計量経済I：復習テスト14

注意

すべての質問に解答しなければ提出とは認めない．正答に修正した上で，復習テスト 9～14 を順に重ねて左上でホチキス止めし，定期試験実施日（7 月 28 日の予定）にまとめて提出すること．

1. 処置ダミーを D，処置あり／なしの潜在的な結果を Y^*_1,Y^*_0，観測される結果を Y，共変量を X とする．d=0,1 について \operatorname{E}(Y^*_d|X)=r_d(X) とする．処置確率を p(X):=\Pr[D=1|X] とする．

1. X=x のときの条件付き ATE を r_0(.),r_1(.) で表しなさい．

2. X を所与として Y^*_1,Y^*_0 は D と条件付き平均独立とする．\operatorname{E}(Y|X) を r_0(.),r_1(.),p(.) で表しなさい．

解答例

1. 期待値の線形性より \begin{align*} \mathrm{ATE}(x) & :=\operatorname{E}(Y^*_1-Y^*_0|X=x) \\ & =\operatorname{E}(Y^*_1|X=x)-\operatorname{E}(Y^*_0|X=x) \\ & =r_1(x)-r_0(x) \end{align*}

2. 繰り返し期待値の法則と条件付き平均独立性より \begin{align*} \operatorname{E}(Y|X) & =\operatorname{E}(DY^*_1+(1-D)Y^*_0|X) \\ & =\operatorname{E}(\operatorname{E}(DY^*_1+(1-D)Y^*_0|D,X)|X) \\ & =\operatorname{E}(D\operatorname{E}(Y^*_1|D,X)+(1-D)\operatorname{E}(Y^*_0|D,X)|X) \\ & =\operatorname{E}(D\operatorname{E}(Y^*_1|X)+(1-D)\operatorname{E}(Y^*_0|X)|X) \\ & =\operatorname{E}(D|X)\operatorname{E}(Y^*_1|X)+(1-\operatorname{E}(D|X))\operatorname{E}(Y^*_0|X) \\ & =\Pr[D=1|X]r_1(X)+(1-\Pr[D=1|X])r_0(X) \\ & =p(X)r_1(X)+(1-p(X))r_0(X) \end{align*}

2. 前問と同じ状況を考える．ただし d=0,1 について \operatorname{E}(Y^*_d|X)=\alpha_d+\beta_d X とする．

1. 条件つき ATE を X の関数で表しなさい．

2. d=0,1 について U_d:=Y^*_d-\operatorname{E}(Y^*_d|X) とする．Y を D,X,U_0,U_1 で表しなさい．

3. U_0=U_1=U とする．Y を D,X,U で表しなさい．

4. X を所与として Y^*_0 は D と条件付き平均独立とする．\operatorname{E}(U|D,X)=0 を示しなさい．

解答例

1. 期待値の線形性より \begin{align*} \mathrm{ATE}(X) & :=\operatorname{E}(Y^*_1-Y^*_0|X) \\ & =\operatorname{E}(Y^*_1|X)-\operatorname{E}(Y^*_0|X) \\ & =\alpha_1+\beta_1 X-(\alpha_0+\beta_0 X) \\ & =\alpha_1-\alpha_0+(\beta_1-\beta_0)X \end{align*}

2. 式変形より \begin{align*} Y & :=DY^*_1+(1-D)Y^*_0 \\ & =Y^*_0+D(Y^*_1-Y^*_0) \\ & =\alpha_0+\beta_0 X+U_0 +D[\alpha_1+\beta_1 X+U_1-(\alpha_0+\beta_0 X+U_0)] \\ & =\alpha_0+\beta_0 X+U_0+D[(\alpha_1-\alpha_0)+(\beta_1-\beta_0)X+U_1-U_0] \\ & =\alpha_0+(\alpha_1-\alpha_0)D+\beta_0 X+(\beta_1-\beta_0)DX+U_0+D(U_1-U_0) \end{align*}

3. 前問より Y=\alpha_0+(\alpha_1-\alpha_0)D+\beta_0 X+(\beta_1-\beta_0)DX+U

4. 条件付き平均独立性より \begin{align*} \operatorname{E}(U|D,X) & =\operatorname{E}(Y^*_0-\operatorname{E}(Y^*_0|X)|D,X) \\ & =\operatorname{E}(Y^*_0|D,X)-\operatorname{E}(Y^*_0|X) \\ & =\operatorname{E}(Y^*_0|X)-\operatorname{E}(Y^*_0|X) \\ & =0 \end{align*}