Ejercicio 1

Un país de economía cerrada tiene un gobierno que practica la responsabilidad fiscal, y por ende mantiene un superávit fiscal:

\[T-G = $1\] Los hogares ahorran según la tasa de interés real de acuerdo a la siguiente ecuación: \[S_H = -2 + 50r...(1.1)\] Las empresas demandan fondos de inversión según la siguiente ecuación:

\[I = 12 - 60r...(1.2)\]

  1. Dibuje el gráfico del mercado de fondos para la inversión. Procure seguir la convención de colocar la tasa de interés real, r, en el eje vertical y fondos de inversión (I o S) en el eje horizontal.
  2. Encuentre la tasa de interés real de mercado y la cantidad de ahorro e inversión.
  3. Ahora el gobierno disminuye los impuestos en $6 y recorta su gasto en $2, esto es, incurre en un déficit fiscal. Dibuje en su gráfico la nueva curva del ahorro.
  4. Encuentre el nuevo equilibrio de tasa de interés e inversión. ¿La inversión ha aumentado o disminuido?

Solución

Parte (1)

El gráfico del mercado de fondos para la inversión se hace con el ahorro total de la economía:

\[S = S_H + S_G\] Sustituir \(S_H\) y \(S_G\) del enunciado:

\[S = -2 + 50r + 1\] \[\therefore S = -1 + 50r...(1.3)\] Para dibujar el diagrama del mercado clásico, con r como variable dependiente, reordenar las ecuaciones de ahorro e inversión, (1.3) y (1.2):

\[r = \frac{1}{50} + \frac{1}{50}S...(1.3')\] \[r = \frac{1}{5} - \frac{1}{60}I...(1.2')\] Las ecuaciones (1.3’) y (1.2’) tienen sus interceptos y pendientes a la vista, y por ende se pueden graficar.

Parte (2)

La tasa de interés de mercado está dada por el equilibrio en el mercado de fondos de inversión, y por ende donde \(S=I\). Igualar ecuaciones (1.3) y (1.2):

\[-1 + 50r = 12 - 60r\] \[\therefore 110r = 13\] \[\therefore r = 13/110\] \[\therefore r = 11,82\%\] Para encontrar I, sustituir r en la ecuación (1.2):

\[I = 12 - 60 \times 0,1182\] \[\therefore I = 4,91\] \[\therefore S = I = 4,91\] Parte (3)

El cambio en el ahorro del gobierno es la diferencia de los cambios en el impuesto y el gasto:

\[\Delta S_G = \Delta T - \Delta G\] \[\therefore \Delta S_G = -6 - (-)2\] \[\therefore \Delta S_G = -4\] Entonces, bajo el nuevo presupuesto fiscal, el ahorro público disminuye de $1 a -$3:

Sustituir en \(S = S_H + S_G\):

\[S = -2 + 50r - 3\] \[\therefore S = -5 + 50r...(1.4)\] Reordenar para graficar: \[r = \frac{1}{10} + \frac{1}{50}S...(1.4')\]

Se observa en el gráfico que, producto del cambio en la política fiscal (de superávit a déficit), la curva del ahorro se desplaza a la izquierda de \(S_1\) a \(S_2\). En el nuevo equilibrio, la tasa de interés real aumenta de \(r_1\) a \(r_2\) y la inversión disminuye de \(I_1\) a \(I_2\).

Parte (4)

Para encontrar el nuevo equilibrio, igualar ecuación (1.4) y (1.2):

\[-5 + 50r_2 = 12 − 60r_2\] \[\therefore r_2 = \frac{17}{110}\] \[\therefore r_2 = 15,45\%\] Sustituir \(r_2\) en ecuación (1.2):

\[I_2 = 12 - 60 \times 0,1545\] \[\therefore I_2 = 2,73\] Claramente, la inversión ha disminuido bajo la nueva política de déficit fiscal.

Ejercicio 2

En un país de economía cerrada, en un año el PIB nominal es:

\[$Y = $200\]

Un estudio de mercado determina que, cuando la tasa de interés real es 5%, los hogares ahorran el 2% de sus ingresos. Cuando la tasa de interés real es 10%, los hogares ahorran el 20% de sus ingresos. Por otro lado, cuando la tasa de interés real es 5%, la inversión total de la economía es 20% del PIB, y cuando la tasa de interés real es 10%, la inversión baja a 4% del PIB.

Por último, el gobierno mantiene un superávit fiscal de 2% del PIB.

  1. Encuentre las ecuaciones del ahorro y la inversión en el mercado de fondos de inversión. Asuma que las ecuaciones son de línea recta.
  2. Dibuje el gráfico de oferta y demanda de fondos de inversión.
  3. Encuentre la tasa de interés de equilibrio, y el ahorro y la inversión.

Solución

Parte (1)

Como conocemos dos puntos por donde pasa la recta del ahorro de los hogares, podemos determinarla. Usamos la ecuación general de una recta para el ahorro privado:

\[r = mS_H + c\] donde m = pendiente y c = intercepto

El ingreso total de los hogares es el PIB ($Y). Por lo tanto, el 2% y 8% de sus ingresos se calcula sobre el PIB.

Sustituir los dos puntos conocidos para encontrar m y c:

\[5\% = 2\% \times200m + c...(2.1)\] \[10\% = 20\% \times200m + c...(2.2)\] Esto es igual a:

\[0.05 = 4m + c...(2.1)\] \[0.1 = 40m + c...(2.2)\] Restar (2.2) - (2.1):

\[0.05 = 36m\] \[\therefore m = 0,001389\] Sustituir m en (2.2):

\[0.1 = 40 \times 0,001389 + c\] \[\therefore c = 0,04444\] Entonces la ecuación del ahorro privado es:

\[r = 0,04444 + 0,001389 \ S_H...(2.3)\] Reordenar para usar en la ecuación del ahorro total:

\[S_H = \frac{1}{0,001389}r - \frac{0,04444}{0,001389}\] \[\therefore S_H = 719,94 \ r - 31,99...(2.3')\] Por otro lado, el ahorro público es, por el enunciado:

\[S_G = 2\% \times \$Y = 2\% \times 200 = \$4\] Ahora sutituimos ambos ahorros en la ecuación del ahorro total:

\[S = S_H + S_G\]

\[\therefore S = 719,94 \ r - 31,99 + 4\] \[\therefore S = 719,94 \ r - 27,99...(2.4')\] Reordenar nuevamente, para poder graficar con r en el eje vertical:

\[r = \frac{1}{719,94} \ S + \frac{27,99}{719,94}\] \[\therefore r = 0,001389 \ S + 0,03888...(2.4)\]

Asimismo, la recta de la inversión pasa por dos puntos conocidos: (20%Y, 5%) y (4%Y, 10%), donde Y es el PIB = 200:

\[5\% = 20\% \times200m + c...(2.5)\] \[10\% = 4\% \times200m + c...(2.6)\] Esto es igual a:

\[0.05 = 40m + c...(2.5)\] \[0.1 = 8m + c...(2.6)\] Restar (2.5) - (2.6):

\[-0.05 = 32m\] \[\therefore m = -0,001563\] Sustituir m en (2.6):

\[0.1 = 8 \times (-0,001563) + c\] \[\therefore c = 0.1125\] Entonces la ecuación de la inversión es:

\[r = - 0,001563 \ I + 0,1125 ...(2.7)\] Entonces, las ecuaciones del ahorro y la inversión en el mercado de fondos de inversión son:

\[r = 0,001389 \ S + 0,03888...(2.4)\] \[r = - 0,001563 \ I + 0,1125 ...(2.7)\]

Parte (2)

Las ecuaciones del ahorro (2.4) e inversión (2.7) se grafican:

Parte (3)

Igualar ecuaciones (2.4) y (2.7) y S=I:

\[0,001389 \ S + 0,03888 = 0,1125 - 0,001563 \ S\] \[\therefore (0,001389 + 0,001563)S = (0,1125 - 0,03888)\] \[\therefore S = \frac{0,1125 - 0,03888}{0,001389 + 0,001563}\]

\[\therefore S = I = 24,94\] Sustituir I en ecuación (2.7):

\[r = 0,1125 - 0,001563 \times 24,94\] \[\therefore r = 0,0735 = 7,35\%\]

Ejercicio 3

Una economía Z tiene un PIB real de $500 y un PIB nominal de $600 en un año dado. En esa economía se realizan 20 transacciones al año.

  1. Encuentre el deflactor del PIB.
  2. Encuentre el nivel de precios, expresado como el IPC.
  3. Encuentre la cantidad de dinero circulando en esta economía.
  4. Al año siguiente, el banco central inyecta $6 a la economía. Asumiendo que el PIB real y la velocidad de circulación se mantienen constantes, ¿de cuánto será la inflación al año siguiente?

Solución

Parte (1)

El deflactor del PIB se calcula como la razón entre el PIB nominal y el PIB real:

\[D = \frac{Y_{nominal}}{Y_{real}}\] Sustituir los valores del enunciado:

\[D = \frac{600}{500}\] \[\therefore D = 1,2\]

Parte (2)

El nivel de precios expresado como IPC, es simplemente el deflactor multiplicado por 100:

\[IPC = D \times 100\] \[\therefore IPC = 120\]

Parte (3)

Usamos la teoría cuantitativa del dinero:

\[M \times V = P \times Y\] En nuestros apuntes, y en este ejercicio, usamos la letra “D” para el deflactor del PIB. Entonces, por claridad, reescribimos la ecuación de la teoría cuantitativa del dinero:

\[M \times V = D \times Y\] donde M es la cantidad de dinero, V es la velocidad de circulación (el número de transacciones al año), D es el deflactor del PIB, e Y es el PIB real. Notar que \(D \times Y\) es el PIB nominal.

Despejar M:

\[M = \frac{Y_{nominal}}{V}\] \[M = \frac{600}{20}\] \[\therefore M = 30\]

Parte (4)

El banco central inyecta $6 a la economía, por lo que la nueva cantidad de dinero es:

\[M' = 30 + 6 = 36\] Como el PIB real (Y) y la velocidad (V) se mantienen constantes, el nuevo PIB nominal se obtiene de la ecuación cuantitativa:

\[M' \times V = D' \times Y\] \[36 \times 20 = D' \times 500\] \[\therefore D' \times 500 = 720\] \[\therefore D' = 1,44\]

La inflación es el cambio porcentual en el nivel de precios, y equivalentemente, en el cambio porcentual en el deflactor:

\[\pi = \frac{D' - D}{D}\] \[\pi = \frac{1,44 - 1,2}{1,2}\] \[\therefore \pi = 0,20 = 20\%\]

Ejercicio 4

Un país Z tiene una inflación de 30% anual. En ese país un agricultor tiene $2.000.000 para invertir, y tiene dos opciones:

  1. Puede depositar el dinero en un banco que le paga un 38% de interés anual.

  2. Puede comprar 300 sacos de trigo, que al sembrar y cosechar, al cabo de un año se convertirán en 345 sacos.

  3. Encuentre la tasa de interés real exacta que ofrece el banco.

  4. ¿Cuál opción de ahorro/inversión le conviene más al agricultor? ¿Por qué?

Solución

Parte (1)

La relación exacta entre la tasa de interés nominal, i, la tasa de interés real, r, y la inflación, \(\pi\), está dada por la aproximación de Fisher:

\[i \approx r + \pi\] Despejar r:

\[r \approx i - \pi\] Sustituir los valores del enunciado (\(i = 38\%\), \(\pi = 30\%\)):

\[r \approx 38\% - 30\%\] \[\therefore r \approx 8\%\]

Parte (2)

La opción del trigo es un activo real: el agricultor no recibe un retorno en dinero, sino que su cantidad de trigo aumenta directamente, independientemente de la inflación. Por lo tanto, el retorno real de esta opción es simplemente el crecimiento porcentual en la cantidad de sacos:

\[r_{trigo} = \frac{345 - 300}{300}\] \[\therefore r_{trigo} = 0,15 = 15\%\]

Comparando ambas opciones en términos reales, el banco ofrece un retorno real de 8%, mientras que el trigo ofrece un retorno real de 15%. Por lo tanto, al agricultor le conviene más comprar los sacos de trigo, ya que le entrega un retorno real considerablemente mayor que el depósito bancario.