Aufgabe (aus dem Bild übertragen)

Gegeben ist die Funktion 𝑓 ( 𝑥 ) = 16 − 𝑥 2 f(x)=16−x 2 . Der Graph dieser Funktion schließt mit der 𝑥 x-Achse eine Fläche ein. In dieser Fläche soll ein Rechteck liegen, dessen Seiten auf bzw. parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. Die beiden oberen Eckpunkte sollen auf dem Graphen liegen, die unteren Eckpunkte liegen auf der 𝑥 x-Achse.

  1. Bestimmen Sie die Nullstellen von 𝑓 f und den Scheitelpunkt des Graphen. Fertigen Sie eine Skizze des Graphen und eines solchen Rechtecks an.

  2. Berechnen Sie, wo die Eckpunkte liegen müssen, damit das Rechteck einen möglichst großen Flächeninhalt hat.

Aufgabenstellung

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x) = 16 - x^2\). Der Graph dieser Funktion schließt mit der x-Achse eine Fläche ein. In dieser Fläche soll ein Rechteck liegen, dessen Seiten auf bzw. parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. Die beiden oberen Eckpunkte sollen auf dem Graphen liegen, die unteren Eckpunkte liegen auf der x-Achse.

a) Bestimmen Sie die Nullstellen von f und den Scheitelpunkt des Graphen. Fertigen Sie eine Skizze des Graphen und solch eines Rechtecks an.

b) Berechnen Sie, wo die Eckpunkte liegen müssen, damit das Rechteck einen möglichst großen Flächeninhalt hat.

Lösung

Teil a) Nullstellen und Scheitelpunkt

Nullstellen berechnen

Die Nullstellen einer Funktion sind die x-Werte, für die \(f(x) = 0\) gilt.

\[f(x) = 16 - x^2 = 0\]

Umstellen nach \[x\]:

\[x^2 = 16\]

\[x = \pm 4\]

Ergebnis: Die Nullstellen sind \[x_1 = -4\] und \[x_2 = 4\].

Scheitelpunkt bestimmen

Die Funktion \[f(x) = 16 - x^2\] ist eine nach unten geöffnete Parabel in Scheitelpunktform.

Allgemeine Form: \[f(x) = a(x-d)^2 + e\], wobei \[(d|e)\] der Scheitelpunkt ist.

Unsere Funktion: \[f(x) = -1(x-0)^2 + 16\]

Ergebnis: Der Scheitelpunkt ist \[S(0|16)\].

Skizze erstellen