Il problema del mutuatario: risultati del solver dinamico LCRM
Consumo ottimale, stato di salute e valore del contratto
Ivan Zoccolan
19 July 2026
1 Di cosa parla questo documento
Il paper “The Life Care Reverse Mortgages: The borrower perspective” non si limita a valorizzare il contratto LCRM dal lato del prestatore: la sua parte più originale è la prospettiva del mutuatario. Un anziano che sottoscrive un LCRM affronta un problema di scelta intertemporale — quanto consumare ogni anno, tenendo conto che la propria salute può peggiorare, che il tasso d’interesse e il valore dell’immobile sono incerti, e che alla fine lascerà un’eredità.
Questo documento presenta i risultati del solver C++
che risolve esattamente questo problema: la ricorsione di Bellman su
griglia (W, Ã, r) degli Steps 0-3 del paper (§4.3),
preceduta dal calcolo Monte Carlo dell’installment \(R^{RM}\)/\(R^{LTC}\) (eq. 9) su probabilità di
transizione unisex — obbligatorie per legge, dato che
il prestatore non può differenziare per genere — mentre l’ottimizzazione
del mutuatario usa probabilità di transizione specifiche per
genere (§5.1 del paper), a catturare le aspettative individuali
di longevità e morbidità.
Il mutuatario di riferimento ha 75 anni all’inception (2013), un immobile da 200.000 €, un prestito pari al 30% del valore dell’immobile, e un orizzonte massimo di 31 anni (fino a 106 anni).
2 I numeri chiave del contratto
L’installment è unico per entrambi i generi (eq. 9, probabilità unisex): un mutuatario sano riceve \(R^{RM}\) ogni anno; se transita allo stato di non autosufficienza riceve la maggiorazione LTC, \(R^{LTC} = (1+\beta)\cdot R^{RM}\), per il resto del contratto. La willingness to pay \(\theta\) (§5.4 del paper, eq. sotto la (23)) è invece specifica per genere, perché confronta l’utilità massima raggiungibile con il contratto — calcolata su probabilità di transizione specifiche per genere — con quella raggiungibile senza, a parità di preferenze:
\[\mathcal{U}_{1,0}(W_0) = \hat{\mathcal{U}}_{1,0}(W_0 + \theta)\]
In altre parole, un uomo di 75 anni dovrebbe ricevere quasi
151.621 € di ricchezza aggiuntiva — più di 75 volte
l’ipotetica ricchezza iniziale W0 — per rinunciare al
contratto senza perdere utilità attesa: un segnale forte di quanto
l’assicurazione implicita nell’LCRM (reddito garantito a vita,
protezione dal rischio di non autosufficienza, NNEG sul debito) valga
per un mutuatario avverso al rischio.
3 Come si calcola \(R^{RM}\)
\(R^{RM}\) non è un parametro esogeno: è la soluzione dell’equazione di equilibrio attuariale del paper (eq. 9, §2), che eguaglia il valore atteso scontato dell’installment al valore atteso scontato di ciò che il prestatore recupera alla morte del mutuatario (\(\tilde V_t\), eq. 8, al netto della garanzia NNEG):
\[R^{RM} \cdot a^{LCRM}_{x,0:\overline{T}|} \;=\; \sum_{t=1}^{T} \tilde V_t \cdot \left(\prod_{s=1}^{t}(1+r_s)^{-1}\right) \cdot {}_{t-1|1}q_x\]
\(R^{RM}\) è quindi semplicemente un rapporto tra due valori attesi:
\[R^{RM} \;=\; \frac{\mathbb{E}\left[\sum_t \tilde V_t \cdot \text{sconto}_t \cdot {}_{t-1|1}q_x\right]}{\mathbb{E}\left[a^{LCRM}_{x,0:\overline T|}\right]}\]
Il punto sottile — e il motivo per cui questo calcolo richiede una vera simulazione Monte Carlo, non basta sostituire il tasso medio \(\bar r_t\) nella formula chiusa — è che sia il numeratore che il denominatore sono funzionali non lineari del percorso stocastico del tasso: il debito \(\tilde A_t = \alpha H_0 \prod_{s=0}^{t-1}(1+r_s+\pi)\) è un prodotto composto lungo tutto il percorso, non una funzione della sola media di \(r_t\). Per la disuguaglianza di Jensen, calcolare la formula chiusa sul percorso medio sottostimerebbe sistematicamente il vero valore atteso dello sconto composto.
Il calcolo, passo per passo:
- Si simulano
r= 10.000 traiettorie annuali del tasso CIR. - Per ciascuna traiettoria si ricostruisce il percorso del debito \(\tilde A_t\) (eq. 7, deterministico una volta noto il percorso di \(r\)), e si valuta \(\tilde V_t = \tilde A_t - NNEG_t\) tramite la formula chiusa alla Black (eq. 10), usando il percorso deterministico atteso del prezzo dell’immobile \(\bar H_t\) (già mediato via Monte Carlo sull’ARMA-GARCH nella fase precedente — l’incertezza sul prezzo entra solo attraverso \(\sigma_H\) nella formula chiusa, non richiede una seconda simulazione congiunta).
- Si accumulano due somme separate lungo le traiettorie — il numeratore dell’eq. 9 e il fattore di rendita \(a^{LCRM}\) (eq. 5) — mai il rapporto per singola traiettoria.
- \(R^{RM}\) è il rapporto tra le due medie finali; \(R^{LTC} = (1+\beta)\cdot R^{RM}\).
Le probabilità di transizione usate in questo calcolo sono unisex (media tra le tavole maschili e femminili, §5.2 del paper) — a differenza di quelle usate nella parte restante di questo documento — perché il prestatore non può, per legge, offrire condizioni contrattuali differenziate per genere.
| Quantità | Valore |
|---|---|
| Numeratore (eq. 9, medio su 10.000 traiettorie) | 89.475 € |
| Fattore di rendita \(a^{LCRM}\) (eq. 5, medio su 10.000 traiettorie) | 12.967 |
| \(R^{RM}\) = numeratore / fattore di rendita | 6.900 € |
4 L’evoluzione dello stato di salute
Prima di leggere il pattern di consumo, è utile vedere lo scenario demografico su cui è costruito: le probabilità di transizione De Angelis e Di Falco (2016), scenario di mortalità/disabilità basso, per la coorte nata nel 1938 (75 anni nel 2013).
La banda verde (sano) si restringe progressivamente mentre la banda grigia (deceduto) avanza; la banda gialla (non autosufficiente) resta relativamente sottile — coerente con l’assunzione di non recupero dallo stato di non autosufficienza, che rende quella permanenza in vita più breve in media. Le donne mostrano una sopravvivenza più lunga, come atteso dalle tavole demografiche di base.
5 Il pattern di consumo lungo il ciclo di vita
Questo è il risultato economico centrale del modello borrower-perspective (§5.3-5.4 del paper): non la funzione di policy astratta, ma cosa succede realmente al consumo del mutuatario, simulando in avanti la politica ottima già risolta a ritroso.
Il consumo parte relativamente basso: all’inception
(t=0) il mutuatario dispone solo della ricchezza iniziale
W0, perché il primo installment arriva a fine primo anno
(eq. 14 del paper — nessun reddito da RM al tempo 0). Anticipando il
salto di reddito permanente in arrivo, un agente CRRA-avverso al rischio
smussa i consumi risparmiando relativamente di più subito, per poi
consumare in modo più stabile una volta che l’installment comincia a
fluire — esattamente il comportamento leggibile nel grafico.
6 La policy di consumo ottima in funzione della ricchezza
La funzione di policy C^*_{i,t}(w,a,r) è ciò che il
solver calcola esplicitamente ad ogni nodo della griglia. Qui la
mostriamo a un’età intermedia del contratto, in funzione della ricchezza
liquida, per i due stati di salute vivi:
In entrambi gli stati il consumo cresce con la ricchezza (coerente con un’utilità CRRA ben definita), e lo stato di non autosufficienza domina sistematicamente quello sano: il maggior reddito da \(R^{LTC}\) più che compensa, nell’ottimo, il costo di cura più elevato.
7 La funzione valore
Per completezza, la funzione valore U_{i,t}(w,a,r) allo
stesso nodo temporale — la base numerica da cui deriva l’intera politica
ottima, e un controllo di correttezza diretto: deve essere monotona
crescente in W (verificato: 0 violazioni su tutta la
griglia).
8 Come cambia la policy con l’età
Un’ultima prospettiva: come si sposta la curva di consumo ottimo (stato sano) man mano che il contratto avanza e l’orizzonte residuo si accorcia.
Con l’avvicinarsi della scadenza contrattuale, il motivo di lascito (\(\delta\), bequest) pesa proporzionalmente di più sulla decisione rispetto al risparmio precauzionale per il consumo futuro: la curva di policy si sposta verso l’alto a parità di ricchezza, riflettendo un orizzonte di accumulo più corto.
9 Sintesi
| Genere | \(R^{RM}\) | \(R^{LTC}\) | U_{1,0}(W0) | Willingness to pay |
|---|---|---|---|---|
| Uomo | 6.900 € | 17.250 € | -0.0016 | 151.621 € |
| Donna | 6.900 € | 17.250 € | -0.0019 | 158.632 € |
Il quadro che emerge dal solver LCRM_DP_Engine è
coerente con l’intuizione economica del paper: un installment unico e
gender-neutral (come richiesto dalla normativa), un’ottimizzazione del
mutuatario che riflette le sue aspettative individuali di salute, un
profilo di consumo che smussa lo shock di reddito iniziale, e una
willingness to pay ampia — segno che l’assicurazione implicita nel
contratto (reddito a vita, NNEG, maggiorazione LTC) genera un guadagno
di benessere sostanziale rispetto all’alternativa di affrontare da soli
il rischio di longevità e di non autosufficienza.