Videoaula 01 – Por que a curva normal é tão importante?

Variabilidade biológica, histograma, propriedades e parâmetros da curva normal

Pergunta guia

Por que tantas variáveis biológicas parecem se organizar em torno de um valor central?

Objetivo da videoaula

Ao final desta videoaula, o aluno deverá compreender por que a distribuição normal é um modelo importante para organizar a variabilidade observada em variáveis biológicas e nutricionais.

1. Por que estudar a distribuição normal?

A variabilidade biológica aparece porque os indivíduos diferem entre si.

A curva normal ajuda a representar a regularidade existente dentro dessa variabilidade.

A primeira figura destaca que, em Bioestatística, analisamos dados de indivíduos que diferem entre si: glicemia, pressão arterial, IMC, estatura e marcadores bioquímicos variam de pessoa para pessoa. A segunda figura mostra que, apesar dessa variabilidade, muitos valores tendem a se organizar em torno de um centro, formando um padrão que pode ser representado pela distribuição normal.

Em pesquisas em Saúde e Nutrição, a primeira constatação importante é que os indivíduos não são iguais. Pessoas diferentes apresentam medidas diferentes. No entanto, quando observamos muitos indivíduos ao mesmo tempo, essas diferenças podem revelar um padrão: muitos valores se concentram próximos a um ponto central e poucos valores aparecem nos extremos.

Exemplos de variáveis que costumam variar entre indivíduos:

• glicemia em jejum;
• colesterol total;
• pressão arterial;
• IMC;
• circunferência da cintura;
• concentração sérica de nutrientes;
• marcadores hematológicos;
• estatura;
• massa corporal;
• indicadores bioquímicos.

É nesse ponto que a distribuição normal começa a fazer sentido. Ela não elimina a variabilidade; ela nos ajuda a representar a regularidade existente dentro da variabilidade.

A distribuição normal, também conhecida como curva de Gauss, é um modelo usado para representar esse tipo de comportamento.

Na prática, o que observamos inicialmente é um histograma. Quando a variável apresenta muitos valores próximos ao centro e poucos valores nos extremos, esse histograma pode se aproximar de uma curva em forma de sino. A curva normal pode ser entendida, portanto, como uma representação teórica, contínua e suavizada desse comportamento.

Comentário do professor

A curva normal não deve ser entendida como uma exigência cega da Estatística. Ela é um modelo. Como todo modelo, serve para simplificar uma realidade variável e permitir decisões analíticas mais organizadas.

Atenção

Em Estatística, a palavra normal se refere ao formato da distribuição dos dados, e não necessariamente a uma condição clínica de saúde. Uma variável pode apresentar distribuição normal em indivíduos saudáveis ou em indivíduos doentes. Portanto, “normalidade estatística” não é sinônimo automático de “normalidade clínica”.

A distribuição normal, ou curva de Gauss, pode ser representada pela seguinte função de densidade de probabilidade:

$$f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left[ -\frac{1}{2} \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right)^2 \right], \quad -\infty < x < \infty$$

em que:

• $x$ representa um valor qualquer da variável quantitativa;
• $\mu$ representa a média populacional;
• $\sigma$ representa o desvio-padrão populacional;
• $\pi$ é a constante matemática pi;
• $\exp$ representa a função exponencial.

Interpretação da fórmula

Embora a fórmula pareça complexa, a mensagem principal é simples: a forma da curva normal depende essencialmente de dois parâmetros, a média $\mu$ e o desvio-padrão $\sigma$.

2. Propriedades da curva normal

Na figura a seguir, a curva é apresentada em torno da média e do desvio-padrão, o que facilita a visualização das propriedades e da regra aproximada 68%–95%–99,7%.

A curva normal possui as seguintes propriedades:

1. tem formato aproximado de sino;
2. é simétrica em torno da média;
3. média, mediana e moda coincidem quando a distribuição é perfeitamente normal;
4. a maior parte dos valores se concentra próximo da média;
5. valores muito baixos ou muito altos são menos frequentes;
6. a área total sob a curva corresponde a 1, ou seja, 100% dos indivíduos;
7. aproximadamente 68% dos valores estão entre média $\pm$ 1 desvio-padrão;
8. aproximadamente 95% dos valores estão entre média $\pm$ 2 desvios-padrão;
9. aproximadamente 99,7% dos valores estão entre média $\pm$ 3 desvios-padrão;
10. teoricamente, as caudas se aproximam do eixo horizontal, mas não o tocam;
11. os pontos de inflexão ocorrem aproximadamente em $\mu-\sigma$ e $\mu+\sigma$.

Área sob a curva

Qualquer área sob a curva normal representa uma fração do total de observações. Assim, uma área de 0,68 corresponde a aproximadamente 68% dos indivíduos; uma área de 0,95 corresponde a aproximadamente 95%; e uma área de 0,997 corresponde a aproximadamente 99,7%.

3. Parâmetros da curva normal: média e desvio-padrão

A curva normal é completamente determinada por dois parâmetros:

• a média $\mu$;
• o desvio-padrão $\sigma$.

A média define a posição da curva no eixo horizontal. Se duas curvas têm o mesmo desvio-padrão, mas médias diferentes, elas têm a mesma forma, porém ficam deslocadas para a esquerda ou para a direita.

O desvio-padrão define a dispersão da curva. Se duas curvas têm a mesma média, mas desvios-padrão diferentes, a curva com menor desvio-padrão será mais estreita e mais alta; a curva com maior desvio-padrão será mais larga e mais baixa.

Comentário do professor

Na prática, a média informa onde a distribuição está centralizada, enquanto o desvio-padrão informa o quanto os valores tendem a se espalhar em torno dessa média.

Demonstração interativa: efeito da média e do desvio-padrão

A curva normal é determinada por dois parâmetros principais:

• a média populacional $\mu$, que controla a posição da curva;
• o desvio-padrão populacional $\sigma$, que controla a dispersão dos valores.

Distribuição normal simulada

Arraste os controles para observar como μ e σ modificam a curva normal.

curva de referência μ = 90 | σ = 10

↔

Média populacional (μ) Controla a posição da curva

90

Ao alterar a média, a curva se desloca para a esquerda ou para a direita, mantendo a mesma forma quando o desvio-padrão não muda.

⇄

Desvio-padrão populacional (σ) Controla a dispersão dos valores

10

Ao aumentar o desvio-padrão, a curva fica mais larga e mais baixa. Ao diminuir, fica mais estreita e mais alta.

Interpretação para a fala

Com μ = 90 e σ = 10, a curva está centrada em 90 e a maior concentração de valores ocorre ao redor da média.

curva atual referência região entre μ - σ e μ + σ

Ao modificar os parâmetros, observe simultaneamente o deslocamento da curva, sua largura e sua altura.

Comentário do professor

A média desloca a curva. O desvio-padrão altera a sua largura. Portanto, duas distribuições normais podem ter centros diferentes, dispersões diferentes, ou ambos.

Fechamento da videoaula

A curva normal nos ajuda a transformar a variabilidade biológica em uma estrutura interpretável.