1 Di cosa parla questo documento

Il paper “The Life Care Reverse Mortgages: The borrower perspective” affronta il problema di scelta intertemporale del mutuatario: quanto consumare ogni anno, sapendo che la propria salute può peggiorare, che tasso d’interesse e prezzo dell’immobile sono incerti, e che alla fine lascerà un’eredità.

Questo documento presenta i risultati del solver C++ che risolve tale problema: Monte Carlo per l’installment \(R^{RM}\)/\(R^{LTC}\) (eq. 9, probabilità unisex per vincolo normativo) e ricorsione di Bellman su griglia (W, Ã, r) (Steps 0-3, §4.3), con probabilità di transizione specifiche per genere nell’ottimizzazione del mutuatario (§5.1).

Mutuatario di riferimento: 75 anni all’inception (2013), immobile da 200.000 €, prestito al 30% del valore, orizzonte massimo 31 anni (fino a 106 anni).

2 I numeri chiave del contratto

2.830 €
$R^{RM}$ — installment base
Erogato finché il mutuatario resta sano
7.076 €
$R^{LTC}$ — installment LTC
+150% se non autosufficiente
84.312 €
Willingness to pay — Uomo
Extra ricchezza iniziale per eguagliare l'utilità senza LCRM
87.737 €
Willingness to pay — Donna
Extra ricchezza iniziale per eguagliare l'utilità senza LCRM
Quantità Valore
\(LS_0\) — prestito concesso (\(=R^{RM}\cdot a^{LCRM}\), eq. 9) 36.906 €
\(NNEG\) — residuo \(\alpha H_0 - LS_0\) (convenzione Tabella 2) 23.094 €
\(NNEG\) — valore d’opzione \(\sum_t \max(0,\tilde A_t-\tilde H_t)\) attualizzato 55.712 €
\(R\) — RM classica stand-alone (rendita vitalizia generale) 3.579 €

Le due letture della NNEG non sono la stessa grandezza e non vanno confrontate fra loro. Il residuo \(\alpha H_0 - LS_0\) è il prestito massimo meno quello effettivamente concesso; il valore d’opzione è il prezzo della garanzia. Sono legate da

\[\alpha H_0 - LS_0 \;=\; NNEG^{\text{opz}} \;-\; \bigl(PV[\tilde A_t] - \alpha H_0\bigr)\]

cioè il residuo è il costo della garanzia al netto del valore attuale dello spread \(\pi\) che il prestatore lucra sul debito (qui 92.618 € \(-\) 60.000 \(=\) 32.618 €). Il residuo resta quindi sotto \(LS_0\), il valore d’opzione no — e lo stesso vale sui numeri del paper di riferimento, dove il residuo è 15.531 contro un \(LS_0\) di 44.469 ma il valore d’opzione, calcolato con la loro stessa eq. 14, vale 45.567.

L’installment è unico per entrambi i generi (eq. 9, probabilità unisex): un mutuatario sano riceve \(R^{RM}\) ogni anno; se transita allo stato di non autosufficienza riceve la maggiorazione LTC, \(R^{LTC} = (1+\beta)\cdot R^{RM}\), per il resto del contratto. La willingness to pay \(\theta\) (§5.4 del paper) è invece specifica per genere: risolve

\[\mathcal{U}_{1,0}(W_0) = \hat{\mathcal{U}}_{1,0}(W_0 + \theta)\]

cioè la ricchezza aggiuntiva che eguaglierebbe, senza contratto, l’utilità raggiungibile con il contratto. Per un uomo di 75 anni sono circa 84.312 € — più di 4.2 volte la ricchezza iniziale W0 (20.000 €) — segno di quanto valga per un mutuatario avverso al rischio l’assicurazione implicita nell’LCRM (reddito a vita, protezione dal rischio di non autosufficienza, NNEG sul debito).

3 Come si calcola \(R^{RM}\)

\(R^{RM}\) risolve l’equazione di equilibrio attuariale del paper (eq. 9, §2): il valore atteso scontato dell’installment eguaglia il valore atteso scontato di ciò che il prestatore recupera alla morte del mutuatario (\(\tilde V_t\), eq. 8, al netto della garanzia NNEG):

\[R^{RM} \cdot a^{LCRM}_{x,0:\overline{T}|} \;=\; \sum_{t=1}^{T} \tilde V_t \cdot \left(\prod_{s=1}^{t}(1+r_s)^{-1}\right) \cdot {}_{t-1|1}q_x\]

Il calcolo procede per simulazione Monte Carlo, non per sostituzione del tasso medio nella formula chiusa: il debito \(\tilde A_t = \alpha H_0 \prod_{s=0}^{t-1}(1+r_s+\pi)\) è un prodotto composto lungo il percorso, e per Jensen la formula chiusa sul percorso medio sottostimerebbe il vero valore atteso.

  1. Si simulano 10.000 traiettorie trimestrali del tasso CIR (misura Q) e del prezzo dell’immobile — quest’ultimo con il processo ARMA(2,0)-EGARCH(1,1) risk-neutralizzato per trasformata di Esscher, deriva condizionata \(r_t - q\) (si veda la sezione sulle misure). Tasso e immobile hanno shock indipendenti.
  2. Per ciascuna traiettoria si ricostruisce il debito \(\tilde A_t\) (eq. 7) e si valuta \(\tilde V_t = \min(\tilde A_t, \tilde H_t)\) con \(\tilde H_t = \alpha H_t\) (il recupero del prestatore è limitato alla quota di immobile impegnata, eq. 10; verificato in R/lcrm_annuity_formula8_replication.R, Part C). Non si usa la formula chiusa alla Black (eq. 10) perché il tasso è stocastico e \(H_t\) segue un EGARCH, per cui la distribuzione terminale non è log-normale a tasso e volatilità costanti.
  3. Si accumulano separatamente il numeratore dell’eq. 9 (pesato dalla probabilità di morte differita \(_{t-1|1}q_x\), da Lee-Carter 1992) e il fattore di rendita \(a^{LCRM}\) (eq. 5, pesato dalle probabilità di transizione di salute unisex di De Angelis e Di Falco 2016, §5.2 — unisex perché il prestatore non può differenziare per genere).
  4. \(R^{RM}\) è il rapporto tra le due medie finali; \(R^{LTC} = (1+\beta)\cdot R^{RM}\).
Quantità Valore
Numeratore (eq. 9, medio su 10.000 traiettorie) 36.906 €
Fattore di rendita \(a^{LCRM}\) (eq. 5, medio su 10.000 traiettorie) 13.040
\(R^{RM}\) = numeratore / fattore di rendita 2.830 €

4 Calibrazione e misure di probabilità

Alcuni risultati dipendono da scelte che non discendono dai dati in modo univoco. Questa sezione le raccoglie, distinguendo quelle vincolate dalla teoria da quelle rimesse al giudizio dell’analista.

4.1 Il tasso a breve

Il CIR è calibrato su una serie risk free overnight dell’area euro (EONIA 1999-2019, €STR 2019-oggi) anziché sul rendimento del BTP decennale: il BTP incorpora lo spread sovrano italiano (che nel campione passa da circa 150 a circa 550 punti base fra 2011 e 2012) ed è un tasso a dieci anni, mentre il modello richiede un tasso a breve. Il raccordo EONIA/€STR usa lo scarto definitorio di 8,5 punti base valido dal 2019 (EONIA = €STR + 8,5bp), applicato anche prima di tale data per convenzione; è un’approssimazione che incide su \(\theta\) e resta di second’ordine per \(\sigma\) e \(\kappa\).

4.2 Il CIR traslato

La serie risk free è negativa per circa un terzo delle osservazioni, mentre il CIR standard richiede uno stato non negativo. Il processo è quindi stimato sullo stato traslato \(x_t = r_t + s\), con \(s = 0.010\), da cui \(\theta_r = \theta_x - s\). Al di sopra della soglia di Feller le grandezze rilevanti sono sostanzialmente invarianti alla traslazione scelta; traslazioni più piccole violano Feller e l’ottimizzatore non converge. Il valore adottato corrisponde a un effective lower bound di −1%, coerente con il minimo storico del tasso sui depositi BCE (−0,50%).

4.3 Misura reale e misura risk-neutral

Nel modello \(r_t\) interviene in due contesti di natura diversa, che richiedono misure di probabilità distinte:

Ruolo Dove compare Misura
Valutazione (prestatore) eq. 5/8/9/10/12: \(a^{LCRM}\), \(R^{RM}\), NNEG risk-neutral, Q
Esperienza (mutuatario) eq. 14-23: ricchezza, debito, dipendenza con l’immobile reale, P

Le due fonti disponibili identificano oggetti diversi e non sono intercambiabili: la serie storica EONIA/€STR è una serie temporale, da cui si stima la dinamica reale; la curva OIS è una sezione trasversale di prezzi a una data, informativa sulla dinamica risk-neutral ma non su quella reale. Le due calibrazioni si raccordano su \(R^{RM}\), calcolato sotto Q e assunto come dato contrattuale dal problema del mutuatario, risolto sotto P.

Misura \(\kappa\) \(\theta_x\) \(\theta_r\) \(\sigma\)
P (storica, EONIA/€STR) 0.117486 0.022829 0.012829 0.052530
Q (curva OIS/€STR) 0.044339 0.060490 0.050490 0.052530

Il parametro \(\sigma\) non è ristimato sulla curva: essendo invariante rispetto al cambio di misura (Girsanov modifica la deriva, non la diffusione), si pone \(\sigma^Q = \sigma^P\); per lo stesso motivo la traslazione è comune alle due misure.

4.3.1 Il prezzo di mercato del rischio

Le due misure sono legate dal prezzo di mercato del rischio di tasso nella specificazione affine classica di Cox, Ingersoll e Ross (1985),

\[\lambda_t = \frac{\lambda\sqrt{x_t}}{\sigma}, \qquad\text{da cui}\qquad \kappa^Q = \kappa^P + \lambda, \qquad \theta^Q = \frac{\kappa^P\theta^P}{\kappa^Q}\]

con \(x_t = r_t + s\) lo stato traslato. È la forma adottata nella parte teorica del paper, e ha un solo parametro libero: \(\lambda\) è calibrato sulla curva OIS minimizzando lo scarto quadratico sui rendimenti zero,

\[\lambda \in \arg\min_{\lambda > -\kappa^P} \sum_{i=1}^{n}\bigl(y(T_i;\lambda) - y^{\text{mkt}}(T_i)\bigr)^2\]

su 16 scadenze fra 2 e 50 anni. Il risultato è \(\lambda = -0.0731\), ammissibile poiché \(\lambda > -\kappa^P = -0.1175\), con 13.6 bp di RMSE.

Sotto questa specificazione \(\kappa^Q\theta^Q = \kappa^P\theta^P\) è preservato esattamente: il cambio di misura ridistribuisce velocità e livello di ritorno alla media senza alterarne il prodotto, e di conseguenza la condizione di Feller sotto Q è automaticamente equivalente a quella sotto P.

Quantità Valore
\(\kappa\theta\) sotto P 0.002682
\(\kappa\theta\) sotto Q 0.002682
Feller \(2\kappa\theta/\sigma^2\) sotto P 1.943959
Feller \(2\kappa\theta/\sigma^2\) sotto Q 1.943959

Una stima alternativa, e perché è stata scartata. Lasciando liberi \(\kappa^Q\) e \(\theta^Q\) (due parametri anziché uno) la curva è riprodotta un po’ meglio — 11,1 bp contro 13.6 — ma il prodotto \(\kappa^Q\theta^Q\) sale a 0,010428, cioè +289% rispetto al valore sotto P. Quella coppia di parametri non è quindi generata da alcun \(\lambda\): cade fuori dalla famiglia a un parametro e richiederebbe un prezzo del rischio extended-affine (Cheridito, Filipović e Kimmel, 2007) con due parametri, sotto il quale la condizione di Feller andrebbe verificata esplicitamente sotto entrambe le misure anziché discendere da quella sotto P.

Si è preferita la coerenza con la formalizzazione teorica perché il suo costo è trascurabile: \(R^{RM}\) cambia dello 0,26%, mentre \(LS_0\) e la NNEG restano invariati — il tasso si elide in \(\tilde A_t\cdot\text{disc}_t\), che vale \(\alpha H_0 e^{\pi t}\) qualunque sia la curva, come mostrato più sopra.

4.4 L’immobile sotto le due misure

Il medesimo criterio si applica al prezzo dell’immobile, con una differenza: il modello di volatilità non si semplifica. Sotto P il prezzo segue il processo ARMA(2,0)-EGARCH(1,1) calibrato sulla serie storica (calibration_report.Rmd §7) — un EGARCH e non un GARCH simmetrico perché la NNEG va prezzata sotto una misura martingala equivalente e il GARCH simmetrico non ammette una trasformata di Esscher stabile su questa calibrazione. Questo processo alimenta il percorso deterministico \(\bar H_t\) del termine di lascito del mutuatario e, nell’installment engine, la simulazione del cap NNEG.

Sotto Q lo stesso processo è risk-neutralizzato con una trasformata di Esscher condizionale (Li-Hardy-Tan 2010; Chen-Cox-Wang 2010): la ricorsione della varianza EGARCH resta identica a quella stimata — la diffusione è invariante di misura, come per il tasso — mentre la media condizionata del rendimento è sostituita in modo che \(\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[H_{t+1}/H_t \mid \mathcal{F}_t] = e^{(r_t - q)\Delta}\). In forma esplicita, per ogni trimestre

\[Y_t \mid \mathcal{F}_{t-1} \;\sim_{\mathbb{Q}}\; \mathcal{N}\!\left((r_t - q)\Delta - \tfrac{1}{2}\sigma_t^2,\; \sigma_t^2\right),\]

con \(\sigma_t^2\) dalla ricorsione EGARCH. La media ARMA non fissa più la deriva — un eccesso di rendimento prevedibile e autocorrelato non sopravvive a un cambio di misura — ma continua a essere calcolata, perché il residuo sotto P \(z_t = y_t - \hat\mu_t^{\,\mathbb{P}}\) che alimenta la ricorsione della varianza è definito rispetto ad essa e, sotto Q, non è a media nulla: è il canale attraverso cui il cambio di misura raggiunge anche la traiettoria della volatilità.

4.5 Parametri della misura Q dell’immobile

La dinamica risk-neutral dell’immobile ha un solo input rimesso al giudizio dell’analista, il deferment rate \(q\); i parametri EGARCH sono stimati sulla serie storica e, per Girsanov, invariati dal cambio di misura.

Parametro Valore Origine
\(q\) (deferment rate) 3.73% Stima empirica, price-to-rent ratio OECD ancorato a Jordà-Schularick-Taylor — v. sotto
EGARCH \((\omega, \alpha, \gamma, \beta)\) (-5.99, 0.17, 0.68, 0.41) MLE sulla serie storica (calibration_report.Rmd §7) — invariante di misura

Tasso d’interesse e prezzo dell’immobile sono simulati come indipendenti sotto entrambe le misure (verifica in calibration_report.Rmd §05); i due processi si toccano solo attraverso la deriva \(r_t - q\) dell’immobile, non attraverso gli shock.

4.5.1 Il deferment rate

Il parametro \(q\) misura il flusso di servizio a cui il proprietario-occupante rinuncia differendo il possesso dell’immobile — l’affitto figurativo al netto dei costi di proprietà, analogo immobiliare di un dividend yield. Non è direttamente osservabile ed è l’input più influente sul lato valutativo del modello (\(R^{RM}\) cresce al calare di \(q\)), per cui la sua stima è dettagliata per esteso qui sotto, con la serie che la genera.

4.5.1.1 Perché serve un’ancora esterna

OECD pubblica, negli Analytical House Price Indicators, il price-to-rent ratio per l’Italia — indice trimestrale 1999-2025, base 2015 = 100 (data/raw/oecd_house_prices_rent_ratio_italy.csv). Un indice, per costruzione, non contiene informazione di livello assoluto: due serie (prezzi, affitti) normalizzate indipendentemente a 100 nello stesso anno base non restituiscono il loro vero rapporto — HPI_RPI vale esattamente 100 nel 2015 qualunque fosse il rendimento reale in quell’anno. Serve quindi un’ancora esterna con unità di misura reali per convertire il ratio in un rendimento in punti percentuali.

4.5.1.2 L’ancora: Jordà-Schularick-Taylor, non un report di mercato

Una versione precedente di questa analisi ancorava il ratio OECD al rendimento lordo stimato da Guerrieri & Festa (Agenzia delle Entrate, Osservatorio del Mercato Immobiliare) per il 2022. Quella fonte è stata scartata: è un report di mercato, non un lavoro sottoposto a revisione tra pari, e non è una base citabile in un lavoro scientifico.

Si usa invece la serie di rendimento netto da affitto per l’Italia della Jordà-Schularick-Taylor Macrohistory Database (Jordà, Ò., Knoll, K., Kuvshinov, D., Schularick, M. e Taylor, A. M., “The Rate of Return on Everything, 1870–2015”, Quarterly Journal of Economics, 2019; <www.macrohistory.net/data>, release R6, variabile housing_rent_yd) — rendimento netto di manutenzione, spese di gestione e deprezzamento, esattamente la convenzione di netting che il modello richiede. Per l’Italia gli autori ancorano questa serie al rent-price ratio professionale pubblicato da MSCI (2016) per il 2013 (0,038), e la incrociano con un approccio balance sheet su dati Istat e con le quotazioni di Numbeo.com (RORE_documentation.pdf, sezione “Italy”).

Nota sulla copertura. Il file scaricato (release R6 del database) riporta housing_rent_yd per l’Italia con valori non mancanti fino al 2020, ma sia il titolo del paper sia la sua documentazione metodologica coprono esplicitamente e solo il 1870–2015: gli anni 2016–2020 nel file sono un aggiornamento di mantenimento dello stesso gruppo di autori, non documentato in questa fonte e non parte dell’articolo sottoposto a revisione tra pari. Per non appoggiarsi a dati non verificabili, si usa come ancora diretta solo la porzione della serie JST effettivamente coperta dal paper (1870–2015), non l’ultimo anno disponibile nel file. A differenza del report OMI, questo resta comunque una serie storica pluriennale di livello assoluto (Italia, 1870–2015: data/raw/jst_italy_housing_returns.csv), non un singolo punto di ancoraggio.

Per usare questa serie insieme al ratio OECD (che arriva fino al 2025, mentre la porzione utilizzabile di JST si ferma al 2015): dove JST è disponibile e documentato (1999–2015) si usa il suo livello direttamente; dal 2016 in poi (oltre la copertura del paper) si estende l’ultimo punto JST (2015) con la sola dinamica del ratio OECD, \(q_t = q_{2015} \times (\text{ratio}_{2015}/\text{ratio}_t)\).

Questa estensione è verificata, non solo assunta: propagando all’indietro dal 2015 con la sola dinamica OECD si riproducono i livelli JST effettivamente osservati per 1999–2014 (16 anni di sovrapposizione, tutti dentro la copertura del paper) con RMSE 0.15% e correlazione 0.976 — il ratio OECD è un proxy affidabile della dinamica del rendimento osservato, il che giustifica l’estensione oltre il 2015.

4.5.1.3 Sotto-periodi

Periodo \(q\) medio
1999-2007 (pre-crisi) 3.55%
2008-2013 (crisi) 3.36%
2014-2019 (ripresa) 4.10%
2020-2025 (recente) 3.98%
campione pieno 1999-2025 3.73%

La costante oscilla fra un minimo del 3.36% (2008-2013, la crisi del debito sovrano) e un massimo del 4.10% (2014-2019, la ripresa): il ratio prezzo/affitto NON è chiaramente mean-reverting su questo campione (test ADF non rigetta la radice unitaria), quindi una costante è un’approssimazione — questa oscillazione fra sotto-periodi ne è il margine di incertezza reale, non un test formale di stazionarietà.

4.5.1.4 Costante adottata

Si adotta 3.73% — la media campionaria 1999-2025 (un’attesa, non un quantile: la costante entra nel modello come deriva risk-neutral, non come valore tipico) della serie appena descritta, sulla stessa finestra usata per CIR e ARMA-EGARCH altrove nel progetto (RATE_SOURCE = "estr" parte dal 1999), non su un sotto-periodo recente scelto ad hoc. Replicabile per intero in R/lcrm_oecd_rentyield_egarch.R.

4.5.2 Analisi di sensitività

La dipendenza dalla dispersione è marginale: il debito \(\tilde A_t\) eccede il cap \(\alpha H_t\) per la quasi totalità del periodo (garanzia in the money), e in queste condizioni l’opzione implicita si comporta come un contratto forward, poco sensibile alla volatilità — sostituire il processo EGARCH con una lognormale \(\mathbb{Q}\) a pari deriva e volatilità costante muove \(R^{RM}\) di meno dello 0,1% (2.683 contro 2.682; calibrazione ActuaLib_v0, commit da09637). La deriva, e quindi \(q\), domina.

Si riporta perciò la sensitività di \(R^{RM}\) e della willingness to pay \(\theta\) a \(q\), sullo stesso motore e sulle stesse 10.000 traiettorie del caso base:

\(q\) \(R^{RM}\) \(\theta\) uomo \(\theta\) donna
2% 3.522,68 96.575 101.175
3% 3.103,61 89.104 92.974
3,73% (adottato) 2.837,80 84.441 87.876
4% 2.747,06 82.874 86.185
5% 2.442,54 77.575 80.378

Sull’intervallo \(q \in [2\%, 5\%]\) \(R^{RM}\) si riduce di circa un terzo (−31%) e \(\theta\) di circa un quinto (−20%): l’incertezza su \(q\) è la componente dominante del lato valutativo. Il valore adottato, 3,73%, cade fra gli scenari al 3% e al 4%, più vicino a quest’ultimo.

5 L’evoluzione delle variabili finanziarie: tasso, immobile, debito

Questa sezione mostra le traiettorie simulate di tasso e prezzo dell’immobile da cui nasce \(R^{RM}\), replicate in R con la stessa struttura matematica del motore C++ su 5,000 simulazioni.

5.1 Il tasso d’interesse

Entrambe le traiettorie muovono da 1,92% ma convergono verso livelli diversi: 1,28% sotto P e 5,05% sotto Q. La traiettoria P governa l’accumulazione di ricchezza e debito nel problema del mutuatario; quella Q entra nell’attualizzazione, nella capitalizzazione del debito ai fini della garanzia e nella deriva risk-neutral dell’immobile (\(r_t - q\)). Le due sezioni seguenti riguardano la valutazione e impiegano quindi la traiettoria Q.

5.2 Il prezzo dell’immobile

La curva continua rappresenta l’immobile sotto Q, con deriva \(r_t - q\): è la simulazione impiegata dal motore per il cap NNEG. La mediana passa da 200.000 € a 160.884 € in 31 anni, contro 451.091 € sotto P (linea punteggiata); la differenza corrisponde in larga parte al deferment rate sottratto alla deriva.

L’andamento decrescente della curva Q non segnala un’anomalia: il tasso a breve sotto Q converge a 5,05%, inferiore al deferment rate 3,73%, per cui la deriva risk-neutral \(r_t - q\) è stabilmente negativa — lo stesso meccanismo per cui il prezzo forward di un titolo ad alto dividendo si colloca sotto il prezzo a pronti. Non è una previsione di ribasso (sotto P la mediana è crescente), ma il prezzo a termine rilevante per la garanzia.

Si rappresenta la mediana anziché la media: su 124 trimestri composti, con radice AR quasi unitaria (\(\hat\phi_1 + \hat\phi_2 \approx 0{,}91\)) e compounding log-normale, la distribuzione di \(H_t\) all’orizzonte è fortemente asimmetrica a destra. La media è trascinata da una coda sottile e descrive un percorso che quasi nessun mutuatario sperimenta; la mediana no. È la stessa scelta del motore (simulateExpectedAnnualHousePricePath).

5.3 Il debito e il vincolo NNEG

Il debito \(\tilde A_t\) capitalizza al tasso maggiorato del premio di rischio (\(r + \pi\)), mentre il cap segue la dinamica risk-neutral dell’immobile, decrescente. Le due curve muovono dal medesimo valore iniziale (60.000 €, eq. 10-11) e divergono subito: la garanzia non protegge da un evento raro ma opera per la quasi totalità della durata contrattuale, il che concorre a spiegare il maggior lascito del benchmark senza contratto, dove al mutuatario resta l’intero \(H_t\) anziché la sola quota di equity residua.

6 L’evoluzione dello stato di salute

Prima di leggere il pattern di consumo, è utile vedere lo scenario demografico su cui è costruito: le probabilità di transizione De Angelis e Di Falco (2016), scenario di mortalità/disabilità medio, per la coorte nata nel 1938 (75 anni nel 2013).

La banda verde (sano) si restringe mentre quella grigia (deceduto) avanza; la banda gialla (non autosufficiente) resta sottile, coerente con l’assunzione di non recupero da tale stato. Le donne mostrano una sopravvivenza più lunga, come atteso dalle tavole demografiche di base.

7 Il pattern di consumo lungo il ciclo di vita

Questo è il risultato economico centrale del modello borrower-perspective (§5.3-5.4 del paper): non la funzione di policy, bensì il profilo effettivamente sperimentato dal mutuatario, simulando in avanti la politica ottima già risolta a ritroso.

Il consumo parte basso, 4.556 €, perché all’inception (t=0) il mutuatario dispone solo di W0 (il primo installment arriva a fine primo anno, eq. 14). Un agente CRRA-avverso al rischio smussa i consumi anticipando il salto di reddito in arrivo, e raggiunge un massimo di 4.647 € all’anno 1.

Da lì il profilo decresce fino a 2.773 € a scadenza — circa 40% sotto il picco — perché l’orizzonte residuo si accorcia e il motivo di lascito \(\delta\) pesa sempre di più man mano che cresce la probabilità di morte nell’anno, spostando risorse dal consumo corrente all’eredità.

8 La policy di consumo ottima in funzione della ricchezza

La funzione di policy C^*_{i,t}(w,a,r) è ciò che il solver calcola esplicitamente ad ogni nodo della griglia. Qui la mostriamo a un’età intermedia del contratto, in funzione della ricchezza liquida, per i due stati di salute vivi:

In entrambi gli stati il consumo cresce con la ricchezza (coerente con un’utilità CRRA ben definita), e lo stato di non autosufficienza domina sistematicamente quello sano: il maggior reddito da \(R^{LTC}\) più che compensa, nell’ottimo, il costo di cura più elevato.

9 La funzione valore

Per completezza, la funzione valore U_{i,t}(w,a,r) allo stesso nodo temporale: deve essere monotona crescente in W (verificato: 0 violazioni su tutta la griglia).

10 Come cambia la policy con l’età

Un’ultima prospettiva: come si sposta la curva di consumo ottimo (stato sano) man mano che il contratto avanza e l’orizzonte residuo si accorcia.

Con l’avvicinarsi della scadenza contrattuale, il motivo di lascito (\(\delta\), bequest) pesa proporzionalmente di più sulla decisione rispetto al risparmio precauzionale per il consumo futuro: la curva di policy si sposta verso l’alto a parità di ricchezza, riflettendo un orizzonte di accumulo più corto.

11 Sintesi

Genere \(R^{RM}\) \(R^{LTC}\) U_{1,0}(W0) Willingness to pay
Uomo 2.830 € 7.076 € -0.0031 84.312 €
Donna 2.830 € 7.076 € -0.0037 87.737 €

Il quadro che emerge dal solver LCRM_DP_Engine è coerente con l’intuizione economica del paper: installment unico e gender-neutral, ottimizzazione del mutuatario sulle sue aspettative individuali di salute, profilo di consumo che smussa lo shock di reddito iniziale, e una willingness to pay ampia — segno del guadagno di benessere che l’assicurazione implicita nel contratto (reddito a vita, NNEG, maggiorazione LTC) offre rispetto ad affrontare da soli il rischio di longevità e di non autosufficienza.

12 Perché la willingness to pay è così alta

Il numero salta all’occhio: 84.312 € per un uomo, 87.737 € per una donna, contro una ricchezza iniziale W0 di appena 20.000 € — 4.2 volte tanto.

\(\theta\) risolve \(\mathcal{U}_{1,0}(W_0) = \hat{\mathcal{U}}_{1,0}(W_0+\theta)\), dove \(\hat{\mathcal{U}}\) è la funzione valore di un benchmark senza contratto (LCRM_DP_Engine::solveWillingnessToPay, eq. 21-23): un mutuatario che resta proprietario pieno della casa ma non riceve alcun reddito da RM/LTC.

Senza contratto Con contratto LCRM
Reddito annuo Zero \(R^{RM}\) = 2.830 € (sano) o \(R^{LTC}\) = 7.076 € (non autosuff.)
Lascito \(H_t\) intero equity \(\approx (1-\alpha)H_t\) — il cap NNEG vincola quasi sempre
Liquidità Solo \(W_0\), al netto di \(M_t\) = 150 €/anno \(W_0\) più il flusso di installment

Senza contratto restano da spalmare su 31 anni appena 15.350 € (al netto della manutenzione). Con il contratto, 2.830 € (o 7.076 €) ogni anno fanno, cumulati nominalmente, 87.740 €–219.350 € — un multiplo della ricchezza di partenza. In cambio si rinuncia in media a circa 48.265 € di lascito (30% del valore atteso dell’immobile all’anno 31).

Da leggere con cautela. Il solver prezza il valore di rimuovere un vincolo di liquidità quasi assoluto: nel benchmark il patrimonio immobiliare non è in alcun modo convertibile in consumo. La cifra misura quindi il valore di un’assicurazione contro un evento estremo (esaurire W0 a 80-90 anni senza alternative), non una stima di “quanto pagherebbe in pratica” un mutuatario con opzioni reali a disposizione.