Videoaula 03 – Probabilidades usando a tabela normal

Como transformar escore-z em área, proporção e probabilidade

Pergunta guia

Como transformar um escore-z em uma probabilidade?

Objetivo da videoaula

Ao final desta videoaula, o aluno deverá compreender como usar a tabela normal padrão para associar valores de escore-z a áreas sob a curva normal, interpretando essas áreas como proporções ou probabilidades.

Dica de navegação

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Conexão com a Videoaula 02

Na Videoaula 02, vimos que o escore-z localiza um valor dentro da distribuição. Agora, vamos usar essa localização para calcular áreas e probabilidades na curva normal.

1. Da posição à probabilidade

Na aula anterior, aprendemos que o escore-z informa quantos desvios-padrão um valor está acima ou abaixo da média.

Por exemplo, dizer que um indivíduo tem $z = 1{,}20$ significa que esse valor está 1,20 desvio-padrão acima da média.

Mas, em muitas análises, queremos dar um passo além:

Qual é a proporção de indivíduos abaixo desse valor?

ou:

Qual é a probabilidade de observar um valor maior que esse?

Essas perguntas são respondidas por meio da área sob a curva normal.

Ideia central

Na curva normal, área representa proporção ou probabilidade.

2. O que a tabela normal informa?

A tabela normal padrão associa cada valor de $z$ a uma área sob a curva normal padronizada.

A forma mais comum da tabela informa a área acumulada à esquerda de $z$, isto é:

$$P(Z \leq z)$$

Essa notação significa:

probabilidade de uma variável normal padronizada $Z$ assumir valor menor ou igual a um determinado $z$.

Ideia da tabela normal padrão

A tabela transforma um valor de z em uma área acumulada à esquerda.

z	P(Z ≤ z)
-1,00	0,1587
0,00	0,5000
1,00	0,8413
1,96	0,9750

Atenção

Existem diferentes tipos de tabela normal. Algumas fornecem a área à esquerda de $z$; outras fornecem a área entre 0 e $z$. Nesta videoaula, vamos trabalhar com a tabela acumulada à esquerda, isto é, $P(Z \leq z)$.

3. Três perguntas fundamentais

Ao usar a curva normal, três perguntas aparecem com frequência:

1. Qual é a probabilidade de estar abaixo de um valor?
2. Qual é a probabilidade de estar acima de um valor?
3. Qual é a probabilidade de estar entre dois valores?

Essas três perguntas usam a mesma lógica, mas exigem interpretações diferentes da área sob a curva.

Três formas de ler áreas na curva normal

Abaixo de z

Usamos diretamente a tabela acumulada.

P(Z ≤ z)

Acima de z

Usamos o complemento da área acumulada.

P(Z ≥ z) = 1 − P(Z ≤ z)

Entre dois valores

Subtraímos duas áreas acumuladas.

P(a ≤ Z ≤ b) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a)

4. Exemplo 1: probabilidade abaixo de um valor

Suponha que queremos calcular:

$$P(Z \leq 1{,}20)$$

Na tabela normal acumulada, procuramos o valor $z = 1{,}20$.

O resultado é aproximadamente:

$$P(Z \leq 1{,}20) = 0{,}8849$$

Isso significa que aproximadamente 88,49% dos valores estão abaixo de $z = 1{,}20$.

Interpretação

Se um indivíduo apresenta $z = 1{,}20$, ele está acima da média, mas ainda dentro de uma região relativamente comum da distribuição. Aproximadamente 88,49% dos valores estão abaixo dele.

5. Exemplo 2: probabilidade acima de um valor

Agora queremos calcular:

$$P(Z \geq 1{,}20)$$

Como a área total sob a curva normal é igual a 1, usamos o complemento:

$$P(Z \geq 1{,}20) = 1 - P(Z \leq 1{,}20)$$

Substituindo:

$$P(Z \geq 1{,}20) = 1 - 0{,}8849 = 0{,}1151$$

Portanto, aproximadamente 11,51% dos valores estão acima de $z = 1{,}20$.

Mensagem para guardar

Para calcular a área acima de um valor, use sempre: área acima = 1 − área acumulada à esquerda.

6. Exemplo 3: probabilidade entre dois valores

Agora queremos calcular:

$$P(-1 \leq Z \leq 1)$$

Pela tabela acumulada:

$$P(Z \leq 1) = 0{,}8413$$

e

$$P(Z \leq -1) = 0{,}1587$$

Então:

$$P(-1 \leq Z \leq 1) = 0{,}8413 - 0{,}1587 = 0{,}6826$$

Portanto, aproximadamente 68,26% dos valores estão entre $z = -1$ e $z = 1$.

Conexão com a regra 68%–95%–99,7%

Esse resultado explica a primeira parte da regra empírica: em uma distribuição normal, cerca de 68% dos valores estão entre a média menos 1 desvio-padrão e a média mais 1 desvio-padrão.

7. Calculadora visual de probabilidades normais

Use o painel abaixo para visualizar as três situações: área abaixo, área acima e área entre dois valores.

Calculadora visual da curva normal padrão

Escolha o tipo de probabilidade e ajuste os valores de z para ver a área correspondente.

Área0,8849

Tipo de probabilidadeAbaixo de z: P(Z ≤ z)Acima de z: P(Z ≥ z)Entre a e b: P(a ≤ Z ≤ b)

Valor z principal1,20

Segundo valor z1,00

Interpretação

A área acumulada à esquerda de z = 1,20 é 0,8849, ou 88,49%.

Mensagem para destacar na fala

A tabela normal não “cria” a probabilidade. Ela apenas nos ajuda a consultar a área correspondente a um valor de $z$.

8. Aplicação com variável original

Em situações reais, muitas vezes começamos com uma variável na escala original. Por exemplo, suponha que a glicemia em jejum de uma população de referência seja aproximadamente normal, com:

$$\mu = 95 \text{ mg/dL}$$

e

$$\sigma = 10 \text{ mg/dL}$$

Queremos calcular a proporção esperada de indivíduos com glicemia acima de 115 mg/dL.

Primeiro, transformamos o valor original em escore-z:

$$z = \frac{115 - 95}{10} = 2$$

Depois, usamos a tabela normal:

$$P(Z \leq 2) = 0{,}9772$$

Como queremos a área acima:

$$P(Z \geq 2) = 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228$$

Portanto, aproximadamente 2,28% dos indivíduos dessa população de referência teriam glicemia acima de 115 mg/dL, assumindo normalidade.

Interpretação responsável

Esse resultado depende da suposição de que a glicemia nessa população de referência segue distribuição normal ou aproximadamente normal. Além disso, a interpretação clínica deve considerar critérios diagnósticos, contexto individual e diretrizes específicas.

9. Erros comuns ao usar a tabela normal

Alguns erros são muito frequentes:

1. confundir área à esquerda com área à direita;
2. esquecer de usar o complemento quando a pergunta pede “acima de”;
3. subtrair as áreas na ordem errada ao calcular intervalo entre dois valores;
4. esquecer que a tabela é da normal padronizada, ou seja, trabalha com $z$, não com $x$ diretamente;
5. interpretar probabilidade estatística como diagnóstico clínico automático.

Roteiro mental

Antes de usar a tabela, pergunte: quero a área abaixo, acima ou entre valores?

Antes de seguir

Antes da próxima videoaula, tente responder:

1. O que a área sob a curva normal representa?
2. Quando usamos diretamente a área acumulada da tabela?
3. Quando precisamos calcular o complemento $1 - P(Z \leq z)$?
4. Como calculamos a área entre dois valores de $z$?
5. Por que é necessário transformar $x$ em $z$ antes de usar a tabela normal padrão?

Fechamento da videoaula

A tabela normal transforma uma posição padronizada em uma área interpretável.

Nesta videoaula, vimos que o escore-z localiza o valor na curva, e a tabela normal permite transformar essa localização em área, proporção ou probabilidade.

Na próxima videoaula, vamos avançar para aplicações mais completas da distribuição normal, combinando transformação em escore-z, consulta de áreas e interpretação no contexto da Saúde e Nutrição.