Introdução ao Método AHP

Introdução ao Método AHP (Analytic Hierarchy Process) Auxílio Multicritério à Decisão

Baseado no livro do Prof. Helder Gomes Costa (Auxílio Multicritério à Decisão)

Objetivo da Aula: * Compreender a complexidade da tomada de decisão no ambiente público e militar.

* Dominar os fundamentos do Método AHP para priorização e seleção de alternativas.

* Aplicar o método com rigor analítico, equidade e foco na missão.

A Complexidade da Decisão no Comando

A tomada de decisão no setor público e militar é caracterizada por múltiplos fatores interdependentes:

• Múltiplos Objetivos e Critérios Em Conflito:
  • Custo vs. Desempenho Operacional vs. Segurança vs. Sustentabilidade.
• Múltiplos Interessados (Stakeholders):
  • Sociedade, Comandos Superiores, Órgãos de Controladoria, Equipes Táticas.
• Incerteza e Risco:
  • Ambientes dinâmicos e voláteis onde falhas geram impactos sociais ou estratégicos severos.

A Escala Fundamental de Saaty

COMO QUANTIFICAR O JULGAMENTO HUMANO?

Ao comparar dois elementos (\(A_i\) e \(A_j\)), utiliza-se a escala de 1 a 9:

Passo a Passo da Aplicação do AHP

1. Estruturação do Problema:
   • Definir claramente o Objetivo, identificar Critérios e listar as Alternativas.
2. Construção das Matrizes de Comparação Par a Par:
   • Comparar os elementos em cada nível com base na Escala de Saaty.
3. Cálculo dos Vetores de Prioridade (Autovetores):
   • Normalização e determinação dos pesos relativos de critérios e alternativas.
4. Avaliação da Consistência dos Julgamentos:
   • Verificar se as preferências declaradas são logicamente consistentes.

Medição da Consistência (CR)

O ser humano pode cometer inconsistências (ex.: A > B, B > C, mas declara C > A).

• Índice de Consistência (CI): \[CI = \frac{\lambda_{max} - n}{n - 1}\]
• Razão de Consistência (CR): \[CR = \frac{CI}{RI}\] (onde \(RI\) é o Índice Aleatório tabulado para uma matriz de ordem \(n\))

Exemplo: Aquisição de Sistema de Comunicação Tática

• Objetivo: Selecionar o melhor sistema de rádio para a tropa.
• Critérios de Avaliação:
  1. Custo de Aquisição e Manutenção
  2. Alcance e Confiabilidade do Sinal
  3. Segurança da Informação (Criptografia)
  4. Facilidade de Operação / Ergonomia
• Alternativas: Sistema Alpha, Sistema Bravo, Sistema Charlie.

Matriz de Comparação Par a Par dos Critérios

Julgamentos do Comando (\(A\))

As decisões do Estado-Maior geraram as seguintes preferências na Escala de Saaty:

• Confiabilidade (\(C_2\)) vs. Custo (\(C_1\)): \(C_2\) é 3x mais importante (Moderada).

• Criptografia (\(C_3\)) vs. Custo (\(C_1\)): \(C_3\) é 5x mais importante (Forte).

• Criptografia (\(C_3\)) vs. Confiabilidade (\(C_2\)): \(C_3\) é 2x mais importante (Intermediária).

Normalização e Cálculo dos Pesos dos Critérios

Método da Média das Linhas Normalizadas

1. Divide-se cada elemento pelo total da sua respectiva coluna: \(a_{ij}^* = \frac{a_{ij}}{\sum_i a_{ij}}\)

2. O peso de cada critério (\(w_i\)) é a média aritmética dos valores da linha.

• Resultado: Criptografia (\(58,1\%\)) > Confiabilidade (\(30,9\%\)) > Custo (\(11,0\%\)).

Verificação da Consistência dos Critérios

1. Vetor de Soma Ponderada (\(A \cdot w\)):
   • \((A \cdot w)_1 = 1(0,110) + \frac{1}{3}(0,309) + \frac{1}{5}(0,581) = 0,3292\)
   • \((A \cdot w)_2 = 3(0,110) + 1(0,309) + \frac{1}{2}(0,581) = 0,9295\)
   • \((A \cdot w)_3 = 5(0,110) + 2(0,309) + 1(0,581) = 1,7490\)
2. Cálculo de \(\lambda_{max}\):
   • \(\lambda_{max} = \frac{1}{3} \left( \frac{0,3292}{0,110} + \frac{0,9295}{0,309} + \frac{1,7490}{0,581} \right) = \frac{2,993 + 3,008 + 3,010}{3} = \mathbf{3,0037}\)
3. Razão de Consistência (\(CR\)):
   • \(CI = \frac{\lambda_{max} - n}{n - 1} = \frac{3,0037 - 3}{2} = 0,00185\)
   • \(CR = \frac{CI}{RI_3} = \frac{0,00185}{0,58^{(valor\ tabelado)}} = \mathbf{0,0032} \quad (\mathbf{0,32\%})\)

De onde vem o Índice Aleatório (\(RI\))?

Tabela de Saaty para Matrizes de Ordem \(n\):

Comparação das Alternativas por Critério

Matrizes de Avaliação das Alternativas

Síntese Global e Decisão Final

Multiplicação da Matriz de Alternativas pelos Pesos dos Critérios

\[S_{Global} = \sum_{j=1}^{3} (Peso_{\text{Critério } j} \times Peso_{\text{Alternativa } | \text{Critério } j})\]

Executando AHP via Código R - pacote AHPWR

# 1. Carregar o pacote AHPWR
library(AHPWR)

# 2. Criar a Matriz de Comparação dos Critérios
MC <- matrix(c(
  1,   1/3, 1/5,
  3,   1,   1/2,
  5,   2,   1
), nrow = 3, byrow = TRUE)

rownames(MC) <- colnames(MC) <- c("C1", "C2", "C3")

# 3. Criar as Matrizes de Comparação das Alternativas por Critério
# 3.1 Em Custo (C1)
MA_Custo <- matrix(c(
  1,   3,   5,
  1/3, 1,   3,
  1/5, 1/3, 1
), nrow = 3, byrow = TRUE)

# 3.2 Em Confiabilidade (C2)
MA_Confiabilidade <- matrix(c(
  1,   1/4, 1/2,
  4,   1,   3,
  2,   1/3, 1
), nrow = 3, byrow = TRUE)

# 3.3 Em Criptografia (C3)
MA_Criptografia <- matrix(c(
  1,   1/2, 1/6,
  2,   1,   1/4,
  6,   4,   1
), nrow = 3, byrow = TRUE)


# 4. Agrupar todas as matrizes de julgamento em uma lista: primeira matriz DEVE ser a dos critérios
lista_matrizes <- list(
  Criterios      = MC,
  Custo          = MA_Custo,
  Confiabilidade = MA_Confiabilidade,
  Criptografia   = MA_Criptografia
)

# 5. Executar a função ahp_geral() do pacote AHPWR
tabela_final <- ahp_geral(lista_matrizes)

# Exibir a tabela com o resultado sintético
print(tabela_final)

# A tibble: 4 × 6
  Criteria        Weights      A      B      C      CR
  <chr>             <dbl>  <dbl>  <dbl>  <dbl>   <dbl>
1 ---Alternatives   1     0.174  0.334  0.493  0.00318
2 --C1              0.109 0.0697 0.0283 0.0115 0.0332 
3 --C2              0.309 0.0422 0.193  0.0737 0.0158 
4 --C3              0.582 0.0617 0.112  0.408  0.00793