. Im Nenner des Exponenten ist abgebildet, dass eine Oktav aus zwölf Halbtonschritten besteht.

Erstellen wir einen Datensatz, der die Tasten einer Klaviatur, sowie ihre Frequenzen listet:

# Create data set with empty frequency var
df_Noten <- data.frame(Taste = c(1:88),
                       Note = c("A", "Ais", "H", rep(c( "C", "Cis", "D", "Dis", "E", "F", "Fis", "G", "Gis", "A", "Ais", "H"), 7), "C"),
                       Oktav = c(0, 0, 0, sort(rep((1:7), 12)), 8),
                       Frequenz = rep(0, 88))

# Add frequency
df_Noten$Frequenz <- 440 * 2^((df_Noten$Taste-49)/12)

library(knitr)
kable(df_Noten, align = "cccc", digits = 2, caption = "Tabelle mit der (v.l.n.r.) Tastennummer, dem Notennamen, der Oktav und der physikalischen Frequenz des Tones.")
Tabelle mit der (v.l.n.r.) Tastennummer, dem Notennamen, der Oktav und der physikalischen Frequenz des Tones.
Taste Note Oktav Frequenz
1 A 0 27.50
2 Ais 0 29.14
3 H 0 30.87
4 C 1 32.70
5 Cis 1 34.65
6 D 1 36.71
7 Dis 1 38.89
8 E 1 41.20
9 F 1 43.65
10 Fis 1 46.25
11 G 1 49.00
12 Gis 1 51.91
13 A 1 55.00
14 Ais 1 58.27
15 H 1 61.74
16 C 2 65.41
17 Cis 2 69.30
18 D 2 73.42
19 Dis 2 77.78
20 E 2 82.41
21 F 2 87.31
22 Fis 2 92.50
23 G 2 98.00
24 Gis 2 103.83
25 A 2 110.00
26 Ais 2 116.54
27 H 2 123.47
28 C 3 130.81
29 Cis 3 138.59
30 D 3 146.83
31 Dis 3 155.56
32 E 3 164.81
33 F 3 174.61
34 Fis 3 185.00
35 G 3 196.00
36 Gis 3 207.65
37 A 3 220.00
38 Ais 3 233.08
39 H 3 246.94
40 C 4 261.63
41 Cis 4 277.18
42 D 4 293.66
43 Dis 4 311.13
44 E 4 329.63
45 F 4 349.23
46 Fis 4 369.99
47 G 4 392.00
48 Gis 4 415.30
49 A 4 440.00
50 Ais 4 466.16
51 H 4 493.88
52 C 5 523.25
53 Cis 5 554.37
54 D 5 587.33
55 Dis 5 622.25
56 E 5 659.26
57 F 5 698.46
58 Fis 5 739.99
59 G 5 783.99
60 Gis 5 830.61
61 A 5 880.00
62 Ais 5 932.33
63 H 5 987.77
64 C 6 1046.50
65 Cis 6 1108.73
66 D 6 1174.66
67 Dis 6 1244.51
68 E 6 1318.51
69 F 6 1396.91
70 Fis 6 1479.98
71 G 6 1567.98
72 Gis 6 1661.22
73 A 6 1760.00
74 Ais 6 1864.66
75 H 6 1975.53
76 C 7 2093.00
77 Cis 7 2217.46
78 D 7 2349.32
79 Dis 7 2489.02
80 E 7 2637.02
81 F 7 2793.83
82 Fis 7 2959.96
83 G 7 3135.96
84 Gis 7 3322.44
85 A 7 3520.00
86 Ais 7 3729.31
87 H 7 3951.07
88 C 8 4186.01

Wenn wir hier die Frequenzen in einem Kurvendiagramm abbilden, sehen wir eindrücklich, was womöglich bereits anhand der Tabelle aufgefallen ist: die Frequenzen steigen exponentiell an, wie bereits oben angedeutet wurde.

library(ggplot2)
freq_plot <- ggplot(data=df_Noten, aes(x=Taste, y=Frequenz)) +
  geom_line()+
  geom_point()+
  # Add circle around A4 (440 Hz)
  geom_point(data = df_Noten[49, ], shape = 21, size = 4, color = "red", stroke = 1, fill = NA)+
  theme_bw()
freq_plot
Die physikalischen Frequenzen der Tasten einer Klaviatur (x-Achse) in Hertz (y-Achse). Der rot eingekreiste Punkt repräsentiert den Kammerton A4 (440 Hz).

Die physikalischen Frequenzen der Tasten einer Klaviatur (x-Achse) in Hertz (y-Achse). Der rot eingekreiste Punkt repräsentiert den Kammerton A4 (440 Hz).

Diese Kurve deckt sich allerdings nicht mit unserer subjektive Wahrnehmung. So empfinden wir eine Terz in der sechsten Oktave “gleich”, wie in der ersten: die das Verhältnis der Differenz scheint ident zu sein. Hier kommt unsere Sinnesphysiologie ins Spiel. Wahrnehmungsprozesse werden seit etwa der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts empirisch untersucht, namentlich von der Sinnesphysiologie und (relevant für das vorliegende Thema) der Psychophysik.

Ziel der Psychophysik ist es, menschliches Erleben (Wahrnehmung) anhand von Gesetzmäßigkeiten zu beschreiben. Tatsächlich gibt es einige Beispiele, in denen das menschliche Erleben eindrücklich mittels (psycho-)physikalischer Formeln beschrieben werden kann. Im Kontext der Wahrnehmung von Tönen wäre dies das sog. Weber-Fechner Gesetz: Die wahrgenommene Reizintensität steigt logarithmisch mit der objektiven Reizintensität. Anders formuliert: bei einer eher geringen Reizintensität werden auch kleinere Unterschiede eindeutig wahrgenommen. Ist ein Reiz allerdings schon recht intensiv (z.B. laut, hell, hoch), dann werden Unterschiede zunehmend weniger gut wahrgenommen.

Das Weber-Fechner Gesetz erklärt also gut, warum die Frequenzen für hohe Töne auf der Klaviatur sich zunehmend stärker voneinander unterscheiden: um zu gewährleisten, dass wir die Töne als gleichmäßig (linear) verschieden voneinander wahrnehmen können und somit auch die Verhältnisse (Intervalle) untereinander (in weiterer Folge natürlich auch Melodien und Harmonien), muss unserer abnehmenden Sensibilität für Differenzen in hohen Frequenzbereichen Rechnung getragen werden.

# Create var "Wahrnehmung"
df_Noten$Wahrnehmung <- 0

# Calculate Wahrnehmung
df_Noten$Wahrnehmung <- 2 * (47.56828 * df_Noten$Taste) - (440 * 2^((df_Noten$Taste - 49) / 12))

# Differenz berechnen
df_Noten$delta       <- (df_Noten$Frequenz + df_Noten$Wahrnehmung) / 2

# Display table
#kable(df_Noten, align = "ccccc")

# 3. Plotten (Punkte vorher nach Taste sortieren, falls geom_line springt)
freq_plot <- ggplot(data = df_Noten, aes(x = Taste)) +
  geom_line(aes(y = Frequenz, colour = "Physikalische Frequenz (Hz)")) + 
  geom_line(aes(y = Wahrnehmung, colour = "stilisierte physiologische Verarbeitung")) +
  geom_line(aes(y = delta, colour = "subjektive Wahrnehmung")) +
  scale_colour_manual(values = c("Physikalische Frequenz (Hz)" = "green", 
                                 "stilisierte physiologische Verarbeitung" = "red", 
                                 "subjektive Wahrnehmung" = "blue")) +
  labs(colour = "Kurven", y = "Frequenz / Wahrnehmung") +
  theme_bw()
freq_plot
Graphische Darstellung der physikalischen Frequenz [grün], der (stilisierten) physiologischen Verarbeitung der Frequenzen [rot], sowie des daraus entstehenden Wahrnehmungseindruckes [blau].

Graphische Darstellung der physikalischen Frequenz [grün], der (stilisierten) physiologischen Verarbeitung der Frequenzen [rot], sowie des daraus entstehenden Wahrnehmungseindruckes [blau].

Noten

Nachdem wir uns mit den physikalischen und wahrnehmungspsychologischen Grundlagen der Tonwahrnemung beschäftigt haben, wenden wir uns nun den damit assoziierten Noten zu. Ziehen wir hierzu die Klaviatur zur besseren Veranschaulichung heran:

— Folgt noch —

Update-Test

Intervalle

Intervall mit Grundton C Noten Klassifikation Bewertung Klang
Prim C - C Prim reine Konsonanz völlige Übereinstimmung
kleine Sekund C - Des kleine Sekund Dissonanz sehr spannungsreich
große Sekund C - D große Sekund Dissonanz spannungsvoll
kleine Terz C - Es kleine Terz unvollkommene Konsonanz Moll-Charakter
große Terz C - E große Terz unvollkommene Konsonanz Dur-Charakter
Quart C - F Quart reine Konsonanz Feuerwehr
Tritonus (übermäßige Quart / verminderte Quint) C - Fis / Ges Tritonus Dissonanz besonders spannungsvoll
Quint C - G Quint reine Konsonanz Dur-Charakter
kleine Sext C - As kleine Sext unvollkommene Konsonanz weich
große Sext C - A große Sext unvollkommene Konsonanz offen
kleine Septim C - B kleine Septim Dissonanz starke Spannung
große Septim C - H große Septim Dissonanz sehr starke Spannung
Oktav C - c Oktav reine Konsonanz höchste Stabilität