1 Di cosa parla questo documento

Il paper “The Life Care Reverse Mortgages: The borrower perspective” non si limita a valorizzare il contratto LCRM dal lato del prestatore: una parte rilevante del lavoro riguarda la prospettiva del mutuatario. Un anziano che sottoscrive un LCRM affronta un problema di scelta intertemporale — quanto consumare ogni anno, tenendo conto che la propria salute può peggiorare, che il tasso d’interesse e il valore dell’immobile sono incerti, e che alla fine lascerà un’eredità.

Questo documento presenta i risultati del solver C++ che affronta tale problema: la ricorsione di Bellman su griglia (W, Ã, r) degli Steps 0-3 del paper (§4.3), preceduta dal calcolo Monte Carlo dell’installment \(R^{RM}\)/\(R^{LTC}\) (eq. 9) su probabilità di transizione unisex, imposte dalla normativa che vieta al prestatore la differenziazione per genere; l’ottimizzazione del mutuatario impiega invece probabilità specifiche per genere (§5.1 del paper), così da riflettere le aspettative individuali di longevità e morbidità.

Il mutuatario di riferimento ha 75 anni all’inception (2013), un immobile da 200.000 €, un prestito pari al 30% del valore dell’immobile, e un orizzonte massimo di 31 anni (fino a 106 anni).

2 I numeri chiave del contratto

2.682 €
$R^{RM}$ — installment base
Erogato finché il mutuatario resta sano
6.706 €
$R^{LTC}$ — installment LTC
+150% se non autosufficiente
81.753 €
Willingness to pay — Uomo
Extra ricchezza iniziale per eguagliare l'utilità senza LCRM
84.964 €
Willingness to pay — Donna
Extra ricchezza iniziale per eguagliare l'utilità senza LCRM

L’installment è unico per entrambi i generi (eq. 9, probabilità unisex): un mutuatario sano riceve \(R^{RM}\) ogni anno; se transita allo stato di non autosufficienza riceve la maggiorazione LTC, \(R^{LTC} = (1+\beta)\cdot R^{RM}\), per il resto del contratto. La willingness to pay \(\theta\) (§5.4 del paper, eq. sotto la (23)) è invece specifica per genere, perché confronta l’utilità massima raggiungibile con il contratto — calcolata su probabilità di transizione specifiche per genere — con quella raggiungibile senza, a parità di preferenze:

\[\mathcal{U}_{1,0}(W_0) = \hat{\mathcal{U}}_{1,0}(W_0 + \theta)\]

In altre parole, un uomo di 75 anni dovrebbe ricevere circa 81.753 € di ricchezza aggiuntiva — più di 4.1 volte l’ipotetica ricchezza iniziale W0 (20.000 €) — per rinunciare al contratto senza perdere utilità attesa: un segnale forte di quanto l’assicurazione implicita nell’LCRM (reddito garantito a vita, protezione dal rischio di non autosufficienza, NNEG sul debito) valga per un mutuatario avverso al rischio.

3 Come si calcola \(R^{RM}\)

\(R^{RM}\) non è un parametro esogeno: è la soluzione dell’equazione di equilibrio attuariale del paper (eq. 9, §2), che eguaglia il valore atteso scontato dell’installment al valore atteso scontato di ciò che il prestatore recupera alla morte del mutuatario (\(\tilde V_t\), eq. 8, al netto della garanzia NNEG):

\[R^{RM} \cdot a^{LCRM}_{x,0:\overline{T}|} \;=\; \sum_{t=1}^{T} \tilde V_t \cdot \left(\prod_{s=1}^{t}(1+r_s)^{-1}\right) \cdot {}_{t-1|1}q_x\]

\(R^{RM}\) è quindi un rapporto fra due valori attesi:

\[R^{RM} \;=\; \frac{\mathbb{E}\left[\sum_t \tilde V_t \cdot \text{sconto}_t \cdot {}_{t-1|1}q_x\right]}{\mathbb{E}\left[a^{LCRM}_{x,0:\overline T|}\right]}\]

Il calcolo richiede una simulazione Monte Carlo e non la semplice sostituzione del tasso medio \(\bar r_t\) nella formula chiusa, poiché numeratore e denominatore sono funzionali non lineari del percorso stocastico del tasso: il debito \(\tilde A_t = \alpha H_0 \prod_{s=0}^{t-1}(1+r_s+\pi)\) è un prodotto composto lungo tutto il percorso, non una funzione della sola media di \(r_t\). Per la disuguaglianza di Jensen, calcolare la formula chiusa sul percorso medio sottostimerebbe sistematicamente il vero valore atteso dello sconto composto.

Il calcolo procede come segue:

  1. Si simulano 10.000 traiettorie annuali congiunte del tasso CIR e del prezzo dell’immobile. Entrambe sono generate sotto la misura risk-neutral: il prezzo evolve con deriva \(r_t - q\) e shock correlato a quello del tasso tramite \(\rho\), sulla medesima traiettoria (si veda la sezione sulle misure).
  2. Per ciascuna traiettoria si ricostruisce il percorso del debito \(\tilde A_t\) (eq. 7, deterministico una volta noto il percorso di \(r\)) e si valuta \(\tilde V_t = \min(\tilde A_t, \tilde H_t)\) empiricamente, confrontando \(\tilde A_t\) con \(\tilde H_t\) simulato sulla medesima traiettoria. Non si ricorre alla formula chiusa alla Black (eq. 10) perché il tasso è stocastico e correlato al prezzo dell’immobile, per cui la distribuzione terminale non è la log-normale a tasso costante che tale formula presuppone (si veda il commento di classe di LCRM_Installment_Engine in ActuaLib_v0).

Sulla definizione di \(\tilde H_t\). Nell’eq. (10) del paper l’\(\alpha\) compare all’interno della variabile immobiliare: \(\tilde H_t = \alpha H_0 \prod_s (1 + r^{HV}_s)\), e il testo chiama \(\alpha H_t\) “the maximum amount of the granted loan”. La garanzia NNEG limita quindi il recupero del prestatore alla quota di immobile impegnata e non al valore pieno: \(\tilde H_t = \alpha H_t\), che parte da 60.000 € esattamente come il debito \(\tilde A_0 = \alpha H_0\). Poiché \(r + \pi\) eccede stabilmente la deriva risk-neutral dell’immobile, il cap risulta vincolante in pratica in ogni anno. È la stessa convenzione già usata dal LCRM_DP_Engine nel termine di lascito, che assegna all’erede \(\max(0, \alpha H_t - \tilde A_t) + (1-\alpha) H_t\). La verifica è in R/lcrm_annuity_formula8_replication.R (Part C): solo con questa lettura la Table 2 del paper si riproduce al centesimo. 3. Si accumulano due somme separate lungo le traiettorie, anziché il rapporto per singola traiettoria: il numeratore dell’eq. 9, che pesa \(\tilde V_t\) per la probabilità di morte differita \(_{t-1|1}q_x\), e il fattore di rendita \(a^{LCRM}\) (eq. 5), che pesa invece l’installment atteso \(\bar R_{t+1}\) per le probabilità di transizione di salute. Le due pesano su basi demografiche distinte, come precisato di seguito. 4. \(R^{RM}\) è il rapporto tra le due medie finali; \(R^{LTC} = (1+\beta)\cdot R^{RM}\).

Due basi demografiche distinte per l’eq. 9. Il denominatore (\(a^{LCRM}\), punto 3) usa le probabilità di transizione di salute di De Angelis e Di Falco (2016) — sano / non autosufficiente / deceduto — per pesare l’installment atteso \(\bar R_{t+1}\), ed è per questo unisex (media fra le tavole maschili e femminili, §5.2 del paper) a differenza delle probabilità usate nella parte restante di questo documento: il prestatore non può, per legge, offrire condizioni contrattuali differenziate per genere. Il numeratore richiede invece \(_{t-1|1}q_x\): la probabilità puramente demografica, indipendente dallo stato di salute, che un mutuatario sopravvissuto a \(t-1\) anni muoia nell’anno \(t\). Questa seconda quantità proviene dalla tavola di mortalità di Lee-Carter (1992), stimata sui dati HMD per la popolazione italiana (coorte 1938, 75 anni nel 2013) — non dal modello di transizione sanitaria, che non è la base corretta per questo termine specifico dell’equazione.

Quantità Valore
Numeratore (eq. 9, medio su 10.000 traiettorie) 35.121 €
Fattore di rendita \(a^{LCRM}\) (eq. 5, medio su 10.000 traiettorie) 13.093
\(R^{RM}\) = numeratore / fattore di rendita 2.682 €

4 Calibrazione e misure di probabilità

Alcuni risultati dipendono da scelte che non discendono dai dati in modo univoco. Questa sezione le raccoglie, distinguendo quelle vincolate dalla teoria da quelle rimesse al giudizio dell’analista.

4.1 Il tasso a breve

Il CIR è calibrato su una serie risk free overnight dell’area euro anziché sul rendimento del BTP decennale, per due ragioni distinte. Il BTP incorpora lo spread sovrano italiano, per cui la sua variabilità riflette insieme il rischio di tasso e quello di credito — il campione attraversa il 2011-2012, quando lo spread BTP-Bund passò da circa 150 a circa 550 punti base. Inoltre è un tasso a dieci anni impiegato come proxy di \(r_t\), che nel modello rappresenta il tasso a breve, dal quale dipendono la capitalizzazione del debito e la struttura a termine di attualizzazione.

La serie impiegata giunta EONIA (1999-2019) e €STR (2019-oggi). Dal 1° ottobre 2019 EONIA è definito come €STR maggiorato di 8,5 punti base, per cui il raccordo è esatto per costruzione: prima di tale data si utilizza EONIA − 8,5bp, successivamente €STR. La convenzione è verificata sui 579 giorni di sovrapposizione, dove lo scarto risulta costante a 8,5000 bp.

Va segnalato un limite: lo scarto è definitorio solo a partire dal 2019, e applicarlo retroattivamente presuppone che sia rappresentativo anche del periodo precedente, quando EONIA era un tasso unsecured rilevato su panel. Nelle fasi di tensione (2008-2012) lo scarto rispetto a un ipotetico €STR sarebbe stato plausibilmente più ampio. Si tratta del raccordo convenzionale in letteratura, ma resta un’approssimazione, che incide su \(\theta\) e appare di second’ordine per \(\sigma\), \(\kappa\) e \(\rho\).

4.2 Il CIR traslato

La serie risk free assume valori negativi per circa un terzo delle osservazioni, mentre il CIR standard richiede uno stato non negativo. Il processo è quindi stimato sullo stato traslato \(x_t = r_t + s\), con \(s = 0.010\); il livello di lungo periodo del tasso osservabile è di conseguenza \(\theta_r = \theta_x - s\).

La traslazione non opera come parametro libero: al di sopra della soglia di Feller le grandezze rilevanti risultano sostanzialmente invarianti rispetto ad essa (\(\kappa\) compreso fra 0,115 e 0,119 e \(\theta_r\) prossimo a 1,31% per traslazioni da 0,0075 a 0,03). Con la traslazione minima compatibile con la positività (0,00594) la condizione di Feller risulta invece violata (\(2\kappa\theta/\sigma^2 = 0{,}60\)) e l’ottimizzatore non converge. Il valore adottato lascia il minimo traslato a 0,407% e ammette una lettura economica come effective lower bound a −1%, coerente con il minimo storico del tasso sui depositi BCE (−0,50%).

4.3 Misura reale e misura risk-neutral

Nel modello \(r_t\) interviene in due contesti di natura diversa, che richiedono misure di probabilità distinte:

Ruolo Dove compare Misura
Valutazione (prestatore) eq. 5/8/9/10/12: \(a^{LCRM}\), \(R^{RM}\), NNEG risk-neutral, Q
Esperienza (mutuatario) eq. 14-23: ricchezza, debito, dipendenza con l’immobile reale, P

Le due fonti disponibili identificano oggetti diversi e non sono intercambiabili: la serie storica EONIA/€STR è una serie temporale, da cui si stimano la dinamica reale e, tramite gli score PIT, il parametro \(\rho\); la curva OIS è una sezione trasversale di prezzi a una data, informativa sulla dinamica risk-neutral ma non su quella reale. Le due calibrazioni si raccordano su \(R^{RM}\), calcolato sotto Q e assunto come dato contrattuale dal problema del mutuatario, risolto sotto P.

Misura \(\kappa\) \(\theta_x\) \(\theta_r\) \(\sigma\)
P (storica, EONIA/€STR) 0.117486 0.022829 0.012829 0.052530
Q (curva OIS/€STR) 0.258466 0.040345 0.030345 0.052530

Il parametro \(\sigma\) non è ristimato sulla curva: essendo invariante rispetto al cambio di misura (Girsanov modifica la deriva e non la diffusione), si pone \(\sigma^Q = \sigma^P\). La scelta risolve anche un problema di identificazione, poiché una singola curva vincola livello e pendenza ma solo debolmente \(\sigma\), che vi interviene attraverso la convessità. Per la medesima ragione la traslazione è comune alle due misure, dato che \(\sigma\) moltiplica \(\sqrt{x}\) con \(x = r + s\).

La struttura affine a un solo prezzo di mercato del rischio (\(\kappa^Q = \kappa^P + \lambda\), \(\theta^Q = \kappa^P\theta^P/\kappa^Q\)) non trova riscontro nei dati: le due stime di \(\lambda\) presentano segno opposto (-0.0731 nella versione vincolata, 0.1410 in quella libera) e i corrispondenti \(\theta^Q\) divergono sensibilmente. Un CIR a un fattore non sembra in grado di conciliare la persistenza storica (\(\theta_r^P \approx 1.28\%\), influenzata dagli anni a tasso nullo) con il premio a termine incorporato nella curva (\(\theta_r^Q \approx 3.03\%\)). È una tensione nota dei modelli a un fattore. Ne segue che \(\lambda\) non è interpretabile come premio al rischio strutturale, e che per la valutazione si adotta la stima libera, che riproduce la curva di mercato con 11.1 bp di RMSE e 29.3 bp di errore massimo sulle scadenze 2-50 anni.

4.4 L’immobile sotto le due misure

Il medesimo criterio si applica al prezzo dell’immobile. Sotto P il modello ARMA-GARCH stimato sulla serie storica alimenta unicamente il percorso deterministico \(\bar H_t\) del termine di lascito. Sotto Q l’immobile è simulato all’interno dell’installment engine secondo

\[H_{t+1} = H_t\exp\!\left(r_t - q - \tfrac{1}{2}\sigma_H^2 + \sigma_H z^H\right),\]

con \(z^H\) correlato allo shock di tasso. La componente ARMA non compare in questa specificazione: essa rappresenta una media condizionata prevedibile, e un rendimento in eccesso prevedibile non è compatibile con una valutazione risk-neutral, nella quale la media condizionata del rendimento è pari a \(r_t - q\) a ogni data. Della stima sotto P si trasferisce quindi il solo livello di volatilità.

4.5 Parametri della misura Q dell’immobile

Tre quantità entrano nella simulazione risk-neutral dell’immobile; nessuna è direttamente osservabile, e la loro scelta costituisce giudizio dell’analista.

Parametro Valore Origine
\(q\) (deferment rate) 4.20% Rendimento netto delle abitazioni italiane, OMI-Agenzia delle entrate
\(\sigma_H\) (volatilità Q) 0.0811 \(\sigma_H\sqrt{VR(40\text{ trim})}\), con \(VR = 10.38\) osservato
\(\rho\) (correlazione) 0.1903 Copula gaussiana su score PIT (§05), invariante rispetto alla misura

Quanto a \(\sigma_H\), si impiega una volatilità efficace a lungo orizzonte e non la stima trimestrale annualizzata (0.0252), la quale implica per costruzione un variance ratio unitario a fronte di un valore empirico pari a 10.38 a 40 trimestri. Poiché la NNEG ha natura opzionale, il suo valore dipende dalla dispersione all’orizzonte contrattuale più che dalla dinamica infrannuale.

4.5.1 Il deferment rate

Il parametro \(q\) misura il flusso di servizio a cui il proprietario rinuncia differendo il possesso dell’immobile, ossia l’affitto figurativo al netto dei costi di proprietà; costituisce l’analogo immobiliare di un dividend yield. La calibrazione si basa su una fonte riferita al mercato italiano:

Guerrieri G., Festa M., Una possibile stima del rendimento lordo e netto dell’investimento in un’abitazione, Quaderni dell’Osservatorio del Mercato Immobiliare, Agenzia delle Entrate.

Lo studio è condotto sulla Base dati locazioni immobiliari — contratti di locazione registrati, associati alle quotazioni OMI dell’immobile locato — per il periodo 2016-2022, limitatamente ai contratti di libero mercato ordinario 4+4 con locatore persona fisica. La scomposizione per la media nazionale 2022 è la seguente:

Voce % del valore dell’immobile
Rendimento lordo 5,04%
− spese di gestione e manutenzione −0,83%
= netto delle spese 4,21%
− cedolare secca (21% sul canone) −1,06%
− IMU (aliquota massima 1,06%) −0,55%
= rendimento netto (ottica locatore) 2,60%

Si adotta il valore intermedio, pari al 4.20%, anziché il rendimento netto finale. Quest’ultimo è calcolato nell’ottica del locatore e sconta due voci che non gravano sul mutuatario: la cedolare secca, imposta sul reddito da locazione percepito, mentre in questo caso il godimento è figurativo e non genera reddito imponibile; e l’IMU, non dovuta sull’abitazione principale salvo le categorie di lusso A/1, A/8 e A/9. Le spese di gestione e manutenzione restano invece a carico del proprietario e sono correttamente dedotte.

La stima appare semmai prudente per difetto: la fonte segnala (nota 14) che la spesa di manutenzione rilevata dall’ISTAT nel 2022 risente degli interventi agevolati (superbonus, bonus facciate) senza scomputo dei relativi crediti d’imposta, per cui la deduzione dal rendimento lordo risulterebbe sovrastimata.

In una versione precedente \(q\) era posto all’1%, corrispondente al floor dell’Effective Value Test della PRA britannica. Tale valore costituisce una soglia prudenziale regolamentare riferita a un diverso ordinamento, ed è qui mantenuto nell’analisi di sensitività come limite inferiore.

4.5.2 Analisi di sensitività

L’esclusione di una componente per volta indica che il risultato dipende in misura preponderante dalla deriva e solo marginalmente dalla dispersione:

Configurazione \(R^{RM}\) Effetto su \(R^{RM}\)
Base (tutte attive) 3.993,93 —
\(\sigma_H\) riportato a i.i.d. 2,52% 4.018,08 −0,6%
\(\rho\) azzerato 3.989,79 +0,1%
\(q\) azzerato 4.534,82 −11,9%

La decomposizione è calcolata al valore precedente \(q = 1\%\), così da isolare un effetto per volta. Il comportamento si spiega con il fatto che la garanzia risulta ampiamente in the money: il debito \(\tilde A_t\) eccede il cap \(\alpha H_t\) per la quasi totalità del periodo, e un’opzione in tali condizioni si comporta in modo prossimo a un contratto forward, con sensibilità ridotta alla volatilità.

Poiché \(q\) è insieme il parametro più influente e il meno osservabile, se ne riporta la sensitività per esteso; gli scenari corrispondono ai gradini della scomposizione OMI e al floor regolamentare.

Scenario \(q\) \(R^{RM}\) \(\theta\) uomo \(\theta\) donna
Floor PRA (Regno Unito, prudenziale) 1,00% 3.993,93 104.839 110.250
Netto locatore (OMI, dopo cedolare e IMU) 2,60% 3.259,92 91.870 96.030
Netto proprietario (OMI, solo spese) — adottato 4,20% 2.682,35 81.753 84.964

Il passaggio dal floor dell’1% al valore calibrato riduce \(R^{RM}\) di circa un terzo e \(\theta\) di circa un quinto. L’incertezza su \(q\) appare pertanto la componente dominante del lato valutativo, e un eventuale approfondimento potrebbe utilmente disaggregare il rendimento OMI per area geografica (lordo 2022 dal 4,38% del Mezzogiorno al 5,42% del Nord) o per regione (netto da locatore dall’1,65% della Liguria al 3,15% del Friuli-Venezia Giulia).

5 L’evoluzione delle variabili finanziarie: tasso, immobile, debito

Il paragrafo precedente descrive come \(R^{RM}\) nasce da traiettorie simulate di tasso e prezzo dell’immobile; questa sezione mostra come sono fatte quelle traiettorie — replicate in R con la stessa struttura matematica del motore C++ (CIR esatto per il tasso, ARMA(1,1)-GARCH(1,1) per l’immobile, con la correzione mu-fissato di calibration_report.Rmd §7.2.3), su 5,000 simulazioni.

5.1 Il tasso d’interesse

Entrambe le traiettorie muovono da 1,92%, ultima osservazione della serie risk free EONIA/€STR, ma convergono verso livelli diversi: 1,28% sotto P e 3,03% sotto Q. La simulazione avviene sullo stato traslato \(x_t = r_t + 0.010\) ed è qui riportata in termini di \(r_t\), per cui il livello di convergenza è \(\theta_r = \theta_x - s\).

La distinzione non è formale. La traiettoria P governa l’accumulazione della ricchezza e del debito nel problema del mutuatario; quella Q entra nell’attualizzazione, nella capitalizzazione del debito ai fini della garanzia e nella deriva risk-neutral dell’immobile, pari a \(r_t - q\). Le due sezioni che seguono riguardano la valutazione e impiegano pertanto la traiettoria Q, coerente con LCRM_Installment_Engine. L’ampiezza delle bande a 31 anni motiva la scelta di simulare anziché approssimare sul solo percorso centrale.

5.2 Il prezzo dell’immobile

La curva continua rappresenta l’immobile sotto Q, con deriva \(r_t - q\): è la simulazione impiegata dal motore per il cap NNEG, e quindi l’unica coerente con i valori contrattuali riportati altrove. La mediana passa da 200.000 € a 118.329 € in 31 anni, contro 481.297 € della mediana sotto P (linea punteggiata); la differenza corrisponde in larga parte al deferment rate sottratto alla deriva.

L’andamento decrescente della curva Q non segnala un’anomalia. Il tasso a breve sotto Q converge a 3,03%, inferiore al deferment rate 4,20%, per cui la deriva risk-neutral \(r_t - q\) è stabilmente negativa: si tratta del medesimo meccanismo per cui il prezzo forward di un titolo ad alto dividendo, o di una merce in backwardation, si colloca al di sotto del prezzo a pronti. Non costituisce una previsione di flessione dei prezzi — sotto P la mediana risulta crescente — bensì il prezzo a termine rilevante per la valutazione della garanzia, e spiega la sensibilità del risultato a \(q\) osservata nella sezione precedente.

Si rappresenta la mediana anziché la media perché, sotto il modello storico, la media aritmetica di \(H_t\) non esiste in popolazione. Il GARCH stimato presenta \(\alpha_1 = 0{,}88\): la condizione di varianza finita (\(\alpha_1 < 1\)) è soddisfatta, quella di momento quarto finito (\(3\alpha_1^2 < 1\)) non lo è, risultando \(3\alpha_1^2 = 2{,}34\). Le innovazioni hanno pertanto curtosi infinita e la distribuzione del log-prezzo cumulato presenta code sufficientemente pesanti da impedire l’esistenza della funzione generatrice dei momenti in 1. La media campionaria non converge: a 31 anni assume valori dell’ordine di \(10^{6}\), \(10^{16}\) e \(10^{39}\) rispettivamente con 1.000, 5.000 e 20.000 traiettorie, mentre la mediana rimane stabile. Per la stessa ragione del ramo P si riporta la sola mediana e non la banda dei quantili, il cui 99° percentile a 31 anni supera i 40 milioni di euro; si osservi peraltro che il percorso \(\bar H_t\) impiegato dal DP è una media geometrica, insensibile alla dispersione.

5.3 Il debito e il vincolo NNEG

Il debito \(\tilde A_t\) capitalizza al tasso maggiorato del premio di rischio (\(r + \pi\)), mentre il cap segue la dinamica risk-neutral dell’immobile, decrescente per quanto osservato sopra. Le due curve muovono dal medesimo valore iniziale (60.000 €, per costruzione, eq. 10-11) e divergono immediatamente, il che conferma quanto già rilevato nell’analisi di sensitività: la garanzia non protegge da un evento raro ma opera per la quasi totalità della durata contrattuale. La circostanza è coerente con la conclusione documentata in R/lcrm_annuity_formula8_replication.R (Parte C) e recepita nel motore C++ (LCRM_Installment_Engine, LCRM_DP_Engine::evaluateNode), e concorre a spiegare il maggior lascito del benchmark senza contratto, nel quale al mutuatario resta l’intero \(H_t\) anziché la sola quota di equity residua.

6 L’evoluzione dello stato di salute

Prima di leggere il pattern di consumo, è utile vedere lo scenario demografico su cui è costruito: le probabilità di transizione De Angelis e Di Falco (2016), scenario di mortalità/disabilità medio, per la coorte nata nel 1938 (75 anni nel 2013).

La banda verde (sano) si restringe progressivamente mentre la banda grigia (deceduto) avanza; la banda gialla (non autosufficiente) resta relativamente sottile — coerente con l’assunzione di non recupero dallo stato di non autosufficienza, che rende quella permanenza in vita più breve in media. Le donne mostrano una sopravvivenza più lunga, come atteso dalle tavole demografiche di base.

7 Il pattern di consumo lungo il ciclo di vita

Questo è il risultato economico centrale del modello borrower-perspective (§5.3-5.4 del paper): non la funzione di policy, bensì il profilo effettivamente sperimentato dal mutuatario, simulando in avanti la politica ottima già risolta a ritroso.

Il consumo parte relativamente basso: all’inception (t=0) il mutuatario dispone solo della ricchezza iniziale W0, perché il primo installment arriva a fine primo anno (eq. 14 del paper — nessun reddito da RM al tempo 0). Anticipando il salto di reddito permanente in arrivo, un agente CRRA-avverso al rischio smussa i consumi risparmiando relativamente di più subito: si parte da 4.442 € e si raggiunge un massimo di 4.471 € all’anno 1, una volta che l’installment comincia a fluire.

Da tale punto il profilo decresce progressivamente, fino a 2.609 € a scadenza — circa 42% sotto il picco. Il declino ha due cause che si sommano: l’orizzonte residuo si accorcia (meno anni su cui spalmare la ricchezza residua, ma anche meno installment futuri attesi su cui contare), e il motivo di lascito \(\delta\) pesa proporzionalmente sempre di più man mano che la probabilità di morte nell’anno cresce, spostando risorse dal consumo corrente all’eredità.

8 La policy di consumo ottima in funzione della ricchezza

La funzione di policy C^*_{i,t}(w,a,r) è ciò che il solver calcola esplicitamente ad ogni nodo della griglia. Qui la mostriamo a un’età intermedia del contratto, in funzione della ricchezza liquida, per i due stati di salute vivi:

In entrambi gli stati il consumo cresce con la ricchezza (coerente con un’utilità CRRA ben definita), e lo stato di non autosufficienza domina sistematicamente quello sano: il maggior reddito da \(R^{LTC}\) più che compensa, nell’ottimo, il costo di cura più elevato.

9 La funzione valore

Per completezza, la funzione valore U_{i,t}(w,a,r) allo stesso nodo temporale — la base numerica da cui deriva l’intera politica ottima, e un controllo di correttezza diretto: deve essere monotona crescente in W (verificato: 0 violazioni su tutta la griglia).

10 Come cambia la policy con l’età

Un’ultima prospettiva: come si sposta la curva di consumo ottimo (stato sano) man mano che il contratto avanza e l’orizzonte residuo si accorcia.

Con l’avvicinarsi della scadenza contrattuale, il motivo di lascito (\(\delta\), bequest) pesa proporzionalmente di più sulla decisione rispetto al risparmio precauzionale per il consumo futuro: la curva di policy si sposta verso l’alto a parità di ricchezza, riflettendo un orizzonte di accumulo più corto.

11 Sintesi

Genere \(R^{RM}\) \(R^{LTC}\) U_{1,0}(W0) Willingness to pay
Uomo 2.682 € 6.706 € -0.0033 81.753 €
Donna 2.682 € 6.706 € -0.0038 84.964 €

Il quadro che emerge dal solver LCRM_DP_Engine è coerente con l’intuizione economica del paper: un installment unico e gender-neutral (come richiesto dalla normativa), un’ottimizzazione del mutuatario che riflette le sue aspettative individuali di salute, un profilo di consumo che smussa lo shock di reddito iniziale, e una willingness to pay ampia — segno che l’assicurazione implicita nel contratto (reddito a vita, NNEG, maggiorazione LTC) genera un guadagno di benessere sostanziale rispetto all’alternativa di affrontare da soli il rischio di longevità e di non autosufficienza.

12 Perché la willingness to pay è così alta

Il numero salta all’occhio: 81.753 € per un uomo, 84.964 € per una donna, contro una ricchezza iniziale W0 di appena 20.000 € — 4.1 volte tanto. Prima di prendere questa cifra alla lettera, vale la pena capire da cosa nasce, perché il meccanismo — non un errore di calcolo — è ciò che la rende così grande.

\(\theta\) risolve \(\mathcal{U}_{1,0}(W_0) = \hat{\mathcal{U}}_{1,0}(W_0+\theta)\), dove \(\hat{\mathcal{U}}\) è la funzione valore di un benchmark senza contratto (LCRM_DP_Engine::solveWillingnessToPay, eq. 21-23 del paper). Quel benchmark non è “un LCRM con parametri diversi”: è un mutuatario che resta proprietario pieno della casa ma non riceve alcun reddito da RM/LTC, per nessun anno del contratto. Le due differenze rispetto allo scenario con contratto sono entrambe nel codice del solver:

Senza contratto (benchmark \(\hat{\mathcal U}\)) Con contratto LCRM
Reddito annuo Zero, in ogni anno \(R^{RM}\) = 2.682 € (sano) o \(R^{LTC}\) = 6.706 € (non autosuff.)
Lascito a un anno \(t\) \(H_t\) intero (nessun debito, nessuna NNEG) equity \(+\,(1-\alpha)H_t \approx (1-\alpha)H_t\) — il cap NNEG vincola quasi sempre (si veda sopra)
Liquidità disponibile Solo \(W_0\) = 20.000 €, al netto di \(M_t\) = 150 €/anno \(W_0\) più il flusso di installment

Un mutuatario senza il contratto deve quindi spalmare appena 20.000 € su un orizzonte fino a 31 anni — al netto della sola manutenzione (4.650 € cumulati a 150 €/anno) restano circa 15.350 €, prima ancora di considerare le spese mediche in caso di non autosufficienza. Chi ha il contratto riceve invece 2.682 € (o 6.706 €) ogni anno: cumulati nominalmente (non scontati — il confronto è solo di ordine di grandezza) su 31 anni fanno 83.153 € (sano) fino a 207.882 € (non autosufficiente), un multiplo enorme della ricchezza di partenza. In cambio, chi ha il contratto rinuncia in media a circa 35.499 € di lascito rispetto al benchmark (30% del valore atteso dell’immobile all’anno 31, 118.329 € — si veda il grafico del prezzo dell’immobile nella sezione sull’evoluzione delle variabili finanziarie, più sopra).

Perché il numero è credibile ma va letto con cautela. Il solver sta prezzando il valore di rimuovere un vincolo di liquidità quasi assoluto: nel benchmark, il patrimonio immobiliare non è in alcun modo convertibile in consumo (niente RM alternativo, niente vendita, niente supporto familiare) — è esattamente l’ipotesi “home-rich, cash-poor” descritta nell’introduzione del paper. Più severo è il benchmark, più alta risulta \(\theta\) meccanicamente: la cifra misura quindi il valore di un’assicurazione contro un evento estremo (esaurire W0 a 80-90 anni con zero alternative), non una stima di “quanto pagherebbe in pratica” un mutuatario con opzioni reali a disposizione. Un’utilità CRRA con avversione al rischio \(\gamma=2\) amplifica ulteriormente questo effetto, perché penalizza pesantemente i periodi di consumo vicino a zero impliciti nel benchmark.