計量経済I：復習テスト13

注意

すべての質問に解答しなければ提出とは認めない．正答に修正した上で，復習テスト 9～14 を順に重ねて左上でホチキス止めし，定期試験実施日（7 月 28 日の予定）にまとめて提出すること．

1. (Y,X,Z) を確率ベクトルとする．以下を示しなさい．

1. X と Y は独立　\Longrightarrow \operatorname{E}(Y|X)=\operatorname{E}(Y)

2. \operatorname{E}(Y|X)=\operatorname{E}(Y) \Longrightarrow \operatorname{cov}(X,Y)=0

3. Z を所与として X と Y は条件付き独立　\Longrightarrow \operatorname{E}(Y|X,Z)=\operatorname{E}(Y|Z)

解答例

1. 独立性の定義より \begin{align*} \operatorname{E}(Y|X) & :=\int_{-\infty}^{\infty}yf_{Y|X}(y|X)\mathrm{d}y \\ & =\int_{-\infty}^{\infty}yf_Y(y)\mathrm{d}y \\ & =\operatorname{E}(Y) \end{align*}

2. 共分散の計算公式より \operatorname{cov}(X,Y)=\operatorname{E}(XY)-\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y) 繰り返し期待値の法則より \begin{align*} \operatorname{E}(XY) & =\operatorname{E}(\operatorname{E}(XY|X)) \\ & =\operatorname{E}(X\operatorname{E}(Y|X)) \\ & =\operatorname{E}(X\operatorname{E}(Y)) \\ & =\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y) \end{align*} したがって \begin{align*} \operatorname{cov}(X,Y) & =\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)-\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y) \\ & =0 \end{align*}

3. 条件付き独立性の定義より \begin{align*} \operatorname{E}(Y|X,Z) & :=\int_{-\infty}^{\infty}yf_{Y|X,Z}(y|X,Z)\mathrm{d}y \\ & =\int_{-\infty}^{\infty}yf_{Y|Z}(y|Z)\mathrm{d}y \\ & =\operatorname{E}(Y|Z) \end{align*}

2. 処置ダミーを D，処置あり／なしの潜在的な結果を Y^*_1,Y^*_0，共変量を X とする．X を所与として (Y^*_1,Y^*_0) と D が条件付き独立なら，傾向スコア p(X):=\Pr[D=1|X] のみを所与としても両者は条件付き独立であることを示したい．すなわち \Pr[D=1|Y^*_1,Y^*_0,X]=\Pr[D=1|X] \Longrightarrow \Pr[D=1|Y^*_1,Y^*_0,p(X)]=\Pr[D=1|p(X)] 以下を示しなさい（ヒント：繰り返し期待値の法則）．

\Pr[D=1|Y^*_1,Y^*_0,p(X)]=p(X)

\Pr[D=1|p(X)]=p(X)

\Pr[D=1|Y^*_1,Y^*_0,p(X)]=\Pr[D=1|p(X)]

解答例

1. 繰り返し期待値の法則より \begin{align*} \Pr[D=1|Y^*_1,Y^*_0,p(X)] & =\operatorname{E}(D|Y^*_1,Y^*_0,p(X)) \\ & =\operatorname{E}(\operatorname{E}(D|Y^*_1,Y^*_0,X)|Y^*_1,Y^*_0,p(X)) \\ & =\operatorname{E}(\Pr[D=1|Y^*_1,Y^*_0,X]|Y^*_1,Y^*_0,p(X)) \\ & =\operatorname{E}(\Pr[D=1|X]|Y^*_1,Y^*_0,p(X)) \\ & =\operatorname{E}(p(X)|Y^*_1,Y^*_0,p(X)) \\ & =p(X) \end{align*}

2. 繰り返し期待値の法則より \begin{align*} \Pr[D=1|p(X)] & =\operatorname{E}(D|p(X)) \\ & =\operatorname{E}(\operatorname{E}(D|X)|p(X)) \\ & =\operatorname{E}(\Pr[D=1|X]|p(X)) \\ & =\operatorname{E}(p(X)|p(X)) \\ & =p(X) \end{align*}

3. 前 2 問より \Pr[D=1|Y^*_1,Y^*_0,p(X)]=p(X)=\Pr[D=1|p(X)]