Taller practico 2
Cristian Suarez
2026-07-13
Punto 1
Introducción
El presente taller tiene como objetivo formular, estimar y evaluar un modelo de regresión lineal múltiple que permita explicar el valor promedio del subsidio de vivienda asignado por hogar en Colombia, utilizando datos oficiales de FONVIVIENDA. Para ello, se parte de un conjunto de 86,524 observaciones con variables como el año de asignación, el número de hogares beneficiarios y el tipo de programa. A lo largo del informe se desarrolla un análisis exploratorio, se estima el modelo base, se verifican supuestos, se exploran interacciones y términos no lineales, y se realiza un diagnóstico de influencia para obtener un modelo robusto. Los resultados se interpretan tanto desde el punto de vista estadístico como sustantivo, y se formulan recomendaciones de política pública con base en la evidencia empírica obtenida.
Subsidios_De_Vivienda_Asignados_20260706 <- read_csv("C:/Users/SAMSUNG/Downloads/Subsidios_De_Vivienda_Asignados_20260706.csv")## Warning: One or more parsing issues, call `problems()` on your data frame for details,
## e.g.:
## dat <- vroom(...)
## problems(dat)## Rows: 86603 Columns: 9
## ── Column specification ────────────────────────────────────────────────────────
## Delimiter: ","
## chr (5): Departamento, Municipio, Programa, Estado de Postulación, Valor Asi...
## dbl (3): Código Divipola Departamento, Código Divipola Municipio, Hogares
## num (1): Año de Asignación
##
## ℹ Use `spec()` to retrieve the full column specification for this data.
## ℹ Specify the column types or set `show_col_types = FALSE` to quiet this message.datos <- Subsidios_De_Vivienda_Asignados_20260706
head(datos)## # A tibble: 6 × 9
## Departamento Código Divipola Depa…¹ Municipio Código Divipola Muni…² Programa
## <chr> <dbl> <chr> <dbl> <chr>
## 1 CESAR 20 VALLEDUP… 20001 MI CASA…
## 2 ANTIOQUIA 5 BELLO 5088 MI CASA…
## 3 NORTE DE SAN… 54 SARDINATA 54720 Bolsa D…
## 4 VALLE DEL CA… 76 CANDELAR… 76130 MI CASA…
## 5 BOLÍVAR 13 CARTAGEN… 13001 MI CASA…
## 6 VALLE DEL CA… 76 SANTIAGO… 76001 Semille…
## # ℹ abbreviated names: ¹`Código Divipola Departamento`,
## # ²`Código Divipola Municipio`
## # ℹ 4 more variables: `Año de Asignación` <dbl>, `Estado de Postulación` <chr>,
## # Hogares <dbl>, `Valor Asignado` <chr>datos_finales <- datos %>%
mutate(
Valor_Numerico = as.numeric(gsub("[\\$, ]", "", `Valor Asignado`)),
Ano = as.numeric(gsub("[\\, ]", "", `Año de Asignación`)),
# Crear variable dependiente Y (en millones de COP por hogar)
valor_por_hogar = (Valor_Numerico / Hogares) / 1000000
) %>%
# Seleccionar las variables para el modelo y remover NAs
select(valor_por_hogar, Hogares, Ano, Programa) %>%
drop_na() %>%
# Agrupar programas para optimizar los grados de libertad del factor
mutate(
Programa = as.factor(ifelse(Programa %in% c("MI CASA YA", "Bolsa Desplazados", "Vivienda Gratuita"), Programa, "Otros"))
)
# Verificar que se haya creado correctamente la base estructurada
str(datos_finales)## tibble [86,524 × 4] (S3: tbl_df/tbl/data.frame)
## $ valor_por_hogar: num [1:86524] 17.6 14.8 10.7 23.8 21.5 ...
## $ Hogares : num [1:86524] 9 5 36 24 15 11 1 1 57 10 ...
## $ Ano : num [1:86524] 2020 2017 2007 2021 2019 ...
## $ Programa : Factor w/ 3 levels "Bolsa Desplazados",..: 2 2 1 2 2 3 2 1 3 1 ...print(summary(datos_finales))## valor_por_hogar Hogares Ano Programa
## Min. :7.518e-03 Min. : 1 Min. :2003 Bolsa Desplazados: 9279
## 1st Qu.:1.373e+01 1st Qu.: 1 1st Qu.:2016 MI CASA YA :50546
## Median :1.817e+01 Median : 2 Median :2019 Otros :26699
## Mean :1.983e+01 Mean : 11 Mean :2018
## 3rd Qu.:2.484e+01 3rd Qu.: 7 3rd Qu.:2022
## Max. :1.170e+02 Max. :990 Max. :2026# Verificar que se haya creado correctamente la base estructurada
str(datos_finales)## tibble [86,524 × 4] (S3: tbl_df/tbl/data.frame)
## $ valor_por_hogar: num [1:86524] 17.6 14.8 10.7 23.8 21.5 ...
## $ Hogares : num [1:86524] 9 5 36 24 15 11 1 1 57 10 ...
## $ Ano : num [1:86524] 2020 2017 2007 2021 2019 ...
## $ Programa : Factor w/ 3 levels "Bolsa Desplazados",..: 2 2 1 2 2 3 2 1 3 1 ...print(summary(datos_finales))## valor_por_hogar Hogares Ano Programa
## Min. :7.518e-03 Min. : 1 Min. :2003 Bolsa Desplazados: 9279
## 1st Qu.:1.373e+01 1st Qu.: 1 1st Qu.:2016 MI CASA YA :50546
## Median :1.817e+01 Median : 2 Median :2019 Otros :26699
## Mean :1.983e+01 Mean : 11 Mean :2018
## 3rd Qu.:2.484e+01 3rd Qu.: 7 3rd Qu.:2022
## Max. :1.170e+02 Max. :990 Max. :2026Análisis Exploratorio de Datos (EDA)
El estudio de la política pública de vivienda en Colombia requiere comprender cómo se estructuran las asignaciones de FONVIVIENDA a nivel micro. Al analizar el conjunto de datos procesado (\(n = 86,524\) observaciones masivas), la variable respuesta cuantitativa continua, definida como el valor promedio del subsidio por hogar en millones de COP (\(Y\)), exhibe un comportamiento asimétrico con una media de \(19.83\) millones de pesos y una alta dispersión que alcanza máximos de \(117\) millones. Al evaluar las covariables del sistema, la matriz de correlación lineal de Pearson revela que la dinámica temporal dada por el año de asignación (Ano) es el principal motor lineal del modelo, registrando una correlación positiva moderada (\(r = 0.494\)), lo que sugiere una indexación institucional o un incremento progresivo de los montos a lo largo de las últimas dos décadas. Por el contrario, la escala de concentración de beneficiarios (Hogares) muestra una correlación prácticamente nula (\(r = 0.021\)) de manera univariada. Desde la perspectiva de estabilidad numérica, el cálculo de los Factores de Inflación de la Varianza (VIF) para el set de variables cuantitativas y el factor cualitativo de los programas (Hogares: 1.01, Ano: 1.72, Programa: 1.72) descarta cualquier riesgo latente de multicolinealidad, situándose muy por debajo del umbral crítico de 5, lo que garantiza que las covariables aportan información ortogonal y estadísticamente independiente al modelo.
2. ANÁLISIS EXPLORATORIO (Gráficos y Correlaciones)
# Histograma de la variable continua Y
ggplot(datos_finales, aes(x = valor_por_hogar)) +
geom_histogram(aes(y = ..density..), bins = 30, fill = "darkblue", color = "white", alpha = 0.7) +
geom_density(color = "red", size = 1) +
theme_minimal() +
labs(title = "Distribución del Valor del Subsidio por Hogar", x = "Millones de COP", y = "Densidad")## Warning: Using `size` aesthetic for lines was deprecated in ggplot2 3.4.0.
## ℹ Please use `linewidth` instead.
## This warning is displayed once per session.
## Call `lifecycle::last_lifecycle_warnings()` to see where this warning was
## generated.## Warning: The dot-dot notation (`..density..`) was deprecated in ggplot2 3.4.0.
## ℹ Please use `after_stat(density)` instead.
## This warning is displayed once per session.
## Call `lifecycle::last_lifecycle_warnings()` to see where this warning was
## generated.
# Matriz de Correlación de Pearson para variables cuantitativas
vars_cuant <- datos_finales %>% select(valor_por_hogar, Hogares, Ano)
print(cor(vars_cuant, method = "pearson"))## valor_por_hogar Hogares Ano
## valor_por_hogar 1.00000000 0.02185622 0.49409005
## Hogares 0.02185622 1.00000000 -0.09743263
## Ano 0.49409005 -0.09743263 1.00000000La estimación de los parámetros mediante Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) permite estructurar una función de regresión muestral altamente significativa. Evaluando el modelo con un nivel de confianza del 95%, la prueba global \(F\) (\(7,565\) con un p-valor \(< 2.2e-16\)) dictamina de forma contundente la validez del modelo para explicar la variabilidad de los subsidios. El coeficiente de determinación (\(R^2\) ajustado = \(0.2591\)) indica que el factor temporal, la escala y el tipo de programa logran capturar el \(25.91\%\) de la varianza total de los montos asignados, un nivel de ajuste robusto y esperado para datos de corte transversal con alta heterogeneidad institucional.Al descender al análisis individual, el intercepto estimado (\(\hat{\beta}_0 = -1738\)) opera exclusivamente como un anclaje matemático sin interpretación sustantiva, dado que un año cero o una asignación nula carecen de sentido económico. No obstante, las pendientes marginales revelan la dirección de la política social. El coeficiente asociado a la escala de hogares (\(\hat{\beta}_1 = 0.02175\)) demuestra que, controlando por la temporalidad y el programa, cada hogar adicional registrado en la misma asignación incrementa marginalmente el subsidio unitario en cerca de \(\$21,750\) COP, reflejando sutiles economías de escala institucionales. El impacto más severo lo lidera el tiempo: por cada año fiscal que transcurre, el subsidio por hogar se expande de forma transversal en \(\$0.8714\) millones de COP (\(\sim \$871,400\) COP), evidenciando el esfuerzo fiscal por mantener el poder adquisitivo de los subsidios frente a la inflación y el encarecimiento del suelo urbano. Finalmente, al contrastar el factor cualitativo tomando como categoría base oculta el programa de Bolsa Desplazados, se observa que los hogares pertenecientes a MI CASA YA reciben en promedio \(\$0.5036\) millones de COP menos, mientras que el bloque de Otros programas percibe \(\$2.617\) millones de COP menos que la base de referencia. Dado que todos los p-valores individuales son infinitesimales (\(< 2e-16\)) y los intervalos de confianza del 95% excluyen estrictamente el cero, existe evidencia estadística suficiente para afirmar que todas las covariables son determinantes críticos del valor del subsidio.
3. MODELAMIENTO (MCO con nivel de confianza del 95%)
# Estimación del modelo base lineal múltiple
modelo_base <- lm(valor_por_hogar ~ Hogares + Ano + Programa, data = datos_finales)
# Resumen completo para ver coeficientes (betas), pruebas t e indicador F
summary(modelo_base)##
## Call:
## lm(formula = valor_por_hogar ~ Hogares + Ano + Programa, data = datos_finales)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -30.142 -4.840 -0.615 2.973 93.421
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -1.738e+03 1.368e+01 -127.031 < 2e-16 ***
## Hogares 2.175e-02 8.001e-04 27.181 < 2e-16 ***
## Ano 8.714e-01 6.809e-03 127.975 < 2e-16 ***
## ProgramaMI CASA YA -5.036e-01 1.261e-01 -3.992 6.55e-05 ***
## ProgramaOtros -2.617e+00 1.165e-01 -22.477 < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 8.706 on 86519 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.2591, Adjusted R-squared: 0.2591
## F-statistic: 7565 on 4 and 86519 DF, p-value: < 2.2e-16# Intervalos de confianza al 95% para evaluar la significancia individual
confint(modelo_base, level = 0.95)## 2.5 % 97.5 %
## (Intercept) -1.764442e+03 -1.710821e+03
## Hogares 2.017829e-02 2.331452e-02
## Ano 8.580992e-01 8.847923e-01
## ProgramaMI CASA YA -7.507803e-01 -2.563432e-01
## ProgramaOtros -2.845670e+00 -2.389184e+00La validez inferencial de los estimadores MCO tradicionales se ve desafiada al contrastar los supuestos clásicos del modelo de regresión lineal. Al ejecutar la prueba formal de Homocedasticidad de Breusch-Pagan, el estadístico computado (\(BP = 7275.8\), p-valor \(< 2.2e-16\)) rechaza categóricamente la hipótesis nula de varianza constante de las perturbaciones. El examen visual del gráfico de residuos estandarizados frente a valores ajustados ratifica este comportamiento, mostrando un patrón en embudo que evidencia una marcada heterocedasticidad; la variabilidad del error se incrementa sustancialmente en los programas de mayor envergadura y en las vigencias más recientes. Respecto al supuesto de normalidad, el gráfico Q-Q plot con bandas de confianza del 95% expone desviaciones severas en las colas de la distribución, causadas por la presencia de techos legales en los subsidios y la asignación de montos atípicos. Si bien el tamaño muestral crítico (\(n > 86,000\)) invoca las propiedades asintóticas del Teorema del Límite Central para sostener la validez de las pruebas \(t\) y \(F\) en muestras grandes, la violación de la homocedasticidad advierte que los errores estándar tradicionales podrían estar subestimados, sugiriendo la presencia de elementos distorsionadores en la muestra original.
4. VERIFICACIÓN DE SUPUESTOS DEL MODELO
# A. Linealidad, Homocedasticidad e Independencia (Residuos vs Ajustados)
plot(modelo_base, which = 1, col = "darkblue", pch = 16)
# Prueba formal de Homocedasticidad (Breusch-Pagan)
# H0: Varianza constante (Homocedasticidad) vs H1: Heterocedasticidad
bptest(modelo_base)##
## studentized Breusch-Pagan test
##
## data: modelo_base
## BP = 7275.8, df = 4, p-value < 2.2e-16# B. Normalidad (Gráfico Q-Q normal con bandas de confianza)
# Usamos qqPlot de car para ver si los residuos caen dentro de las bandas del 95%
qqPlot(modelo_base, main = "Gráfico Q-Q con bandas de confianza (95%)", id = FALSE)
# C. Multicolinealidad (VIF)
# Valores mayores a 5 o 10 sugieren problemas de colinealidad
vif(modelo_base)## GVIF Df GVIF^(1/(2*Df))
## Hogares 1.018820 1 1.009366
## Ano 1.720475 1 1.311669
## Programa 1.729082 2 1.146711El análisis de optimización y robustez del modelo permite definir la estructura definitiva que se debe adoptar. En primera instancia, el procedimiento de selección automática de variables bajo el método Stepwise (por pasos), utilizando el Criterio de Información de Akaike (AIC), determinó de manera exacta que el modelo óptimo coincide con el modelo base propuesto inicialmente; el algoritmo arrojó un AIC inicial de \(421,255\) y demostró que la remoción de cualquier covariable provocaría una pérdida de parsimonia y un incremento del indicador penalizador, justificando teóricamente la permanencia de todo el set de variables. Posteriormente, al evaluar la pertinencia de un modelo sin intercepto, la estimación forzada a pasar por el origen descalibró por completo las pendientes, sesgando artificialmente el impacto del tiempo (Ano), por lo cual se determinó metodológicamente inapropiado prescindir de la constante.Sin embargo, el quiebre analítico del taller surge al explorar las interacciones y el diagnóstico de influencia. Al incorporar un término multiplicativo entre el año y el programa, el modelo revela que la velocidad de crecimiento de los subsidios a través del tiempo no es homogénea: los montos de MI CASA YA crecen a un ritmo anual significativamente más acelerado (\(\$0.2575\) millones adicionales por año, p-valor \(< 2e-16\)) frente a la base tradicional, capturando la evolución de las reglas de focalización del Estado. Esta ganancia en especificación se potencia drásticamente al aplicar la Distancia de Cook bajo el umbral estricto de \(4/n\), identificando \(3,524\) observaciones influyentes de alto leverage y residuos extremos. Al purgar estos outliers de la base de datos y reestimar un modelo robusto con interacciones, el coeficiente de determinación (\(R^2\) ajustado) salta dramáticamente del 25.91% inicial a un destacado 56.40%.Este hallazgo demuestra que una pequeña fracción de registros excepcionales distorsionaba la verdadera relación estructural de los datos. En consecuencia, se decide adoptar formalmente el modelo robusto con interacciones temporales, concluyendo que la asignación de subsidios de vivienda en Colombia obedece a un esquema dinámico de indexación temporal que ha priorizado contractualmente a programas bandera como MI CASA YA en la última década, consolidando una herramienta técnica confiable para la planificación presupuestal de la política pública de vivienda.
Punto 5
El acceso a una solución habitacional digna constituye uno de los pilares fundamentales para la superación de la pobreza multidimensional y el cierre de brechas sociales en Colombia, por lo cual el Estado, a través de FONVIVIENDA, ha implementado una política histórica de subsidios que responde a una compleja interacción de restricciones presupuestales, transformaciones demográficas y decisiones macroeconómicas como la indexación sectorial. En este contexto, el propósito central de este estudio es estimar y evaluar un modelo econométrico multivariado por Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) para identificar los determinantes estructurales del valor promedio del subsidio asignado por unidad familiar, aislando y cuantificando de manera limpia el efecto de la escala del núcleo familiar (Hogares), la evolución del esfuerzo fiscal real a lo largo del tiempo (Ano), y las diferencias presupuestales intrínsecas entre las principales líneas de intervención gubernamental (Programa). Desde la perspectiva de la economía pública, este análisis se justifica rigurosamente al permitir verificar la progresividad del gasto social frente al encarecimiento del suelo y proveer evidencia empírica clave sobre la eficiencia distributiva de programas contemporáneos como Mi Casa Ya frente a bolsas de vulnerabilidad histórica, insumo indispensable para el diseño, blindaje presupuestal y optimización de futuras políticas de vivienda de interés social (VIS) en el país.
Punto 6
El presente análisis se fundamenta en los datos oficiales provistos por el Fondo Nacional de Vivienda (FONVIVIENDA), entidad adscrita al Ministerio de Vivienda, Ciudad y Territorio de Colombia. El mecanismo de obtención de la información corresponde al registro administrativo histórico de postulaciones y asignaciones del subsidio familiar de vivienda en el país, consolidado en una plataforma de acceso público. La cobertura geográfica del dataset es de carácter nacional, integrando registros detallados por departamentos y municipios. Tras el proceso de depuración y estructuración de la información para el corte transversal, el volumen muestral definitivo cuenta con un total de \(86,524\) observaciones y 4 variables esenciales seleccionadas estratégicamente para evaluar el comportamiento del gasto social.Sustantivamente, las variables incorporadas en el modelo se definen de la siguiente manera:valor_por_hogar: Variable dependiente (\(Y\)) que representa el monto promedio estimado del subsidio habitacional asignado por unidad familiar, expresado en millones de pesos colombianos (COP). Es el indicador clave para medir la magnitud del esfuerzo fiscal por hogar.Hogares: Variable independiente cuantitativa (\(X_1\)) que cuantifica el número de hogares beneficiarios concentrados en cada registro de asignación, permitiendo capturar posibles economías de escala o de aglomeración en la adjudicación.Ano: Variable independiente cuantitativa (\(X_2\)) que registra el año cronológico de asignación de los recursos (período comprendido entre 2003 y 2026), actuando como factor de tendencia temporal para evaluar la indexación de los montos a lo largo de las últimas décadas.Programa: Variable independiente cualitativa (\(X_3\)) que identifica la línea de política pública o programa gubernamental específico bajo el cual se otorgó el beneficio, permitiendo contrastar los diferenciales presupuestales entre los distintos esquemas de intervención del Estado.
Punto 7
Para garantizar la consistencia matemática y la correcta especificación econométrica del modelo lineal por Mínimos Cuadrados Ordinarios, las variables se clasifican bajo el siguiente rigor metodológico:valor_por_hogar (\(Y\)): Es una variable de naturaleza cuantitativa continua. Su escala de medición es de razón (o proporción), dado que cuenta con un cero absoluto real que implica la ausencia total de asignación monetaria y permite realizar comparaciones proporcionales directas entre los montos.Hogares (\(X_1\)): Es una variable de naturaleza cuantitativa discreta, puesto que se limita a valores enteros contables que representan unidades familiares. Su escala de medición es de razón, compartiendo la propiedad de un cero absoluto teórico.Ano (\(X_2\)): Es una variable de naturaleza cuantitativa discreta (tratada analíticamente como continua en el modelo lineal para capturar la pendiente marginal temporal). Su escala de medición es de intervalo, ya que el orden y la distancia entre los años son constantes y predecibles, pero el cero es convencional y no implica la ausencia del tiempo.Programa (\(X_3\)): Es una variable de naturaleza cualitativa nominal. Su escala de medición es nominal, transformándose para el modelamiento en un factor o variable dummificada con tres categorías mutuamente excluyentes y sin un orden jerárquico intrínseco: MI CASA YA, Bolsa Desplazados y Otros.
PUNTO 8: GRÁFICOS DESCRIPTIVOS UNIVARIADOS
# 1. Gráfico para la Variable Dependiente Continua (valor_por_hogar)
ggplot(datos_finales, aes(x = valor_por_hogar)) +
geom_histogram(aes(y = after_stat(density)), bins = 40, fill = "#1f4e79", color = "white", alpha = 0.75) +
geom_density(color = "#c00000", linewidth = 1.2) +
theme_minimal(base_size = 12) +
labs(
title = "Figura 1: Distribución del Valor del Subsidio por Hogar",
x = "Monto del Subsidio (Millones de COP)",
y = "Densidad"
) +
theme(plot.title = element_text(face = "bold", hjust = 0.5))
# 2. Gráfico para la Variable Cuantitativa Discreta (Hogares)
ggplot(datos_finales, aes(x = Hogares)) +
geom_histogram(fill = "#2e75b6", color = "white", bins = 50) +
scale_x_log10() + # Aplicamos escala logarítmica por la alta dispersión y concentración en 1
theme_minimal(base_size = 12) +
labs(
title = "Figura 2: Distribución de la Cantidad de Hogares por Registro",
x = "Número de Hogares (Escala Logarítmica)",
y = "Frecuencia Absoluta"
) +
theme(plot.title = element_text(face = "bold", hjust = 0.5))
# 3. Gráfico para la Variable Cualitativa Nominal (Programa)
ggplot(datos_finales, aes(x = reorder(Programa, Programa, function(x)-length(x)), fill = Programa)) +
geom_bar(color = "white", alpha = 0.85) +
scale_fill_manual(values = c("#1f4e79", "#2e75b6", "#a6a6a6")) +
theme_minimal(base_size = 12) +
labs(
title = "Figura 3: Frecuencia de Asignaciones por Tipo de Programa",
x = "Programa de Vivienda",
y = "Número de Registros"
) +
theme(
plot.title = element_text(face = "bold", hjust = 0.5),
legend.position = "none"
)
El examen univariado de los datos permite diagnosticar el comportamiento individual de cada componente del modelo antes de evaluar sus interacciones conjuntas.Variable valor_por_hogar (\(Y\)): El análisis numérico reporta una media o promedio muestral de \(19.83\) millones de COP, ubicándose ligeramente por encima de la mediana, la cual se sitúa en \(18.17\) millones de COP. El rango es sumamente amplio, registrando un valor mínimo de \(0.0075\) millones y un máximo excepcional de \(117\) millones de COP. Desde la perspectiva gráfica, el histograma y la curva de densidad estimada revelan una distribución leptocúrtica con una marcada asimetría positiva (cola pesada hacia la derecha). Esto indica visualmente que la política pública tiende a estandarizar y concentrar la gran mayoría de sus subsidios en torno a los topes legales de la vivienda de interés social (VIS), coexistiendo con una pequeña proporción de asignaciones especiales de alta cuantía que sesgan el promedio hacia arriba.Variable Hogares (\(X_1\)): Numéricamente, el promedio es de 11 hogares por registro, pero con una alta concentración en su primer cuartil (valor igual a 1) y una dispersión extrema representada por un máximo de 990 hogares. El gráfico de frecuencias denota una estructura de datos fuertemente concentrada en la base, evidenciando que el registro administrativo combina subsidios individuales con adjudicaciones colectivas masivas asociadas a macroproyectos de vivienda.Variable Programa (\(X_3\)): El análisis de frecuencias relativas refleja el peso político e histórico de cada línea de intervención. El programa contemporáneo MI CASA YA domina la base de datos con un total de \(50,546\) registros, seguido por la categoría agregada de Otros programas con \(26,699\) observaciones y la línea de Bolsa Desplazados con \(9,279\) registros. Gráficamente, el diagrama de barras ratifica la transición y consolidación de MI CASA YA como el eje central de la política habitacional urbana en la última década colombiana.
PUNTO 9
# A. Elaboración de dispersogramas contra la variable dependiente
library(ggplot2)
# Dispersograma 1: valor_por_hogar vs Ano
ggplot(datos_finales, aes(x = Ano, y = valor_por_hogar)) +
geom_point(alpha = 0.15, color = "#1f4e79") +
geom_smooth(method = "lm", color = "#c00000", linewidth = 1, se = FALSE) +
theme_minimal() +
labs(title = "Dispersograma de Valor del Subsidio vs Año",
x = "Año de Asignación", y = "Monto del Subsidio (Millones de COP)")## `geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'
# Dispersograma 2: valor_por_hogar vs Hogares
ggplot(datos_finales, aes(x = Hogares, y = valor_por_hogar)) +
geom_point(alpha = 0.15, color = "#2e75b6") +
scale_x_log10() +
geom_smooth(method = "lm", color = "#c00000", linewidth = 1, se = FALSE) +
theme_minimal() +
labs(title = "Dispersograma de Valor del Subsidio vs Cantidad de Hogares",
x = "Número de Hogares (Escala Logarítmica)", y = "Monto del Subsidio (Millones de COP)")## `geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'
# B y C. Cálculo de la Matriz de Correlación de Pearson
vars_cuant <- datos_finales[, c("valor_por_hogar", "Hogares", "Ano")]
# Matriz de Correlación de Pearson
print(cor(vars_cuant, method = "pearson"))## valor_por_hogar Hogares Ano
## valor_por_hogar 1.00000000 0.02185622 0.49409005
## Hogares 0.02185622 1.00000000 -0.09743263
## Ano 0.49409005 -0.09743263 1.00000000# D. Cálculo de Indicadores de Multicolinealidad (VIF)
vif(modelo_base)## GVIF Df GVIF^(1/(2*Df))
## Hogares 1.018820 1 1.009366
## Ano 1.720475 1 1.311669
## Programa 1.729082 2 1.146711Dispersogramas, correlación de Pearson y multicolinealidad
Para identificar el grado de asociación lineal y prevenir anomalías por redundancia de información, se evaluó la interacción bivariada de los predictores y su relación con la variable dependiente.Al elaborar los dispersogramas entre la variable dependiente y las cuantitativas independientes, se observa que el verdadero motor del modelo es el tiempo. El coeficiente de correlación lineal de Pearson entre valor_por_hogar y Ano arroja un \(r = 0.494\), lo que traduce una relación lineal positiva moderada. Visualmente, el gráfico de dispersión confirma una clara tendencia ascendente a lo largo de las vigencias fiscales, reflejando el proceso continuo de indexación institucional de los montos para contrarrestar la inflación y el encarecimiento del suelo urbano. En contraste, el dispersograma entre el subsidio unitario y el número de Hogares muestra una nube de puntos dispersa sin una dirección clara, refrendada por una correlación de Pearson prácticamente nula de \(r = 0.0218\), sugiriendo que la escala de agrupación familiar no altera linealmente el valor asignado por hogar de forma aislada.Finalmente, al examinar la relación cruzada entre las covariables independientes para diagnosticar problemas de multicolinealidad, la correlación entre el año y el volumen de hogares es sumamente débil (\(r = -0.097\)). Esta ausencia de redundancia informativa se confirma de manera definitiva mediante el cálculo de los indicadores avanzados de multicolinealidad; los Factores de Inflación de la Varianza generalizados (GVIF de Hogares: \(1.01\), Ano: \(1.72\) y Programa: \(1.72\)) se encuentran sustancialmente alejados del umbral de riesgo crítico convencional (\(VIF > 5\)). Por consiguiente, se concluye que el modelo estructural está completamente libre de problemas de multicolinealidad, lo que asegura que cada variable aporta información limpia, ortogonal y metodológicamente válida para proceder con la estimación precisa de los parámetros.
Punto 10
\[valor_por_hogar_i = beta_0 + beta_1(Hogares_i) + beta_2(Ano_i) + beta_3(Programa_{MiCasaYa,i}) + beta_4(Programa_{Otros,i}) + u_i\]
Punto 11
# Mostrar los coeficientes estimados del modelo base
summary(modelo_base)$coefficients## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -1.737631e+03 1.367879e+01 -127.031053 0.000000e+00
## Hogares 2.174641e-02 8.000634e-04 27.180854 5.271098e-162
## Ano 8.714458e-01 6.809497e-03 127.975064 0.000000e+00
## ProgramaMI CASA YA -5.035618e-01 1.261325e-01 -3.992325 6.548261e-05
## ProgramaOtros -2.617427e+00 1.164509e-01 -22.476650 1.468657e-111Interpretación:
A partir de la estimación por Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) presentada en el bloque anterior, la ecuación de la función de regresión muestral (FRM) se define como:
\[\widehat{valor\por\_hogar}_i = -1737.631 + 0.02175(Hogares_i) + 0.87145(Ano_i) - 0.50356(Programa{MiCasaYa,i}) - 2.61743(Programa_{Otros,i})\]
La interpretación económica y sustantiva de cada parámetro estimado se detalla a continuación:
Intercepto (\(\hat{\beta}_0 = -1737.631\)): Representa el valor esperado del subsidio por hogar cuando todas las variables independientes del modelo son iguales a cero. En este contexto, implicaría calcular el subsidio en el “año cero” de nuestra era para un registro sin hogares, lo cual carece por completo de sentido económico e institucional. Funciona estrictamente como un soporte matemático indispensable para la calibración y el posicionamiento de la recta de regresión.
Efecto marginal de Hogares (\(\hat{\beta}_1 = 0.02175\)): Manteniendo constantes el año de asignación y el tipo de programa (ceteris paribus), por cada hogar adicional concentrado en un registro de asignación, el valor promedio del subsidio por unidad familiar se incrementa en \(0.02175\) millones de COP (aproximadamente \(\$21,746\) COP). Esto evidencia que las adjudicaciones colectivas masivas presentan sutiles incrementos marginales en su asignación individual frente a las unifamiliares.
Efecto marginal del Tiempo (\(\hat{\beta}_2 = 0.87145\)): Manteniendo constantes las demás covariables (ceteris paribus), por cada año fiscal que transcurre, el monto promedio del subsidio por hogar se expande de forma transversal en \(0.87145\) millones de COP (aproximadamente \(\$871,446\) COP). Este parámetro refleja el esfuerzo presupuestal y la política fiscal del Estado colombiano por indexar los subsidios en el tiempo con el fin de asimilar la inflación y el encarecimiento habitacional.
Coeficiente diferencial de Programa MI CASA YA (\(\hat{\beta}_3 = -0.50356\)): Indica que, a igualdad de condiciones temporales y de escala familiar, un hogar perteneciente al programa Mi Casa Ya recibe en promedio \(0.50356\) millones de COP menos* (aproximadamente \(\$503,562\) COP menos) que un hogar adscrito al programa base omitido de referencia (Bolsa Desplazados). Coeficiente diferencial de Programa Otros (\(\hat{\beta}_4 = -2.61743\)): Indica que, manteniendo las demás variables constantes, los hogares beneficiarios de las líneas agrupadas en Otros programas perciben en promedio \(2.61743\) millones de COP menos (aproximadamente \(\$2'617.427\) COP menos) en comparación con los beneficiarios del programa base (Bolsa Desplazados).
Punto 12
# Extraer las métricas de ajuste global y el estadístico F del modelo base
summary(modelo_base)$fstatistic## value numdf dendf
## 7564.616 4.000 86519.000summary(modelo_base)$r.squared## [1] 0.2591122summary(modelo_base)$adj.r.squared## [1] 0.2590779A. Evaluación de la significancia global mediante la prueba F
Para determinar si el conjunto de variables independientes aporta información conjunta significativa para explicar el valor del subsidio, se contrasta la hipótesis nula de que todas las pendientes son simultáneamente cero (\(H_0: \beta_1 = \beta_2 = \beta_3 = \beta_4 = 0\)) contra la hipótesis alternativa de que al menos una de ellas es diferente de cero (\(H_1: \text{Al menos un } \beta_j \neq 0\)).
De acuerdo con los resultados provistos por la consola, el modelo registra un estadístico \(F = 7564.616\) calculado sobre \(4\) grados de libertad en el numerador y \(86,519\) en el denominador, asociado a un p-valor \(< 2.2 \times 10^{-16}\). Al ser este p-valor infinitesimal y sustancialmente menor al nivel de significancia estándar fijado de \(\alpha = 0.05\), se rechaza categóricamente la hipótesis nula. Esto demuestra con total contundencia que el modelo es globalmente significativo, lo que significa que el set de predictores (escala de hogares, tendencia temporal y tipo de programa) posee una alta capacidad conjunta y no aleatoria para explicar el comportamiento de las asignaciones de FONVIVIENDA.
B. Interpretación del coeficiente de determinación \(R^2\) y \(R^2\) ajustado
El análisis de la bondad de ajuste del modelo arroja un coeficiente de determinación \(R^2\) Múltiple de \(0.2591122\) y un \(R^2\) Ajustado de \(0.2590779\).
Sustantivamente, el \(R^2\) indica que el modelo lineal planteado logra explicar de forma directa el \(25.91\%\) de la variabilidad total del valor del subsidio por hogar en Colombia. El \(74.09\%\) restante de la varianza queda sin explicar y se absorbe a través del término de perturbación estocástica (\(u_i\)), sugiriendo la presencia de otros factores determinantes del gasto social en vivienda que no están indexados en este registro (tales como los ingresos socioeconómicos del postulado, el avalúo del predio o la condición geográfica rural/urbana).
Por su parte, el hecho de que el \(R^2\) Ajustado sea prácticamente idéntico al \(R^2\) Múltiple (\(0.2590\)) se debe al impacto del tamaño muestral crítico del dataset (\(n = 86,524\) observaciones). Dado que el volumen de datos es masivo frente a los 4 grados de libertad consumidos por los predictores, la penalización por inclusión de variables independientes se vuelve asintóticamente nula en la fórmula de ajuste. En conclusión, un ajuste cercano al \(26\%\) en un modelo econométrico de corte transversal con microdatos masivos es completamente normal, robusto y aceptable, reflejando que el modelo captura de manera exitosa las tendencias estructurales e históricas de la política pública habitacional a gran escala.
Punto 13
# 1. Gráfico de Residuos Estandarizados frente a Valores Ajustados (Homocedasticidad y Linealidad)
residuos_est <- rstandard(modelo_base)
valores_ajustados <- fitted(modelo_base)
df_diagnostico <- data.frame(Ajustados = valores_ajustados, Residuos_Est = residuos_est)
ggplot(df_diagnostico, aes(x = Ajustados, y = Residuos_Est)) +
geom_point(alpha = 0.15, color = "#1f4e79") +
geom_hline(yintercept = 0, color = "#c00000", linewidth = 1, linetype = "dashed") +
geom_smooth(method = "loess", color = "#2e75b6", se = FALSE) +
theme_minimal() +
labs(title = "Residuos Estandarizados vs. Valores Ajustados",
x = "Valores Ajustados (Predichos)", y = "Residuos Estandarizados")## `geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'
# 2. Gráfico Q-Q Normal con Bandas de Confianza (Normalidad)
# Utilizando la función qqPlot del paquete 'car' que genera las bandas de confianza por defecto
qqPlot(modelo_base, distribution = "norm", envelope = 0.95, id = FALSE,
col = "#1f4e79", col.lines = "#c00000", main = "Gráfico Q-Q Normal con Bandas de Confianza")
# 3. Prueba Formal de Homocedasticidad (Breusch-Pagan)
# Dado que n > 86,000, la prueba de Breusch-Pagan es ideal
ncvTest(modelo_base)## Non-constant Variance Score Test
## Variance formula: ~ fitted.values
## Chisquare = 1510.704, Df = 1, p = < 2.22e-161. Supuesto de Linealidad
Verificación: Al observar el gráfico de Residuos Estandarizados vs. Valores Ajustados, la línea azul suavizada por el método LOESS sirve para diagnosticar desviaciones de la linealidad. La curva se mantiene bastante cercana e intercalada sobre la línea roja del cero en la gran masa de datos (valores predichos entre 5 y 28). Sin embargo, en el extremo derecho (predicciones superiores a 30 millones), la línea azul experimenta una caída pronunciada. * Diagnóstico y Discusión: El supuesto se cumple de forma moderada/aceptable. La ligera curvatura final del residuo se debe a que el modelo subestima los montos de subsidio extremadamente altos en los años más recientes. En términos generales, la especificación lineal aditiva es adecuada para capturar la tendencia central del fenómeno estructural de FONVIVIENDA.
2. Supuesto de Homocedasticidad (Varianza Constante)
- Verificación Gráfica: El gráfico de dispersión de los residuos revela un patrón geométrico asimétrico muy marcado. No se observa una banda horizontal homogénea; por el contrario, la variabilidad vertical de los residuos se altera drásticamente dependiendo del valor predicho, concentrándose fuertemente en las estimaciones bajas y abriéndose de forma irregular en los valores medios. Adicionalmente, se aprecia una densa acumulación de residuos positivos atípicos que superan las 4 y hasta 8 desviaciones estándar.
- Prueba Formal: El test de varianza no constante (ncvTest) arroja un estadístico muestral \(\chi^2 = 1510.704\) con \(1\) grado de libertad y un p-valor \(< 2.22 \times 10^{-16}\). Al ser el p-valor infinitamente inferior al nivel de significancia estándar (\(\alpha = 0.05\)), se rechaza sin ninguna duda la hipótesis nula de homocedasticidad.
- Diagnóstico y Discusión: *Violación severa del supuesto. Coexiste un problema agudo de **heterocedasticidad. La razón económica e institucional es muy clara: los subsidios estatales históricamente manejaban montos fijos y homogéneos en sus primeras etapas, pero con la diversificación de los programas (como *Mi Casa Ya) y los subsidios concurrentes, la dispersión de los montos adjudicados se volvió sumamente variable. La consecuencia econométrica directa es que los errores estándar tradicionales MCO están sesgados, invalidando la precisión de los intervalos de confianza originales si no se realiza una corrección por robustez.
3. Supuesto de Normalidad de los Errores
- Verificación Gráfica: Al analizar el gráfico Q-Q con bandas de confianza (95%), se evidencia que los residuos estudiantizados (puntos oscuros) se desvían de manera radical de la línea de referencia centralizada de la normalidad. En la cola inferior izquierda (cuantiles teóricos \(< -2\)) los puntos caen por debajo de la banda, pero el quiebre crítico ocurre en la cola superior derecha (cuantiles teóricos \(> 2\)), donde los residuos se disparan de forma vertical, desprendiéndose por completo de la envolvente sombreada y generando un estancamiento horizontal en la parte superior.
- Diagnóstico y Discusión: Violación contundente del supuesto de Normalidad. Los errores exhiben un comportamiento con un fuerte sesgo a la derecha y colas pesadas (leptocurtosis). Esto ocurre porque la variable original valor_por_hogar tiene topes normativos legales (valores máximos en SMMLV) y agrupaciones institucionales rígidas que impiden una distribución perfectamente acampanada.
- Mitigación Metodológica: A pesar de que el supuesto falla en términos exactos, apelamos a la robustez asintótica basada en el Teorema del Límite Central (TLC). Dado que contamos con una muestra masiva de \(n = 86,524\) observaciones**, la distribución de los estimadores de los parámetros (\(\hat{\beta}_j\)) converge asintóticamente a la normalidad, asegurando que las pruebas \(t\) y \(F\) sigan siendo perfectamente válidas para la inferencia a gran escala.
4. Supuesto de Independencia (No Autocorrelación)
- Verificación y Discusión: El supuesto exige que el término de error de una adjudicación particular sea independiente del error de cualquier otra (\(E[u_i, u_j] = 0\)). Al trabajar con datos de corte transversal provenientes de un registro administrativo de postulantes evaluados simultáneamente en sus respectivos periodos, la estructura de los datos garantiza que no exista una dependencia temporal consecutiva o inercial (como ocurre en las series de tiempo). Por lo tanto, el supuesto se asume teóricamente por el diseño de la muestra, permitiendo concluir que los residuos no están correlacionados de forma sistemática entre observaciones individuales.
Punto 14
# Procedimiento de selección secuencial (Stepwise) basado en el Criterio de Información de Akaike (AIC)
# Se toma como modelo completo el 'modelo_base'
modelo_seleccionado <- step(modelo_base, direction = "both", trace = TRUE)## Start: AIC=374473.6
## valor_por_hogar ~ Hogares + Ano + Programa
##
## Df Sum of Sq RSS AIC
## <none> 6556943 374474
## - Hogares 1 55991 6612934 375207
## - Programa 2 88861 6645805 375634
## - Ano 1 1241197 7798140 389471# Comparar ambos modelos lado a lado
summary(modelo_seleccionado)##
## Call:
## lm(formula = valor_por_hogar ~ Hogares + Ano + Programa, data = datos_finales)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -30.142 -4.840 -0.615 2.973 93.421
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -1.738e+03 1.368e+01 -127.031 < 2e-16 ***
## Hogares 2.175e-02 8.001e-04 27.181 < 2e-16 ***
## Ano 8.714e-01 6.809e-03 127.975 < 2e-16 ***
## ProgramaMI CASA YA -5.036e-01 1.261e-01 -3.992 6.55e-05 ***
## ProgramaOtros -2.617e+00 1.165e-01 -22.477 < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 8.706 on 86519 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.2591, Adjusted R-squared: 0.2591
## F-statistic: 7565 on 4 and 86519 DF, p-value: < 2.2e-161. Diferencias en las variables incluidas
- Análisis: El algoritmo automatizado de selección por pasos
(Stepwise) evalúa de forma iterativa la adición o eliminación de
variables basándose en la optimización del Criterio de Información de
Akaike (\(AIC\)), el cual premia la
bondad de ajuste pero penaliza la pérdida de grados de libertad
(complejidad del modelo). Al partir del modelo_base (AIC = 374473.6), la
opción de mantener todas las variables originales (
) reporta el indicador más eficiente. Eliminar Hogares incrementaría el AIC a 375207, remover Programa lo elevaría a 375634 y prescindir de Ano provocaría un fuerte perjuicio informativo elevándolo a 389471. En consecuencia, el proceso automático selecciona exactamente la misma especificación del modelo inicial propuesto, sin excluir ningún predictor.
2. Cambios en los coeficientes estimados
- Análisis: Dado que el criterio estadístico automatizado converge exactamente en la misma combinación de variables independientes del modelo base, no existe ninguna alteración en las magnitudes ni en los signos de los coeficientes estimados (\(\hat{\beta}_j\)). La ecuación muestral final se mantiene idéntica a la calculada previamente: \[\widehat{valor\por\_hogar}_i = -1738 + 0.02175(Hogares_i) + 0.8714(Ano_i) - 0.5036(Programa{MiCasaYa,i}) - 2.617(Programa_{Otros,i})\] Todos los estimadores conservan sus niveles críticos de significancia individual con p-valores infinitesimales muy por debajo del estándar regular (\(p < 2.2 \times 10^{-16}\) y \(p = 6.55 \times 10^{-5}\) para la dummificación de Mi Casa Ya).
3. Variaciones en el ajuste global
- Análisis: Las métricas de bondad de ajuste estructural guardan perfecta simetría entre ambos enfoques. La variabilidad explicada de la variable dependiente se congela de manera idéntica en un \(R^2\) Múltiple de \(0.2591\) (\(25.91\%\)) y un \(R^2\) Ajustado de \(0.2591\). Por su parte, la significancia conjunta del sistema mantiene su validez con un estadístico \(F = 7565\)** asociado a un p-valor global inferior a \(2.2 \times 10^{-16}\), garantizando que el modelo óptimo arrojado por el proceso algorítmico no altera la capacidad predictiva original.
4. Coherencia teórica del modelo resultante
- Análisis: El modelo resultante preserva una coherencia teórica e institucional absoluta con respecto a las reglas de la política pública de vivienda en Colombia. Cada predictor tiene un canal de transmisión socioeconómico lógico: el tiempo (Ano) indexa el ajuste inflacionario legal de los recursos del Estado; la cantidad de hogares vinculados (Hogares) captura los sutiles incentivos de escala presupuestal en postulaciones multifamiliares; y las variables categóricas (Programa) aíslan los diferenciales de focalización operativa y asignación monetaria de las distintas bolsas de FONVIVIENDA respecto a la población vulnerable del país.
Decisión Adoptada y Justificación
Modelo Adoptado: Se decide adoptar el Modelo Inicial Propuesto (el cual coincide idénticamente con el Modelo Seleccionado Automáticamente por AIC).
Justificación: 1. Sustento Estadístico Concluyente: El criterio matemático computacional confirmó de forma explícita que ninguna de las covariables incorporadas originalmente presentaba redundancia, sobreajuste o ruido estadístico. La penalización informativa por conservar la complejidad del modelo fue nula, demostrando que remover cualquier predictor degrada la calidad analítica general del sistema (incrementando el AIC). 2. Robustez e Inferencia: Al coincidir el criterio econométrico de selección teórica con la optimización algorítmica puramente empírica, el modelo queda blindado metodológicamente. Esto asegura que la combinación de variables es estructuralmente sólida, parsimoniosa y adecuada para estimar los determinantes del valor asignado por hogar dentro de la base de datos masiva de FONVIVIENDA.
Punto 15
# 1. Estimación del modelo extendido con término cuadrático e interacción
# Evaluamos el efecto cuadrático del año y si el impacto del año cambia según el programa
modelo_extendido <- lm(valor_por_hogar ~ Hogares + Ano + I(Ano^2) + Programa + Ano:Programa,
data = datos_finales)
# 2. Resumen estadístico del modelo extendido
summary(modelo_extendido)##
## Call:
## lm(formula = valor_por_hogar ~ Hogares + Ano + I(Ano^2) + Programa +
## Ano:Programa, data = datos_finales)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -25.213 -4.289 -0.604 2.607 101.246
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -4.016e+05 4.533e+03 -88.594 < 2e-16 ***
## Hogares 1.468e-02 7.252e-04 20.238 < 2e-16 ***
## Ano 3.983e+02 4.508e+00 88.351 < 2e-16 ***
## I(Ano^2) -9.873e-02 1.121e-03 -88.101 < 2e-16 ***
## ProgramaMI CASA YA -5.780e+03 7.184e+01 -80.451 < 2e-16 ***
## ProgramaOtros -2.206e+02 5.634e+01 -3.915 9.04e-05 ***
## Ano:ProgramaMI CASA YA 2.863e+00 3.569e-02 80.209 < 2e-16 ***
## Ano:ProgramaOtros 1.098e-01 2.804e-02 3.917 8.97e-05 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 7.859 on 86516 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.3963, Adjusted R-squared: 0.3962
## F-statistic: 8112 on 7 and 86516 DF, p-value: < 2.2e-16# 3. Comparación formal de modelos mediante Criterio de Información de Akaike (AIC)
AIC(modelo_base)## [1] 620020.1AIC(modelo_extendido)## [1] 602314.1# 4. Prueba formal de hipótesis anidadas (ANOVA)
anova(modelo_base, modelo_extendido)## Analysis of Variance Table
##
## Model 1: valor_por_hogar ~ Hogares + Ano + Programa
## Model 2: valor_por_hogar ~ Hogares + Ano + I(Ano^2) + Programa + Ano:Programa
## Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F)
## 1 86519 6556943
## 2 86516 5343171 3 1213773 6551.1 < 2.2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1A. Justificación de los términos incorporados
- Término Cuadrático Temporal (I(Ano^2)): Se incluyó bajo la hipótesis de que el incremento de los subsidios en el tiempo no sigue un patrón lineal constante. El coeficiente estimado para I(Ano^2) resultó altamente significativo (\(p < 2.2 \times 10^{-16}\)) y con signo negativo (\(\hat{\beta} = -0.09873\)). Esto demuestra la existencia de una relación parabólica cóncava respecto al tiempo: el valor de los subsidios creció de forma acelerada en las fases intermedias de la política pública, pero experimenta una desaceleración marginal o estabilización en los años más recientes debido a techos presupuestales y normativos.
- Efectos de Interacción (Ano:Programa): Se incorporaron para evaluar si la trayectoria temporal de indexación del subsidio difiere según el programa habitacional. Ambos coeficientes de interacción (Ano:ProgramaMI CASA YA y Ano:ProgramaOtros) resultaron masivamente significativos (\(p < 2.2 \times 10^{-16}\) y \(p = 8.97 \times 10^{-5}\) respectivamente), con signos positivos. Esto confirma de manera empírica que el impacto del transcurso de los años sobre el monto asignado se potencia y es superior en las líneas de Mi Casa Ya y otros programas alternos en comparación con el programa base omitido (Bolsa Desplazados).
B. Comparación del ajuste global frente al modelo base
- Evolución de la Bondad de Ajuste (\(R^2\)): Al flexibilizar la especificación, el coeficiente de determinación experimentó un incremento sustancial, pasando de un \(R^2\) Múltiple de \(0.2591\) en el modelo base a un \(0.3963\) en el modelo extendido. Esto significa que la inclusión de la curvatura temporal y las interacciones permite capturar un \(13.72\%\) adicional de la variabilidad total del valor de los subsidios otorgados por FONVIVIENDA.
- Criterio de Información de Akaike (AIC): El indicador de Akaike exhibió una reducción crítica de 17,706 unidades, cayendo de 620,020.1 (modelo base) a 602,314.1** (modelo extendido). En la práctica econométrica, una contracción de esta magnitud representa una evidencia matemática irrefutable de que la ganancia en la capacidad explicativa compensa con creces la pérdida de grados de libertad por añadir nuevos parámetros.
- Prueba de Hipótesis Anidadas (ANOVA F-test): La prueba formal de restricciones conjuntas evalúa la hipótesis nula de que los coeficientes del término cuadrático y de las interacciones son simultáneamente cero (\(H_0: \beta_{I(Ano^2)} = \beta_{Ano:MiCasaYa} = \beta_{Ano:Otros} = 0\)). El estadístico obtenido fue un \(F = 6,551.1\) con un p-valor \(< 2.2 \times 10^{-16}\). Al ser inferior a cualquier nivel de significancia clásico (\(\alpha = 0.05\)), se rechaza contundentemente la hipótesis nula.
C. Coherencia Teórica y Conclusión
Los resultados demuestran de forma concluyente que el Modelo Extendido es teórica y estadísticamente superior. La política habitacional en Colombia es compleja y dinámica; el análisis evidencia que modelar los subsidios asumiendo que el tiempo impacta con la misma fuerza a todos los programas por igual (linealidad estricta) constituye un sesgo de especificación. El modelo extendido no solo optimiza el ajuste estadístico y reduce la varianza residual (\(RSS\) disminuye de \(6.55\) a \(5.34\) millones), sino que dota al reporte de una lectura institucional mucho más fiel a la evolución histórica y regulatoria de los subsidios en el país.
Punto 16
# 1. Estimación del modelo restringido sin intercepto (+ 0) basado en el modelo base
modelo_sin_intercepto <- lm(valor_por_hogar ~ 0 + Hogares + Ano + Programa,
data = datos_finales)
# 2. Resumen estadístico del modelo sin intercepto
summary(modelo_sin_intercepto)##
## Call:
## lm(formula = valor_por_hogar ~ 0 + Hogares + Ano + Programa,
## data = datos_finales)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -30.142 -4.840 -0.615 2.973 93.421
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## Hogares 2.175e-02 8.001e-04 27.18 <2e-16 ***
## Ano 8.714e-01 6.809e-03 127.97 <2e-16 ***
## ProgramaBolsa Desplazados -1.738e+03 1.368e+01 -127.03 <2e-16 ***
## ProgramaMI CASA YA -1.738e+03 1.376e+01 -126.34 <2e-16 ***
## ProgramaOtros -1.740e+03 1.373e+01 -126.76 <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 8.706 on 86519 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.847, Adjusted R-squared: 0.847
## F-statistic: 9.583e+04 on 5 and 86519 DF, p-value: < 2.2e-16# 3. Comparación de coeficientes y métricas de ajuste
summary(modelo_base)$r.squared## [1] 0.2591122summary(modelo_sin_intercepto)$r.squared## [1] 0.8470465summary(modelo_base)$sigma## [1] 8.705525summary(modelo_sin_intercepto)$sigma## [1] 8.705525A. Justificación estadística e interpretación de coeficientes
Al suprimir explícitamente el intercepto (0 +) en presencia de la variable cualitativa Programa, el software R modifica la matriz de diseño para evitar la trampa de la dummy. En lugar de omitir una categoría como referencia, el algoritmo calcula un intercepto propio para cada uno de los niveles del factor. Los resultados demuestran una equivalencia matemática perfecta con el modelo base: * ProgramaBolsa Desplazados (\(\hat{\beta} = -1738\)): Absorbe exactamente el valor del intercepto original del modelo base (\(\hat{\beta}_0 = -1737.63\)), actuando como la constante base para esta población vulnerable. * ProgramaMI CASA YA (\(\hat{\beta} = -1738\)): Equivale a la suma matemática del intercepto original y su coeficiente diferencial del punto 11 (\(-1737.631 - 0.5035 = -1738.13\)). * Pendientes cuantitativas (Hogares y Ano): Conservan de manera idéntica sus valores de pendiente (\(\hat{\beta}{Hogares} = 0.02175\) y \(\hat{\beta}{Ano} = 0.8714\)) y sus estadísticos \(t\).
Dado que las variables explicativas continuas (especialmente el tiempo cronológico en años) no poseen un cero absoluto con sentido institucional, el modelo no está pasando realmente por el origen \((0,0,0,0)\), sino que ha dummificado por completo los interceptos. Por lo tanto, teóricamente no se está estimando un modelo sin intercepto genuino, sino una re-parametrización geométrica del mismo sistema.
B. Análisis del ajuste global y el espejismo del \(R^2\)
Al contrastar las métricas de ajuste provistas por la consola, se evidencia una aparente contradicción: * El coeficiente de determinación da un salto drástico, pasando de un \(R^2 = 0.2591122\) en el modelo base a un \(R^2 = 0.8470465\) (\(84.70\%\)) en el modelo sin intercepto. * Sin embargo, el Error Estándar de los Residuos (\(\hat{\sigma}\)) es exactamente idéntico en ambos modelos: 8.705525. Los residuos muestran la misma distribución matemática exacta (Min: -30.142, Median: -0.615, Max: 93.421).
Explicación Econométrica: El incremento masivo del \(R^2\) al \(84.70\%\) es una *ilusión matemática. Cuando R detecta que el modelo se especifica formalmente “sin intercepto”, el software se ve obligado a cambiar la fórmula de cálculo del coeficiente de determinación. En lugar de usar la suma de cuadrados tradicional centrada respecto a la media de la variable dependiente (\(\bar{Y}\)), utiliza la suma de cuadrados no centrada respecto al origen. Al no restar la media, el valor del numerador se infla de forma artificial. El hecho de que el error estándar de los residuos (\(\hat{\sigma} = 8.705525\)) permanezca inalterado demuestra que **la capacidad predictiva real y el ajuste del modelo sobre los datos de FONVIVIENDA no mejoraron en lo absoluto.*
Conclusión Metodológica y Decisión
Se decide mantener la estructura del Modelo con Intercepto del Punto 11 (o el Modelo Extendido del Punto 15 si se prefiere mayor varianza explicada). Aunque computacionalmente ambos sistemas arrojan los mismos errores, la especificación clásica con constante y categoría omitida es metodológicamente preferible en la investigación económica: evita interpretaciones confusas basadas en falsos incrementos de bondad de ajuste (\(R^2\)), mantiene la métrica centrada estándar de la literatura y se alinea con la presentación tradicional de modelos de política pública.
Punto 17
# 1. Calcular las métricas de diagnóstico de influencia
leverage <- hatvalues(modelo_base)
residuos_est <- rstandard(modelo_base)
distancia_cook <- cooks.distance(modelo_base)
# Definir umbrales para muestras masivas (n = 86524, k = 5 parameters)
n <- nrow(datos_finales)
k <- length(coef(modelo_base))
umbral_cook <- 4 / n
# 2. Identificar observaciones influyentes según la Distancia de Cook
influyentes_idx <- which(distancia_cook > umbral_cook)
cat("Número de observaciones influyentes detectadas (Cook > 4/n):", length(influyentes_idx), "\n")## Número de observaciones influyentes detectadas (Cook > 4/n): 4127# 3. Crear un nuevo dataset excluyendo los datos influyentes
datos_sin_influencia <- datos_finales[-influyentes_idx, ]
# 4. Reestimar el modelo en limpio usando el dataset sin observaciones influyentes
modelo_robusto <- lm(valor_por_hogar ~ Hogares + Ano + Programa, data = datos_sin_influencia)
# 5. Comparar los resúmenes estadísticos de ambos modelos
summary(modelo_base)##
## Call:
## lm(formula = valor_por_hogar ~ Hogares + Ano + Programa, data = datos_finales)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -30.142 -4.840 -0.615 2.973 93.421
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -1.738e+03 1.368e+01 -127.031 < 2e-16 ***
## Hogares 2.175e-02 8.001e-04 27.181 < 2e-16 ***
## Ano 8.714e-01 6.809e-03 127.975 < 2e-16 ***
## ProgramaMI CASA YA -5.036e-01 1.261e-01 -3.992 6.55e-05 ***
## ProgramaOtros -2.617e+00 1.165e-01 -22.477 < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 8.706 on 86519 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.2591, Adjusted R-squared: 0.2591
## F-statistic: 7565 on 4 and 86519 DF, p-value: < 2.2e-16summary(modelo_robusto)##
## Call:
## lm(formula = valor_por_hogar ~ Hogares + Ano + Programa, data = datos_sin_influencia)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -11.5685 -4.6155 -0.4233 3.4037 26.3042
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -1.518e+03 8.834e+00 -171.854 <2e-16 ***
## Hogares 3.040e-02 9.201e-04 33.038 <2e-16 ***
## Ano 7.621e-01 4.398e-03 173.292 <2e-16 ***
## ProgramaMI CASA YA 7.862e-01 8.060e-02 9.754 <2e-16 ***
## ProgramaOtros -5.797e+00 7.459e-02 -77.722 <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 5.441 on 82392 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.5341, Adjusted R-squared: 0.534
## F-statistic: 2.361e+04 on 4 and 82392 DF, p-value: < 2.2e-16A. Identificación de observaciones influyentes
Al aplicar un umbral estricto adaptado para bases de datos masivas (\(4/n \approx 0.0000462\)), el diagnóstico identificó \(4,127\) observaciones influyentes bajo la métrica de la Distancia de Cook. Al analizar la distribución de los residuos del modelo base, se constata que los errores alcanzaban valores extremos (con un residuo máximo de \(+93.42\) millones de COP). Tras remover estas observaciones distorsionantes, el residuo máximo se contrajo a un rango técnicamente más razonable (\(+26.30\) millones de COP), saneando la dispersión de la muestra para reflejar el comportamiento de la gran mayoría de la población beneficiaria de FONVIVIENDA.
B. Comparación de resultados (Modelo Base vs. Modelo Robusto)
Al reestimar el modelo mediante MCO sobre el dataset limpio (datos_sin_influencia), se evidencian transformaciones econométricas drásticas:
- Evolución de los Coeficientes Estimados (\(\hat{\beta}_j\)):
- Efecto de Hogares: El coeficiente aumentó sustancialmente de \(0.0217\) a \(0.0304\) millones de COP (\(\sim \$30,400\) COP). Esto indica que, tras eliminar el ruido, las economías de escala o incrementos marginales en adjudicaciones multifamiliares son un \(40\%\) más fuertes de lo que se estimaba inicialmente.
- Efecto Temporal (Ano): La tasa de indexación anual promedio se ajustó a la baja, pasando de \(0.8714\) a \(0.7621\) millones de COP (\(\sim \$762,100\) COP). Esto demuestra que las observaciones atípicas estaban inflando artificialmente la tendencia de crecimiento temporal.
- El vuelco estructural de MI CASA YA: En el modelo base, este programa presentaba una penalización diferencial negativa de \(-0.5036\). En el modelo robusto, el coeficiente dio un giro completo volviéndose positivo e individualmente significativo (\(\hat{\beta}_3 = 0.7862\)). Limpiando la muestra de datos atípicos, un hogar bajo Mi Casa Ya recibe en promedio \(0.7862\) millones de COP más que un hogar perteneciente a la Bolsa Desplazados. Esto evidencia que las observaciones influyentes ocultaban el verdadero impacto distributivo del programa.
- Efecto de Otros: Su penalización diferencial se agudizó fuertemente, pasando de \(-2.617\) a \(-5.797\) millones de COP menos respecto a la categoría base.
- Variaciones en el Ajuste Global (\(R^2\)):
- El coeficiente de determinación experimentó un crecimiento extraordinario, escalando desde un modesto \(25.91\%\) en el modelo base hasta un robusto \(53.41\%\) (\(R^2 \text{ Ajustado} = 0.534\)) en el modelo robusto. Remover el \(4.7\%\) de la muestra catalogado como “influyente” duplicó la capacidad explicativa del sistema aditivo lineal.
- Precisión y Varianza Residual (\(\hat{\sigma}\)):
- El Error Estándar de los Residuos colapsó de \(8.706\) millones de COP a \(5.441\) millones de COP. La dispersión de los errores disminuyó de manera drástica, logrando predicciones mucho más estrechas y confiables sobre el valor real de los subsidios otorgados.
C. Coherencia Teórica y Conclusión
Los hallazgos demuestran con contundencia que el Modelo Robusto es analíticamente superior y metodológicamente el adecuado para la toma de decisiones. En bases de datos de política social masivas, suelen filtrarse registros administrativos anómalos o coyunturales (macroproyectos excepcionales de vivienda, giros extraordinarios extemporáneos o subsidios unifamiliares con montos atípicos por órdenes judiciales) que distorsionan gravemente las estimaciones estructurales.
Haber mantenido las observaciones influyentes generaba un sesgo de especificación que desvirtuaba por completo la naturaleza del programa Mi Casa Ya, haciéndolo ver menos eficiente de lo que realmente es. La depuración mediante la Distancia de Cook no solo devolvió la coherencia teórica e institucional al modelo, sino que estabilizó los parámetros para ofrecer una lectura limpia, parsimoniosa y matemáticamente rigurosa de los determinantes reales de los subsidios en Colombia.
Punto 18
Conclusión y Recomendaciones de Política Pública
A. Conclusión Integral El análisis econométrico desarrollado permitió identificar los determinantes estructurales del valor promedio del subsidio de vivienda por hogar en Colombia, utilizando datos oficiales de FONVIVIENDA. A partir de un proceso secuencial de modelamiento por MCO, validación de supuestos y depuración estadística, se logró establecer que el año de asignación, el número de hogares beneficiarios y el tipo de programa son predictores significativos del monto otorgado.
El hallazgo más relevante surgió al contrastar el modelo base con el Modelo Robusto (obtenido tras excluir 4,127 observaciones influyentes mediante la Distancia de Cook). Este procedimiento no solo mejoró sustancialmente el ajuste global —elevando el R² del 25.9% al 53.4%—, sino que también corrigió un sesgo de especificación que distorsionaba la lectura de la política pública. En particular, el coeficiente del programa MI CASA YA pasó de ser negativo (−0.504) a positivo (+0.786), evidenciando que, una vez depurada la muestra de asignaciones atípicas, este programa otorga, en promedio, un mayor valor monetario por hogar que la categoría de referencia (Bolsa Desplazados). Además, se confirmó una indexación temporal positiva (β = 0.762), que refleja el esfuerzo del Estado por ajustar los subsidios ante la inflación del sector constructor, y se validaron pequeñas ventajas de escala en adjudicaciones multifamiliares (β = 0.0304).
En conjunto, los resultados demuestran que el modelo robusto ofrece una lectura más fiel y coherente de los determinantes del gasto social en vivienda, consolidándose como una herramienta técnica útil para la planificación y evaluación de la política habitacional en Colombia.
B. Recomendaciones de Política Pública Con base en la evidencia empírica obtenida, se formulan las siguientes recomendaciones:
Fortalecimiento y blindaje presupuestal de MI CASA YA: Dado que el modelo robusto muestra que este programa transfiere un mayor valor real por hogar en comparación con otras líneas, se recomienda priorizarlo como eje central de la política de vivienda de interés social (VIS), garantizando la estabilidad de sus recursos a mediano plazo para reducir la incertidumbre en la asignación de subsidios.
Revisión de los programas agrupados en “Otros”: Esta categoría presentó una penalización diferencial severa (−5.797 millones de COP frente a la base). Se sugiere realizar una auditoría operativa para identificar si el bajo monto obedece a problemas de focalización, condiciones geográficas adversas o topes legales desactualizados, con el fin de reestructurar su esquema de asignación.
Indexación automática de topes al Índice de Precios de la Vivienda (IPV): El coeficiente temporal positivo (∼$762 mil COP adicionales por año) indica que el Estado ajusta los subsidios ante el paso del tiempo. No obstante, para evitar rezagos, se recomienda diseñar una fórmula de indexación técnica ligada directamente al IPV o a los costos de construcción (ICDV), permitiendo una respuesta más ágil ante choques inflacionarios.
Mejora en la depuración de registros administrativos: La identificación de un 4.7% de observaciones influyentes (con residuos superiores a 93 millones de COP) resalta la necesidad de fortalecer los mecanismos de control y clasificación de la información en FONVIVIENDA. Se propone catalogar explícitamente las asignaciones extraordinarias (por fallos judiciales, desastres naturales o macroproyectos) para que los evaluadores de política pública dispongan de series históricas limpias y comparables, libres de anomalías procedimentales.