Modelo de Regresión Exponencial

1.Carga de librerías

library(readxl)
library(dplyr)
library(gt)

2.Carga de datos

datos <- read_excel("dataset_mundial_petro.xlsx")
cat("Número de registros:", nrow(datos), "\n")

## Número de registros: 49212

cat("Número de variables:", ncol(datos), "\n")

## Número de variables: 32

3.Selección de variables

La variable Discovery year (año de descubrimiento) actúa como variable independiente o causa (X), ya que el año en que se descubre un yacimiento condiciona directamente cuándo puede comenzar su producción. La variable Production start year (año de inicio de producción) actúa como variable dependiente o efecto (Y), ya que no es posible iniciar la producción sin haber descubierto previamente el yacimiento.

Nota: Este modelo usa la transformación \(\ln(Y) \sim X\) (exponencial), a diferencia del modelo potencial que usa \(\ln(Y) \sim \ln(X)\). Ambos modelos aplican a las mismas variables pero con diferente estructura matemática.

extraer_anio <- function(v) as.numeric(sub("^(\\d{4}).*", "\\1", as.character(v)))

x_raw <- as.numeric(datos$`Discovery year`)
y_raw <- extraer_anio(datos$`Production start year`)

cat("Registros con Discovery year:", sum(!is.na(x_raw)), "\n")

## Registros con Discovery year: 4935

cat("Registros con Production start year:", sum(!is.na(y_raw)), "\n")

## Registros con Production start year: 2233

cat("Pares completos (ambos con dato):", sum(!is.na(x_raw) & !is.na(y_raw)), "\n")

## Pares completos (ambos con dato): 1889

cat("X sin Y:", sum(!is.na(x_raw) & is.na(y_raw)), "\n")

## X sin Y: 3046

cat("Y sin X:", sum(is.na(x_raw) & !is.na(y_raw)), "\n")

## Y sin X: 344

4.Tabla de pares de valores

Se presenta un extracto (primeros 20 registros) tal como fueron extraídos del dataset, antes de cualquier depuración.

df_pares <- data.frame(x = x_raw, y = y_raw)

df_pares %>%
  head(20) %>%
  rename(`Año de Descubrimiento (X)`       = x,
         `Año de Inicio de Producción (Y)` = y) %>%
  gt() %>%
  tab_header(
    title    = md("**Tabla de Pares de Valores**"),
    subtitle = md("Valores originales sin depurar")
  ) %>%
  tab_source_note(source_note = "Autor: Grupo 5") %>%
  cols_align(align = "center", columns = everything()) %>%
  tab_options(
    table.border.top.color            = "black",
    table.border.bottom.color         = "black",
    table.border.top.style            = "solid",
    table.border.bottom.style         = "solid",
    column_labels.font.weight         = "bold",
    column_labels.border.top.color    = "black",
    column_labels.border.bottom.color = "black",
    column_labels.border.bottom.width = px(2),
    heading.border.bottom.color       = "black",
    heading.border.bottom.width       = px(2),
    table_body.hlines.color           = "grey",
    table_body.border.bottom.color    = "black"
  )

Año de Descubrimiento (X)	Año de Inicio de Producción (Y)
Tabla de Pares de Valores
Valores originales sin depurar
1949	1951
2001	2009
1966	1969
1975	1979
1984	1987
1986	1998
1981	1981
2004	2005
NA	NA
NA	NA
1981	1985
1986	2002
1982	1987
2007	NA
1965	1965
2000	2010
2013	2020
2001	NA
1979	1983
1999	2021
Autor: Grupo 5

5.Gráfica

Gráfica original

plot(df_pares$x, df_pares$y,
     pch  = 20,
     col  = rgb(0.1, 0.4, 0.5, 0.4),
     xlab = "Año de Descubrimiento (X)",
     ylab = "Año de Inicio de Producción (Y)",
     main = "Relación entre el Año de Descubrimiento y el Año de Inicio de Producción (Datos Originales)")

Debido a la dispersión de los puntos observados, se procede a aplicar una estrategia de tratamiento de datos antes de proponer el modelo.

5.1 Descarte de pares incompletos

Un modelo exponencial ajusta en escala \(\ln(y)\) vs. \(x\): cualquier valor artificial (como rellenar Y faltante con la media global) introduce puntos falsos que no siguen la relación real entre las variables. Si muchos años X distintos no tienen dato real de Y, rellenarlos todos con el mismo valor genera una banda plana que distorsiona la tendencia y hunde la correlación. Por eso no se rellenan los faltantes: se descartan los registros que no tengan ambos valores.

df_pares <- df_pares %>%
  filter(is.na(y) | y > 0) %>%
  filter(is.na(x) | x > 0) %>%
  filter(!is.na(x), !is.na(y))

cat("Pares completos reales (ambos datos presentes):", nrow(df_pares), "\n")

## Pares completos reales (ambos datos presentes): 1889

5.2 Agrupación de múltiples Y por X

Cuando un mismo año de descubrimiento (X) tiene múltiples años de inicio de producción (Y), se calcula la media aritmética para obtener un único par representativo.

pares <- df_pares %>%
  filter(!is.na(x), !is.na(y)) %>%
  group_by(x) %>%
  summarise(y = mean(y, na.rm = TRUE), n = n(), .groups = "drop") %>%
  arrange(x)

cat("Pares únicos para el modelo:", nrow(pares), "\n")

## Pares únicos para el modelo: 98

cat("Rango de años:", min(pares$x), "-", max(pares$x), "\n")

## Rango de años: 1905 - 2023

5.3 Estrategia de depuración

Se utiliza el método IQR (Rango Intercuartílico) para identificar y eliminar valores atípicos, más robusto que la desviación estándar. Se eliminan además los años con un único registro original.

\[LI = Q_1 - 1.5 \times IQR \qquad LS = Q_3 + 1.5 \times IQR\]

Q1      <- quantile(pares$y, 0.25)
Q3      <- quantile(pares$y, 0.75)
IQR_val <- Q3 - Q1
lim_inf <- Q1 - 1.5 * IQR_val
lim_sup <- Q3 + 1.5 * IQR_val

cat("Q1:", round(Q1, 2), "\n")

## Q1: 1966.48

cat("Q3:", round(Q3, 2), "\n")

## Q3: 2008.54

cat("IQR:", round(IQR_val, 2), "\n")

## IQR: 42.06

cat("Límite inferior:", round(lim_inf, 2), "\n")

## Límite inferior: 1903.39

cat("Límite superior:", round(lim_sup, 2), "\n")

## Límite superior: 2071.62

pares_dep <- pares %>%
  filter(y >= lim_inf & y <= lim_sup) %>%
  filter(n > 1)

cat("\nPares antes de depuración:", nrow(pares), "\n")

## 
## Pares antes de depuración: 98

cat("Pares después de depuración:", nrow(pares_dep), "\n")

## Pares después de depuración: 85

cat("Pares eliminados:", nrow(pares) - nrow(pares_dep), "\n")

## Pares eliminados: 13

5.4 Tabla de pares depurados

pares_dep %>%
  select(x, y) %>%
  rename(`Año de Descubrimiento (X)`       = x,
         `Año de Inicio de Producción (Y)` = y) %>%
  mutate(`Año de Inicio de Producción (Y)` = round(`Año de Inicio de Producción (Y)`, 2)) %>%
  gt() %>%
  tab_header(
    title    = md("**Tabla de Pares Depurados**"),
    subtitle = md("Año de Descubrimiento y Año de Inicio de Producción")
  ) %>%
  tab_source_note(source_note = "Autor: Grupo 5") %>%
  cols_align(align = "center", columns = everything()) %>%
  tab_options(
    table.border.top.color            = "black",
    table.border.bottom.color         = "black",
    table.border.top.style            = "solid",
    table.border.bottom.style         = "solid",
    column_labels.font.weight         = "bold",
    column_labels.border.top.color    = "black",
    column_labels.border.bottom.color = "black",
    column_labels.border.bottom.width = px(2),
    heading.border.bottom.color       = "black",
    heading.border.bottom.width       = px(2),
    table_body.hlines.color           = "grey",
    table_body.border.bottom.color    = "black"
  )

Año de Descubrimiento (X)	Año de Inicio de Producción (Y)
Tabla de Pares Depurados
Año de Descubrimiento y Año de Inicio de Producción
1918	1921.00
1927	1940.50
1928	1944.50
1932	1935.50
1937	1963.50
1938	1966.00
1941	1949.50
1944	1944.00
1945	1947.00
1946	1973.33
1948	1951.25
1949	1955.14
1951	1966.57
1952	1958.86
1953	1964.00
1954	1966.44
1955	1977.08
1956	1973.14
1957	1968.83
1958	1975.19
1959	1972.62
1960	1980.92
1961	1982.13
1962	1974.85
1963	1972.91
1964	1977.53
1965	1984.88
1966	1980.67
1967	1989.28
1968	1986.30
1969	1990.54
1970	1986.76
1971	1992.09
1972	1988.59
1973	1996.82
1974	1996.90
1975	1993.76
1976	1998.35
1977	1997.77
1978	1995.83
1979	1998.60
1980	1995.50
1981	1993.96
1982	1998.61
1983	1999.94
1984	1998.90
1985	2002.50
1986	2000.74
1987	2000.71
1988	2001.15
1989	2005.10
1990	2005.74
1991	2002.04
1992	2007.58
1993	2004.67
1994	2005.00
1995	2003.85
1996	2004.48
1997	2005.50
1998	2004.70
1999	2007.71
2000	2010.47
2001	2008.81
2002	2012.04
2003	2013.70
2004	2013.96
2005	2015.52
2006	2015.71
2007	2016.16
2008	2015.51
2009	2017.67
2010	2019.69
2011	2020.10
2012	2023.00
2013	2022.81
2014	2021.02
2015	2020.25
2016	2021.93
2017	2023.10
2018	2023.79
2019	2022.68
2020	2025.07
2021	2022.50
2022	2027.60
2023	2023.67
Autor: Grupo 5

5.5 Gráfica simplificada

plot(pares_dep$x, pares_dep$y,
     pch  = 20,
     col  = rgb(0.1, 0.4, 0.5, 0.6),
     xlab = "Año de Descubrimiento (X)",
     ylab = "Año de Inicio de Producción (Y)",
     main = "Relación entre el Año de Descubrimiento y el Año de Inicio de Producción")

6.Conjetura del modelo matemático

Observando la gráfica de los datos depurados, se propone un Modelo de Regresión Exponencial, ya que los datos presentan un crecimiento continuo donde la tasa de cambio es proporcional al valor actual de Y. Este modelo tiene la forma:

\[y = a \cdot e^{b \cdot x}\]

A diferencia del modelo potencial (\(y = a \cdot x^b\)), en el modelo exponencial la variable independiente X aparece en el exponente, lo que implica un crecimiento que se acelera de forma constante.

7.Transformación de la variable (Año Cero)

Al trabajar con X en años calendario (valores grandes como 1940-2020), la pendiente b de un modelo exponencial resulta extremadamente pequeña, y el intercepto a pierde interpretación práctica (representaría el valor de Y en el año 0 del calendario, algo sin sentido físico). Por esta razón, se define un año de referencia (año cero), de modo que la variable independiente pase a representar la antigüedad en años desde ese punto de referencia.

\[X_{transformada} = X - X_0\]

x0_referencia <- floor(min(pares_dep$x) / 10) * 10

pares_dep <- pares_dep %>%
  mutate(x_transformada = x - x0_referencia)

cat("Año de referencia (Año Cero, X0):", x0_referencia, "\n\n")

## Año de referencia (Año Cero, X0): 1910

cat("Variable X (original)      -> rango: [", min(pares_dep$x), ",", max(pares_dep$x), "]\n")

## Variable X (original)      -> rango: [ 1918 , 2023 ]

cat("Variable X (transformada)  -> rango: [", min(pares_dep$x_transformada), ",", max(pares_dep$x_transformada), "]\n")

## Variable X (transformada)  -> rango: [ 8 , 113 ]

cat("Variable Y (sin transformar) -> rango: [", round(min(pares_dep$y), 2), ",", round(max(pares_dep$y), 2), "]\n")

## Variable Y (sin transformar) -> rango: [ 1921 , 2027.6 ]

De aquí en adelante, el modelo se ajusta usando X transformada. Para cualquier predicción se recibirá un año calendario real y se convertirá internamente a la escala transformada; el resultado final se reporta siempre en la variable original (año calendario).

8.Cálculo de parámetros

Para ajustar el modelo exponencial se aplica la transformación logarítmica sobre Y, usando la variable X transformada:

\[\ln(y) = \ln(a) + b \cdot X_{transformada}\]

log_y <- log(pares_dep$y)
m_exp <- lm(log_y ~ x_transformada, data = pares_dep)

Pendiente e intercepto

coefs  <- coef(m_exp)
b_coef <- coefs[2]
a_coef <- exp(coefs[1])

cat("Intercepto (a) :", round(a_coef, 6), "\n")

## Intercepto (a) : 1929.836

cat("Pendiente  (b) :", round(b_coef, 8), "\n")

## Pendiente  (b) : 0.00045697

cat("\nEcuación del modelo (en X transformada):\n")

## 
## Ecuación del modelo (en X transformada):

cat("y =", round(a_coef, 4), "* exp(", round(b_coef, 6), "* (x -", x0_referencia, "))\n")

## y = 1929.836 * exp( 0.000457 * (x - 1910 ))

9.Comparación del modelo con la realidad

x_grid            <- seq(min(pares_dep$x), max(pares_dep$x), length.out = 400)
x_grid_transf      <- x_grid - x0_referencia
y_grid            <- a_coef * exp(b_coef * x_grid_transf)

plot(pares_dep$x, pares_dep$y,
     pch  = 20,
     col  = rgb(0.1, 0.4, 0.5, 0.6),
     xlab = "Año de Descubrimiento (X)",
     ylab = "Año de Inicio de Producción (Y)",
     main = "Superposición: Modelo Exponencial y Datos Reales")

lines(x_grid, y_grid, col = "firebrick3", lwd = 3)

legend("topleft",
       legend = c("Datos reales", "Modelo exponencial"),
       col    = c(rgb(0.1, 0.4, 0.5, 0.6), "firebrick3"),
       pch    = c(20, NA),
       lty    = c(NA, 1),
       lwd    = c(NA, 3),
       bty    = "n")

La curva se sigue viendo casi recta al graficarla sobre la ventana observada (los años reales de los datos, un tramo relativamente angosto de aproximadamente un siglo). Esto es una característica propia de los datos: el exponente b es pequeño porque el rango de Y también es pequeño (todos los años están entre 1900 y 2023 aproximadamente), por lo que en ese tramo puntual la curva exponencial se aproxima mucho a una recta. La transformación a año cero no cambia la forma de la curva en sí, pero sí corrige el problema real de fondo: evita que el intercepto a sea un número sin sentido físico (el valor de Y en el año 0 del calendario) y permite reportar e interpretar el modelo con una escala coherente con los datos.

10.Test de Pearson

Correlación lineal

r <- cor(pares_dep$x_transformada, log(pares_dep$y))
cat("Correlación de Pearson (r):", round(r, 4), "\n")

## Correlación de Pearson (r): 0.9692

Coeficiente de determinación

En modelos no lineales como el exponencial, el coeficiente de determinación R² no se calcula, ya que no aplica como medida de bondad de ajuste fuera de rectas o planos. La calidad del ajuste se evalúa visualmente mediante la superposición y mediante la correlación de Pearson entre X transformada y \(\ln(Y)\).

11.Restricciones

Paso 1 - Dominio de X: la variable independiente (año de descubrimiento, transformada a antigüedad desde el año cero) está definida para valores enteros no negativos dentro del rango observado.

cat("Dominio de X (transformada): [", min(pares_dep$x_transformada), ",", max(pares_dep$x_transformada), "]\n")

## Dominio de X (transformada): [ 8 , 113 ]

cat("Dominio de X (año calendario equivalente): [", min(pares_dep$x), ",", max(pares_dep$x), "]\n")

## Dominio de X (año calendario equivalente): [ 1918 , 2023 ]

Paso 2 - Dominio de Y: la variable dependiente (año de inicio de producción) toma valores reales positivos dentro del rango observado en los datos depurados.

cat("Dominio de Y: [", round(min(pares_dep$y), 2), ",", round(max(pares_dep$y), 2), "]\n")

## Dominio de Y: [ 1921 , 2027.6 ]

Paso 3 - Ecuación del modelo: dado que \(y = a \cdot e^{b \cdot (x - X_0)}\) siempre produce valores positivos para cualquier valor real de X, no existe una restricción matemática que excluya valores del dominio. Aun así, esta sección se incluye de forma obligatoria como parte del procedimiento, aunque no existan restricciones que aplicar.

cat("Ecuación: y = a * exp(b * (x -", x0_referencia, "))\n")

## Ecuación: y = a * exp(b * (x - 1910 ))

cat("Valores de Y predichos siempre positivos: TRUE\n")

## Valores de Y predichos siempre positivos: TRUE

cat("Restricción matemática: No existe\n")

## Restricción matemática: No existe

12.Estimación del modelo

Las predicciones se solicitan y se reportan en la variable original (año calendario real); internamente el año se convierte a la escala transformada (antigüedad desde el año cero) antes de aplicar la ecuación.

anio_estimar        <- 2025
anio_estimar_transf <- anio_estimar - x0_referencia
y_estimado          <- a_coef * exp(b_coef * anio_estimar_transf)
cat("Estimación para el año", anio_estimar, ":\n")

## Estimación para el año 2025 :

cat("Año de inicio de producción estimado:", round(y_estimado, 2), "\n\n")

## Año de inicio de producción estimado: 2033.96

anio_estimar2        <- 2030
anio_estimar2_transf <- anio_estimar2 - x0_referencia
y_estimado2          <- a_coef * exp(b_coef * anio_estimar2_transf)
cat("Estimación para el año", anio_estimar2, ":\n")

## Estimación para el año 2030 :

cat("Año de inicio de producción estimado:", round(y_estimado2, 2), "\n")

## Año de inicio de producción estimado: 2038.62

13.Conclusión

Ecuacion <- paste0(
  "y = ", round(a_coef, 4),
  " * exp(", round(b_coef, 6), " * (x - ", x0_referencia, "))"
)

data.frame(
  `Variable Independiente` = "Año de Descubrimiento (antigüedad desde año cero)",
  `Variable Dependiente`   = "Año de Inicio de Producción",
  `Año Cero (X0)`          = x0_referencia,
  `Test Pearson`           = round(r, 2),
  `Ecuación del modelo`    = Ecuacion,
  `Rango válido de X`      = paste0("[", min(pares_dep$x), ", ", max(pares_dep$x), "]"),
  check.names = FALSE
) %>%
  gt() %>%
  tab_header(
    title    = md("**Tabla N°1**"),
    subtitle = md("**Resumen del modelo de regresión exponencial**")
  ) %>%
  tab_source_note(source_note = md("Autor: Grupo 5")) %>%
  cols_align(align = "center", columns = everything()) %>%
  tab_options(
    table.border.top.color            = "black",
    table.border.bottom.color         = "black",
    table.border.top.style            = "solid",
    table.border.bottom.style         = "solid",
    column_labels.font.weight         = "bold",
    column_labels.border.top.color    = "black",
    column_labels.border.bottom.color = "black",
    column_labels.border.bottom.width = px(2),
    heading.border.bottom.color       = "black",
    heading.border.bottom.width       = px(2),
    table_body.hlines.color           = "grey",
    table_body.border.bottom.color    = "black"
  )

Variable Independiente	Variable Dependiente	Año Cero (X0)	Test Pearson	Ecuación del modelo	Rango válido de X
Tabla N°1
Resumen del modelo de regresión exponencial
Año de Descubrimiento (antigüedad desde año cero)	Año de Inicio de Producción	1910	0.97	y = 1929.836 * exp(0.000457 * (x - 1910))	[1918, 2023]
Autor: Grupo 5

Entre el año de descubrimiento (X) y el año de inicio de producción (Y) existe una relación exponencial. Definiendo el año 1910 como año cero, la ecuación del modelo queda expresada como:

y = 1929.836 * exp(0.000457 * (x - 1910))

Siendo X el año calendario de descubrimiento del yacimiento (convertido internamente a antigüedad desde el año 1910) y Y el año estimado de inicio de producción. El modelo no presenta restricciones matemáticas ya que la función exponencial siempre produce valores positivos, aunque su uso queda limitado al rango de datos observado. Con una correlación de Pearson de 0.97, el modelo refleja que a medida que los años de descubrimiento avanzan, el inicio de producción también tiende a adelantarse, evidenciando la mejora sostenida en los tiempos de desarrollo de los yacimientos petroleros a nivel mundial.

Relación entre el Año de Descubrimiento y el Año de Inicio de Producción de Yacimientos de Petróleo y Gas

Grupo 5

2026-07-29