Ejercicio 1: Control óptimo en horizonte infinito

Se resuelve el siguiente problema de control óptimo:

\[\max_{u(t)} \int_0^\infty \log(u)\,e^{-0.2t}\,dt\]

sujeto a:

\[\dot{x}(t) = 0.1x(t) - u(t), \qquad x(0)=10, \qquad \lim_{t\to\infty}x(t)\ge 0\]

Planteamiento del Hamiltoniano

Se construye el Hamiltoniano de valor presente:

\[H(t,x,u,\lambda) = \log(u) + \lambda(0.1x - u)\]

Derivando la ecuación del costado y la condición de optimalidad sobre \(u\), y resolviendo el sistema con las condiciones de transversalidad, se obtiene la solución:

\[x(t)=10e^{-0.1t}, \qquad u(t)=2e^{-0.1t}, \qquad \lambda(t)=\tfrac{1}{2}e^{0.1t}\]

Verificación gráfica

t <- seq(0, 30, by = 0.1)
x_t <- 10 * exp(-0.1 * t)
u_t <- 2 * exp(-0.1 * t)
lambda_t <- 0.5 * exp(0.1 * t)

par(mfrow = c(1, 3))
plot(t, x_t, type = "l", col = "blue", lwd = 2, main = "Estado óptimo x(t)", xlab = "Tiempo (t)", ylab = "x(t)")
plot(t, u_t, type = "l", col = "darkgreen", lwd = 2, main = "Control óptimo u(t)", xlab = "Tiempo (t)", ylab = "u(t)")
plot(t, lambda_t, type = "l", col = "red", lwd = 2, main = "Costado λ(t)", xlab = "Tiempo (t)", ylab = "λ(t)")

Interpretación

Tanto \(x(t)\) como \(u(t)\) decrecen exponencialmente en el tiempo, manteniendo siempre la relación \(u(t)=0.2\,x(t)\), mientras que \(\lambda(t)\) crece exponencialmente. Esto ocurre porque la tasa de descuento (20%) supera a la tasa de crecimiento natural del stock (10%).