Latitud — Ajuste de Modelo

1. Cargar Librerías

library(readr); library(dplyr); library(gt); library(MASS)
cat("Librerías cargadas correctamente.\n")

## Librerías cargadas correctamente.

2. Cargar Datos

ruta_csv <- file.choose()
datos    <- read_csv(ruta_csv, show_col_types = FALSE)
cat("Archivo:", basename(ruta_csv), "| Filas:", nrow(datos), "\n")

## Archivo: oil_and_gas_leases_data (2).csv | Filas: 47757

3. Conteo

x_raw <- datos %>%
  mutate(LAT = suppressWarnings(as.numeric(LATITUDE))) %>%
  filter(!is.na(LAT), LAT >= 36.9, LAT <= 40.1) %>%
  pull(LAT)

n_conteo  <- length(x_raw)
k_sturges <- ceiling(1 + 3.322 * log10(n_conteo))

cat("Observaciones válidas:", n_conteo, "\n")

## Observaciones válidas: 47757

cat("Clases (Regla de Sturges):", k_sturges, "\n")

## Clases (Regla de Sturges): 17

cat("Mínimo:", round(min(x_raw), 4), "| Máximo:", round(max(x_raw), 4), "\n")

## Mínimo: 36.9944 | Máximo: 40.0002

4. Tabla de Distribución de Frecuencias

intervalos_cut <- cut(x, breaks=breaks_vec, right=FALSE, include.lowest=TRUE)
freq_abs       <- as.integer(table(intervalos_cut))
hi_dec         <- freq_abs / n
Ni_asc         <- cumsum(freq_abs); Hi_asc  <- cumsum(hi_dec)
Ni_desc        <- n - c(0, head(Ni_asc,-1)); Hi_desc <- 1 - c(0, head(Hi_asc,-1))
etiq           <- paste0("[",round(lim_inf,4)," - ",round(lim_sup,4),")")
etiq[k]        <- paste0("[",round(lim_inf[k],4)," - ",round(lim_sup[k],4),"]")

bind_rows(
  data.frame(Intervalo=etiq, MC=round(mc,4), ni=freq_abs,
             hi_pct=round(hi_dec*100,2), hi_real=round(hi_dec,4),
             Ni_a=Ni_asc, Hi_a=round(Hi_asc,4),
             Ni_d=Ni_desc, Hi_d=round(Hi_desc,4), stringsAsFactors=FALSE),
  data.frame(Intervalo="TOTAL", MC=NA_real_, ni=sum(freq_abs),
             hi_pct=round(sum(hi_dec)*100,2), hi_real=round(sum(hi_dec),4),
             Ni_a=max(Ni_asc), Hi_a=round(max(Hi_asc),4),
             Ni_d=max(Ni_desc), Hi_d=round(max(Hi_desc),4), stringsAsFactors=FALSE)
) %>%
  gt() %>%
  tab_header(title=md("**Tabla N\u00b01: Distribución de Frecuencias**"),
             subtitle=md(paste0("*Latitud, Kansas (n=",format(n,big.mark=","),")*"))) %>%
  cols_label(Intervalo=md("**Intervalo**"), MC=md("**MC**"), ni=md("**ni**"),
             hi_pct=md("**hi%**"), hi_real=md("**hi**"),
             Ni_a=md("**Ni (asc)**"), Hi_a=md("**Hi (asc)**"),
             Ni_d=md("**Ni (desc)**"), Hi_d=md("**Hi (desc)**")) %>%
  tab_style(style=list(cell_fill(color="#2C2C2C"),cell_text(color="white",weight="bold")),
            locations=cells_column_labels()) %>%
  tab_style(style=cell_fill(color="#F5F5F5"), locations=cells_body(rows=seq(1,k+1,by=2))) %>%
  tab_style(style=list(cell_fill(color="#D6D6D6"),cell_text(weight="bold")),
            locations=cells_body(rows=Intervalo=="TOTAL")) %>%
  fmt_missing(columns=everything(), missing_text="-") %>%
  tab_source_note(source_note=md("*Autor: Fernando Almeida*")) %>%
  tab_options(table.width=pct(100), table.font.size=px(13), data_row.padding=px(6))

Tabla N°1: Distribución de Frecuencias
Latitud, Kansas (n=47,757)
Intervalo	MC	ni	hi%	hi	Ni (asc)	Hi (asc)	Ni (desc)	Hi (desc)
[36.9944 - 37.295)	37.1447	10084	21.12	0.2112	10084	0.2112	47757	1.0000
[37.295 - 37.5956)	37.4453	8692	18.20	0.1820	18776	0.3932	37673	0.7888
[37.5956 - 37.8962)	37.7459	5340	11.18	0.1118	24116	0.5050	28981	0.6068
[37.8962 - 38.1968)	38.0465	5134	10.75	0.1075	29250	0.6125	23641	0.4950
[38.1968 - 38.4973)	38.3470	4958	10.38	0.1038	34208	0.7163	18507	0.3875
[38.4973 - 38.7979)	38.6476	5300	11.10	0.1110	39508	0.8273	13549	0.2837
[38.7979 - 39.0985)	38.9482	3319	6.95	0.0695	42827	0.8968	8249	0.1727
[39.0985 - 39.3991)	39.2488	2566	5.37	0.0537	45393	0.9505	4930	0.1032
[39.3991 - 39.6997)	39.5494	1246	2.61	0.0261	46639	0.9766	2364	0.0495
[39.6997 - 40.0002]	39.8499	1118	2.34	0.0234	47757	1.0000	1118	0.0234
TOTAL	-	47757	100.00	1.0000	47757	1.0000	47757	1.0000
Autor: Fernando Almeida

5. Gráfico Histograma General

grises        <- gray(seq(0.25, 0.80, length.out=k))
h_obj         <- hist(x, breaks=breaks_vec, plot=FALSE)
h_obj$density <- hi_dec

par(mar=c(5,6,6,2))
plot(h_obj, col=grises, border="black", freq=FALSE,
     main="", xlab="", ylab="", las=1, xaxt="n")
axis(1, at=breaks_vec, labels=round(breaks_vec,3), las=1, cex.axis=0.8)
mtext("Densidad de Probabilidad", side=2, line=4.5, cex=1)
mtext("Latitud (grados)",         side=1, line=3.5, cex=1)
mtext("Histograma General - Latitud, Kansas, EE.UU.",
      side=3, line=3, cex=0.95, font=2)

6. Conjetura y Ajuste del Modelo

El histograma de LATITUDE muestra una forma decreciente y continua (mayor concentración de pozos en el extremo sur del estado, decayendo de forma progresiva hacia el norte), consistente con una variable de tipo continuo con comportamiento de decaimiento. A diferencia de LONGITUDE, esta forma no exige dividir el rango en zonas: se conjetura un modelo Exponencial (desplazado al mínimo observado) para todo el rango de datos.

set.seed(42)

lbl <- c(normal = "Normal", lognormal = "Log-Normal", exponential = "Exponencial")

# Numero de bins adaptado al tamano de la muestra (misma regla usada en el
# modelo de Longitud), para que el Pearson no quede ruidoso por pocos bins.
k_adaptativo <- function(n) {
  max(3, min(k, ceiling(1 + 3.322 * log10(n))))
}

# Calcula el Pearson (correlacion hi_obs vs hi_teo) de un modelo ya ajustado
# sobre todo el rango [lim_min, lim_max], usando bins adaptados al tamano
# de la muestra.
calc_pearson_zona <- function(datos, modelo, fit, offset, lim_min, lim_max) {
  k_zona <- k_adaptativo(length(datos))
  brks   <- seq(lim_min, lim_max, length.out = k_zona + 1)
  hi_obs <- hist(datos, breaks = brks, plot = FALSE)$counts / length(datos)
  mc_z   <- (head(brks,-1) + tail(brks,-1)) / 2

  if (modelo == "lognormal") {
    mc_pos <- mc_z - offset; mc_pos[mc_pos <= 0] <- 1e-9
    hi_teo <- dlnorm(mc_pos, meanlog = fit$estimate["meanlog"],
                     sdlog = fit$estimate["sdlog"]) * diff(brks)
  } else if (modelo == "exponential") {
    mc_pos <- mc_z - offset; mc_pos[mc_pos <= 0] <- 1e-9
    hi_teo <- dexp(mc_pos, rate = fit$estimate["rate"]) * diff(brks)
  } else {
    hi_teo <- dnorm(mc_z, mean = fit$estimate["mean"], sd = fit$estimate["sd"]) * diff(brks)
  }
  hi_teo <- hi_teo / sum(hi_teo)
  round(cor(hi_obs, hi_teo) * 100, 2)
}

# Evalua Normal, Log-Normal y Exponencial sobre TODO el rango de datos y
# elige el de mayor Pearson (mismo criterio de seleccion que en Longitud).
evaluar_modelo <- function(datos, n_samp = 350, lim_min, lim_max) {
  set.seed(42)
  n_s    <- min(n_samp, length(datos))
  samp   <- sample(datos, size = n_s, replace = FALSE)
  offset <- min(datos) - 0.001
  d_pos  <- datos - offset
  s_pos  <- samp  - offset

  resultados <- list()

  tryCatch({
    f  <- fitdistr(datos, "normal")
    ks <- ks.test(samp, "pnorm",
                  mean = f$estimate["mean"], sd = f$estimate["sd"])
    resultados[["normal"]] <- list(
      fit = f, pval = ks$p.value,
      pearson = calc_pearson_zona(datos, "normal", f, 0, lim_min, lim_max),
      offset = 0)
  }, error = function(e){})

  tryCatch({
    f  <- fitdistr(d_pos, "lognormal")
    ks <- ks.test(s_pos, "plnorm",
                  meanlog = f$estimate["meanlog"], sdlog = f$estimate["sdlog"])
    resultados[["lognormal"]] <- list(
      fit = f, pval = ks$p.value,
      pearson = calc_pearson_zona(datos, "lognormal", f, offset, lim_min, lim_max),
      offset = offset)
  }, error = function(e){})

  tryCatch({
    f  <- fitdistr(d_pos, "exponential")
    ks <- ks.test(s_pos, "pexp", rate = f$estimate["rate"])
    resultados[["exponential"]] <- list(
      fit = f, pval = ks$p.value,
      pearson = calc_pearson_zona(datos, "exponential", f, offset, lim_min, lim_max),
      offset = offset)
  }, error = function(e){})

  mejor <- NULL
  mejor_pearson <- -Inf
  for (nombre in names(resultados)) {
    valor_pearson <- resultados[[nombre]]$pearson
    if (!is.na(valor_pearson) && valor_pearson > mejor_pearson) {
      mejor_pearson <- valor_pearson
      mejor <- nombre
    }
  }
  c(resultados[[mejor]], list(modelo = mejor))
}

# Valida el modelo elegido (Pearson + KS) sobre el rango completo de datos.
validar <- function(datos, res, lim_min, lim_max) {
  set.seed(42)
  samp   <- sample(datos, size = min(50, length(datos)), replace = FALSE)
  offset <- res$offset

  pearson <- calc_pearson_zona(datos, res$modelo, res$fit, offset, lim_min, lim_max)

  if (res$modelo == "lognormal") {
    ks_res <- ks.test(samp - offset, "plnorm",
                      meanlog = res$fit$estimate["meanlog"],
                      sdlog   = res$fit$estimate["sdlog"])
  } else if (res$modelo == "exponential") {
    ks_res <- ks.test(samp - offset, "pexp", rate = res$fit$estimate["rate"])
  } else {
    ks_res <- ks.test(samp, "pnorm",
                      mean = res$fit$estimate["mean"],
                      sd   = res$fit$estimate["sd"])
  }

  pval_ks <- round(ks_res$p.value, 4)

  if (pearson > 70) {
    resultado_val <- "APROBADO"
  } else {
    resultado_val <- "RECHAZADO"
  }

  list(pearson = pearson, pval = pval_ks, val = resultado_val)
}

r_lat <- evaluar_modelo(x, lim_min = x_min, lim_max = x_max)
v_lat <- validar(x, r_lat, x_min, x_max)

cat("Modelo seleccionado:", lbl[r_lat$modelo], "\n")

## Modelo seleccionado: Exponencial

cat("Parámetros:\n"); print(round(r_lat$fit$estimate, 6))

## Parámetros:

##     rate 
## 0.979264

cat("Pearson R%:", v_lat$pearson, "| KS p-valor:", v_lat$pval, "|", v_lat$val, "\n")

## Pearson R%: 94.99 | KS p-valor: 0.0249 | APROBADO

6.1 Histograma con Curva Teórica Ajustada

offset_lat <- r_lat$offset
xs         <- seq(x_min, x_max, length.out = 500)

if (r_lat$modelo == "lognormal") {
  xs_pos <- xs - offset_lat; xs_pos[xs_pos <= 0] <- 1e-9
  ys <- dlnorm(xs_pos, meanlog = r_lat$fit$estimate["meanlog"],
               sdlog = r_lat$fit$estimate["sdlog"])
} else if (r_lat$modelo == "exponential") {
  xs_pos <- xs - offset_lat; xs_pos[xs_pos <= 0] <- 1e-9
  ys <- dexp(xs_pos, rate = r_lat$fit$estimate["rate"])
} else {
  ys <- dnorm(xs, mean = r_lat$fit$estimate["mean"], sd = r_lat$fit$estimate["sd"])
}

par(mar=c(5,6,6,2))
plot(h_obj, col=grises, border="black", freq=FALSE,
     main="", xlab="", ylab="", las=1, xaxt="n",
     ylim=range(c(hi_dec, ys), na.rm=TRUE))
axis(1, at=breaks_vec, labels=round(breaks_vec,3), las=1, cex.axis=0.8)
lines(xs, ys, col="black", lwd=2.5)
mtext("Densidad de Probabilidad", side=2, line=4.5, cex=1)
mtext("Latitud (grados)",         side=1, line=3.5, cex=1)
mtext(paste0("Ajuste ", lbl[r_lat$modelo], " - Latitud, Kansas, EE.UU."),
      side=3, line=3, cex=0.95, font=2)
legend("topright",
       legend = c("Histograma", paste0("Curva ", lbl[r_lat$modelo])),
       fill   = c("gray55", NA), border = c("black", NA),
       lty    = c(NA, 1), lwd = c(NA, 2.5), bty = "n", cex = 0.9)

7. Tabla de Validación

tabla_resumen <- data.frame(
  Zona       = "Latitud (rango completo)",
  Modelo     = as.character(lbl[r_lat$modelo]),
  Pearson    = v_lat$pearson,
  KS_p       = v_lat$pval,
  Validacion = v_lat$val,
  stringsAsFactors = FALSE
)

tabla_resumen %>%
  gt() %>%
  tab_header(
    title    = md("**Tabla N\u00b02: Resumen de Validación**"),
    subtitle = md("*Pearson (R%) y Kolmogorov-Smirnov (p-valor)*")
  ) %>%
  cols_label(Zona=md("**Zona**"), Modelo=md("**Modelo Aplicado**"),
             Pearson=md("**Pearson (R %)**"), KS_p=md("**K-S (p-valor)**"),
             Validacion=md("**Validación**")) %>%
  tab_style(style=list(cell_fill(color="#2C2C2C"),cell_text(color="white",weight="bold")),
            locations=cells_column_labels()) %>%
  tab_style(style=list(cell_fill(color="#2C2C2C"),cell_text(color="white",weight="bold")),
            locations=cells_title(groups="title")) %>%
  tab_style(style=cell_text(color="darkgreen",weight="bold"),
            locations=cells_body(columns=Validacion, rows=Validacion=="APROBADO")) %>%
  tab_style(style=cell_text(color="darkred",weight="bold"),
            locations=cells_body(columns=Validacion, rows=Validacion=="RECHAZADO")) %>%
  tab_style(style=cell_borders(sides="bottom",color="#E0E0E0",weight=px(1)),
            locations=cells_body(rows=everything())) %>%
  cols_align(align="center", columns=c(Pearson,KS_p,Validacion)) %>%
  cols_align(align="left",   columns=c(Zona,Modelo)) %>%
  fmt_number(columns=Pearson, decimals=2) %>%
  fmt_number(columns=KS_p,    decimals=4) %>%
  tab_source_note(source_note=md("*Autor: Fernando Almeida*")) %>%
  tab_options(table.width=pct(90), table.font.size=px(13),
              heading.title.font.size=px(16), heading.subtitle.font.size=px(12),
              data_row.padding=px(6),
              column_labels.border.top.width=px(2),
              column_labels.border.bottom.width=px(2),
              table_body.border.bottom.width=px(2),
              table.border.top.style="hidden", table.border.bottom.style="hidden")

Tabla N°2: Resumen de Validación
Pearson (R%) y Kolmogorov-Smirnov (p-valor)
Zona	Modelo Aplicado	Pearson (R %)	K-S (p-valor)	Validación
Latitud (rango completo)	Exponencial	94.99	0.0249	APROBADO
Autor: Fernando Almeida

8. Intervalo de Confianza

El Intervalo de Confianza representa el puente fundamental entre el modelo empírico observado (Exponencial) y la estimación poblacional. Aunque la distribución original de la Latitud presenta asimetría, el TLC garantiza que la distribución de las medias muestrales tenderá a la normalidad debido al volumen masivo de datos (\(n=\) 47,757).

Los postulados de confianza empírica sugieren:

\[P(\bar{x} - E < \mu < \bar{x} + E) \approx 68\%\]

\[P(\bar{x} - 2E < \mu < \bar{x} + 2E) \approx 95\%\]

\[P(\bar{x} - 3E < \mu < \bar{x} + 3E) \approx 99\%\]

Donde el Margen de Error (\(E\)) se define como:

\[E = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]

media_muestral <- mean(x)
desv_est       <- sd(x)
n_total        <- length(x)
z_95           <- 1.96
error_est      <- desv_est / sqrt(n_total)
margen         <- z_95 * error_est
lim_inf_ic     <- media_muestral - margen
lim_sup_ic     <- media_muestral + margen

data.frame(
  Parametro      = "Latitud Promedio Kansas (\u00b0)",
  Lim_Inferior   = round(lim_inf_ic, 3),
  Media_Muestral = round(media_muestral, 3),
  Lim_Superior   = round(lim_sup_ic, 3),
  Error_Estandar = paste0("+/- ", round(margen, 4)),
  Confianza      = "95% (Z=1.96)",
  stringsAsFactors = FALSE
) %>%
  gt() %>%
  tab_header(
    title    = md("**TABLA N\u00b0 3: ESTIMACIÓN DE LA MEDIA POBLACIONAL**"),
    subtitle = md("*Inferencia Estadística para la Variable Latitud*")
  ) %>%
  cols_label(
    Parametro      = md("**Parámetro**"),
    Lim_Inferior   = md("**Lim_Inferior**"),
    Media_Muestral = md("**Media_Muestral**"),
    Lim_Superior   = md("**Lim_Superior**"),
    Error_Estandar = md("**Error_Estándar**"),
    Confianza      = md("**Confianza**")
  ) %>%
  tab_style(style = list(cell_fill(color = "#2C2C2C"), cell_text(color = "white", weight = "bold")),
            locations = cells_column_labels()) %>%
  tab_style(style = list(cell_fill(color = "#2C2C2C"), cell_text(color = "white", weight = "bold")),
            locations = cells_title(groups = "title")) %>%
  tab_style(style = list(cell_fill(color = "#C8E6C9"), cell_text(weight = "bold")),
            locations = cells_body(columns = Media_Muestral)) %>%
  tab_style(style = cell_borders(sides = "bottom", color = "#E0E0E0", weight = px(1)),
            locations = cells_body(rows = everything())) %>%
  cols_align(align = "center", columns = c(Lim_Inferior, Media_Muestral, Lim_Superior, Error_Estandar, Confianza)) %>%
  cols_align(align = "left",   columns = Parametro) %>%
  tab_source_note(source_note = md("*Autor: Fernando Almeida*")) %>%
  tab_options(table.width = pct(100), table.font.size = px(13),
              heading.title.font.size = px(16), heading.subtitle.font.size = px(12),
              data_row.padding = px(6),
              column_labels.border.top.width = px(2),
              column_labels.border.bottom.width = px(2),
              table_body.border.bottom.width = px(2),
              table.border.top.style = "hidden", table.border.bottom.style = "hidden")

TABLA N° 3: ESTIMACIÓN DE LA MEDIA POBLACIONAL
Inferencia Estadística para la Variable Latitud
Parámetro	Lim_Inferior	Media_Muestral	Lim_Superior	Error_Estándar	Confianza
Latitud Promedio Kansas (°)	38.008	38.015	38.021	+/- 0.0068	95% (Z=1.96)
Autor: Fernando Almeida

9. Conclusiones

Se trabajó con la variable LATITUDE sobre su rango completo (36.994° a 40°), sin necesidad de dividir en zonas: a diferencia de LONGITUDE, el histograma de Latitud presenta una forma de decaimiento continuo bien capturada por un único modelo. Se evaluaron los modelos Normal, Log-Normal y Exponencial, y se seleccionó el de mayor correlación de Pearson: Exponencial (rate = 0.9793). La prueba de Pearson obtuvo 94.99% y el p-valor de Kolmogorov-Smirnov fue 0.0249, por lo que el modelo quedó APROBADO.

---

Autor: Fernando Almeida — Análisis Estadístico, Kansas Hydrocarbon Leases Dataset