# Evitar notación científica en toda la salida
options(scipen = 999)

Consultar en la página web de alguna de las loterías del país el plan de premios correspondiente. Utilizando la información contenida en este plan de premios, calcular el valor esperado a perder al comprar un billete o una fracción de esta lotería o del Baloto, junto con su respectiva varianza. El cálculo debe incluir TODOS los valores del plan de premios y la suma de las probabilidades debe ser 1 (esto implica incluir la posibilidad de no ganar ningún premio del plan de premios).

Introducción

El presente ejercicio tiene como objetivo calcular el valor esperado y la varianza de la ganancia neta obtenida al comprar una fracción de la Lotería de Bogotá. Para ello se utiliza el plan oficial de premios publicado por la Lotería de Bogotá y se construye la distribución de probabilidad correspondiente.

Construcción base de datos

Se ingresan las primeras categorías del plan oficial de premios de la Lotería de Bogotá. Posteriormente se completará la base de datos con todas las categorías del plan.

# Base de datos del plan de premios


  categoria <- c(
  "Premio Mayor",
  "Escorpión Legendario",
  "Gol de Oro",
  "Chilena de la Suerte",
  "El 5-0",
  "El Repechaje",
  "Cabecita Millonaria",

  "Tres primeras cifras (misma serie)",
  "Dos primeras y última (misma serie)",
  "Primera y dos últimas (misma serie)",
  "Tres últimas cifras (misma serie)",
  "Dos primeras cifras (misma serie)",
  "Dos últimas cifras (misma serie)",
  "Primera y última cifra (misma serie)",
  "Mayor en cualquier orden (misma serie)",
  "Última cifra (misma serie)",
  "Serie del Mayor",

  "Mayor diferente serie",
  "Secos diferente serie",
  "Tres primeras cifras (diferente serie)",
  "Dos primeras y última (diferente serie)",
  "Primera y dos últimas (diferente serie)",
  "Tres últimas cifras (diferente serie)",
  "Dos primeras cifras (diferente serie)",
  "Dos últimas cifras (diferente serie)",
  "Primera y última cifra (diferente serie)",
  "Mayor en cualquier orden (diferente serie)",
  "Última cifra (diferente serie)"
)

cantidad <- c(
  1,
  1,
  1,
  3,
  6,
  12,
  30,

  9,
  9,
  9,
  9,
  81,
  81,
  81,
  20,
  807,
  8893,

  469,
  24857,
  4221,
  4221,
  4221,
  4221,
  37989,
  37989,
  37989,
  9380,
  378483
)

premio <- c(
  7968000000,
  664000000,
  332000000,
  132800000,
  33200000,
  13280000,
  6640000,

  9000000,
  9000000,
  9000000,
  9000000,
  1500000,
  1500000,
  1500000,
  1500000,
  54000,
  18000,

  3759745,
  18000,
  54000,
  54000,
  54000,
  54000,
  36000,
  36000,
  36000,
  36000,
  18000
)

loteria <- data.frame(
  categoria,
  cantidad,
  premio,
  stringsAsFactors = FALSE
)

loteria

Definición de variable aleatoria

Sea X la ganancia neta obtenida al comprar una fracción de la Lotería de Bogotá. Los valores publicados en el plan oficial corresponden al billete completo (3 fracciones), por lo que primero se convierten a premios por fracción dividiendo cada premio entre 3. Posteriormente, la ganancia neta se obtiene restando el costo de la fracción ($6.000).

\[ X=\frac{\text{Premio}}{3}-6000 \]

# Convertir los premios del billete a premios por fracción
loteria$premio <- loteria$premio / 3

# Calcular ganancia neta
precio <- 6000

loteria$ganancia <- loteria$premio - precio

loteria

Espacio Muestral

Según el plan oficial de la Lotería de Bogotá, existen 10.000 números y 8.894 series. Por tanto, el número total de resultados posibles es:

# Número total de fracciones

numeros <- 10000
series <- 8894

N <- numeros * series

N
## [1] 88940000

Calcular la probabilidad

Cada probabilidad se calcula como el cociente entre el número de premios de cada categoría y el número total de resultados posibles.

# Calcular probabilidades
loteria$probabilidad <- loteria$cantidad / N
# Mostrar la tabla
loteria

Inclusión del evento “No ganar”

# Número total de premios

total_premios <- sum(loteria$cantidad)

total_premios
## [1] 554093
# Número de fracciones sin premio

no_gana <- N - total_premios

no_gana
## [1] 88385907
# Agregar el evento de no ganar

loteria <- rbind(
  loteria,
  data.frame(
    categoria = "No gana",
    cantidad = no_gana,
    premio = 0,
    ganancia = -6000,
    probabilidad = no_gana / N
  )
)

loteria

Cálculo del valor esperado

sum(loteria$probabilidad)
## [1] 1

Valor esperado

El valor esperado representa la ganancia promedio por fracción comprada en un número muy grande de sorteos. Si el resultado es negativo, indica que en promedio el jugador pierde dinero al participar en la lotería.

# Valor esperado de la ganancia neta

E_X <- sum(loteria$ganancia * loteria$probabilidad)

E_X
## [1] -5905.487
round(E_X, 2)
## [1] -5905.49

Cálculo de la varianza

# Varianza de la ganancia neta

Var_X <- sum((loteria$ganancia - E_X)^2 *
               loteria$probabilidad)

round(Var_X, 2)
## [1] 80095918836

Desviación estándar

# Desviación estándar

SD_X <- sqrt(Var_X)

SD_X
## [1] 283012.2

Conclusión

A partir del plan oficial de premios de la Lotería de Bogotá se construyó la distribución de probabilidad de la ganancia neta asociada a la compra de una fracción, incluyendo el evento de no obtener premio, de manera que la suma de las probabilidades fuera igual a 1.

El valor esperado obtenido fue de −5905.49 pesos, lo que indica que, en promedio, un jugador pierde aproximadamente $5905.49 por cada fracción comprada. Este resultado es consistente con el funcionamiento de las loterías, en las cuales la probabilidad de no obtener premio es muy alta.

La varianza calculada fue de 80 095 918 836 pesos, con una desviación estándar de 283 012.20 pesos. Estos valores muestran que la ganancia presenta una alta variabilidad debido a que existen premios muy elevados, aunque con probabilidades extremadamente pequeñas.