Videoaula 03 – Probabilidades usando a tabela normal

Padronização, área sob a curva e interpretação probabilística

Autor

Prof. Marcelo Ribeiro

Pergunta guia

Como transformar um valor observado em uma probabilidade?

Tempo sugerido

15 a 20 minutos

Objetivo da videoaula

Ao final desta videoaula, o aluno deverá resolver problemas analíticos envolvendo a distribuição normal, padronização e consulta à tabela de áreas da curva normal.

5. Como resolver problemas com a distribuição normal

Em muitos problemas aplicados, queremos calcular a proporção de indivíduos abaixo, acima ou entre determinados valores. Para isso, seguimos uma sequência lógica.

Roteiro analítico

Identifique a variável e seus parâmetros: $X \sim N(\mu,\sigma)$ .
Identifique o valor ou os valores de interesse.
Padronize usando $z = (x-\mu)/\sigma$ .
Desenhe mentalmente ou graficamente a área procurada na curva.
Consulte a tabela da normal padronizada ou use um software.
Interprete a probabilidade no contexto do problema.

5.1 Como usar a tabela da curva normal

A tabela utilizada nesta aula informa a área entre a média da curva normal padronizada, isto é, entre $z=0$ , e um determinado valor positivo de $z$ .

Em outras palavras, ela não fornece diretamente a área à esquerda ou à direita de $z$ . Ela fornece a área central entre $0$ e $z$ .

Como ler a tabela

Na tabela, procure o valor de $z$ na coluna correspondente e leia a área entre $0$ e $z$ . Por exemplo, para $z=1,00$ , a área entre $0$ e $1,00$ é $0,3413$ . Isso significa que 34,13% dos valores estão entre a média e 1 desvio-padrão acima da média.

Alguns valores importantes da tabela são:

Valor de $z$	Área entre $0$ e $z$
0,50	0,1915
0,83	0,2967
1,00	0,3413
1,28	0,3997
1,64	0,4495
1,96	0,4750
2,00	0,4772
2,58	0,4951

Como metade da curva normal está à esquerda da média e metade está à direita, temos:

$P(Z < 0) = 0,50$

$P(Z > 0) = 0,50$

Portanto, quando a tabela fornece a área entre $0$ e $z$ , precisamos combinar essa área com $0,50$ , dependendo da região procurada.

Caso 1: área à esquerda de um valor positivo

Se queremos $P(Z < z)$ , com $z>0$ , fazemos:

$P(Z < z) = 0,50 + A_{0,z}$

em que $A_{0,z}$ é a área entre $0$ e $z$ fornecida pela tabela.

Caso 2: área à direita de um valor positivo

Se queremos $P(Z > z)$ , com $z>0$ , fazemos:

$P(Z > z) = 0,50 - A_{0,z}$

ou, de forma equivalente:

$P(Z > z) = 1 - P(Z < z)$

Caso 3: área à esquerda de um valor negativo

Se queremos $P(Z < -z)$ , usamos a simetria da curva normal:

$P(Z < -z) = 0,50 - A_{0,z}$

Caso 4: área entre dois valores simétricos

Se queremos $P(-z < Z < z)$ , fazemos:

$P(-z < Z < z) = 2A_{0,z}$

Resumo prático

Antes de consultar a tabela, sempre desenhe ou imagine a região procurada. Isso evita confundir área à esquerda, área à direita e área entre dois valores.

5.2 Exemplo 1: probabilidade abaixo de um valor

Suponha que a glicemia em jejum de uma população saudável tenha distribuição aproximadamente normal, com média de 90 mg/dL e desvio-padrão de 5 mg/dL.

Qual a proporção esperada de indivíduos com glicemia abaixo de 95 mg/dL?

Primeiro, identificamos:

$X \sim N(90,5)$

Depois, padronizamos:

$z = \frac{95 - 90}{5} = 1$

Agora, precisamos da área à esquerda de $z=1$ . Como a tabela fornece a área entre $z=0$ e $z=1$ , devemos somar essa área à metade esquerda da curva.

A tabela informa que a área entre $z=0$ e $z=1$ é aproximadamente 0,3413.

Como a área à esquerda da média é 0,50:

$P(Z < 1) = 0,50 + 0,3413 = 0,8413$

Interpretação:

Aproximadamente 84,13% dos indivíduos dessa população saudável apresentam glicemia abaixo de 95 mg/dL.

5.3 Exemplo 2: probabilidade acima de um valor

Com os mesmos parâmetros, qual a proporção esperada de indivíduos com glicemia acima de 95 mg/dL?

Sabemos que:

$z = \frac{95 - 90}{5} = 1$

A área à esquerda de $z=1$ é 0,8413. Logo, a área à direita será:

$P(Z > 1) = 1 - 0,8413 = 0,1587$

Interpretação:

Aproximadamente 15,87% dos indivíduos dessa população saudável apresentam glicemia acima de 95 mg/dL.

5.4 Exemplo 3: probabilidade abaixo de um valor menor que a média

Qual a proporção esperada de indivíduos com glicemia abaixo de 80 mg/dL?

Padronizando:

$z = \frac{80 - 90}{5} = -2$

A tabela mostra que a área entre $z=0$ e $z=2$ é 0,4772.

Como queremos a área à esquerda de $z=-2$ , fazemos:

$P(Z < -2) = 0,50 - 0,4772 = 0,0228$

Interpretação:

Aproximadamente 2,28% dos indivíduos dessa população saudável apresentam glicemia abaixo de 80 mg/dL.

5.5 Exemplo 4: probabilidade entre dois valores

Qual a proporção esperada de indivíduos com glicemia entre 85 e 95 mg/dL?

Padronizamos os dois limites:

$z_1 = \frac{85 - 90}{5} = -1$

$z_2 = \frac{95 - 90}{5} = 1$

Sabemos que a área entre $z=-1$ e $z=+1$ é aproximadamente 0,6826.

Logo:

$P(85 < X < 95) = P(-1 < Z < 1) \approx 0,6826$

Interpretação:

Aproximadamente 68,26% dos indivíduos dessa população saudável apresentam glicemia entre 85 e 95 mg/dL.

5.6 Exemplo 5: estatura e proporção acima de um valor

Suponha que a estatura de um grupo de jovens tenha distribuição aproximadamente normal, com média de 175 cm e desvio-padrão de 6 cm.

Para um jovem com estatura de 180 cm:

$z = \frac{180 - 175}{6} = 0{,}83$

A tabela informa que a área entre $z=0$ e $z=0,83$ é aproximadamente 0,2967.

A área à esquerda de $z=0,83$ é:

$P(Z < 0,83) = 0,50 + 0,2967 = 0,7967$

A área à direita de $z=0,83$ é:

$P(Z > 0,83) = 1 - 0,7967 = 0,2033$

Interpretação:

Aproximadamente 79,67% dos jovens apresentam estatura abaixo de 180 cm, enquanto aproximadamente 20,33% apresentam estatura acima de 180 cm.

5.7 Exemplo 6: encontrando um ponto de corte a partir de uma área

Suponha que se deseja identificar o ponto de corte de glicemia que deixa apenas 5% dos indivíduos acima dele em uma população com média de 90 mg/dL e desvio-padrão de 5 mg/dL.

Queremos encontrar um valor $x$ tal que:

$P(X > x) = 0,05$

Isso significa que a área à esquerda é:

$P(X < x) = 0,95$

Na curva normal padronizada, o valor que deixa 95% da área à esquerda é aproximadamente:

$z = 1,64$

Agora voltamos de $z$ para $x$ :

$x = \mu + z\sigma$

Substituindo:

$x = 90 + 1,64(5) = 98,2$

Interpretação:

O ponto de corte aproximado é 98,2 mg/dL. Assim, sob esse modelo normal, cerca de 5% dos indivíduos teriam glicemia acima desse valor.

6. Exercícios analíticos sobre distribuição normal

Resolva os exercícios abaixo seguindo sempre a lógica:

identificar $\mu$ e $\sigma$ ;
padronizar o valor observado;
desenhar ou indicar a área procurada;
consultar a tabela de $z$ ;
interpretar o resultado.

Exercício 1 — Glicemia abaixo de um valor

Em uma população saudável, a glicemia em jejum tem distribuição aproximadamente normal, com média de 90 mg/dL e desvio-padrão de 5 mg/dL.

Calcule a proporção esperada de indivíduos com glicemia abaixo de 100 mg/dL.

Exercício 2 — Glicemia acima de um valor

Com os mesmos parâmetros do exercício anterior, calcule a proporção esperada de indivíduos com glicemia acima de 100 mg/dL.

Exercício 3 — Glicemia entre dois valores

Com média de 90 mg/dL e desvio-padrão de 5 mg/dL, calcule a proporção esperada de indivíduos com glicemia entre 80 e 100 mg/dL.

Exercício 4 — Estatura

A estatura de jovens apresenta distribuição aproximadamente normal, com média de 175 cm e desvio-padrão de 6 cm.

Calcule a proporção esperada de jovens com estatura acima de 180 cm.

Exercício 5 — Ponto de corte superior

A concentração de determinado marcador bioquímico apresenta distribuição aproximadamente normal, com média de 50 unidades e desvio-padrão de 8 unidades.

Determine o valor aproximado que deixa 5% dos indivíduos acima dele.

Exercício 6 — Interpretação clínica

Um indivíduo apresentou valor de $z=2,3$ para determinado marcador metabólico.

Explique, em linguagem aplicada à Saúde e Nutrição, o que esse resultado significa.

7. Respostas comentadas dos exercícios analíticos

Resposta do exercício 1

$z = \frac{100 - 90}{5} = 2$

A área entre $0$ e $2$ é 0,4772.

Logo:

$P(Z<2) = 0,50 + 0,4772 = 0,9772$

Interpretação:

Aproximadamente 97,72% dos indivíduos apresentam glicemia abaixo de 100 mg/dL.

Resposta do exercício 2

Do exercício anterior:

$P(Z<2) = 0,9772$

Logo:

$P(Z>2) = 1 - 0,9772 = 0,0228$

Interpretação:

Aproximadamente 2,28% dos indivíduos apresentam glicemia acima de 100 mg/dL.

Resposta do exercício 3

Padronizando os limites:

$z_1 = \frac{80 - 90}{5} = -2$

$z_2 = \frac{100 - 90}{5} = 2$

A área entre $z=-2$ e $z=+2$ é aproximadamente 0,9544.

Interpretação:

Aproximadamente 95,44% dos indivíduos apresentam glicemia entre 80 e 100 mg/dL.

Resposta do exercício 4

$z = \frac{180 - 175}{6} = 0{,}83$

A área entre 0 e 0,83 é 0,2967.

Logo:

$P(Z > 0,83) = 1 - (0,50 + 0,2967) = 0,2033$

Interpretação:

Aproximadamente 20,33% dos jovens apresentam estatura acima de 180 cm.

Resposta do exercício 5

Queremos o ponto que deixa 5% acima, ou seja, 95% abaixo.

Pela tabela normal:

$z \approx 1,64$

Voltando para a escala original:

$x = \mu + z\sigma = 50 + 1,64(8) = 63,12$

Interpretação:

O ponto de corte aproximado é 63,12 unidades. Sob normalidade, cerca de 5% dos indivíduos terão valores acima desse ponto.

Resposta do exercício 6

Um valor de $z=2,3$ indica que o indivíduo está 2,3 desvios-padrão acima da média da população de referência.

Interpretação:

Sob distribuição aproximadamente normal, esse valor está em uma região menos frequente da distribuição. Portanto, o resultado merece atenção, especialmente se a variável estiver associada a risco clínico, metabólico ou nutricional.

Fechamento da videoaula

A tabela da normal permite transformar posições na curva em probabilidades interpretáveis.

--- title: "Videoaula 03 – Probabilidades usando a tabela normal" subtitle: "Padronização, área sob a curva e interpretação probabilística" author: "Prof. Marcelo Ribeiro" format: html: toc: true toc-location: left number-sections: false theme: cosmo css: estilo_assincrono_jamovi_mathml.css html-math-method: mathml page-layout: full code-fold: false code-tools: true df-print: paged embed-resources: true mermaid: theme: neutral lang: pt-BR editor: visual --- ## Pergunta guia > Como transformar um valor observado em uma probabilidade? ## Tempo sugerido 15 a 20 minutos ## Objetivo da videoaula Ao final desta videoaula, o aluno deverá resolver problemas analíticos envolvendo a distribuição normal, padronização e consulta à tabela de áreas da curva normal. ## 5. Como resolver problemas com a distribuição normal Em muitos problemas aplicados, queremos calcular a proporção de indivíduos abaixo, acima ou entre determinados valores. Para isso, seguimos uma sequência lógica. ::: {.callout-tip title="Roteiro analítico"} 1. Identifique a variável e seus parâmetros: $X \sim N(\mu,\sigma)$. 2. Identifique o valor ou os valores de interesse. 3. Padronize usando $z = (x-\mu)/\sigma$. 4. Desenhe mentalmente ou graficamente a área procurada na curva. 5. Consulte a tabela da normal padronizada ou use um software. 6. Interprete a probabilidade no contexto do problema. ::: ### 5.1 Como usar a tabela da curva normal A tabela utilizada nesta aula informa a **área entre a média da curva normal padronizada**, isto é, entre $z=0$, e um determinado valor positivo de $z$. Em outras palavras, ela não fornece diretamente a área à esquerda ou à direita de $z$. Ela fornece a área central entre $0$ e $z$. ![](tabela_normal_padrao.png){fig-align="center" width="95%"} ::: {.callout-note title="Como ler a tabela"} Na tabela, procure o valor de $z$ na coluna correspondente e leia a área entre $0$ e $z$. Por exemplo, para $z=1,00$, a área entre $0$ e $1,00$ é $0,3413$. Isso significa que 34,13% dos valores estão entre a média e 1 desvio-padrão acima da média. ::: Alguns valores importantes da tabela são: | Valor de $z$ | Área entre $0$ e $z$ | |-------------:|---------------------:| | 0,50 | 0,1915 | | 0,83 | 0,2967 | | 1,00 | 0,3413 | | 1,28 | 0,3997 | | 1,64 | 0,4495 | | 1,96 | 0,4750 | | 2,00 | 0,4772 | | 2,58 | 0,4951 | Como metade da curva normal está à esquerda da média e metade está à direita, temos: $$ P(Z < 0) = 0,50 $$ e $$ P(Z > 0) = 0,50 $$ Portanto, quando a tabela fornece a área entre $0$ e $z$, precisamos combinar essa área com $0,50$, dependendo da região procurada. #### Caso 1: área à esquerda de um valor positivo Se queremos $P(Z < z)$, com $z>0$, fazemos: $$ P(Z < z) = 0,50 + A_{0,z} $$ em que $A_{0,z}$ é a área entre $0$ e $z$ fornecida pela tabela. #### Caso 2: área à direita de um valor positivo Se queremos $P(Z > z)$, com $z>0$, fazemos: $$ P(Z > z) = 0,50 - A_{0,z} $$ ou, de forma equivalente: $$ P(Z > z) = 1 - P(Z < z) $$ #### Caso 3: área à esquerda de um valor negativo Se queremos $P(Z < -z)$, usamos a simetria da curva normal: $$ P(Z < -z) = 0,50 - A_{0,z} $$ #### Caso 4: área entre dois valores simétricos Se queremos $P(-z < Z < z)$, fazemos: $$ P(-z < Z < z) = 2A_{0,z} $$ ::: {.callout-tip title="Resumo prático"} Antes de consultar a tabela, sempre desenhe ou imagine a região procurada. Isso evita confundir área à esquerda, área à direita e área entre dois valores. ::: ### 5.2 Exemplo 1: probabilidade abaixo de um valor Suponha que a glicemia em jejum de uma população saudável tenha distribuição aproximadamente normal, com média de 90 mg/dL e desvio-padrão de 5 mg/dL. Qual a proporção esperada de indivíduos com glicemia **abaixo de 95 mg/dL**? Primeiro, identificamos: $$ X \sim N(90,5) $$ Depois, padronizamos: $$ z = \frac{95 - 90}{5} = 1 $$ Agora, precisamos da área à esquerda de $z=1$. Como a tabela fornece a área entre $z=0$ e $z=1$, devemos somar essa área à metade esquerda da curva. A tabela informa que a área entre $z=0$ e $z=1$ é aproximadamente 0,3413. Como a área à esquerda da média é 0,50: $$ P(Z < 1) = 0,50 + 0,3413 = 0,8413 $$ Interpretação: > Aproximadamente 84,13% dos indivíduos dessa população saudável apresentam glicemia abaixo de 95 mg/dL. ![](fig_area_ex1.png){fig-align="center" width="90%"} ### 5.3 Exemplo 2: probabilidade acima de um valor Com os mesmos parâmetros, qual a proporção esperada de indivíduos com glicemia **acima de 95 mg/dL**? Sabemos que: $$ z = \frac{95 - 90}{5} = 1 $$ A área à esquerda de $z=1$ é 0,8413. Logo, a área à direita será: $$ P(Z > 1) = 1 - 0,8413 = 0,1587 $$ Interpretação: > Aproximadamente 15,87% dos indivíduos dessa população saudável apresentam glicemia acima de 95 mg/dL. ![](fig_area_ex2.png){fig-align="center" width="90%"} ### 5.4 Exemplo 3: probabilidade abaixo de um valor menor que a média Qual a proporção esperada de indivíduos com glicemia **abaixo de 80 mg/dL**? Padronizando: $$ z = \frac{80 - 90}{5} = -2 $$ A tabela mostra que a área entre $z=0$ e $z=2$ é 0,4772. Como queremos a área à esquerda de $z=-2$, fazemos: $$ P(Z < -2) = 0,50 - 0,4772 = 0,0228 $$ Interpretação: > Aproximadamente 2,28% dos indivíduos dessa população saudável apresentam glicemia abaixo de 80 mg/dL. ![](fig_area_ex3.png){fig-align="center" width="90%"} ### 5.5 Exemplo 4: probabilidade entre dois valores Qual a proporção esperada de indivíduos com glicemia entre **85 e 95 mg/dL**? Padronizamos os dois limites: $$ z_1 = \frac{85 - 90}{5} = -1 $$ $$ z_2 = \frac{95 - 90}{5} = 1 $$ Sabemos que a área entre $z=-1$ e $z=+1$ é aproximadamente 0,6826. Logo: $$ P(85 < X < 95) = P(-1 < Z < 1) \approx 0,6826 $$ Interpretação: > Aproximadamente 68,26% dos indivíduos dessa população saudável apresentam glicemia entre 85 e 95 mg/dL. ![](fig_area_ex4.png){fig-align="center" width="90%"} ### 5.6 Exemplo 5: estatura e proporção acima de um valor Suponha que a estatura de um grupo de jovens tenha distribuição aproximadamente normal, com média de 175 cm e desvio-padrão de 6 cm. Para um jovem com estatura de 180 cm: $$ z = \frac{180 - 175}{6} = 0{,}83 $$ ![](fig_area_ex5.png){fig-align="center" width="90%"} A tabela informa que a área entre $z=0$ e $z=0,83$ é aproximadamente 0,2967. A área à esquerda de $z=0,83$ é: $$ P(Z < 0,83) = 0,50 + 0,2967 = 0,7967 $$ A área à direita de $z=0,83$ é: $$ P(Z > 0,83) = 1 - 0,7967 = 0,2033 $$ Interpretação: > Aproximadamente 79,67% dos jovens apresentam estatura abaixo de 180 cm, enquanto aproximadamente 20,33% apresentam estatura acima de 180 cm. ### 5.7 Exemplo 6: encontrando um ponto de corte a partir de uma área Suponha que se deseja identificar o ponto de corte de glicemia que deixa apenas 5% dos indivíduos acima dele em uma população com média de 90 mg/dL e desvio-padrão de 5 mg/dL. Queremos encontrar um valor $x$ tal que: $$ P(X > x) = 0,05 $$ Isso significa que a área à esquerda é: $$ P(X < x) = 0,95 $$ Na curva normal padronizada, o valor que deixa 95% da área à esquerda é aproximadamente: $$ z = 1,64 $$ Agora voltamos de $z$ para $x$: $$ x = \mu + z\sigma $$ Substituindo: $$ x = 90 + 1,64(5) = 98,2 $$ Interpretação: > O ponto de corte aproximado é 98,2 mg/dL. Assim, sob esse modelo normal, cerca de 5% dos indivíduos teriam glicemia acima desse valor. ![](fig_area_ex6.png){fig-align="center" width="90%"} ## 6. Exercícios analíticos sobre distribuição normal Resolva os exercícios abaixo seguindo sempre a lógica: 1. identificar $\mu$ e $\sigma$; 2. padronizar o valor observado; 3. desenhar ou indicar a área procurada; 4. consultar a tabela de $z$; 5. interpretar o resultado. ### Exercício 1 — Glicemia abaixo de um valor Em uma população saudável, a glicemia em jejum tem distribuição aproximadamente normal, com média de 90 mg/dL e desvio-padrão de 5 mg/dL. Calcule a proporção esperada de indivíduos com glicemia abaixo de 100 mg/dL. ### Exercício 2 — Glicemia acima de um valor Com os mesmos parâmetros do exercício anterior, calcule a proporção esperada de indivíduos com glicemia acima de 100 mg/dL. ### Exercício 3 — Glicemia entre dois valores Com média de 90 mg/dL e desvio-padrão de 5 mg/dL, calcule a proporção esperada de indivíduos com glicemia entre 80 e 100 mg/dL. ### Exercício 4 — Estatura A estatura de jovens apresenta distribuição aproximadamente normal, com média de 175 cm e desvio-padrão de 6 cm. Calcule a proporção esperada de jovens com estatura acima de 180 cm. ### Exercício 5 — Ponto de corte superior A concentração de determinado marcador bioquímico apresenta distribuição aproximadamente normal, com média de 50 unidades e desvio-padrão de 8 unidades. Determine o valor aproximado que deixa 5% dos indivíduos acima dele. ### Exercício 6 — Interpretação clínica Um indivíduo apresentou valor de $z=2,3$ para determinado marcador metabólico. Explique, em linguagem aplicada à Saúde e Nutrição, o que esse resultado significa. ## 7. Respostas comentadas dos exercícios analíticos ### Resposta do exercício 1 $$ z = \frac{100 - 90}{5} = 2 $$ A área entre $0$ e $2$ é 0,4772. Logo: $$ P(Z<2) = 0,50 + 0,4772 = 0,9772 $$ Interpretação: > Aproximadamente 97,72% dos indivíduos apresentam glicemia abaixo de 100 mg/dL. ### Resposta do exercício 2 Do exercício anterior: $$ P(Z<2) = 0,9772 $$ Logo: $$ P(Z>2) = 1 - 0,9772 = 0,0228 $$ Interpretação: > Aproximadamente 2,28% dos indivíduos apresentam glicemia acima de 100 mg/dL. ### Resposta do exercício 3 Padronizando os limites: $$ z_1 = \frac{80 - 90}{5} = -2 $$ $$ z_2 = \frac{100 - 90}{5} = 2 $$ A área entre $z=-2$ e $z=+2$ é aproximadamente 0,9544. Interpretação: > Aproximadamente 95,44% dos indivíduos apresentam glicemia entre 80 e 100 mg/dL. ### Resposta do exercício 4 $$ z = \frac{180 - 175}{6} = 0{,}83 $$ A área entre 0 e 0,83 é 0,2967. Logo: $$ P(Z > 0,83) = 1 - (0,50 + 0,2967) = 0,2033 $$ Interpretação: > Aproximadamente 20,33% dos jovens apresentam estatura acima de 180 cm. ### Resposta do exercício 5 Queremos o ponto que deixa 5% acima, ou seja, 95% abaixo. Pela tabela normal: $$ z \approx 1,64 $$ Voltando para a escala original: $$ x = \mu + z\sigma = 50 + 1,64(8) = 63,12 $$ Interpretação: > O ponto de corte aproximado é 63,12 unidades. Sob normalidade, cerca de 5% dos indivíduos terão valores acima desse ponto. ### Resposta do exercício 6 Um valor de $z=2,3$ indica que o indivíduo está 2,3 desvios-padrão acima da média da população de referência. Interpretação: > Sob distribuição aproximadamente normal, esse valor está em uma região menos frequente da distribuição. Portanto, o resultado merece atenção, especialmente se a variável estiver associada a risco clínico, metabólico ou nutricional. ## Fechamento da videoaula > A tabela da normal permite transformar posições na curva em probabilidades interpretáveis.