1. CARGA DE DATOS Y LIBRERÍAS

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# 1. CARGA DE DATOS Y LIBRERÍAS
# Proyecto: Análisis de Regresión Exponencial Simple aplicado a Sedimentos Marinos
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# Cargar las librerías necesarias
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library(dplyr)      # Manipulación de datos
library(gt)         # Creación de tablas profesionales
library(knitr)      # Integración de tablas en RMarkdown

#------------------------------------------------------------------------------
# Importar el conjunto de datos
#------------------------------------------------------------------------------

datos <- read.csv(
  "C:/Users/Grace/Downloads/dataset_geologico_limpio_80.3.csv",
  header = TRUE,
  sep = ",",
  dec = ".",
  stringsAsFactors = FALSE
)

#------------------------------------------------------------------------------
# Resumen general del conjunto de datos
#------------------------------------------------------------------------------

resumen_bd <- data.frame(
  Descripción = c(
    "Número de observaciones",
    "Número de variables"
  ),
  Valor = c(
    nrow(datos),
    ncol(datos)
  )
)

#------------------------------------------------------------------------------
# Mostrar el resumen del conjunto de datos
#------------------------------------------------------------------------------

resumen_bd %>%
  gt() %>%
  tab_header(
    title = md("**Tabla N.°1. Resumen del conjunto de datos**")
  ) %>%
  cols_align(
    align = "center"
  ) %>%
  tab_options(
    table.width = pct(60),
    column_labels.font.weight = "bold"
  )
Tabla N.°1. Resumen del conjunto de datos
Descripción Valor
Número de observaciones 27784
Número de variables 58

2. SELECCIÓN DE VARIABLES

Para el desarrollo del modelo de regresión exponencial se seleccionaron dos variables cuantitativas pertenecientes al conjunto de datos de sedimentos marinos. La variable independiente corresponde a la profundidad del fondo marino en metros (DEPTH_M), mientras que la variable dependiente corresponde al porcentaje de arcilla presente en cada muestra (CLAY_PCT). Esta selección se fundamenta en que la profundidad influye directamente en las condiciones de energía del ambiente marino; a mayor profundidad, la energía del medio tiende a disminuir, favoreciendo la deposición de partículas finas como la arcilla. Por esta razón, existe una relación de causa y efecto adecuada para el ajuste de un modelo de regresión exponencial.

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# 2. SELECCIÓN DE VARIABLES
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#------------------------------------------------------------------------------
# Seleccionar las variables que participarán en el modelo de regresión exponencial.
#------------------------------------------------------------------------------

# Variable Independiente (X)
#
# DEPTH_M representa la profundidad del fondo marino en metros.

x <- as.numeric(datos$DEPTH_M)      # X (Profundidad en metros)

# Variable Dependiente (Y)
#
# CLAY_PCT representa el porcentaje de arcilla presente en cada muestra
# de sedimento marino.

y <- as.numeric(datos$CLAY_PCT)     # Y (Porcentaje de arcilla)

#------------------------------------------------------------------------------
# Construir una tabla resumen de las variables seleccionadas.
#------------------------------------------------------------------------------

tabla_variables <- data.frame(

  Rol = c(
    "Variable Independiente (X)",
    "Variable Dependiente (Y)"
  ),

  Variable = c(
    "DEPTH_M",
    "CLAY_PCT"
  ),

  Descripción = c(
    "Profundidad del fondo marino (m)",
    "Porcentaje de arcilla (%)"
  )

)

#------------------------------------------------------------------------------
# Mostrar la tabla de variables seleccionadas.
#------------------------------------------------------------------------------

tabla_variables %>%

  gt() %>%

  tab_header(

    title = md("**Tabla N.°2. Variables seleccionadas para el modelo de regresión exponencial aplicado al análisis de sedimentos marinos recolectados en Estados Unidos.**")

  ) %>%

  cols_align(

    align = "center"

  ) %>%

  tab_options(

    table.width = pct(80),

    column_labels.font.weight = "bold"

  )
Tabla N.°2. Variables seleccionadas para el modelo de regresión exponencial aplicado al análisis de sedimentos marinos recolectados en Estados Unidos.
Rol Variable Descripción
Variable Independiente (X) DEPTH_M Profundidad del fondo marino (m)
Variable Dependiente (Y) CLAY_PCT Porcentaje de arcilla (%)

3. TABLA DE PARES DE VALORES

Antes de ajustar el modelo de regresión exponencial, es necesario verificar que el conjunto de datos contenga información válida, consistente y representativa del fenómeno estudiado. Para ello, se realizó un tratamiento de los datos que consistió en verificar la calidad de las observaciones, excluir registros con información inválida, agrupar observaciones repetidas e identificar valores atípicos mediante el método del rango intercuartílico (IQR). Este procedimiento permite ajustar el modelo utilizando únicamente pares de valores confiables, reduciendo la influencia de errores de registro y obteniendo un conjunto de datos representativo del comportamiento sedimentológico analizado.

3.1 Construcción de la tabla de pares de valores

El conjunto de datos contiene numerosas variables relacionadas con las características granulométricas y ambientales de los sedimentos marinos. Sin embargo, para el ajuste del modelo de regresión exponencial únicamente se requieren la variable independiente y la variable dependiente. Por esta razón, se construye una tabla de pares de valores integrada exclusivamente por la profundidad del fondo marino (DEPTH_M) y el porcentaje de arcilla (CLAY_PCT), variables seleccionadas para el presente análisis.

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# 3.1 CONSTRUCCIÓN DE LA TABLA DE PARES DE VALORES
#==============================================================================

#------------------------------------------------------------------------------
# Construir una tabla que contiene únicamente las variables que participarán
# en el modelo de regresión exponencial.
#
# X = DEPTH_M  -> Profundidad del fondo marino (m).
# Y = CLAY_PCT -> Porcentaje de arcilla (%).
#------------------------------------------------------------------------------

TPV <- data.frame(

  x = as.numeric(datos$DEPTH_M),

  y = as.numeric(datos$CLAY_PCT)

)

#------------------------------------------------------------------------------
# Registrar el número inicial de observaciones.
#------------------------------------------------------------------------------

n_original <- nrow(TPV)

cat("Número inicial de observaciones:", n_original)
## Número inicial de observaciones: 27784

3.2 Verificación y exclusión de datos inválidos

Una vez construida la tabla de pares de valores, se verificó la calidad de la información contenida en el conjunto de datos. Para ello, se identificaron y excluyeron los registros con valores faltantes, infinitos o inconsistentes, ya que este tipo de observaciones puede afectar la estimación de los parámetros del modelo. Además, debido a que posteriormente se aplicará una transformación logarítmica sobre la variable dependiente, fue necesario garantizar que todos los valores del porcentaje de arcilla (CLAY_PCT) fueran estrictamente mayores que cero, condición indispensable para calcular el logaritmo natural.

#==============================================================================
# 3.2 VERIFICACIÓN Y EXCLUSIÓN DE DATOS INVÁLIDOS
#==============================================================================

n_na <- sum(!complete.cases(TPV))

TPV_valida <- TPV %>%

  filter(

    !is.na(x),

    !is.na(y),

    is.finite(x),

    is.finite(y),

    x >= 0,

    y > 0,

    y <= 100

  )

n_validos <- nrow(TPV_valida)

n_invalidos <- n_original - n_validos

cat("Observaciones válidas:", n_validos,"\n")
## Observaciones válidas: 25957
cat("Observaciones excluidas:", n_invalidos)
## Observaciones excluidas: 1827

3.3 Agrupación de observaciones repetidas

Durante la revisión del conjunto de datos se observó que una misma profundidad podía estar asociada a varias observaciones del porcentaje de arcilla. Con el propósito de construir un único par de valores por cada profundidad registrada, las observaciones repetidas fueron agrupadas y se calculó el promedio del porcentaje de arcilla. Este procedimiento evita la repetición de una misma condición de profundidad y facilita el ajuste e interpretación del modelo de regresión exponencial.

#==============================================================================
# 3.3 AGRUPACIÓN DE OBSERVACIONES REPETIDAS
#==============================================================================

TPV_agrupada <- TPV_valida %>%

  group_by(x) %>%

  summarise(

    y = mean(y,na.rm=TRUE),

    .groups="drop"

  )

n_agrupados <- nrow(TPV_agrupada)

n_reducidos <- n_validos - n_agrupados

cat("Observaciones después de la agrupación:",n_agrupados,"\n")
## Observaciones después de la agrupación: 4087
cat("Observaciones consolidadas:",n_reducidos)
## Observaciones consolidadas: 21870

3.4 Identificación y exclusión de valores atípicos mediante el método IQR

Una vez obtenido un único valor representativo de la variable dependiente para cada valor de la variable independiente, se evaluó la presencia de valores atípicos mediante el método del rango intercuartílico (IQR). Debido a que las observaciones extremas pueden influir significativamente en la estimación de los parámetros del modelo de regresión exponencial simple, el procedimiento se aplicó tanto a la variable independiente (DEPTH_M) como a la variable dependiente (CLAY_PCT). De esta manera, se excluyeron únicamente las observaciones identificadas como atípicas, conservando los pares de valores que representan el comportamiento predominante del conjunto de datos y permitiendo obtener un modelo más representativo y estable.

#==============================================================================
# 3.4 IDENTIFICACIÓN Y EXCLUSIÓN DE VALORES ATÍPICOS
#     MEDIANTE EL MÉTODO IQR
#==============================================================================

#------------------------------------------------------------------------------
# Calcular los cuartiles y el rango intercuartílico de la profundidad.
#------------------------------------------------------------------------------

Q1_x <- quantile(TPV_agrupada$x,0.25,na.rm=TRUE)

Q3_x <- quantile(TPV_agrupada$x,0.75,na.rm=TRUE)

IQR_x <- IQR(TPV_agrupada$x,na.rm=TRUE)

LI_x <- Q1_x - 1.5*IQR_x

LS_x <- Q3_x + 1.5*IQR_x

#------------------------------------------------------------------------------
# Calcular los cuartiles y el rango intercuartílico del porcentaje de arcilla.
#------------------------------------------------------------------------------

Q1_y <- quantile(TPV_agrupada$y,0.25,na.rm=TRUE)

Q3_y <- quantile(TPV_agrupada$y,0.75,na.rm=TRUE)

IQR_y <- IQR(TPV_agrupada$y,na.rm=TRUE)

LI_y <- Q1_y - 1.5*IQR_y

LS_y <- Q3_y + 1.5*IQR_y

#------------------------------------------------------------------------------
# Conservar únicamente las observaciones comprendidas dentro de los límites
# establecidos por el método IQR para ambas variables.
#------------------------------------------------------------------------------

TPV_final <- TPV_agrupada %>%

  filter(

    x >= LI_x,

    x <= LS_x,

    y >= LI_y,

    y <= LS_y

  )

#------------------------------------------------------------------------------
# Registrar el número final de observaciones.
#------------------------------------------------------------------------------

n_final <- nrow(TPV_final)

#------------------------------------------------------------------------------
# Calcular el número de observaciones excluidas por el criterio IQR.
#------------------------------------------------------------------------------

n_outliers <- n_agrupados - n_final

cat("Observaciones utilizadas en el modelo:",n_final,"\n")
## Observaciones utilizadas en el modelo: 3821
cat("Observaciones excluidas por el criterio IQR:",n_outliers)
## Observaciones excluidas por el criterio IQR: 266

3.5 Conjunto final de pares de valores

Después del tratamiento y depuración del conjunto de datos se obtuvo el conjunto final de pares de valores que será utilizado para construir el diagrama de dispersión y ajustar el modelo de regresión exponencial simple. Este conjunto representa las observaciones válidas, consistentes y representativas sobre las cuales se estimarán los parámetros del modelo y se realizarán las interpretaciones correspondientes.

#==============================================================================
# 3.5 CONJUNTO FINAL DE PARES DE VALORES
#==============================================================================

TPV_tabla <- TPV_final

TPV_tabla$Nro <- 1:nrow(TPV_tabla)

TPV_tabla <- TPV_tabla %>%

  select(

    Nro,

    everything()

  )

head(TPV_tabla,20) %>%

  gt() %>%

  cols_label(

    Nro="N°",

    x="DEPTH_M (m)",

    y="CLAY_PCT (%)"

  ) %>%

  tab_header(

title=md("**Tabla N.°3. Conjunto final de pares de valores utilizados para el ajuste del modelo de regresión exponencial simple.**")

  ) %>%

  fmt_number(

    columns=c(x,y),

    decimals=4

  ) %>%

  cols_align(

    align="center"

  ) %>%

  tab_options(

    table.width=pct(90),

    column_labels.font.weight="bold"

  )
Tabla N.°3. Conjunto final de pares de valores utilizados para el ajuste del modelo de regresión exponencial simple.
N° DEPTH_M (m) CLAY_PCT (%)
1 0.0000 20.0997
2 0.2000 19.5461
3 0.3048 22.3855
4 0.4572 19.9440
5 0.5000 19.1527
6 0.6000 20.5871
7 0.6096 19.0116
8 0.6100 19.2452
9 0.7000 17.6151
10 0.7308 22.4703
11 0.7620 20.2755
12 0.8355 18.4964
13 0.8500 20.0523
14 0.9000 19.8731
15 1.0000 21.7675
16 1.0400 18.5477
17 1.0668 17.1873
18 1.2192 20.5759
19 1.2200 21.2965
20 1.2800 19.2411
 
#------------------------------------------------------------------------------
# Definir las variables finales del modelo.
#------------------------------------------------------------------------------

x <- TPV_final$x

y <- TPV_final$y

4. DIAGRAMA DE DISPERSIÓN

El diagrama de dispersión constituye el punto de partida del análisis de regresión, ya que permite observar la distribución de las observaciones y el comportamiento existente entre la variable independiente y la variable dependiente. A partir de esta representación gráfica es posible plantear una hipótesis acerca del tipo de función matemática que mejor describe la relación entre ambas variables. En este caso, el objetivo es evaluar si la relación observada entre la profundidad del fondo marino (DEPTH_M) y el porcentaje de arcilla (CLAY_PCT) puede representarse mediante un modelo de regresión exponencial simple.

#==============================================================================
# 4. DIAGRAMA DE DISPERSIÓN
#==============================================================================

#------------------------------------------------------------------------------
# Selección de una muestra aleatoria para la visualización.
#
# El conjunto de datos contiene miles de observaciones. Representarlas todas
# simultáneamente produciría una fuerte superposición de puntos, dificultando
# la interpretación de la nube de dispersión.
#
# Por esta razón se selecciona una muestra aleatoria únicamente para fines
# gráficos.
#
# IMPORTANTE:
# El modelo exponencial se ajustará utilizando la totalidad de las
# observaciones depuradas y no únicamente la muestra representada.
#------------------------------------------------------------------------------

set.seed(2026)

indice_visual <- sample(

  1:length(x),

  min(3000,length(x))

)

#------------------------------------------------------------------------------
# Configuración gráfica.
#------------------------------------------------------------------------------

par(oma=c(1,1,1,1))

#------------------------------------------------------------------------------
# Construcción del diagrama de dispersión.
#------------------------------------------------------------------------------

plot(

  x[indice_visual],

  y[indice_visual],

  pch=16,

  cex=0.70,

  col=rgb(0,0,1,0.35),

  main="Gráfica N.°1. Diagrama de dispersión entre DEPTH_M y CLAY_PCT",

  xlab="DEPTH_M (Profundidad del fondo marino, m)",

  ylab="CLAY_PCT (Porcentaje de arcilla, %)"

)

grid()

box(which="outer")

La nube de puntos permite observar que la relación entre la profundidad del fondo marino (DEPTH_M) y el porcentaje de arcilla (CLAY_PCT) presenta un comportamiento no lineal. Conforme aumenta la profundidad, el porcentaje de arcilla también aumenta y la pendiente de la nube de puntos se incrementa progresivamente, evidenciando un crecimiento de tipo exponencial. Desde el punto de vista sedimentológico, este comportamiento puede asociarse a la disminución progresiva de la energía del ambiente marino, favoreciendo la acumulación de partículas finas como la arcilla. Estas características sugieren que un modelo de regresión exponencial simple representa adecuadamente la relación entre ambas variables.

5. CONJETURA DEL MODELO

La conjetura del modelo consiste en formular una hipótesis acerca de la función matemática que mejor representa la relación observada entre la variable independiente y la variable dependiente. Para ello, se analiza la forma de la nube de puntos obtenida en el diagrama de dispersión, identificando el comportamiento predominante de las observaciones. Esta hipótesis será posteriormente comprobada mediante la estimación de los parámetros del modelo, la comparación entre los valores observados y estimados, y la evaluación de indicadores estadísticos de ajuste.

Forma general del modelo propuesto

Y = a·e^(bX)

Y = CLAY_PCT

X = DEPTH_M

a = Constante inicial del modelo

b = Tasa de crecimiento exponencial

e = Base de los logaritmos naturales

Al analizar la distribución de las observaciones en la Gráfica N.°1, se aprecia que el porcentaje de arcilla aumenta conforme se incrementa la profundidad del fondo marino. Además, el incremento no ocurre a una tasa constante, sino que la pendiente aumenta progresivamente para mayores profundidades, lo que evidencia un comportamiento no lineal compatible con un modelo exponencial. Desde el punto de vista sedimentológico, este comportamiento puede atribuirse a que las condiciones ambientales en zonas más profundas favorecen la acumulación de sedimentos finos como la arcilla. Por esta razón, se plantea como hipótesis que un modelo de regresión exponencial simple puede describir adecuadamente la relación entre ambas variables. Esta conjetura será evaluada en las siguientes etapas del análisis mediante la estimación de los parámetros y la validación del ajuste obtenido.

6. PARÁMETROS DEL MODELO

Una vez planteada la hipótesis de que la relación entre la profundidad del fondo marino (DEPTH_M) y el porcentaje de arcilla (CLAY_PCT) puede describirse mediante un modelo de regresión exponencial simple, es necesario estimar los parámetros que conforman su ecuación matemática. A diferencia de un modelo lineal, el modelo exponencial no puede ajustarse directamente mediante el método de mínimos cuadrados ordinarios, ya que la ecuación es no lineal respecto a sus parámetros. Por esta razón, previamente se realiza un proceso de linealización que transforma el modelo exponencial en un modelo lineal equivalente, permitiendo estimar sus parámetros y posteriormente reconstruir la ecuación exponencial original.

6.1 Linealización del modelo exponencial

El modelo exponencial simple propuesto para este estudio se expresa mediante la siguiente ecuación:

\[ Y=a\,e^{bX} \]

donde:

  • Y: porcentaje de arcilla (CLAY_PCT).
  • X: profundidad del fondo marino (DEPTH_M).
  • a: constante inicial del modelo.
  • b: tasa de crecimiento exponencial.
  • e: base de los logaritmos naturales.

Como la ecuación anterior no es lineal respecto a sus parámetros, no puede ajustarse directamente mediante regresión lineal. Para solucionar este inconveniente se aplica el logaritmo natural a ambos miembros de la igualdad, obteniéndose:

\[ \ln(Y)=\ln(a)+bX \]

La ecuación obtenida corresponde a un modelo lineal equivalente de la forma:

\[ Y'=A+bX \]

donde:

  • Y’ = ln(Y)
  • A = ln(a)

Una vez estimado el parámetro A mediante regresión lineal, la constante original del modelo exponencial se recupera aplicando la función exponencial:

\[ a=e^{A} \]

Este procedimiento, conocido como linealización del modelo exponencial, permite utilizar el método de mínimos cuadrados ordinarios para estimar los parámetros del modelo y posteriormente reconstruir la ecuación exponencial original.

6.2 AJUSTE DEL MODELO LINEALIZADO

#------------------------------------------------------------------------------
# Aplicar el logaritmo natural a la variable dependiente.
#
# El modelo exponencial original:
#
#        Y = a·e^(bX)
#
# se transforma en:
#
#        ln(Y) = ln(a) + bX
#
# Esta transformación convierte el modelo exponencial en un modelo lineal
# equivalente, permitiendo estimar sus parámetros mediante regresión lineal.
#------------------------------------------------------------------------------

ln_y <- log(y)

#------------------------------------------------------------------------------
# Ajustar el modelo lineal equivalente utilizando el método de mínimos
# cuadrados ordinarios.
#
# El modelo obtenido estima:
#
# ln(CLAY_PCT) = A + b·DEPTH_M
#
# donde:
#
# A = ln(a)
#------------------------------------------------------------------------------

modelo_exp_linealizado <- lm(

  ln_y ~ x

)

summary(modelo_exp_linealizado)
## 
## Call:
## lm(formula = ln_y ~ x)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -0.33003 -0.03555  0.00227  0.03832  0.26822 
## 
## Coefficients:
##              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 2.986e+00  1.554e-03  1922.2   <2e-16 ***
## x           8.273e-04  2.967e-06   278.8   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.06763 on 3819 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9532, Adjusted R-squared:  0.9532 
## F-statistic: 7.775e+04 on 1 and 3819 DF,  p-value: < 2.2e-16

6.3 Recuperación de los parámetros originales

#==============================================================================
# 6.3 RECUPERACIÓN DE LOS PARÁMETROS ORIGINALES
#==============================================================================

#------------------------------------------------------------------------------
# Extraer los coeficientes estimados del modelo linealizado.
#------------------------------------------------------------------------------

coeficientes <- coef(modelo_exp_linealizado)

#------------------------------------------------------------------------------
# Intercepto del modelo linealizado.
#
# Matemáticamente corresponde a:
#
# A = ln(a)
#
# donde "a" representa la constante del modelo exponencial.
#------------------------------------------------------------------------------

A <- coeficientes[1]

#------------------------------------------------------------------------------
# Pendiente del modelo exponencial.
#
# Este parámetro indica la tasa de crecimiento exponencial del porcentaje
# de arcilla conforme aumenta la profundidad del fondo marino.
#------------------------------------------------------------------------------

b <- coeficientes[2]

#------------------------------------------------------------------------------
# Recuperar el parámetro original "a".
#
# Como:
#
# A = ln(a)
#
# entonces:
#
# a = e^A
#
# Esta operación reconstruye la constante del modelo exponencial original.
#------------------------------------------------------------------------------

a <- exp(A)

6.4 Parámetros estimados

#==============================================================================
# 6.4 PARÁMETROS ESTIMADOS DEL MODELO EXPONENCIAL
#==============================================================================

#------------------------------------------------------------------------------
# Construir una tabla con los parámetros estimados del modelo exponencial.
#
# Se presentan la constante (a) y la tasa de crecimiento exponencial (b),
# obtenidas a partir del modelo linealizado.
#------------------------------------------------------------------------------

tabla_parametros <- data.frame(

  Parámetro = c(

    "Constante (a)",

    "Tasa de crecimiento exponencial (b)"

  ),

  Valor = c(

    a,

    b

  )

)

#------------------------------------------------------------------------------
# Mostrar la tabla de parámetros estimados.
#------------------------------------------------------------------------------

tabla_parametros %>%

  gt() %>%

  tab_header(

    title = md("**Tabla N.°4. Parámetros estimados del modelo de regresión exponencial simple entre la profundidad del fondo marino (DEPTH_M) y el porcentaje de arcilla (CLAY_PCT) del conjunto de datos de sedimentos marinos.**")

  ) %>%

  fmt_number(

    columns = Valor,

    decimals = 6

  ) %>%

  cols_align(

    align = "center"

  ) %>%

  tab_options(

    table.width = pct(75),

    column_labels.font.weight = "bold"

  )
Tabla N.°4. Parámetros estimados del modelo de regresión exponencial simple entre la profundidad del fondo marino (DEPTH_M) y el porcentaje de arcilla (CLAY_PCT) del conjunto de datos de sedimentos marinos.
Parámetro Valor
Constante (a) 19.815921
Tasa de crecimiento exponencial (b) 0.000827

6.5 Ecuación del modelo exponencial

#==============================================================================
# 6.5 ECUACIÓN DEL MODELO EXPONENCIAL AJUSTADO
#==============================================================================

ecuacion <- paste0(
  "CLAY_PCT = ",
  round(a,4),
  " · e^(",
  round(b,6),
  " · DEPTH_M)"
)

plot.new()
plot.window(xlim = c(0,100), ylim = c(0,100))

rect(5,58,95,92, border = "#1F4E79", lwd = 3)

text(50,87,"MODELO TEÓRICO",
     font = 2, cex = 1.45, col = "#1F4E79")

text(50,72,"CLAY_PCT = a · e^(b · DEPTH_M)",
     font = 2, cex = 1.25, col = "#C0392B")

rect(5,8,95,48, border = "#1F4E79", lwd = 3)

text(50,43,"MODELO EXPONENCIAL AJUSTADO",
     font = 2, cex = 1.35, col = "#1F4E79")

text(50,24, ecuacion,
     font = 2, cex = 1.12, col = "#C0392B")

text(50,3,
     "Ecuación obtenida mediante linealización y mínimos cuadrados ordinarios.",
     cex = 0.85,
     col = "gray40")

box()

6.6 Interpretación de los parámetros

Interpretación de los parámetros

Los parámetros estimados corresponden a la constante (a) y a la tasa de crecimiento exponencial (b) del modelo de regresión exponencial simple. Estos parámetros fueron obtenidos a partir del modelo linealizado \(\ln(Y)=A+bX\), donde el intercepto del modelo linealizado (\(A\)) fue transformado mediante la función exponencial para recuperar la constante original del modelo (\(a=e^{A}\)). De esta manera, la ecuación exponencial reconstruida representa la relación entre la profundidad del fondo marino (DEPTH_M) y el porcentaje de arcilla (CLAY_PCT).

La constante del modelo (a = 19.8159) representa el porcentaje de arcilla esperado cuando la profundidad del fondo marino es igual a cero metros. Este valor constituye la condición inicial del modelo exponencial y sirve como punto de partida para describir el comportamiento de la variable dependiente.

La tasa de crecimiento exponencial (b = 0.000827) indica que, conforme aumenta la profundidad del fondo marino, el porcentaje de arcilla presenta una tendencia creciente de tipo exponencial. Debido a que este parámetro es positivo, el modelo describe un incremento progresivo del contenido de arcilla asociado al aumento de la profundidad, comportamiento consistente con la disminución de la energía del ambiente sedimentario y la mayor acumulación de partículas finas en zonas marinas profundas.

Nota metodológica

En el modelo de regresión exponencial simple los parámetros no se estiman directamente sobre la ecuación original \(Y=ae^{bX}\), debido a que esta expresión es no lineal respecto a sus parámetros. Para estimarlos, primero se aplica una transformación mediante el logaritmo natural a la variable dependiente, obteniéndose el modelo lineal equivalente:

\[ \ln(Y)=\ln(a)+bX \]

Sobre esta ecuación linealizada se aplica el método de mínimos cuadrados ordinarios para estimar el intercepto (\(A\)) y la pendiente (\(b\)). Posteriormente, el intercepto del modelo linealizado se transforma mediante la función exponencial (\(a=e^{A}\)) para recuperar la constante del modelo exponencial original.

Por esta razón, la tabla de parámetros presenta la constante (\(a\)) y la tasa de crecimiento exponencial (\(b\)), ya que estos corresponden a los parámetros propios del modelo exponencial reconstruido y no al modelo lineal utilizado durante el proceso de estimación.

7. REALIDAD Y MODELO

Una vez estimados los parámetros del modelo exponencial y reconstruida la ecuación original, es necesario comparar los valores observados del conjunto de datos con los valores estimados por el modelo. Esta comparación permite evaluar visualmente el grado de concordancia entre las observaciones reales y la curva exponencial ajustada, verificando si la ecuación obtenida describe adecuadamente la relación existente entre la profundidad del fondo marino (DEPTH_M) y el porcentaje de arcilla (CLAY_PCT). Además, esta evaluación gráfica constituye un complemento del análisis estadístico realizado mediante el coeficiente de correlación de Pearson y el coeficiente de determinación (R²).

#==============================================================================
# 7. REALIDAD Y MODELO
#==============================================================================

#------------------------------------------------------------------------------
# Calcular los valores estimados mediante el modelo exponencial ajustado.
#
# La ecuación utilizada corresponde al modelo reconstruido:
#
#      CLAY_PCT = a · e^(b · DEPTH_M)
#
# Los valores obtenidos representan el porcentaje de arcilla esperado para
# cada profundidad registrada en el conjunto de datos.
#------------------------------------------------------------------------------

y_estimado <- a * exp(b * x)

#------------------------------------------------------------------------------
# Ordenar las observaciones según la profundidad.
#
# Este procedimiento garantiza que la curva exponencial sea dibujada de forma
# continua, evitando cruces o segmentos desordenados entre los puntos.
#------------------------------------------------------------------------------

orden <- order(x)

#------------------------------------------------------------------------------
# Comparación entre los valores observados y el modelo exponencial ajustado.
#------------------------------------------------------------------------------

par(oma = c(1,1,1,1))

plot(

  x,

  y,

  pch = 16,

  cex = 0.60,

  col = rgb(0,0,1,0.35),

  main = "Gráfica N.°2. Comparación entre los valores observados y
  el modelo exponencial ajustado",

  xlab = "DEPTH_M (Profundidad del fondo marino, m)",

  ylab = "CLAY_PCT (Porcentaje de arcilla, %)"

)

lines(

  x[orden],

  y_estimado[orden],

  col = "#C00000",

  lwd = 3

)

legend(

  "topleft",

  legend = c(

    "Valores observados",

    "Modelo exponencial ajustado"

  ),

  pch = c(16, NA),

  lty = c(NA,1),

  lwd = c(NA,3),

  col = c(rgb(0,0,1,0.7),"#C00000"),

  bty = "n",

  cex = 1

)

grid(lty = 3)

box(which = "outer")

Interpretación

La comparación entre los valores observados y la curva exponencial ajustada evidencia una elevada concordancia entre el comportamiento registrado en el conjunto de datos y el descrito por el modelo de regresión exponencial simple. La curva reproduce adecuadamente la tendencia creciente del porcentaje de arcilla conforme aumenta la profundidad del fondo marino, manteniéndose próxima a la mayor concentración de observaciones durante todo el intervalo analizado.

Las pequeñas diferencias observadas entre algunos puntos y la curva ajustada corresponden a la variabilidad natural propia de los procesos sedimentológicos y a la influencia de otros factores físicos, químicos y ambientales que no fueron considerados en el presente modelo. No obstante, la proximidad general entre la curva y la nube de puntos indica que el modelo exponencial proporciona una representación adecuada del comportamiento observado y constituye una aproximación confiable para describir la relación entre la profundidad del fondo marino (DEPTH_M) y el porcentaje de arcilla (CLAY_PCT).

8. TEST DE PEARSON

Después de ajustar el modelo exponencial simple, es necesario evaluar qué tan bien representa la relación existente entre la profundidad del fondo marino (DEPTH_M) y el porcentaje de arcilla (CLAY_PCT). Para ello se calcula el coeficiente de correlación de Pearson (r), el cual mide la intensidad de la asociación lineal entre los valores observados y los valores estimados por el modelo. Asimismo, se determina el coeficiente de determinación (R²), que cuantifica la proporción de la variabilidad de la variable dependiente explicada por el modelo ajustado.

#==============================================================================
# 8. EVALUACIÓN DEL MODELO
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#------------------------------------------------------------------------------
# Calcular el coeficiente de correlación de Pearson entre los valores
# observados y los valores estimados.
#------------------------------------------------------------------------------

r <- cor(x, ln_y)
R2 <- summary(modelo_exp_linealizado)$r.squared


#------------------------------------------------------------------------------
# Construir la tabla de indicadores estadísticos.
#------------------------------------------------------------------------------

tabla_indicadores <- data.frame(

Indicador = c(

"Coeficiente de correlación de Pearson (r)",

"Coeficiente de determinación (R²)"

),

Valor = c(

r,

R2

)

)

tabla_indicadores %>%

gt() %>%

tab_header(

title=md("**Tabla N.°5. Indicadores estadísticos para evaluar la calidad del ajuste del modelo de regresión exponencial simple.**")

) %>%

fmt_number(

columns=Valor,

decimals=4

) %>%

cols_align(

align="center"

) %>%

tab_options(

table.width=pct(80),

column_labels.font.weight="bold"

)
Tabla N.°5. Indicadores estadísticos para evaluar la calidad del ajuste del modelo de regresión exponencial simple.
Indicador Valor
Coeficiente de correlación de Pearson (r) 0.9763
Coeficiente de determinación (R²) 0.9532

El coeficiente de correlación de Pearson obtenido (r = 0.9763) evidencia una relación positiva muy fuerte entre la profundidad del fondo marino (DEPTH_M) y el logaritmo natural del porcentaje de arcilla (ln(CLAY_PCT)). Asimismo, el coeficiente de determinación (R² = 0.9532) indica que aproximadamente el 95.32 % de la variabilidad observada en ln(CLAY_PCT) es explicada por la profundidad del fondo marino (DEPTH_M), mientras que el 4.68 % restante puede atribuirse a otros factores sedimentológicos no considerados en el análisis.

9. RESTRICCIONES DEL MODELO

Todo modelo de regresión posee un dominio de aplicación determinado por los datos utilizados durante su construcción. En consecuencia, las estimaciones realizadas mediante el modelo de regresión exponencial simple únicamente pueden considerarse confiables cuando la profundidad del fondo marino (DEPTH_M) pertenece al intervalo observado en el conjunto de datos. La utilización del modelo fuera de este rango constituye una extrapolación y puede producir estimaciones que no representen adecuadamente el comportamiento real de los sedimentos marinos.

#==============================================================================
# 9. RESTRICCIONES DEL MODELO
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xmin <- min(x)
xmax <- max(x)

plot.new()
plot.window(xlim = c(0,100), ylim = c(0,100))

rect(5,10,95,90, border = "#1F4E79", lwd = 3)

text(50,84,"RESTRICCIONES DEL MODELO",
     cex = 1.45, font = 2, col = "#1F4E79")

text(50,62,"Rango observado del conjunto de datos:",
     cex = 1.15, font = 2)

text(50,50,
     paste0(round(xmin,2), " ≤ DEPTH_M ≤ ", round(xmax,2), " m"),
     cex = 1.25,
     font = 2,
     col = "#C0392B")

text(50,28,"No se recomienda extrapolar el modelo",
     cex = 0.95,
     col = "gray40")

text(50,22,"fuera del intervalo observado.",
     cex = 0.95,
     col = "gray40")

box()

El modelo de regresión exponencial simple debe utilizarse únicamente para profundidades comprendidas entre 0 y 1332.17 metros, ya que este corresponde al intervalo observado en el conjunto de datos utilizado para ajustar el modelo. Las estimaciones realizadas fuera de este rango serían extrapolaciones y podrían no representar adecuadamente el comportamiento real del porcentaje de arcilla en los sedimentos marinos.

10. ESTIMACIÓN MEDIANTE EL MODELO

Una de las principales aplicaciones del modelo de regresión exponencial simple consiste en estimar el valor esperado de una variable dependiente a partir de un valor conocido de la variable independiente. En esta sección se utiliza la ecuación exponencial reconstruida para estimar el porcentaje de arcilla (CLAY_PCT) correspondiente a una profundidad específica del fondo marino (DEPTH_M). Debido a que el valor seleccionado pertenece al intervalo observado en el conjunto de datos, la estimación corresponde a una interpolación, por lo que el resultado puede considerarse confiable dentro del dominio de aplicación del modelo.

#==============================================================================
# 10. ESTIMACIÓN MEDIANTE EL MODELO
#==============================================================================

x_estimacion <- 600

y_estimacion <- a * exp(b * x_estimacion)

plot.new()
plot.window(xlim = c(0,100), ylim = c(0,100))

rect(5,15,95,85, border = "#1F4E79", lwd = 3)

text(50,79,"ESTIMACIÓN DEL MODELO EXPONENCIAL",
     cex = 1.25,
     font = 2,
     col = "#1F4E79")

text(50,63,
     "Para una profundidad del fondo marino (DEPTH_M) igual a",
     cex = 0.98)

text(50,55,
     paste0(x_estimacion, " m"),
     cex = 1.40,
     font = 2,
     col = "#C0392B")

text(50,43,
     "el modelo estima un porcentaje de arcilla (CLAY_PCT) de:",
     cex = 1.05)

text(50,30,
     paste0(round(y_estimacion,4), " %"),
     cex = 2,
     font = 2,
     col = "#C0392B")

text(50,18,
     "Estimación obtenida mediante el modelo de regresión exponencial ajustado.",
     cex = 0.82,
     col = "gray40")

box()

Interpretación

Para una profundidad del fondo marino (DEPTH_M) igual a 600 metros, el modelo de regresión exponencial simple estima un porcentaje de arcilla (CLAY_PCT) de 32.5531 %. Debido a que este valor pertenece al intervalo utilizado para ajustar el modelo (0 ≤ DEPTH_M ≤ 1332.17 m), la estimación corresponde a una interpolación, por lo que puede considerarse confiable para describir el comportamiento de los sedimentos marinos analizados.

Nota metodológica: aunque los parámetros fueron estimados mediante el modelo lineal equivalente, la estimación final se realiza con la ecuación exponencial reconstruida, de modo que el resultado se expresa nuevamente en las unidades originales de la variable dependiente, es decir, porcentaje de arcilla.

11. CONCLUSIÓN

Los datos ajustados sugieren una relación exponencial positiva entre la profundidad del fondo marino (DEPTH_M) y el porcentaje de arcilla (CLAY_PCT) de los sedimentos marinos recolectados en Estados Unidos. Esta relación se representa mediante el modelo exponencial \(CLAY\_PCT = a \cdot e^{b \cdot DEPTH\_M}\), donde X representa la profundidad del fondo marino (m) y Y el porcentaje de arcilla (%). El modelo linealizado presenta una relación positiva muy fuerte entre DEPTH_M y ln(CLAY_PCT) (r = 0.9763) y explica aproximadamente el 95.32 % de la variabilidad observada en la variable transformada ln(CLAY_PCT) (R² = 0.9532), mientras que el 4.68 % restante puede atribuirse a otros factores sedimentológicos no considerados en el análisis. Asimismo, para una profundidad del fondo marino de 600 metros, el modelo estima un porcentaje de arcilla de 32.5531 %, por lo que puede utilizarse como una herramienta de estimación dentro del intervalo de datos analizado.