Características Clave

• Interdependencia: Las decisiones de una empresa (precio, cantidad) afectan significativamente las ganancias de la otra.
• Barreras de Entrada: Existen obstáculos que dificultan la entrada de nuevos competidores.
• Productos Homogéneos o Diferenciados: Los productos pueden ser idénticos o ligeramente distintos.

Supuestos Clave

• Solo existen dos empresas en el mercado.
• Ambas empresas buscan maximizar su beneficio.
• Existe información completa sobre la demanda del mercado y la estructura de costos.

Modelos Fundamentales

1. Modelo de Cournot (1838): La variable de decisión es la cantidad (producción). Cada empresa asume que la producción de su rival es fija (expectativas estáticas).
2. Modelo de Stackelberg (1934): También basado en la cantidad, pero introduce un liderazgo en la toma de decisiones (una empresa es el Líder, la otra es el Seguidor).

El Papel de la Interdependencia

En el duopolio, la interdependencia estratégica lleva a las empresas a formular conjeturas sobre las acciones de su rival.

• El Equilibrio de Nash es el concepto central: una situación donde, dada la elección de la otra empresa, ninguna de las dos puede mejorar su resultado cambiando unilateralmente su propia elección.
• En Cournot, el Equilibrio de Nash se alcanza en el punto de intersección de las Funciones de Reacción.

Enunciado del Problema

Considere un mercado duopólico con la siguiente función inversa de demanda: \[P = 100 - Q\] Donde \(Q = q_1 + q_2\) (la cantidad total es la suma de las cantidades producidas por las empresas 1 y 2).

Las funciones de costo total son simétricas e idénticas: \[CT_1(q_1) = 10q_1\] \[CT_2(q_2) = 10q_2\] —

Enunciado del Problema

Objetivo: Determinar la cantidad de equilibrio de Cournot (\(q_1^C\), \(q_2^C\)), el precio (\(P^C\)) y los beneficios (\(\Pi_1^C\), \(\Pi_2^C\)).

La Función de Beneficio 1

El beneficio de la Empresa \(i\) es: \[\Pi_i = IT_i - CT_i\] \[\Pi_1 = P \cdot q_1 - 10q_1\] \[\Pi_1 = (100 - q_1 - q_2)q_1 - 10q_1\]

La Función de Beneficio 2

\[\Pi_1 = 100q_1 - q_1^2 - q_1q_2 - 10q_1\] \[\Pi_1 = 90q_1 - q_1^2 - q_1q_2\]

La Empresa 1 maximiza \(\Pi_1\) asumiendo que \(q_2\) es una constante.

Función de Reacción (Paso 1)

Para maximizar \(\Pi_1\), se calcula la derivada parcial respecto a \(q_1\) e se iguala a cero (Condición de Primer Orden - CPO):

\[\frac{\partial \Pi_1}{\partial q_1} = 90 - 2q_1 - q_2 = 0\]

Despejando \(q_1\), obtenemos la Función de Reacción de la Empresa 1 (\(R_1\)): \[q_1 = \frac{90 - q_2}{2}\] \[R_1: q_1 = 45 - 0.5q_2\]

Función de Reacción (Paso 2)

Dada la simetría de costos, la Función de Reacción de la Empresa 2 (\(R_2\)) será análoga:

\[\Pi_2 = 90q_2 - q_2^2 - q_1q_2\] \[\frac{\partial \Pi_2}{\partial q_2} = 90 - 2q_2 - q_1 = 0\]

Despejando \(q_2\): \[R_2: q_2 = 45 - 0.5q_1\]

Equilibrio de Cournot (Paso 3)

El Equilibrio de Cournot (\(q_1^C, q_2^C\)) se encuentra en la intersección de \(R_1\) y \(R_2\). Sustituimos \(R_2\) en \(R_1\):

\[q_1^C = 45 - 0.5(45 - 0.5q_1^C)\] \[q_1^C = 45 - 22.5 + 0.25q_1^C\] \[q_1^C - 0.25q_1^C = 22.5\] —

Equilibrio de Cournot (Paso 3)

\[0.75q_1^C = 22.5\] \[q_1^C = \frac{22.5}{0.75} = 30\]

Por simetría, \(q_2^C = 30\).

Cómputo de Variables

• Cantidad Individual (\(q_i^C\)): \(q_1^C = 30\) y \(q_2^C = 30\).
• Cantidad Total (\(Q^C\)): \(Q^C = 30 + 30 = 60\).
• Precio de Equilibrio (\(P^C\)): \[P^C = 100 - Q^C = 100 - 60 = 40\]
• Beneficio Individual (\(\Pi_i^C\)): \[\Pi_i^C = P^C q_i^C - 10q_i^C = 40(30) - 10(30)\] \[\Pi_i^C = 1200 - 300 = 900\]

Análisis de los Resultados

• Precio y Cantidad: El precio (\(P^C = 40\)) es menor que el de monopolio (si \(CMg=10\), \(P^M = 55\)) pero mayor que el de competencia perfecta (\(P^{CP} = CMg = 10\)). La cantidad total (\(Q^C = 60\)) es mayor que la de monopolio (\(Q^M = 45\)).
• Eficiencia: El resultado es más eficiente que el monopolio, pero sigue generando una pérdida irrecuperable de eficiencia (peso muerto) en comparación con la competencia perfecta.

La Curva de Isobeneficio

La curva de isobeneficio (o isogancia) muestra todas las combinaciones de \((q_1, q_2)\) que dan a una empresa el mismo nivel de beneficio.

• Para la Empresa 1, las curvas tienen forma de parábola cóncava respecto al eje \(q_2\).
• El punto más alto de cada curva de isobeneficio de la Empresa 1 se encuentra sobre su Función de Reacción \(R_1\).

Isobeneficio

Enunciado del Problema

Considere el mismo mercado duopólico: \[P = 100 - Q\] \[CT_1(q_1) = 10q_1\] \[CT_2(q_2) = 10q_2\]

Nuevo Supuesto: La Empresa 1 es el Líder (elige \(q_1\) primero) y la Empresa 2 es el Seguidor (elige \(q_2\) después, conociendo \(q_1\)).

Objetivo: Determinar la cantidad de equilibrio de Stackelberg (\(q_1^S\), \(q_2^S\)), el precio (\(P^S\)) y los beneficios (\(\Pi_1^S\), \(\Pi_2^S\)).

La Estrategia de Stackelberg

El modelo se resuelve utilizando la técnica de inducción hacia atrás.

Paso 1: El Seguidor (Empresa 2)

El Seguidor (Empresa 2) elige \(q_2\) para maximizar su beneficio, \(\Pi_2\), tomando el \(q_1\) del Líder como un valor dado. * Su decisión óptima es su Función de Reacción, derivada previamente en Cournot: \[R_2: q_2 = 45 - 0.5q_1\] El Líder lo sabe y lo incorpora a su problema de maximización.

Maximización del Líder (Paso 2)

El Líder (Empresa 1) sustituye la función de reacción del Seguidor en su propia función de beneficio:

\[ \Pi_1 = 90q_1 - q_1^2 - q_1q_2 \]

Maximización del Líder (Paso 2)

Sustituyendo \(q_2 = 45 - 0.5q_1\): \[ \Pi_1 = 90q_1 - q_1^2 - q_1(45 - 0.5q_1) \] \[ \Pi_1 = 90q_1 - q_1^2 - 45q_1 + 0.5q_1^2\] \[\Pi_1 = 45q_1 - 0.5q_1^ 2 \]

Solución del Líder (Paso 3)

El Líder maximiza su nuevo beneficio, calculando la derivada respecto a \(q_1\) y la iguala a cero: \[\frac{\partial \Pi_1}{\partial q_1} = 45 - q_1 = 0\]

Cantidad del Líder (\(q_1^S\)): \[ q_1^S = 45 \]

Solución del Seguidor (Paso 4)

El Seguidor (Empresa 2) reacciona al \(q_1^S = 45\) del Líder usando su función de reacción: \[q_2^S = 45 - 0.5q_1^S\] \[q_2^S = 45 - 0.5(45) = 45 - 22.5\]

Cantidad del Seguidor (\(q_2^S\)): \[q_2^S = 22.5\]

Las variables 1

• Cantidad Total (\(Q^S\)): \(Q^S = 45 + 22.5 = 67.5\).
• Precio de Equilibrio (\(P^S\)): \[P^S = 100 - Q^S = 100 - 67.5 = 32.5\]
• Beneficio del Líder (\(\Pi_1^S\)): \[\Pi_1^S = P^S q_1^S - 10q_1^S = 32.5(45) - 10(45)\] \[\Pi_1^S = 1462.5 - 450 = 1012.5\]

Las variables 2

• Beneficio del Seguidor (\(\Pi_2^S\)): \[\Pi_2^S = P^S q_2^S - 10q_2^S = 32.5(22.5) - 10(22.5)\] \[\Pi_2^S = 731.25 - 225 = 506.25\]

Comparación de Beneficios

• Líder (Stackelberg) vs. Cournot: El Líder gana más (\(\Pi_1^S = 1012.5\)) que en Cournot (\(\Pi_1^C = 900\)). La ventaja de ser el primero en moverse compensa la mayor producción del Seguidor.
• Seguidor (Stackelberg) vs. Cournot: El Seguidor gana menos (\(\Pi_2^S = 506.25\)) que en Cournot (\(\Pi_2^C = 900\)).