Motivação: Comparando Mais de Dois Grupos

• O teste t compara duas médias. Mas, e se um ensaio clínico testar quatro esquemas terapêuticos ao mesmo tempo?
• Fazer testes t par a par (A×B, A×C, A×D, B×C…) infla o risco de erro tipo I — quanto mais comparações, maior a chance de um “falso positivo” por acaso.
• É preciso um método que compare todos os grupos de uma vez: a Análise de Variância, ou Anova.

Anova = Analysis of Variance (análise de variância).

Análise de Variância — Definição

\[ H_0: \mu_1 = \mu_2 = \dots = \mu_t \qquad H_1: \text{pelo menos um } \mu_i \text{ é diferente} \]

• Apesar do nome “análise de variância”, o objetivo é comparar médias — o nome vem da técnica usada para isso.

Lógica da Análise: Variação Entre vs. Dentro de Grupos

• A Anova compara duas fontes de variação:
  • Variação entre grupos (between): o quanto as médias dos grupos diferem entre si.
  • Variação dentro de grupos (within, ou resíduo): a variabilidade natural dentro de cada grupo, devida ao acaso.
• Se a variação entre grupos for muito maior que a variação dentro deles, é evidência de que os grupos realmente diferem.

Situação em que se Usa Anova

Exemplo: um ensaio completamente ao acaso comparou quatro grupos (A, B, C, D) com cinco unidades cada (\(t=4\) grupos, \(r=5\) unidades/grupo, \(n=20\)).

Pergunta: essas diferenças entre médias são grandes o bastante para indicar diferença real, ou podem ser só acaso?

Visualizando a Variação Entre e Dentro de Grupos

Figura 1

Hipóteses e Nível de Significância

Para o exemplo dos quatro grupos:

\[ H_0: \mu_A = \mu_B = \mu_C = \mu_D \qquad H_1: \text{pelo menos um grupo difere} \]

\[ \alpha = 0{,}05 \]

• Notação: \(t\) = número de grupos; \(r\) = unidades por grupo; \(n = t \times r\) = tamanho total da amostra.
• Neste exemplo: \(t=4\); \(r=5\); \(n=20\).

Graus de Liberdade

\[ gl_{total} = n-1 \qquad gl_{grupos} = t-1 \qquad gl_{resíduo} = (n-1)-(t-1) = n-t \]

Aplicando ao exemplo:

\[ gl_{total} = 20-1=19 \qquad gl_{grupos}=4-1=3 \qquad gl_{resíduo}=20-4=16 \]

Correção (C) — Fórmula

A “correção” é o quadrado do total geral, dividido pelo número de observações:

\[ C = \frac{(\text{Total geral})^2}{n} \]

Aplicando: Total geral \(= 23{+}27{+}26{+}31\) (médias) \(\times 5\), ou diretamente a soma de todas as 20 observações \(= 535\).

\[ C = \frac{535^2}{20} = 14.311{,}25 \]

Soma de Quadrados Total (SQT)

\[ SQT = \sum_{i} x_i^2 - C \]

Aplicando (soma dos quadrados de todas as 20 observações individuais):

\[ SQT = (25^2+26^2+\dots+28^2) - 14.311{,}25 = 275{,}75 \]

Soma de Quadrados de Grupos (SQG)

\[ SQG = \frac{\sum_i T_i^2}{r} - C \]

onde \(T_i\) é o total (soma) de cada grupo.

Aplicando: \(T_A=115\); \(T_B=135\); \(T_C=130\); \(T_D=155\).

\[ SQG = \frac{115^2+135^2+130^2+155^2}{5} - 14.311{,}25 = 163{,}75 \]

Soma de Quadrados de Resíduo (SQR)

\[ SQR = SQT - SQG \]

Aplicando:

\[ SQR = 275{,}75 - 163{,}75 = 112{,}00 \]

• O resíduo (within) é o que sobra depois de descontar a variação explicada pelos grupos.

Quadrados Médios (QMG e QMR)

\[ QMG = \frac{SQG}{gl_{grupos}} \qquad QMR = \frac{SQR}{gl_{resíduo}} \]

Aplicando:

\[ QMG = \frac{163{,}75}{3} = 54{,}58 \qquad QMR = \frac{112{,}00}{16} = 7{,}00 \]

• Um quadrado médio é, essencialmente, uma variância — soma de quadrados dividida pelos graus de liberdade correspondentes.

Estatística F e Tabela Anova

\[ F = \frac{QMG}{QMR} \]

Aplicando:

\[ F = \frac{54{,}58}{7{,}00} = 7{,}80 \]

Exemplo: Resolução e Interpretação Clínica

• Valor crítico de \(F\) (tabela F, \(\alpha=0{,}05\), \(gl=3,16\)): \(F = 3{,}24\).

\[ F_{calc} = 7{,}80 > 3{,}24 \]

✅ Rejeita-se \(H_0\) no nível de 5% de significância (p-valor = 0,002).

Interpretação clínica: existe pelo menos um grupo com resposta média diferente dos demais — os quatro esquemas (ou tratamentos) representados pelos grupos A, B, C e D não produzem, em média, o mesmo efeito.

A Anova aponta que existe diferença — mas não diz entre quais grupos especificamente. Para isso, usam-se testes de comparações múltiplas (não tratados aqui).

Coeficiente de Determinação em Anova

\[ R^2 = \frac{SQG}{SQT} \]

• Mesma lógica do coeficiente de determinação usado em regressão (Bloco 3): a proporção da variação total que é explicada pela variação entre grupos.

Exemplo: Coeficiente de Determinação — Parte 1

Situação: ensaio fictício com dois grupos (A e B), 5 unidades cada.

Exemplo: Coeficiente de Determinação — Resolução

\[ R^2 = \frac{SQG}{SQT} = \frac{422{,}50}{458{,}50} = 0{,}9215 \]

✅ \(R^2 = 92{,}15\%\)

Interpretação clínica: 92,15% da variação total dos dados é explicada apenas pela diferença entre os grupos A e B — a variabilidade dentro de cada grupo (resíduo) é pequena, o que reforça a evidência de que o tratamento (grupo) tem efeito real e forte sobre a resposta.

Coeficiente de Variação em Anova

\[ CV = \frac{\sqrt{QMR}}{\bar{x}_{geral}} \times 100\% \]

• Mede a precisão do experimento — quanto menor o CV, mais preciso (controlado) foi o ensaio.
• Ensaios de laboratório costumam ter CV bem menor do que ensaios de campo.

Exemplo: Coeficiente de Variação — Parte 1

Situação: quatro técnicos de laboratório medem a quantidade de fósforo (mg/g) em 20 amostras da mesma fonte, distribuídas aleatoriamente entre eles.

Exemplo: Coeficiente de Variação — Resolução

Média geral: \(\bar{x}_{geral} = 35{,}5\) mg/g. \(QMR = 1{,}25\).

\[ CV = \frac{\sqrt{1{,}25}}{35{,}5} \times 100\% \approx 3{,}15\% \]

Interpretação: $F=2{,}40 < $ valor crítico (implícito no p-valor \(=0{,}106 > 0{,}05\)) → não se rejeita \(H_0\): não há evidência de diferença entre os técnicos na medição de fósforo.

✅ Interpretação clínica/laboratorial: o CV de 3,15% indica boa precisão na técnica de dosagem — e a Anova confirma que os quatro técnicos produzem, em média, resultados equivalentes, o que é desejável para a padronização do laboratório.

Da Comparação de Grupos à Relação entre Variáveis

• A Anova respondeu: grupos diferem entre si?
• Mas, e se quisermos saber se duas variáveis contínuas (não grupos categóricos) variam juntas — como peso e altura, ou idade e pressão arterial?

Próximo Bloco: Correlação

Motivação: Relações entre Duas Variáveis na Saúde

• Você sabe que o risco de câncer de pulmão aumenta conforme o tempo de tabagismo, e que a pressão arterial se eleva com a idade.
• Essas observações revelam a consciência de que pode haver relação entre duas variáveis.
• Este bloco mostra como quantificar essa relação de forma objetiva.

Diagrama de Dispersão

Exemplo: um fisioterapeuta mediu altura (X) e peso (Y) de 22 universitários.

Figura 2

• Observando a figura, “vemos” a variação conjunta: pesos tendem a ser maiores quando as alturas são maiores.

Correlação Positiva e Correlação Negativa

Figura 3

Correlação Forte, Fraca e Nula

Figura 4

Correlação Linear vs. Não Linear

• É possível ter correlação perfeita e, ainda assim, não linear — por exemplo, pontos alinhados perfeitamente sobre uma parábola.
• Antes de calcular qualquer coeficiente, sempre desenhe o diagrama de dispersão primeiro.

Coeficiente de Correlação de Pearson

\[ r = \frac{n\sum XY - \sum X \sum Y}{\sqrt{\left[n\sum X^2 - (\sum X)^2\right]\left[n\sum Y^2-(\sum Y)^2\right]}} \]

• \(-1 \le r \le +1\). Se \(r=1\): correlação perfeita positiva. Se \(r=0\): correlação nula. Se \(r=-1\): correlação perfeita negativa.

Interpretação da Magnitude de r

• Nas ciências da saúde, coeficientes costumam ser menores do que nas ciências físicas, devido à grande variabilidade biológica.

Exemplo: Cálculo do Coeficiente de Correlação — Parte 1

Dados (Conjunto A):

Exemplo: Cálculo do Coeficiente de Correlação — Parte 2

Somatórios (\(n=10\)):

\[ \sum X = 55 \qquad \sum Y = 62 \qquad \sum XY = 423 \qquad \sum X^2 = 385 \qquad \sum Y^2 = 518 \]

\[ r = \frac{10(423)-(55)(62)}{\sqrt{\left[10(385)-55^2\right]\left[10(518)-62^2\right]}} \]

Exemplo: Cálculo do Coeficiente de Correlação — Resolução

\[ r = \frac{4.230-3.410}{\sqrt{(3.850-3.025)(5.180-3.844)}} = \frac{820}{\sqrt{825 \times 1.336}} \approx 0{,}781 \]

✅ Correlação positiva forte (\(0{,}75 \le r < 1{,}00\)).

Interpretação clínica/epidemiológica: as duas variáveis (X e Y) tendem fortemente a crescer juntas — conhecendo X, temos boa capacidade de prever a tendência de Y.

Exemplo: Correlação Negativa — Conjunto B

Mesmos valores de X, mas \(Y\) invertido: \(\sum Y=62\); \(\sum XY=259\); \(\sum Y^2=518\).

\[ r = \frac{10(259)-(55)(62)}{\sqrt{(3.850-3.025)(5.180-3.844)}} = \frac{-820}{\sqrt{825 \times 1.336}} \approx -0{,}781 \]

✅ Correlação negativa forte.

Interpretação: aqui, quando X aumenta, Y tende fortemente a diminuir — por exemplo, poderia representar a relação entre horas de sedentarismo (X) e capacidade cardiorrespiratória (Y).

Pressupostos para o Cálculo de r

Para calcular corretamente o coeficiente de correlação, é necessário que:

• Cada unidade da amostra forneça valores de ambas as variáveis, X e Y.
• As unidades tenham sido selecionadas ao acaso, ou sejam representativas de uma população maior.
• X e Y tenham sido medidas de forma independente.

Exemplo: Quando Não Calcular r

Situação: um professor quer correlacionar as notas de Matemática e Física de seus alunos — isso é válido, pois as notas são independentes entre si.

• Porém, não faz sentido correlacionar a média final do curso com a nota de qualquer disciplina que compôs essa média — elas não são independentes (a nota de Matemática entra no cálculo da média final).

✅ Regra prática: sempre pergunte se uma variável foi calculada, em parte, a partir da outra.

Cuidados na Interpretação: Correlação Não Implica Causalidade

• Uma correlação positiva mostra que duas variáveis crescem no mesmo sentido — não que uma causa o crescimento da outra.
• Uma correlação negativa mostra apenas que variam em sentidos opostos — não implica relação causal.
• É possível existir uma relação de causa e efeito real, mas a correlação sozinha nunca prova isso.

Correlação não é causa.

Exemplo Clássico: Correlação Espúria

Caso histórico: na década de 1930, em uma cidade da Dinamarca, à medida que aumentava o número de cegonhas, o número de recém-nascidos também aumentava.

• Existe correlação entre as duas variáveis — mas não há relação de causa e efeito entre cegonhas e nascimentos.
• A explicação real: uma terceira variável (o tamanho da cidade) afeta ambas — cidades maiores têm mais nascimentos e mais casas com chaminés, onde cegonhas fazem ninhos.

✅ Lição para a saúde: sempre pergunte se existe uma terceira variável (fator de confusão) por trás de uma correlação observada.

Resumo do Bloco 2

\[ r = \frac{n\sum XY-\sum X \sum Y}{\sqrt{\left[n\sum X^2-(\sum X)^2\right]\left[n\sum Y^2-(\sum Y)^2\right]}} \]

• \(-1 \le r \le 1\); interpretar magnitude com a escala pequena/fraca/moderada/forte.
• Sempre desenhar o diagrama de dispersão antes de calcular \(r\).
• Correlação não implica causalidade — cuidado com variáveis de confusão.

Da Correlação à Previsão

• A correlação nos diz o quão forte é a relação entre duas variáveis.
• Mas, se quisermos usar uma variável para prever valores da outra — não apenas descrever a relação — precisamos de outra ferramenta.

Próximo Bloco: Regressão

Motivação: Da Correlação à Previsão

• Na área da saúde, é comum encontrar variáveis que explicam a variação de outra: idade, peso, hábito de fumar e colesterol explicam a pressão arterial.
• A variável que explica é chamada variável explicativa (X); a que é explicada, variável resposta (Y).

Análise de Regressão — Definição

• Neste bloco: regressão linear simples — uma única variável explicativa X, relação em linha reta com Y.

Equação da Reta

\[ Y = a + bX \]

• \(a\) é o coeficiente linear: altura em que a reta corta o eixo Y.
  • Positivo → corta acima da origem. Negativo → corta abaixo. Zero → passa pela origem.
• \(b\) é o coeficiente angular: inclinação da reta.
  • Positivo → reta ascendente. Negativo → reta descendente. Zero → reta horizontal (paralela ao eixo X).

A Reta de Regressão — Ideia de Ajuste

• Em Matemática, uma reta passa exatamente por dois pontos. Em Estatística, temos uma nuvem de pontos.
• A reta de regressão é a reta que melhor descreve o conjunto de pontos \((X,Y)\) — ela passa entre os pontos, minimizando o total dos erros de previsão.

Fórmulas dos Coeficientes de Regressão

\[ b = \frac{n\sum XY - \sum X \sum Y}{n \sum X^2 - (\sum X)^2} \]

\[ a = \bar{Y} - b\bar{X} \]

• \(\bar{X}\) e \(\bar{Y}\) são as médias de X e de Y, respectivamente.

Exemplo: Cálculo dos Coeficientes — Parte 1

Situação: quantidade de procaína hidrolisada (Y, em 10 mol/l) no plasma humano, em função do tempo decorrido (X, em minutos).

Exemplo: Cálculo dos Coeficientes — Parte 2

Somatórios (\(n=8\)):

\[ \sum X = 69 \qquad \sum Y = 141{,}2 \qquad \sum XY = 1.589{,}2 \qquad \sum X^2 = 767 \]

\[ b = \frac{8(1.589{,}2) - (69)(141{,}2)}{8(767)-69^2} \]

Exemplo: Cálculo dos Coeficientes — Resolução

\[ b = \frac{12.713{,}6 - 9.742{,}8}{6.136-4.761} = \frac{2.970{,}8}{1.375} \approx 2{,}161 \]

\[ \bar{X} = \frac{69}{8}=8{,}625 \qquad \bar{Y}=\frac{141{,}2}{8}=17{,}65 \]

\[ a = 17{,}65 - 2{,}161 \times 8{,}625 \approx -0{,}985 \]

\[ \hat{Y} = -0{,}985 + 2{,}161X \]

Exemplo: Estimando Valores de Y

A equação permite estimar Y para qualquer X dentro do intervalo estudado (2 a 15 minutos):

\[ X=5: \quad \hat{Y} = -0{,}985+2{,}161(5) = 9{,}82 \]

\[ X=13: \quad \hat{Y} = -0{,}985+2{,}161(13) = 27{,}10 \]

\[ X=15: \quad \hat{Y} = -0{,}985+2{,}161(15) = 31{,}42 \]

✅ Interpretação farmacológica: mesmo sem medir diretamente aos 13 minutos, podemos estimar que cerca de 27,10 (×10 mol/l) de procaína já estará hidrolisada no plasma.

Visualizando a Reta de Regressão

Figura 5

Condições para o Ajuste da Regressão Linear Simples

Para ajustar uma regressão linear simples, é preciso que:

• As variáveis em estudo sejam contínuas.
• A relação entre as duas variáveis seja linear (verifique sempre com o diagrama de dispersão).
• As observações sejam independentes.

Exemplo: Quando a Regressão Não Faz Sentido

Situação: 10 alunos fizeram duas provas. O professor quer prever a nota da 2ª prova a partir da 1ª — mas os pontos, no diagrama de dispersão, estão muito dispersos (sem relação linear aparente).

• Além disso, seria errado tentar prever a média das duas provas a partir da nota da 1ª prova — a média depende diretamente da nota da 1ª prova, violando a condição de independência.

✅ Regra prática: assim como na correlação, nunca regrida uma variável contra outra da qual ela depende matematicamente.

Escolha da Variável Explicativa

• Quando os valores de X são fixados antes da coleta (como o tempo no exemplo da procaína), ajusta-se Y contra X.
• Quando isso não é claro, identifique qual variável você quer prever — e ajuste essa variável (resposta) contra a outra (explicativa).

Exemplo: ajuste a pressão arterial (Y) contra o peso (X) de cães — é o peso que pode explicar a pressão, não o contrário.

Exemplo: Peso e Pressão Arterial em Cães — Parte 1

Situação: peso (kg) e pressão arterial (mmHg) de 30 cães adultos.

\[ \sum X = 587 \qquad \sum Y = 3.473 \qquad n=30 \]

\[ b = \frac{n\sum XY-\sum X \sum Y}{n\sum X^2-(\sum X)^2} \approx 1{,}846 \]

\[ a = \bar{Y}-b\bar{X} \approx 79{,}64 \]

\[ \hat{Y} = 79{,}64 + 1{,}846X \]

Exemplo: Peso e Pressão Arterial em Cães — Resolução

Figura 6

Interpretação clínica/veterinária: a reta mostra tendência de a pressão aumentar com o peso, mas os pontos estão muito dispersos — a previsão tem grande margem de erro.

Extrapolação — Cuidados

• A equação da reta permite calcular Y para qualquer X — mas isso não significa que devemos fazê-lo sem critério.
• Nunca estime Y para valores de X muito além do intervalo estudado: a relação pode não ser linear fora dele.

Exemplo: Extrapolação Indevida

Situação: temperaturas médias mensais (jan–jul) de uma cidade do Sul do Brasil, decrescendo ao longo do semestre.

Figura 7

• Extrapolar essa reta para dezembro (mês 12) resulta em temperatura negativa — absurdo, pois o fenômeno é cíclico (estações do ano), não linear ao longo de todo o ano.

Coeficiente de Determinação em Regressão

\[ R^2 = r^2 \]

• Varia entre 0 e 1 (ou 0% a 100%). É simplesmente o quadrado do coeficiente de correlação de Pearson visto no Bloco 2.

Exemplo: Cálculo do R² — Comparando os Dois Exemplos

Procaína (tempo × hidrólise): \(r \approx 0{,}997\)

\[ R^2 = (0{,}997)^2 \approx 0{,}994 = 99{,}4\% \]

Peso × Pressão Arterial (cães): \(r \approx 0{,}516\)

\[ R^2 = (0{,}516)^2 \approx 0{,}266 = 26{,}6\% \]

✅ Interpretação clínica: no primeiro caso, o tempo quase totalmente explica a hidrólise da procaína. No segundo, o peso explica só 26,6% da variação da pressão arterial — fatores como idade, sedentarismo e hereditariedade também importam.

Regressão Não Linear — Panorama

Nem toda relação entre X e Y é uma reta. Alguns modelos alternativos comuns:

• Sempre desenhe o diagrama de dispersão primeiro — se os pontos não se distribuem em torno de uma reta, considere um desses modelos.

Transformação de Variáveis

• Uma forma comum de ajustar um modelo não linear é transformar uma das variáveis (ex.: aplicar logaritmo) para tornar a relação linear.
• Exemplo: se \(Y=ae^{bX}\), aplicando logaritmo natural: \(\ln Y = \ln a + bX\) — agora é uma reta de \(\ln Y\) contra \(X\).

✅ Após ajustar a reta na escala transformada, os coeficientes originais (\(a\) e \(b\)) podem ser recuperados.

Do Delineamento Experimental à Previsão Clínica

Referências Bibliográficas

VIEIRA, Sonia. Introdução à Bioestatística. 6. ed. Rio de Janeiro: Guanabara Koogan, 2021.

Capítulos utilizados:

• Capítulo 13 — Análise de Variância (Anova)
• Capítulo 5 — Correlação
• Capítulo 6 — Noções sobre Regressão

Fonte adicional citada:

ZAR, J. H. Biostatistical Analysis. 4. ed. Upper Saddle River: Prentice Hall, 1999.