Problema 1

Un vendedor de seguros ofrece tres tipos de póliza. La distribución de la prima anual X (en miles de pesos) es:

  1. ¿Cuánto suman las probabilidades?
  2. ¿Cuál es la esperanza , en miles de pesos?
  3. ¿Cuál es la varianza ?
  4. ¿Cuál es la desviación estándar ? (Redondee a 4 decimales.)

Solución Problema 1

(a) La suma de las probabilidades es:

\[0{,}55 + 0{,}30 + 0{,}15 = 1{,}00\] Se cumple el axioma de la probabilidad.

(b) La esperanza es:

\[E(X) = \sum_x x \cdot p(x) = 120 \cdot 0,55 + 240 \cdot 0,30 + 480 \cdot 0,15\]

\[\therefore E(X) = 210\]

Interpretación: \(E(X)\) es la prima anual promedio que paga un cliente. Si se atiende un gran número de clientes, la prima promedio converge a este valor.

(c) Varianza:

\[var(X) = \sum_x (x - E(X))^2 \cdot p(x)\] \[\therefore var(X) = (120-210)^2\cdot 0,55 + (240-210)^2\cdot 0,30 + (480-210)^2\cdot 0,15\] \[\therefore var(X) = 15.660\]

(d) Desviación estándar: \[\sigma_X = \sqrt{\text{var}(X)}\]

\[\therefore \sigma_X = 125,14\]

Problema 2

La duración (en horas) de una batería de laptops de cierta marca sigue una distribución continua con función de densidad de probabilidad:

\[f(x) = \begin{cases} cx & \text{si } 0 \leq x \leq 10 \\ 0 & \text{en otro caso} \end{cases}\]

  1. ¿Cuál es el valor de la constante c?
  2. ¿Cuál es \(P(4 \le X \le 7)\)? (Redondee a 4 decimales.)
  3. ¿Cuál es \(E(X)\)? (Redondee a 4 decimales.)
  4. ¿Cuál es \(F(5) = P(X \le 5)\)? (Redondee a 4 decimales.)

Solución Problema 2

(a) Para que \(f(x)\) sea una FDP válida se requiere que: \[\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1\]

\[\therefore \int_0^{10} cx\,dx = c \cdot \frac{x^2}{2}\Bigg|_0^{10} = c \cdot \frac{100}{2} = 50c = 1\]

\[\therefore c = \frac{1}{50} = 0{,}02\]

(b) La FDA para \(0 \leq x \leq 10\) es:

\[F(x) = \int_0^x \frac{t}{50}\,dt = \frac{t^2}{100}\Bigg|_0^x = \frac{x^2}{100}\]

\[\therefore F(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ \dfrac{x^2}{100} & 0 \leq x \leq 10 \\ 1 & x > 10 \end{cases}\] Ahora aplicar la FDA:

\[P(4 \le X \le 7) = F(7) - F(4)\] \[\therefore P(4 \le X \le 7) = \frac{7^2}{100} - \frac{4^2}{100}\] \[\therefore P(4 \le X \le 7) = \frac{33}{100}\] \[\therefore P(4 \le X \le 7) = 0,33\]

(c)

La esperanza está dada por:

\[E(X) = \int_0^{10}xf(x)\ dx\]

\[\therefore E(X) = \int_0^{10} x \cdot \frac{x}{50}\,dx = \frac{1}{50}\int_0^{10} x^2\,dx = \frac{1}{50} \cdot \frac{x^3}{3}\Bigg|_0^{10} = \frac{1000}{150} = \frac{20}{3} \approx 6{,}67 \text{ horas}\]

Interpretación: En promedio, la batería dura aproximadamente 6 horas y 40 minutos.

(d)

Aplicar la FDA: \[F(5) = \frac{5^2}{100} = \frac{25}{100}\] \[\therefore F(5) = 0,25\]

Problema 3

Dos rutas de transporte A y B tienen los siguientes parámetros (tiempos en minutos): \(E(A) = 45\), \(E(B) = 30\), \(\text{var}(A) = 64\), \(\text{var}(B) = 25\), \(\text{cov}(A, B) = -20\). El tiempo total es \(T = A + B\). El costo del viaje es \(C = 500 + 200\cdot T\) (en pesos).

(a) ¿Cuál es \(E(T)\)?

(b) ¿Cuál es \(\text{var}(T)\)?

(c) ¿Cuál es \(E(C)\)?

(d) ¿Cuál es \(\sigma_C\)?

(e) ¿Cuál es la correlación \(\rho_{AB}\)? (Redondee a 4 decimales.)

Solución Problema 3

(a) Por la regla de la esperanza de la suma:

\[E(T) = E(A) + E(B) = 45 + 30 = 75 \text{ minutos}\]

(b) Por la regla de la varianza de la suma:

\[\text{var}(T) = \text{var}(A) + \text{var}(B) + 2\,\text{cov}(A, B) = 64 + 25 + 2(-20) = 49\]

(c) Usando la regla de la esperanza de una transformación lineal:

\[E(C) = E(500 + 200T) = 500 + 200\,E(T) = 500 + 200 \cdot 75 = 15\,500 \text{ pesos}\]

(d) Usando la regla de la varianza de una transformación lineal:

\[\text{var}(C) = \text{var}(500 + 200T) = 200^2 \cdot \text{var}(T) = 40\,000 \cdot 49 = 1\,960\,000\]

\[\therefore \sigma_C = \sqrt{1\,960\,000} = 1\,400 \text{ pesos}\]

(e)

\[\rho_{AB} = \frac{\text{cov}(A,B)}{\sigma_A \sigma_B} = \frac{-20}{\sqrt{64}\cdot\sqrt{25}} = \frac{-20}{8 \cdot 5} = \frac{-20}{40}\]

\[\therefore \rho_{AB} = -0{,}5\]

Interpretación: Existe una correlación negativa moderada entre los tiempos de las dos rutas. Cuando la ruta A tarda más, la ruta B tiende a tardar menos, y viceversa. Esto puede reflejar, por ejemplo, congestión de tráfico que se distribuye alternativamente entre ambas rutas.

Problema 4

Dos analistas califican una empresa con 1, 2 o 3. La FMP conjunta \(p(x,y)\) es:

\(Y=1\) \(Y=2\) \(Y=3\)
\(X=1\) 0,04 0,06 0,10
\(X=2\) 0,06 0,14 0,10
\(X=3\) 0,10 0,10 0,30

(a) ¿Cuál es \(P(X=3)\)? (Distribución marginal de \(X\) en \(x=3\).)

(b) ¿Cuál es \(E(X)\)? (Redondee a 4 decimales.)

(c) ¿Cuál es \(\text{var}(X)\)? (Redondee a 4 decimales.)

(d) ¿Cuál es \(E(XY)\)? (Redondee a 4 decimales.)

(e) ¿Cuál es \(\text{cov}(X, Y)\)? (Redondee a 4 decimales.)

(f) ¿Cuál es la correlación \(\rho_{XY}\)? (Redondee a 4 decimales.)

Solución Problema 4

(a) La distribución marginal de \(X\) se obtiene sumando cada fila de la tabla conjunta. Para \(x=3\):

\[P(X=3) = p_X(3) = 0{,}10 + 0{,}10 + 0{,}30\]

\[\therefore P(X=3) = 0{,}50\]

De la misma forma se obtienen las demás marginales, que se necesitan para las partes siguientes: \(p_X(1) = 0{,}20\), \(p_X(2) = 0{,}30\), \(p_X(3) = 0{,}50\) (y, por columnas, \(p_Y(1) = 0{,}20\), \(p_Y(2) = 0{,}30\), \(p_Y(3) = 0{,}50\)).

(b)

\[E(X) = \sum_x x \cdot p_X(x) = 1\cdot0{,}20 + 2\cdot0{,}30 + 3\cdot0{,}50\]

\[\therefore E(X) = 2{,}3\]

(c)

\[var(X) = \sum_x (x - E(X))^2 \cdot p_X(x) = (1-2{,}3)^2\cdot0{,}20 + (2-2{,}3)^2\cdot0{,}30 + (3-2{,}3)^2\cdot0{,}50\]

\[\therefore var(X) = 0{,}61\]

(d)

\[E(XY) = \sum_x \sum_y xy \cdot p(x,y)\]

Sumando los nueve términos de la tabla conjunta:

\[\therefore E(XY) = 5{,}34\]

(e) Como la marginal de \(Y\) es idéntica a la de \(X\), \(E(Y) = 2{,}3\) también. Entonces:

\[cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 5{,}34 - (2{,}3)(2{,}3)\]

\[\therefore cov(X,Y) = 0{,}05\]

(f) Como \(\text{var}(Y) = \text{var}(X) = 0{,}61\) (misma marginal):

\[\rho_{XY} = \frac{cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y} = \frac{0{,}05}{\sqrt{0{,}61}\cdot\sqrt{0{,}61}} = \frac{0{,}05}{0{,}61}\]

\[\therefore \rho_{XY} = 0{,}082\]

Interpretación: La correlación es positiva pero débil, lo que indica que cuando un analista asigna una calificación alta el otro tiende levemente a hacer lo mismo, aunque la asociación entre ambas calificaciones es baja.

Problema 5

El 35% de los clientes de una farmacia se vacuna durante una campaña. En una hora entran 18 clientes de forma independiente. Sea \(X\) el número de clientes que se vacunan.

(a) ¿Cuál es \(P(X = 6)\)? (Redondee a 4 decimales.)

(b) ¿Cuál es \(P(X \geq 8)\)? (Redondee a 4 decimales.)

(c) ¿Cuál es \(P(4 \leq X \leq 9)\)? (Redondee a 4 decimales.)

(d) \(E(X)\)?

(e) ¿Cuál es \(\sigma_X\)? (Redondee a 4 decimales.)

Solución Problema 5

Como la decisión de vacunarse de cada cliente es independiente de los demás, y hay un total fijo de 18 clientes, este problema se puede modelar con una distribución binomial. Sea \(X\) el número de clientes que se vacunan. Cada cliente se vacuna con probabilidad \(p = 0{,}35\) de forma independiente, y hay \(n = 18\) clientes:

\[X \sim B(n = 18,\; p = 0{,}35)\]

La FMP es \(P(X=x) = \binom{18}{x}(0{,}35)^x(0{,}65)^{18-x}\).

(a)

\[P(X=6) = \binom{18}{6}(0{,}35)^6(0{,}65)^{12}\]

\[\therefore P(X=6) = 0{,}1941\]

(b)

\[P(X \geq 8) = 1 - P(X \leq 7)\] \(P(X \leq 7)\) se calcula con la FDA implementada en R o Excel:

  • R: pbinom(7, 18, 0.35)
  • Excel: =DISTR.BINOM.N(7;18;0.35;VERDADERO)

\[\therefore P(X \geq 8) = 1 - 0,7283\]

\[\therefore P(X \geq 8) = 0{,}2717\]

(c)

\[P(4 \leq X \leq 9) = P(X \le 9) - P(X \le 3)\] \[P(4 \leq X \leq 9) = F(9) - F(3)\] \[\therefore P(4 \leq X \leq 9) = 0{,}8620\]

(d)

\[E(X) = np = 18 \cdot 0{,}35 = 6{,}3 \text{ clientes}\]

(e)

\[\sigma_X = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{18 \cdot 0{,}35 \cdot 0{,}65}\]

\[\therefore \sigma_X = 2{,}0236\]

Problema 6

Un equipo de ventas necesita 4 contratos. Cada llamada resulta en contrato con probabilidad \(p = 0{,}10\), de forma independiente. Sea \(X\) el número de llamadas sin contrato antes de lograr los 4 contratos.

(a) ¿Cuál es \(P(X = 16)\)? Es decir, ¿cuál es la probabilidad de lograr exactamente 4 contratos en 20 llamadas? (Redondee a 4 decimales.)

(b) ¿Cuál es \(P(X \leq 26)\)? Es decir, ¿cuál es la probabilidad de lograr los 4 contratos en a lo más 30 llamadas? (Redondee a 4 decimales.)

(c) ¿Cuántas llamadas en total se esperan para lograr los 4 contratos?

Solución Problema 6

Como el número total de intentos (llamadas) es indeterminado (pues el equipo seguirá intentando hasta conseguir los 4 contratos), y la variable aleatoria de interés es la cantidad de fracasos para lograr 4 éxitos, este problema se puede modelar con una distribución binomial negativa (o Pascal).

Sea \(X\) el número de fracasos (llamadas sin contrato) antes de lograr \(r = 4\) éxitos. Entonces:

\[X \sim NB(r = 4,\; p = 0{,}10)\]

La FMP es \(P(X=x) = \binom{x+3}{x}(0{,}10)^4(0{,}90)^x\).

(a) Lograr exactamente 4 contratos en 20 llamadas implica \(x = 20 - 4 = 16\) fracasos:

\[P(X = 16) = \binom{19}{16}(0{,}10)^4(0{,}90)^{16}\]

\[\therefore P(X = 16) = 0{,}0180\]

(b) A lo más 30 llamadas implica a lo más \(30 - 4 = 26\) fracasos:

\[P(X \leq 26)\] La FDA en R y Excel son:

  • R: pnbinom(26, 4, 0.1)
  • Excel: =NEGBINOM.DIST(26;4;0.1;VERDADERO)

\[\therefore P(X \leq 26) = 0{,}3526\]

(c) La esperanza de la distribución binomial negativa es:

\[E(X) = \frac{r}{p} = \frac{4}{0{,}1}\]

\[\therefore E(X) = 40\] Entonces, se esperan 40 llamadas para lograr los 4 contratos.

Problema 7

Un analista financiero revisa acciones de forma independiente. Cada acción cumple sus criterios con probabilidad \(p = 1/12\). Sea \(X\) el número de acciones analizadas hasta encontrar la primera que cumple los criterios.

(a) ¿Cuál es \(P(X = 5)\)? (Redondee a 4 decimales.)

(b) ¿Cuál es \(P(X \leq 15)\)? (Redondee a 4 decimales.)

(c) \(E(X)\)?

(d) ¿Cuál es \(\sigma_X\)? (Redondee a 4 decimales.)

Solución Problema 7

Cada revisión del analista es un intento, y la primera acción que cumple sus criterios es un éxito. Entonces la variable de interés es la cantidad de intentos hasta lograr el primer éxito, y esta sigue una distribución geométrica:

\[X \sim \text{Geom}(p = 1/12)\] con \(X \in \{1, 2, 3, \ldots\}\)

La FMP y FDA son:

\[p(x) = (1-p)^{x-1}p\] \[F(x) = 1 - (1-p)^x\]

(a)

\[P(X = 5) = (11/12)^4 \cdot (1/12)\]

\[\therefore P(X = 5) = 0{,}0588\]

(b)

\[P(X \leq 15) = 1 - (11/12)^{15}\]

\[\therefore P(X \leq 15) = 0{,}7289\]

(c)

\[E(X) = 1/p = 12 \text{ acciones}\]

(d)

\[\text{var}(X) = (1-p)/p^2 = (11/12)/(1/144) = 132\]

\[\therefore \sigma_X = \sqrt{132} \approx 11{,}4891\]

Problema 8

Un inspector toma 10 productos al azar de un lote de 40, del cual 8 no cumplen la normativa. Sea \(X\) el número de productos no conformes en la muestra.

(a) ¿Cuál es \(P(X = 3)\)? (Redondee a 4 decimales.)

(b) ¿Cuál es \(P(X \geq 2)\)? (Redondee a 4 decimales.)

(c) ¿Cuál es \(E(X)\)?

Solución Problema 8

La población es pequeña (\(N = 40\)) y se extrae sin devolución. Al extraer cada unidad, la proporción de no conformes en la población restante cambia, por lo que las extracciones no son independientes entre sí. Por lo tanto, la distribucion que modela el problema es la distribución hipergeométrica.

Los parámetros de la muestra son:

  • \(N = 40\) (tamaño del lote)
  • \(S = 8\) (productos no conformes en el lote)
  • \(n = 10\) (tamaño de la muestra)

\[X \sim \text{Hypergeometric}(N = 40,\; S = 8,\; n = 10)\]

La FMP es:

\[P(X = x) = \frac{\binom{8}{x}\binom{32}{10-x}}{\binom{40}{10}}\]

(a)

\[P(X = 3) = \frac{\binom{8}{3}\binom{32}{7}}{\binom{40}{10}}\]

\[\therefore P(X = 3) = 0{,}2224\]

(b)

\[P(X \geq 2) = 1 - P(X \leq 1)\]

\[\therefore P(X \geq 2) = 0{,}6592\]

(c)

\[E(X) = \dfrac{nS}{N} = \dfrac{10 \cdot 8}{40} = 2\]

Problema 9

Los reclamos en una plataforma de e-commerce llegan a razón de 3 por hora. Sea \(X\) el número de reclamaciones en una hora e \(Y\) el número de reclamaciones en 20 minutos.

(a) ¿Cuál es \(P(X = 0)\)? (Redondee a 4 decimales.)

(b) ¿Cuál es \(P(X > 5)\)? (Redondee a 4 decimales.)

(c) ¿Cuál es \(P(X \geq 7)\)? (Redondee a 4 decimales.)

(d) ¿Cuál es el parámetro \(\lambda\) de \(Y\)?

(e) ¿Cuál es \(P(Y \geq 1)\)? (Redondee a 4 decimales.)

Solución Problema 9

Este es un fenómeno de eventos discretos independientes que suceden en un medio continuo (el tiempo), y se conoce la frecuencia dentro de dicho medio. Por consiguiente, se modela con la distribución Poisson.

Supuestos: (i) Las reclamaciones llegan de forma independiente entre sí. (ii) La tasa promedio \(\lambda\) es constante en el tiempo.

Sea \(X\) el número de reclamaciones en una hora:

\[X \sim \text{Pois}(\lambda = 3)\]

La FMP es \(P(X = x) = \dfrac{e^{-3} \cdot 3^x}{x!}\).

(a)

\[P(X = 0) = e^{-3}\]

\[\therefore P(X = 0) = 0{,}0498\]

(b)

\[P(X > 5) = 1 - P(X \leq 5)\]

\[\therefore P(X > 5) = 0{,}0839\]

(c)

\[P(X \geq 7) = 1 - P(X \leq 6)\]

\[\therefore P(X \geq 7) = 0{,}0335\]

(d) En 20 minutos:

\[\lambda_{Y} = 3 \cdot (20/60)\]

\[\therefore \lambda_Y = 1\]

(e) Sea \(Y \sim \text{Pois}(1)\):

\[P(Y \geq 1) = 1 - P(Y = 0) = 1 - e^{-1}\]

\[\therefore P(Y \geq 1) = 0{,}6321\]

Problema 10

Dos camiones operan de forma independiente. Las averías semanales de cada camión siguen una distribución \(\text{Pois}(\lambda = 0{,}8)\). Sea \(T = X_1 + X_2\) el total de averías semanales. El costo semanal es \(C = 150\,000 + 80\,000\cdot T\) (en pesos).

(a) ¿Cuál es \(E(T)\)?

(b) ¿Cuál es \(\text{var}(T)\)?

(c) ¿Cuál es el parámetro \(\lambda_T\) de la distribución de \(T\), por aditividad de la Poisson?

(d) ¿Cuál es \(P(T = 2)\)? (Redondee a 4 decimales.)

(e) ¿Cuál es \(P(T \geq 3)\)? (Redondee a 4 decimales.)

(f) ¿Cuál es \(E(C)\)?

(g) ¿Cuál es \(\sigma_C\)? (Redondee a entero.)

Solución Problema 10

Como \(X_1\) y \(X_2\) son independientes, \(\text{cov}(X_1, X_2) = 0\). Por la regla \(E(X) = \lambda\) y \(\text{var}(X) = \lambda\) de la Poisson:

(a)

\[E(T) = E(X_1) + E(X_2) = 0{,}8 + 0{,}8\]

\[\therefore E(T) = 1{,}6\]

(b)

\[\text{var}(T) = \text{var}(X_1) + \text{var}(X_2) + 2\,\text{cov}(X_1, X_2) = 0{,}8 + 0{,}8 + 0\]

\[\therefore \text{var}(T) = 1{,}6\]

(c) Por aditividad de la Poisson, \(T \sim \text{Pois}(\lambda_1 + \lambda_2)\):

\[\therefore \lambda_T = 0{,}8 + 0{,}8 = 1{,}6 \text{ (consistente con (a) y (b))}\]

(d)

\[P(T = 2) = \dfrac{e^{-1{,}6}(1{,}6)^2}{2!}\]

\[\therefore P(T = 2) = 0{,}2584\]

(e)

\[P(T \geq 3) = 1 - P(T \leq 2)\]

\[\therefore P(T \geq 3) = 0{,}2166\]

(f)

\[E(C) = 150\,000 + 80\,000 \cdot E(T) = 150\,000 + 80\,000 \cdot 1{,}6\]

\[\therefore E(C) = 278\,000 \text{ pesos}\]

(g)

\[\text{var}(C) = (80\,000)^2 \cdot \text{var}(T) = 6\,400\,000\,000 \cdot 1{,}6 = 10\,240\,000\,000\]

\[\sigma_C = \sqrt{10\,240\,000\,000} = 80\,000\sqrt{1{,}6}\]

\[\therefore \sigma_C \approx 101\,193 \text{ pesos}\]