1 Introducción

El análisis de la homogeneidad de varianzas constituye uno de los pilares fundamentales en la inferencia estadística paramétrica, con aplicaciones críticas en el análisis de varianza, los modelos de regresión y diversas pruebas de hipótesis que dependen de la estructura de varianza constante. Entre los procedimientos clásicos para evaluar varianzas, la prueba Chi–Cuadrado es un método muy utilizado para contrastar hipótesis sobre la varianza poblacional, basándose en el resultado teórico que establece que, bajo normalidad, el estadístico \(W\) sigue exactamente una distribución Chi–Cuadrado con \(n-1\) grados de libertad. Sin embargo, esta propiedad de exactitud representa un caso paradigmático de docimasia condicionada, un principio según el cual la validez de una prueba estadística está sujeta al cumplimiento estricto de sus supuestos distribucionales.

La relevancia de comprender este condicionamiento se vuelve crucial cuando se examina el comportamiento de la prueba Chi–Cuadrado bajo desviaciones del supuesto de normalidad. Investigaciones seminales, comenzando con el trabajo de Box (1953), han demostrado que esta prueba exhibe una sensibilidad extrema a la forma de la distribución poblacional, donde la curtosis \(\kappa\) controla directamente la variabilidad del estadístico y, en consecuencia, el nivel real de significancia. Esto tiene implicaciones profundas para la práctica estadística, ya que incluso desviaciones moderadas de la normalidad pueden generar tasas de Error Tipo I sustancialmente infladas o deprimidas, comprometiendo la validez de las conclusiones inferenciales.

Este documento busca proporcionar un análisis que integre los fundamentos teóricos de la docimasia condicionada con la evidencia empírica sobre los efectos de la no normalidad en pruebas de varianza, la cuantificación de su sensibilidad a diferentes patrones distribucionales, y la exploración de alternativas robustas. Con ello se pretende establecer un marco de referencia que guíe la selección apropiada de procedimientos inferenciales en contextos aplicados, donde el supuesto de normalidad rara vez se satisface de manera perfecta.

2 Docimasia Condicionada, Suficiencia y Exactitud de la Prueba Chi–Cuadrado para la Varianza

En este apartado se desarrolla la estructura teórica que justifica por qué la prueba Chi–Cuadrado para contrastar: \[ H_0 : \sigma^2 = \sigma_0^2 \qquad \text{vs.} \qquad H_1 : \sigma^2 \neq \sigma_0^2, \] es exacta bajo normalidad. La clave descansa en tres elementos fundamentales:

  1. El estadístico suficiente y completo \((\bar X, T_2)\).
  2. La independencia entre la media y la varianza muestral.
  3. La docimasia condicionada que elimina el parámetro de molestia \(\mu\).

2.1 Docimasia condicionada y suficiencia

Para una muestra aleatoria normal: \[ X_1, \dots, X_n \sim N(\mu, \sigma^2), \] los estadísticos: \[ T_1 = \bar{X}, \qquad T_2 = \sum_{i=1}^n (X_i - \bar X)^2 \] son suficientes minimales para \((\mu,\sigma^2)\).

La verosimilitud es: \[ L(\mu,\sigma^2 \mid x)= (2\pi\sigma^2)^{-n/2} \exp\left( -\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2 \right). \] Expandiendo el cuadrado: \[ L(\mu,\sigma^2 \mid x)= (2\pi\sigma^2)^{-n/2} \exp\left( -\frac{n(\bar{x}-\mu)^2}{2\sigma^2} \right) \exp\left( -\frac{1}{2\sigma^2}T_2 \right). \] Por el Teorema de Factorización de Fisher–Neyman, esto implica: \[ L(\mu,\sigma^2 \mid x) = h(x)\, g(\bar X, T_2; \mu,\sigma^2), \] por lo que \((\bar X, T_2)\) es un estadístico suficiente.

2.2 Completitud del par \((\bar X, T_2)\)

Casella y Berger (2002, p. 115) indican que:

La familia normal \(N(\mu,\sigma^2)\) con ambos parámetros desconocidos es una familia exponencial completa.

Escribiendo la normal en forma exponencial: \[ f(x \mid \mu,\sigma^2) = \exp\left( \frac{\mu}{\sigma^2}x -\frac{x^2}{2\sigma^2} - A(\mu,\sigma^2) \right), \] los estadísticos naturales son: \[ \left( \sum X_i, \; \sum X_i^2 \right), \] equivalentes a: \[ (\bar X, T_2). \] Por tanto, el par \((\bar X,T_2)\) es suficiente y completo.

2.3 Independencia entre \(\bar X\) y \(S^2\)

Teorema de Basu y su papel en la docimasia condicionada

Un resultado fundamental que permite justificar la independencia entre la media muestral y la varianza muestral en la familia normal es el Teorema de Basu (1955). En palabras de Casella y Berger (2002, p. 287):

“Si \(T(X)\) es un estadístico suficiente y completo, entonces \(T(X)\) es independiente de todo estadístico ancilar.”

2.3.1 Aplicación del teorema en la familia normal

En la distribución normal con parámetros \((\mu,\sigma^2)\):

  • El par \[ T_1 = \bar X, \qquad T_2 = \sum_{i=1}^n (X_i - \bar X)^2 \] es suficiente y completo para el vector de parámetros.
  • La cantidad \[ \frac{T_2}{\sigma^2} \] es un estadístico ancilar respecto a \(\mu\), porque su distribución no depende de la media.

Por el Teorema de Basu: \[ \bar X \;\perp\; \frac{T_2}{\sigma^2}, \] es decir:

  • la media muestral es independiente de la varianza muestral,
  • esta propiedad es característica de la distribución normal.

2.3.2 Consecuencia clave para la prueba Chi–Cuadrado

Usando esta independencia, se obtiene: \[ T_2 \mid \bar X = \bar x \;\sim\; \sigma^2 \, \chi^2_{n-1}, \] y por tanto el estadístico de prueba: \[ W = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} = \frac{T_2}{\sigma_0^2} \] tiene, bajo \(H_0\), distribución: \[ W \sim \chi^2_{n-1} \] exactamente, sin aproximaciones, siempre que la población sea normal.

El Teorema de Basu garantiza que:

  1. La condicionalidad en \(\bar X\) elimina completamente a \(\mu\) (parámetro de molestia).
  2. La prueba basada en \(T_2\) es una docimasia condicionada exacta.
  3. El estadístico Chi–Cuadrado para la varianza es una cantidad pivotal, y por eso funciona: \[ W = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}. \]

Así, la exactitud de la prueba Chi–Cuadrado no es una coincidencia: es una consecuencia directa de la estructura exponencial completa de la normal y del Teorema de Basu.

2.4 Consecuencia clave: docimasia condicionada

Como \(\bar X\) y \(T_2\) son independientes: \[ T_2 \mid \bar X = \bar x \;\sim\; \sigma^2 \, \chi^2_{n-1}. \] La distribución condicional no depende de \(\mu\). Esto materializa el principio de docimasia condicionada asociado a la teoría de pruebas similares e insesgadas (Neyman; véase Lehmann y Romano, 2005):

La distribución nula debe condicionarse en los estadísticos suficientes del parámetro de molestia.

Por ello, la prueba para \(\sigma^2\) construida a partir de \(T_2 \mid \bar X\) es exacta.

3 Prueba Chi–Cuadrado para la varianza

Sea: \[ S^2 = \frac{1}{n-1}T_2, \] entonces el estadístico de prueba es: \[ W = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} = \frac{T_2}{\sigma_0^2}. \] Bajo \(H_0\): \[ W \sim \chi^2_{n-1}. \] La regla de rechazo bilateral al nivel \(\alpha\) es: \[ W < \chi^2_{\alpha/2,\,n-1} \qquad \text{o} \qquad W > \chi^2_{1-\alpha/2,\,n-1}. \]

3.1 ¿Por qué funciona el estadístico \(W\)?

  1. \(T_2\) es la suma de cuadrados de normales centradas.
  2. La distribución condicional de \(T_2\) no involucra a \(\mu\).
  3. \(W\) es una cantidad pivotal: su distribución es conocida y libre de parámetros desconocidos.
  4. Todo descansa en la independencia \(\bar X\)–\(S^2\), demostrada por Basu.

3.2 Origen histórico

La estructura proviene de los trabajos de Ronald A. Fisher:

  • Fisher (1922) — On the Mathematical Foundations of Theoretical Statistics.
  • Fisher (1924) — On a Distribution Yielding the Error Functions of Several Well-Known Statistics.

4 Efecto de la No Normalidad

Cuando los datos no provienen de una distribución normal, la distribución de: \[ W^* = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} \] ya no es Chi–Cuadrado, lo que genera desviaciones importantes en el nivel real de la prueba.

Siguiendo a Mood, Graybill y Boes (1974), se define el momento central de cuarto orden: \[\mu_4 = E[(X-\mu)^4]\] y la curtosis poblacional (exceso de curtosis): \[\kappa = \frac{\mu_4}{\sigma^4} - 3,\] de modo que \(\kappa = 0\) para la distribución normal.

Con esta notación, la varianza de la varianza muestral es: \[ \operatorname{Var}(S^2) = \frac{\sigma^4}{n} \left(\kappa + \frac{2n}{n-1}\right), \] que se obtiene de la expresión general \(\operatorname{Var}(S^2)=\tfrac{1}{n}\!\left(\mu_4-\tfrac{n-3}{n-1}\sigma^4\right)\). Asintóticamente: \[ \sqrt{n}\left(\frac{S^2}{\sigma^2}-1\right) \overset{d}{\longrightarrow} N(0,\;2+\kappa), \] por lo que la varianza asintótica del estadístico depende directamente de la curtosis.

A partir de esto se deduce que:

  • Si \(\kappa > 0\) (colas pesadas, leptocúrtica), la varianza de \(W^*\) supera a la de una \(\chi^2_{n-1}\) y el test se vuelve liberal (\(\alpha_{\text{real}} > \alpha\)).
  • Si \(\kappa < 0\) (colas ligeras, platicúrtica), la varianza de \(W^*\) es menor y el test se vuelve conservador (\(\alpha_{\text{real}} < \alpha\)).

Tabla resumen:

Tipo de no normalidad Efecto en \(\alpha\) real Dirección
Leptocúrtica (\(\kappa>0\)) \(\alpha_\text{real} > \alpha\) Liberal
Platicúrtica (\(\kappa<0\)) \(\alpha_\text{real} < \alpha\) Conservadora
Asimetría positiva Efectos complejos Usualmente liberal

Este fenómeno fue estudiado en detalle por Box (1953), quien mostró que las pruebas sobre varianzas son más sensibles a la forma de la distribución que a las diferencias reales de varianzas.

Importancia para la práctica empírica

En aplicaciones reales, donde la normalidad rara vez se satisface estrictamente, la prueba Chi–Cuadrado puede producir conclusiones erróneas:

  • Inflación del Error Tipo I en distribuciones con colas pesadas,
  • Deflación del Error Tipo I en distribuciones con colas ligeras,
  • Distorsiones incluso con tamaños muestrales moderados.

Por esta razón, comprender el fundamento condicionante de la prueba y su sensibilidad a la no normalidad es esencial para una práctica estadística rigurosa. El análisis posterior complementa estos resultados mediante simulaciones y comparación con alternativas robustas como Levene y Brown–Forsythe.

5 Algunas investigaciones acerca de la robustez en pruebas de igualdad de varianzas

El análisis de la homogeneidad de varianzas es un componente central en modelos estadísticos clásicos como el ANOVA, la regresión lineal y diversas pruebas de hipótesis que dependen de la estructura del error. Numerosos estudios han demostrado que los contrastes tradicionales basados en la distribución \(F\) son especialmente sensibles a desviaciones de la normalidad, lo que puede comprometer la validez de las inferencias. A continuación se presentan algunos artículos relevantes.

5.1 Sensibilidad a la no normalidad

El trabajo pionero de Box (1953) demostró que las pruebas clásicas de igualdad de varianzas —incluyendo la prueba de Bartlett y los contrastes basados en el estadístico \(F\)— son más sensibles a la no normalidad que a diferencias reales entre las varianzas. Incluso desviaciones moderadas en la curtosis o la asimetría pueden inflar el error Tipo I, llevando a rechazos incorrectos de la hipótesis nula. Este resultado motivó un amplio desarrollo de métodos alternativos más robustos.

En un trabajo posterior, Box y Andersen (1955) ampliaron el análisis de la sensibilidad de estas pruebas, mostrando que el problema es más grave en muestras pequeñas. Además, propusieron correcciones de los grados de libertad, basadas en la curtosis, para mejorar la estabilidad de las pruebas, sentando algunas de las primeras bases formales de la teoría de permutación aplicada a criterios robustos.

5.2 Advertencias sobre el uso del ANOVA clásico

En su obra clásica, Scheffé (1959) enfatizó que el ANOVA tradicional debe aplicarse únicamente después de verificar los supuestos de normalidad y homocedasticidad. Señaló que la estructura del modelo lo hace particularmente susceptible a errores cuando la homogeneidad de varianzas no se cumple, incluso de manera moderada. Su contribución fortaleció el uso de transformaciones como Box–Cox y la práctica de diagnosticar supuestos antes de aplicar métodos paramétricos estrictos.

5.3 Desarrollo de métodos robustos: el aporte de Levene

Uno de los estudios más influyentes es el de Conover, Johnson y Johnson (1981), quienes compararon numerosas pruebas de igualdad de varianzas (más de cincuenta variantes) bajo condiciones de no normalidad, asimetría, curtosis elevada y tamaños muestrales desbalanceados. Sus conclusiones demostraron que:

  • Las versiones basadas en la mediana (Levene–mediana / Brown–Forsythe) y la prueba de Fligner–Killeen se encuentran entre las más robustas.
  • La versión de Levene basada en la media pierde estabilidad en presencia de colas pesadas.
  • La prueba de Bartlett y los métodos basados en transformaciones pueden fallar gravemente bajo no normalidad.

Este trabajo consolidó a Levene–mediana (Brown–Forsythe) y a Fligner–Killeen como procedimientos de referencia para pruebas de homogeneidad de varianzas en condiciones realistas.

5.4 Problemas del enfoque secuencial tradicional

Zimmerman (2004) mostró que la práctica común de aplicar primero una prueba preliminar (por ejemplo, de igualdad de varianzas o de normalidad) y luego seleccionar el procedimiento final incrementa el error Tipo I global. Esta dependencia secuencial genera un sesgo sistemático en el nivel de significancia. Zimmerman recomendó evitar el enfoque en dos etapas y utilizar directamente métodos robustos como el de Welch.

5.5 Correcciones basadas en la curtosis

Shoemaker (2003) propuso un conjunto de correcciones que incorporan la curtosis muestral en el estadístico de prueba (ajustando los grados de libertad de la referencia \(F\)/\(\chi^2\)). Estos métodos reducen la sensibilidad a colas pesadas y permiten obtener pruebas más estables en distribuciones leptocúrticas. Su trabajo abrió la puerta a métodos adaptativos que ajustan los procedimientos según la forma de la distribución.

5.6 Tamaños muestrales desiguales y condiciones realistas

La contribución de Parra-Frutos (2013) fue clave para comprender el impacto del desbalance muestral en la robustez de las pruebas de varianzas. Demostró que incluso pruebas robustas como Levene y Brown–Forsythe pueden presentar sesgos cuando el grupo con mayor varianza tiene también mayor tamaño muestral, incrementando la probabilidad de falsos positivos; también mostró que eliminar los “ceros estructurales” y emplear valores críticos estimados mejora sustancialmente el control del nivel. Este estudio es especialmente relevante para aplicaciones en educación, salud y ciencias sociales, donde el desbalance es común.

6 Ejemplos y Simulaciones

6.1 Ejemplo 1. Comportamiento de la prueba Chi–Cuadrado bajo normalidad

En un laboratorio de control de calidad se registra la variabilidad en el diámetro (medido en mm) de un componente metálico que, según especificaciones técnicas, debe tener una desviación estándar poblacional de: \[ \sigma_0 = 2 \text{ mm}. \] Para evaluar si el proceso se mantiene dentro de especificación, el analista toma una muestra aleatoria de tamaño \(n = 25\) piezas fabricadas bajo condiciones normales de operación. Se desea contrastar la hipótesis: \[ H_0 : \sigma^2 = \sigma_0^2 \qquad \text{vs.} \qquad H_1 : \sigma^2 \neq \sigma_0^2. \] Bajo el supuesto de normalidad del proceso, el estadístico: \[ W = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} \] sigue exactamente una distribución \(\chi^2_{n-1}\). El objetivo de este ejemplo es verificar empíricamente este resultado teórico mediante una simulación Monte Carlo.

Cálculo teórico del nivel de la prueba. El rechazo bilateral al nivel \(\alpha = 0.05\) ocurre si: \[ W < \chi^2_{0.025,\,24} \quad \text{o} \quad W > \chi^2_{0.975,\,24}. \]

Simulación en R

## ============================================================
## Ejemplo 1: W = (n-1)S^2 / sigma0^2 bajo normalidad
## ============================================================
set.seed(123)

# Parámetros
n        <- 25          # tamaño muestral
sigma0   <- 2           # desviación estándar hipotética
sigma2_0 <- sigma0^2    # varianza bajo H0
B        <- 10000       # réplicas Monte Carlo (diez mil)

# Función para generar una réplica del estadístico W
genera_W <- function() {
  x  <- rnorm(n, mean = 0, sd = sigma0)
  s2 <- var(x)                 # s^2 con denominador n-1
  (n - 1) * s2 / sigma2_0
}

# Simulación
W_sim <- replicate(B, genera_W())

## Nivel empírico de la prueba Chi–Cuadrado bilateral
alpha <- 0.05
c1 <- qchisq(alpha/2,     df = n - 1)
c2 <- qchisq(1 - alpha/2, df = n - 1)
rechazos <- mean(W_sim < c1 | W_sim > c2)
rechazos
## [1] 0.0509

El valor obtenido para el nivel empírico de la prueba resulta cercano a 0.05, confirmando la teoría. El histograma empírico se alinea con la curva \(\chi^2_{24}\):

## Histograma vs curva teórica Chi–Cuadrado
hist(W_sim, breaks = 40, freq = FALSE,
     main = "Distribución del estadístico W bajo normalidad",
     xlab = "W = (n-1)S^2 / sigma0^2", col = "grey85", border = "white")
curve(dchisq(x, df = n - 1), col = "red", lwd = 2, add = TRUE)
legend("topright", legend = c("Simulación", "Chi-cuadrado teórica"),
       col = c("grey60", "red"), lwd = c(6, 2))

El QQ–plot muestra los puntos sobre la línea \(y=x\), indicando concordancia entre la distribución simulada y la teórica:

## QQ-Plot contra la Chi–Cuadrado teórica
theoretical_q <- qchisq(ppoints(B), df = n - 1)
qqplot(theoretical_q, W_sim,
       main = "QQ-Plot: Simulación vs Chi–Cuadrado teórica",
       xlab = "Cuantiles teóricos Chi–Cuadrado",
       ylab = "Cuantiles empíricos de W",
       pch = 20, col = "blue")
abline(0, 1, col = "red", lwd = 2)

La proporción de rechazos simulada es muy cercana al nivel nominal. Bajo normalidad, el estadístico \(W = \dfrac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}\) sigue exactamente una distribución \(\chi^2_{n-1}\), por lo cual la prueba es exacta.

6.2 Ejemplo 2. Comportamiento de la prueba Chi–Cuadrado bajo no normalidad

En un estudio de control de calidad, una empresa desea evaluar si la variabilidad en el diámetro de una pieza fabricada por una máquina corresponde a la especificación histórica establecida en su manual técnico: \[H_0 : \sigma^2 = 1 \quad \text{vs.} \quad H_1 : \sigma^2 \neq 1.\] Sin embargo, el proceso de producción reciente muestra indicios de comportamientos atípicos: valores extremos ocasionados por desgaste del molde, sesgo debido a una presión irregular y sospecha de colas pesadas porque algunos lotes han presentado fallas severas. A pesar de ello, el analista decide aplicar la prueba Chi–Cuadrado clásica para varianzas, sin verificar normalidad.

Para estudiar qué tan confiable es esta decisión, se realiza una simulación Monte Carlo generando datos de distintas distribuciones no normales, todas estandarizadas a varianza igual a 1 para que la hipótesis nula sea verdadera en todos los casos y el estudio mida genuinamente el nivel (Error Tipo I):

  1. Log-normal (asimetría positiva y curtosis elevada),
  2. \(t\) de Student con 3 grados de libertad (colas muy pesadas),
  3. Uniforme (colas ligeras, platicúrtica).

Nota metodológica. Es indispensable estandarizar cada distribución a la misma varianza nominal \(\sigma_0^2=1\). Sin este paso, distribuciones como \(t_3\) (cuya varianza es \(3\)) harían \(H_0\) falsa, y la tasa de rechazo mezclaría el Error Tipo I con la potencia. La estandarización aísla el efecto de la forma de la distribución sobre el nivel.

## ============================================================
## Ejemplo 2: prueba Chi–Cuadrado bajo NO normalidad (estudio de tamaño)
## Todas las distribuciones se estandarizan a varianza = 1
## ============================================================
set.seed(123)
nsim   <- 5000     # número de simulaciones
n      <- 20       # tamaño muestral
sigma0 <- 1        # valor bajo H0
alpha  <- 0.05     # nivel nominal

c1 <- qchisq(alpha/2,     df = n - 1)
c2 <- qchisq(1 - alpha/2, df = n - 1)

# Indicador de rechazo para una muestra x
rechazo_chi <- function(x) {
  W <- (n - 1) * var(x) / sigma0^2
  (W < c1) | (W > c2)
}

# --- Generadores estandarizados a varianza = 1 ---
gen_norm    <- function() rnorm(n)                                   # var = 1
sd_ln       <- sqrt((exp(0.7^2) - 1) * exp(0.7^2))                   # sd de la log-normal
gen_lognorm <- function() rlnorm(n, 0, 0.7) / sd_ln                 # var = 1 (asimétrica)
gen_t3      <- function() rt(n, df = 3) / sqrt(3)                    # var(t_3) = 3 -> var = 1
gen_unif    <- function() runif(n, -sqrt(3), sqrt(3))               # var = 1 (platicúrtica)

# Niveles empíricos (tasa de rechazo bajo H0 verdadera)
niveles <- c(
  Normal    = mean(replicate(nsim, rechazo_chi(gen_norm()))),
  Lognormal = mean(replicate(nsim, rechazo_chi(gen_lognorm()))),
  t_df3     = mean(replicate(nsim, rechazo_chi(gen_t3()))),
  Uniforme  = mean(replicate(nsim, rechazo_chi(gen_unif())))
)
round(niveles, 4)
##    Normal Lognormal     t_df3  Uniforme 
##    0.0506    0.3596    0.3432    0.0028

La simulación muestra que, aun cuando todas las distribuciones tienen varianza 1, la prueba \(\chi^2\) para la varianza solo mantiene el nivel nominal bajo normalidad. Los valores empíricos (con set.seed(123); las magnitudes son estables para nsim grande) son del orden de:

  • Normal: \(\approx 0.05\) — la prueba es exacta.
  • \(t\) de Student con 3 g.l. (colas muy pesadas): nivel del orden de \(0.34\); la prueba es marcadamente liberal (muchos falsos positivos).
  • Log-normal (asimetría positiva y curtosis alta): nivel del orden de \(0.36\); también fuertemente liberal.
  • Uniforme (platicúrtica): nivel del orden de \(0.004\); la prueba resulta muy conservadora.

Estos resultados confirman empíricamente la predicción teórica: la curtosis positiva infla el Error Tipo I, mientras que la curtosis negativa lo deprime. La distorsión es severa incluso con \(n=20\), lo que evidencia que aplicar la prueba \(\chi^2\) sin verificar normalidad puede invalidar por completo las conclusiones inferenciales.

7 Métodos Bootstrap y de Remuestreo para Contrastar una Varianza Individual

7.1 Métodos Bootstrap para una varianza

El bootstrap (Efron y Tibshirani, 1993) reconstruye la distribución del estadístico de varianza mediante remuestreo con reemplazo, sin depender del supuesto de normalidad. Para contrastar \(H_0:\sigma^2=\sigma_0^2\), sin embargo, no basta con remuestrear la muestra original: como el remuestreo preserva aproximadamente la varianza observada, la distribución resultante quedaría centrada en \(S^2\) y no en \(\sigma_0^2\), produciendo un \(p\)-valor cercano a \(0.5\) que no contrasta nada. La solución es imponer la hipótesis nula reescalando los datos para que su varianza sea exactamente \(\sigma_0^2\).

Procedimiento (bootstrap con \(H_0\) impuesta). Dada una muestra \(x_1,\dots,x_n\):

  1. Calcular la varianza observada y el estadístico observado: \[ S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2, \qquad W_{\text{obs}} = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}. \]
  2. Reescalar los datos bajo \(H_0\): \[ \tilde x_i = \bar x + (x_i-\bar x)\,\frac{\sigma_0}{S}, \qquad \text{de modo que } \operatorname{Var}(\tilde x)=\sigma_0^2. \]
  3. Generar \(B\) muestras bootstrap \(\tilde x_1^*,\dots,\tilde x_n^*\) con reemplazo de \(\{\tilde x_i\}\) y calcular \[ W_b^* = \frac{(n-1)S_b^{*2}}{\sigma_0^2},\qquad b=1,\dots,B. \]
  4. Formar la distribución nula empírica \(\{W_1^*,\dots,W_B^*\}\).
  5. Calcular el \(p\)-valor bilateral: \[ p_{\text{boot}} = 2\,\min\!\left\{ \frac{\#\{W_b^*\ge W_{\text{obs}}\}}{B},\; \frac{\#\{W_b^*\le W_{\text{obs}}\}}{B} \right\}. \]

Se trata de una prueba aproximada (con validez asintótica), apropiada incluso con fuerte no normalidad. De forma equivalente, se puede invertir un intervalo de confianza bootstrap para \(\sigma^2\) y rechazar \(H_0\) si \(\sigma_0^2\) queda fuera del intervalo.

7.2 Sobre las pruebas de permutación para una sola varianza

Las pruebas de permutación (Fisher, 1935; Good, 1994, 2005) construyen la distribución nula reasignando aleatoriamente las observaciones, y ofrecen contrastes exactos y libres de distribución en el problema de comparación de dos o más grupos.

Advertencia clave. No existe una prueba de permutación válida para contrastar \(H_0:\sigma^2=\sigma_0^2\) reordenando una única muestra, porque la varianza muestral \(S^2\) es invariante ante permutaciones: reordenar (o reflejar) \(x_1,\dots,x_n\) no altera su valor. Cualquier “permutación” de una sola muestra deja \(S^2\) constante y produce un \(p\)-valor degenerado.

En consecuencia, para el problema de una sola varianza el remuestreo adecuado es el bootstrap con \(H_0\) impuesta descrito arriba (o la inversión de un intervalo de confianza). Las pruebas de permutación para varianzas se reservan para el caso de \(k\) grupos, donde se permutan las etiquetas de grupo de las desviaciones absolutas \(|X_{ij}-M_i|\) (marco Levene / Brown–Forsythe), preservando la estructura intragrupo y destruyendo la asociación entre grupo y dispersión.

7.2.1 Ejemplo

set.seed(123)
# Datos simulados no normales (log-normal)
x      <- rlnorm(30, meanlog = 0, sdlog = 0.7)
sigma0 <- 1
n      <- length(x)

# Estadístico observado
S2_obs <- var(x)
W_obs  <- (n - 1) * S2_obs / sigma0^2

## ---------------------------------------------------------
## Bootstrap para la varianza con la hipótesis nula IMPUESTA
## ---------------------------------------------------------
# Reescalado: la muestra transformada tiene varianza = sigma0^2
x0 <- mean(x) + (x - mean(x)) * (sigma0 / sd(x))

B      <- 5000
W_boot <- numeric(B)
for (b in 1:B) {
  xb        <- sample(x0, replace = TRUE)
  W_boot[b] <- (n - 1) * var(xb) / sigma0^2
}

# p-valor bootstrap bilateral
p_boot <- 2 * min(mean(W_boot >= W_obs), mean(W_boot <= W_obs))
p_boot <- min(p_boot, 1)
p_boot
## [1] 0.5512

Como la muestra log-normal simulada tiene una varianza muy próxima a 1, el \(p\)-valor resulta elevado y no hay evidencia suficiente para rechazar \(H_0:\sigma^2=1\). Lo relevante es que este contraste es robusto frente a la falta de normalidad: la distribución del estadístico se estima empíricamente a partir de los datos, sin invocar la aproximación \(\chi^2\).

## ---------------------------------------------------------
## Distribución bootstrap (H0 impuesta) vs. Chi–Cuadrado teórica
## ---------------------------------------------------------
hist(W_boot, breaks = 40, freq = FALSE,
     main = "Bootstrap con H0 impuesta vs. Chi-cuadrado teórica",
     xlab = "W* = (n-1)S*^2 / sigma0^2",
     col = "lightblue", border = "white")
curve(dchisq(x, df = n - 1), add = TRUE, col = "red", lwd = 2)
abline(v = W_obs, col = "darkgreen", lwd = 3, lty = 2)
abline(v = quantile(W_boot, c(0.025, 0.975)), col = "purple", lwd = 2, lty = 3)
legend("topright",
       legend = c("Bootstrap (H0)", "Chi-cuadrado teórica",
                  "W observado", "IC 95% bootstrap"),
       col = c("lightblue", "red", "darkgreen", "purple"),
       lwd = c(6, 2, 3, 2), lty = c(1, 1, 2, 3), bty = "n", cex = 0.8)

El bootstrap con \(H_0\) impuesta no requiere normalidad y funciona incluso con distribuciones log-normal, \(t\) de Student, Pareto o datos con valores atípicos, ofreciendo contrastes más estables que la prueba \(\chi^2\) cuando hay colas pesadas, asimetría extrema o curtosis elevada. Es el método recomendado cuando la docimasia condicionada exacta no puede aplicarse por violación severa de la normalidad.

8 Alternativas Robustas

8.1 Prueba de Levene

Es uno de los métodos clásicos para evaluar la igualdad de varianzas en \(k\) poblaciones. Fue propuesta (Levene, 1960) como una alternativa robusta a la prueba basada en el estadístico Chi–Cuadrado o \(F\), cuya distribución se ve seriamente afectada bajo no normalidad. La prueba de Levene reduce la influencia de la distribución original al transformar los datos mediante desviaciones absolutas respecto a la media de cada grupo.

Objetivo: probar la hipótesis \[ H_0 : \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \cdots = \sigma_k^2 \qquad \text{vs.} \qquad H_1 : \text{al menos dos varianzas difieren}. \]

Definición del estadístico

Para cada grupo \(i=1,\ldots,k\), sea \(X_{ij}\) la observación \(j\) del grupo \(i\). Primero se calcula la media de cada grupo: \[ \bar X_i = \frac{1}{n_i}\sum_{j=1}^{n_i} X_{ij}, \] y luego las desviaciones absolutas respecto a la media: \[ Z_{ij} = | X_{ij} - \bar X_i |. \] La prueba de Levene consiste en realizar un ANOVA unifactorial sobre los \(Z_{ij}\): \[ F = \frac{ \displaystyle \frac{1}{k-1}\sum_{i=1}^k n_i (\bar Z_i - \bar Z)^2 }{ \displaystyle \frac{1}{N-k}\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{n_i} (Z_{ij} - \bar Z_i)^2 }, \qquad N = \sum_{i=1}^k n_i. \] Bajo la hipótesis nula: \[ F \sim F_{k-1,\; N-k} \quad \text{(aprox.)} \] cuando los \(Z_{ij}\) son aproximadamente simétricos. Evaluar las varianzas mediante \(Z_{ij}\) en lugar de \(X_{ij}\) reduce la sensibilidad a:

  • desviaciones de normalidad
  • valores atípicos
  • colas pesadas
  • diferencias en asimetría entre grupos.

Sin embargo, como \(Z_{ij}\) depende de la media, la prueba sigue siendo algo sensible a distribuciones con fuerte asimetría. Esta limitación motivó la modificación de Brown–Forsythe.

8.2 Prueba de Brown–Forsythe (basada en la mediana)

La prueba de Brown–Forsythe (Brown y Forsythe, 1974) es una modificación de la prueba de Levene diseñada para mejorar su robustez frente a distribuciones asimétricas y leptocúrticas. Mientras que Levene utiliza las desviaciones absolutas respecto a la media, Brown–Forsythe emplea la mediana, lo que reduce drásticamente la influencia de valores extremos.

Objetivo. Contrastar la igualdad de varianzas entre \(k\) poblaciones: \[ H_0 : \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \cdots = \sigma_k^2 \qquad \text{vs.} \qquad H_1 : \text{al menos dos varianzas difieren}. \]

Definición del estadístico

Sea \(X_{ij}\) la observación \(j\) del grupo \(i\) (\(i=1,\ldots,k\)). Para cada grupo se define la mediana \[ M_i = \text{mediana}(X_{i1}, X_{i2},\ldots,X_{in_i}) \] y las desviaciones absolutas respecto a la mediana: \[ Z_{ij} = | X_{ij} - M_i |. \] La prueba consiste en realizar un ANOVA unifactorial sobre \(Z_{ij}\), con estadístico \[ F = \frac{ \displaystyle \frac{1}{k-1}\sum_{i=1}^{k} n_i(\bar{Z}_i - \bar{Z})^2 }{ \displaystyle \frac{1}{N-k}\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_i} (Z_{ij} - \bar{Z}_i)^2 }, \qquad N = \sum_i n_i. \] Bajo \(H_0\), aproximadamente \(F \sim F_{k-1,\, N-k}\).

Ventajas

  • Robusta a datos con colas pesadas y valores atípicos.
  • Mantiene bien el nivel \(\alpha\) bajo asimetría, mejor que la prueba clásica de Levene.
  • Recomendada cuando las distribuciones son no normales o se sospecha la presencia de valores extremos.

Limitaciones

  • Ligera pérdida de potencia respecto a la versión de Levene basada en la media cuando los datos son realmente normales.
  • No controla perfectamente el nivel \(\alpha\) bajo distribuciones con colas extremadamente pesadas.
  • Puede verse afectada por desbalance muestral severo (Parra-Frutos, 2013), especialmente cuando el grupo con mayor varianza tiene también mayor tamaño.

9 Recomendaciones Prácticas

  1. Análisis exploratorio inicial
    • Gráficos Q–Q, histogramas y diagramas de caja.
    • Cálculo de asimetría y curtosis.
    • Detección de valores atípicos.
  2. Pruebas de normalidad
    • Shapiro–Wilk para muestras pequeñas y moderadas (\(n < 50\)).
    • Anderson–Darling o Lilliefors para muestras mayores (\(n \geq 50\)).
    • Complementar siempre con métodos gráficos, en especial para muestras grandes.
  3. Selección de la prueba
    • Si la normalidad se verifica: Chi–Cuadrado (una muestra), prueba \(F\) (dos muestras), Bartlett (múltiples muestras).
    • Si hay no normalidad: Levene (desviaciones absolutas respecto a la media), Brown–Forsythe (modificación de Levene basada en la mediana) y Fligner–Killeen (basada en rangos, muy robusta a valores atípicos).
    • Para confirmación: métodos bootstrap con \(H_0\) impuesta (para estimar empíricamente la distribución del estadístico) y, en el caso de comparación de grupos, pruebas de permutación (para un control aproximado del Error Tipo I).

10 Conclusiones

  • La prueba Chi–Cuadrado para varianzas representa un caso ejemplar de docimasia condicionada, donde la validez inferencial depende críticamente del supuesto de normalidad. Su exactitud es consecuencia directa de la suficiencia y completitud del par \((\bar X, T_2)\) y de la independencia \(\bar X \perp S^2\) garantizada por el Teorema de Basu.

  • La prueba Chi–Cuadrado manifiesta una sensibilidad extrema a las desviaciones del supuesto de normalidad, con efectos direccionales predecibles según la curtosis poblacional. Las distribuciones leptocúrticas generan inflación del Error Tipo I, tornando la prueba liberal, mientras que las distribuciones platicúrticas producen el efecto contrario. Las simulaciones confirman distorsiones severas (niveles reales del orden de 0.34–0.36 frente a 0.05 nominal para colas pesadas) incluso con tamaños muestrales moderados.

  • Una práctica estadística responsable requiere análisis exploratorios comprehensivos que evalúen normalidad, asimetría y curtosis, complementados con métodos robustos (Levene, Brown–Forsythe, Fligner–Killeen) y de remuestreo (bootstrap con \(H_0\) impuesta) cuando exista incertidumbre distribucional.

Referencias

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