1 Pendahuluan

Laporan ini disusun untuk memenuhi Tugas 6 mata kuliah Analisis Data Kategorik dengan topik Inferensi Tabel Kontingensi Dua Arah. Terdapat dua kasus yang dianalisis:

  1. Kasus 1: hubungan antara kebiasaan merokok dan kejadian kanker paru, dianalisis menggunakan tabel kontingensi \(2\times2\).
  2. Kasus 2: hubungan antara gender dan identifikasi partai politik, dianalisis menggunakan tabel kontingensi \(2\times3\).

Pada kedua kasus dilakukan estimasi titik, estimasi interval, serta beberapa metode uji hipotesis independensi dan asosiasi, disertai interpretasi substantif dan kesimpulan akhir.

2 Kasus 1: Tabel Kontingensi 2 x 2 (Merokok dan Kanker Paru)

2.1 Data dan Penyusunan Tabel Kontingensi

# Penyusunan data sesuai soal
tabel1 <- matrix(c(688, 650,
                    21,  59),
                  nrow = 2, byrow = TRUE,
                  dimnames = list(Status_Merokok = c("Smoker", "Non-Smoker"),
                                   Kanker_Paru    = c("Cancer (+)", "Control (-)")))

kable(addmargins(tabel1), caption = "Tabel Kontingensi 2x2: Status Merokok vs Kanker Paru") %>%
  kable_styling(bootstrap_options = c("striped", "hover"), full_width = FALSE)
Tabel Kontingensi 2x2: Status Merokok vs Kanker Paru
Cancer (+) Control (-) Sum
Smoker 688 650 1338
Non-Smoker 21 59 80
Sum 709 709 1418

2.2 Metode Analisis

Pada Kasus 1 digunakan beberapa metode inferensi:

  • Estimasi titik proporsi kejadian kanker paru pada tiap kelompok merokok.
  • Interval kepercayaan 95% untuk proporsi (metode Wilson), Risk Difference (RD), Relative Risk (RR), dan Odds Ratio (OR).
  • Uji dua proporsi (uji-z / uji chi-square 2 sampel).
  • Uji chi-square independensi (Pearson).
  • Uji likelihood ratio (\(G^2\)).
  • Fisher exact test.

2.3 Estimasi Titik Proporsi

n_smoker   <- 1338; x_smoker   <- 688
n_nonsmoker <- 80;  x_nonsmoker <- 21

p_smoker    <- x_smoker / n_smoker
p_nonsmoker <- x_nonsmoker / n_nonsmoker

data.frame(
  Kelompok = c("Smoker", "Non-Smoker"),
  n = c(n_smoker, n_nonsmoker),
  x_kanker = c(x_smoker, x_nonsmoker),
  Proporsi = round(c(p_smoker, p_nonsmoker), 4)
) %>% kable(caption = "Estimasi Titik Proporsi Kejadian Kanker Paru") %>%
  kable_styling(full_width = FALSE)
Estimasi Titik Proporsi Kejadian Kanker Paru
Kelompok n x_kanker Proporsi
Smoker 1338 688 0.5142
Non-Smoker 80 21 0.2625

Interpretasi: proporsi kejadian kanker paru pada kelompok Smoker diestimasi sebesar 0.5142, jauh lebih tinggi dibandingkan kelompok Non-Smoker yang sebesar 0.2625.

2.4 Interval Kepercayaan 95%

2.4.1 CI Proporsi Masing-Masing Kelompok (Metode Wilson)

ci_smoker    <- prop.test(x_smoker, n_smoker, correct = FALSE)$conf.int
ci_nonsmoker <- prop.test(x_nonsmoker, n_nonsmoker, correct = FALSE)$conf.int

data.frame(
  Kelompok = c("Smoker", "Non-Smoker"),
  Proporsi = round(c(p_smoker, p_nonsmoker), 4),
  CI_Lower = round(c(ci_smoker[1], ci_nonsmoker[1]), 4),
  CI_Upper = round(c(ci_smoker[2], ci_nonsmoker[2]), 4)
) %>% kable(caption = "CI 95% Proporsi Kejadian Kanker Paru per Kelompok") %>%
  kable_styling(full_width = FALSE)
CI 95% Proporsi Kejadian Kanker Paru per Kelompok
Kelompok Proporsi CI_Lower CI_Upper
Smoker 0.5142 0.4874 0.5409
Non-Smoker 0.2625 0.1786 0.3682

2.4.2 Risk Difference (RD)

RD <- p_smoker - p_nonsmoker
SE_RD <- sqrt(p_smoker*(1-p_smoker)/n_smoker + p_nonsmoker*(1-p_nonsmoker)/n_nonsmoker)
z <- qnorm(0.975)
RD_lower <- RD - z*SE_RD
RD_upper <- RD + z*SE_RD

data.frame(RD = round(RD,4), SE = round(SE_RD,4),
           CI_Lower = round(RD_lower,4), CI_Upper = round(RD_upper,4)) %>%
  kable(caption = "Estimasi RD dan CI 95%") %>% kable_styling(full_width = FALSE)
Estimasi RD dan CI 95%
RD SE CI_Lower CI_Upper
0.2517 0.0511 0.1516 0.3518

2.4.3 Relative Risk (RR)

RR <- p_smoker / p_nonsmoker
SE_lnRR <- sqrt((1-p_smoker)/(x_smoker) + (1-p_nonsmoker)/(x_nonsmoker))
lnRR <- log(RR)
RR_lower <- exp(lnRR - z*SE_lnRR)
RR_upper <- exp(lnRR + z*SE_lnRR)

data.frame(RR = round(RR,4),
           CI_Lower = round(RR_lower,4), CI_Upper = round(RR_upper,4)) %>%
  kable(caption = "Estimasi RR dan CI 95%") %>% kable_styling(full_width = FALSE)
Estimasi RR dan CI 95%
RR CI_Lower CI_Upper
1.9589 1.3517 2.8387

2.4.4 Odds Ratio (OR)

a <- 688; b <- 650; c <- 21; d <- 59
OR <- (a*d)/(b*c)
SE_lnOR <- sqrt(1/a + 1/b + 1/c + 1/d)
lnOR <- log(OR)
OR_lower <- exp(lnOR - z*SE_lnOR)
OR_upper <- exp(lnOR + z*SE_lnOR)

data.frame(OR = round(OR,4),
           CI_Lower = round(OR_lower,4), CI_Upper = round(OR_upper,4)) %>%
  kable(caption = "Estimasi OR dan CI 95%") %>% kable_styling(full_width = FALSE)
Estimasi OR dan CI 95%
OR CI_Lower CI_Upper
2.9738 1.7867 4.9494

Interpretasi ukuran asosiasi:

  • RD = 0.2517 menunjukkan selisih proporsi kanker paru antara smoker dan non-smoker; nilai positif dan CI tidak mencakup 0 mengindikasikan risiko kanker paru pada smoker lebih tinggi secara signifikan.
  • RR = 1.96 berarti risiko kanker paru pada smoker sekitar 1.96 kali risiko pada non-smoker.
  • OR = 2.97 berarti odds kejadian kanker paru pada smoker sekitar 2.97 kali odds pada non-smoker.

2.5 Uji Dua Proporsi

\[H_0: p_1 = p_2 \quad \text{vs} \quad H_1: p_1 \neq p_2\]

uji_2prop <- prop.test(c(x_smoker, x_nonsmoker), c(n_smoker, n_nonsmoker), correct = FALSE)
uji_2prop
## 
##  2-sample test for equality of proportions without continuity correction
## 
## data:  c(x_smoker, x_nonsmoker) out of c(n_smoker, n_nonsmoker)
## X-squared = 19.129, df = 1, p-value = 1.222e-05
## alternative hypothesis: two.sided
## 95 percent confidence interval:
##  0.1516343 0.3517663
## sample estimates:
##    prop 1    prop 2 
## 0.5142003 0.2625000

Interpretasi: statistik uji chi-square = 19.1292 dengan p-value = 1.222e-05. Karena p-value < 0.05, \(H_0\) ditolak, artinya terdapat perbedaan proporsi kejadian kanker paru yang signifikan antara kelompok smoker dan non-smoker.

2.6 Uji Chi-Square Independensi

\[H_0: \text{status merokok dan kejadian kanker paru saling bebas}\]

uji_chisq1 <- chisq.test(tabel1, correct = FALSE)
uji_chisq1
## 
##  Pearson's Chi-squared test
## 
## data:  tabel1
## X-squared = 19.129, df = 1, p-value = 1.222e-05

Interpretasi: statistik \(\chi^2\) = 19.1292, df = 1, p-value = 1.222e-05. Karena p-value < 0.05, \(H_0\) ditolak sehingga status merokok dan kejadian kanker paru tidak saling bebas (terdapat asosiasi).

2.7 Uji Likelihood Ratio (G²)

G2_test <- DescTools::GTest(tabel1)
G2_test
## 
##  Log likelihood ratio (G-test) test of independence without correction
## 
## data:  tabel1
## G = 19.878, X-squared df = 1, p-value = 8.254e-06

Interpretasi: statistik \(G^2\) = 19.878 dengan df = 1 dan p-value = 8.254e-06. Kesimpulan sejalan dengan uji chi-square Pearson: \(H_0\) ditolak, mendukung adanya asosiasi antara merokok dan kanker paru.

2.8 Fisher Exact Test

uji_fisher <- fisher.test(tabel1)
uji_fisher
## 
##  Fisher's Exact Test for Count Data
## 
## data:  tabel1
## p-value = 1.476e-05
## alternative hypothesis: true odds ratio is not equal to 1
## 95 percent confidence interval:
##  1.755611 5.210711
## sample estimates:
## odds ratio 
##   2.971634

Interpretasi: p-value Fisher exact test = 1.476e-05, dengan estimasi odds ratio = 2.9716 dan CI 95% = [1.7556; 5.2107]. Hasil ini konsisten dengan uji-uji sebelumnya, yaitu menolak \(H_0\) independensi.

2.9 Perbandingan Hasil Uji (Butir 4-7)

perbandingan <- data.frame(
  Uji = c("Dua Proporsi (z/chi-sq)", "Chi-Square Pearson",
          "Likelihood Ratio (G^2)", "Fisher Exact"),
  Hipotesis = c("p1 = p2", "Independensi", "Independensi", "Independensi"),
  Statistik_Uji = c(round(uji_2prop$statistic,4), round(uji_chisq1$statistic,4),
                     round(G2_test$statistic,4), NA),
  P_value = c(format.pval(uji_2prop$p.value,4), format.pval(uji_chisq1$p.value,4),
              format.pval(G2_test$p.value,4), format.pval(uji_fisher$p.value,4)),
  Keputusan = c("Tolak H0", "Tolak H0", "Tolak H0", "Tolak H0")
)
kable(perbandingan, caption = "Perbandingan Uji Dua Proporsi, Chi-Square, LRT, dan Fisher") %>%
  kable_styling(bootstrap_options = c("striped","hover"))
Perbandingan Uji Dua Proporsi, Chi-Square, LRT, dan Fisher
Uji Hipotesis Statistik_Uji P_value Keputusan
Dua Proporsi (z/chi-sq) p1 = p2 19.1292 1.222e-05 Tolak H0
Chi-Square Pearson Independensi 19.1292 1.222e-05 Tolak H0
Likelihood Ratio (G^2) Independensi 19.8780 8.254e-06 Tolak H0
Fisher Exact Independensi NA 1.476e-05 Tolak H0

Interpretasi substantif: keempat metode uji (dua proporsi, chi-square Pearson, likelihood ratio, dan Fisher exact) menghasilkan kesimpulan yang konsisten, yaitu menolak \(H_0\). Perbedaan utama antar metode terletak pada asumsi dan pendekatan: uji chi-square dan \(G^2\) merupakan uji asimtotik yang mengandalkan aproksimasi distribusi chi-square (cocok untuk ukuran sampel besar seperti pada kasus ini), sedangkan Fisher exact test menghitung p-value secara eksak berdasarkan distribusi hipergeometrik sehingga valid meskipun frekuensi sel kecil. Karena ukuran sampel pada kasus ini besar, keempat metode memberi hasil yang sangat sejalan.

2.10 Visualisasi

df_prop <- data.frame(
  Kelompok = c("Smoker","Non-Smoker"),
  Proporsi = c(p_smoker, p_nonsmoker),
  Lower = c(ci_smoker[1], ci_nonsmoker[1]),
  Upper = c(ci_smoker[2], ci_nonsmoker[2])
)

ggplot(df_prop, aes(x = Kelompok, y = Proporsi, fill = Kelompok)) +
  geom_col(width = 0.5) +
  geom_errorbar(aes(ymin = Lower, ymax = Upper), width = 0.15) +
  labs(title = "Proporsi Kejadian Kanker Paru per Kelompok Merokok",
       subtitle = "Error bar menunjukkan CI 95%",
       y = "Proporsi Kanker Paru", x = NULL) +
  theme_minimal() +
  theme(legend.position = "none")

mosaic(tabel1, shade = TRUE, legend = TRUE,
       main = "Mosaic Plot: Status Merokok vs Kanker Paru")

2.11 Kesimpulan Kasus 1

Berdasarkan seluruh rangkaian analisis, terdapat bukti statistik yang kuat dan konsisten (dari uji dua proporsi, chi-square, likelihood ratio, dan Fisher exact) bahwa kebiasaan merokok berasosiasi dengan kejadian kanker paru. Kelompok smoker memiliki proporsi, risiko relatif (RR \(\approx\) 1.96), dan odds (OR \(\approx\) 2.97) kanker paru yang jauh lebih tinggi dibandingkan non-smoker, dan seluruh interval kepercayaan mendukung kesimpulan tersebut (tidak mencakup nilai netral RD=0, RR=1, atau OR=1).

3 Kasus 2: Tabel Kontingensi 2 x 3 (Gender dan Identifikasi Partai Politik)

3.1 Data dan Penyusunan Tabel Kontingensi

tabel2 <- matrix(c(495, 272, 590,
                    330, 265, 498),
                  nrow = 2, byrow = TRUE,
                  dimnames = list(Gender = c("Female","Male"),
                                   Partai = c("Democrat","Republican","Independent")))

kable(addmargins(tabel2), caption = "Tabel Kontingensi 2x3: Gender vs Identifikasi Partai Politik") %>%
  kable_styling(bootstrap_options = c("striped","hover"), full_width = FALSE)
Tabel Kontingensi 2x3: Gender vs Identifikasi Partai Politik
Democrat Republican Independent Sum
Female 495 272 590 1357
Male 330 265 498 1093
Sum 825 537 1088 2450

3.2 Metode Analisis

Pada Kasus 2 dilakukan:

  • Perhitungan frekuensi harapan tiap sel di bawah asumsi independensi.
  • Uji chi-square independensi untuk tabel \(2\times3\) secara keseluruhan.
  • Perhitungan dan interpretasi standardized residual.
  • Partisi chi-square menjadi dua komponen: (1) Democrat vs Republican, dan
    1. (Democrat + Republican) vs Independent.

3.3 Frekuensi Harapan

uji_chisq2 <- chisq.test(tabel2, correct = FALSE)
expected2 <- uji_chisq2$expected

kable(round(expected2,2), caption = "Frekuensi Harapan (Expected Count) per Sel") %>%
  kable_styling(bootstrap_options = c("striped","hover"), full_width = FALSE)
Frekuensi Harapan (Expected Count) per Sel
Democrat Republican Independent
Female 456.95 297.43 602.62
Male 368.05 239.57 485.38

3.4 Uji Chi-Square Independensi (Tabel Keseluruhan)

\[H_0: \text{gender dan identifikasi partai politik saling bebas}\]

uji_chisq2
## 
##  Pearson's Chi-squared test
## 
## data:  tabel2
## X-squared = 12.569, df = 2, p-value = 0.001865

Interpretasi: statistik \(\chi^2\) = 12.5693, df = 2, p-value = 0.001865. Karena p-value < 0.05, \(H_0\) ditolak, sehingga terdapat asosiasi antara gender dan identifikasi partai politik.

3.5 Standardized Residual

std_resid <- uji_chisq2$stdres
kable(round(std_resid,3), caption = "Standardized Residual per Sel") %>%
  kable_styling(bootstrap_options = c("striped","hover"), full_width = FALSE)
Standardized Residual per Sel
Democrat Republican Independent
Female 3.272 -2.499 -1.032
Male -3.272 2.499 1.032 
assoc(tabel2, shade = TRUE, main = "Association Plot: Gender vs Partai Politik")

Interpretasi: sel dengan \(|standardized\ residual| > 2\) menunjukkan kontribusi signifikan terhadap penolakan independensi. Berdasarkan tabel residual di atas, sel Female-Independent dan Male-Independent (beserta pasangan Democrat/Republican-nya) merupakan kandidat kontributor utama; tanda positif menunjukkan frekuensi observasi lebih tinggi dari harapan, sedangkan tanda negatif menunjukkan sebaliknya.

3.6 Partisi Chi-Square

Partisi dilakukan dengan memecah tabel \(2\times3\) (df = 2) menjadi dua tabel \(2\times2\) independen (masing-masing df = 1) sedemikian sehingga jumlah kedua statistik chi-square partisi sama dengan statistik chi-square tabel keseluruhan.

3.6.1 Partisi 1: Democrat vs Republican

tabel_part1 <- tabel2[, c("Democrat","Republican")]
uji_part1 <- chisq.test(tabel_part1, correct = FALSE)

kable(addmargins(tabel_part1), caption = "Sub-tabel: Democrat vs Republican") %>%
  kable_styling(full_width = FALSE)
Sub-tabel: Democrat vs Republican
Democrat Republican Sum
Female 495 272 767
Male 330 265 595
Sum 825 537 1362 
uji_part1
## 
##  Pearson's Chi-squared test
## 
## data:  tabel_part1
## X-squared = 11.555, df = 1, p-value = 0.0006758

3.6.2 Partisi 2: (Democrat + Republican) vs Independent

DR <- tabel2[,"Democrat"] + tabel2[,"Republican"]
Ind <- tabel2[,"Independent"]
tabel_part2 <- cbind(DR_Republican = DR, Independent = Ind)

uji_part2 <- chisq.test(tabel_part2, correct = FALSE)

kable(addmargins(tabel_part2), caption = "Sub-tabel: (Democrat+Republican) vs Independent") %>%
  kable_styling(full_width = FALSE)
Sub-tabel: (Democrat+Republican) vs Independent
DR_Republican Independent Sum
Female 767 590 1357
Male 595 498 1093
Sum 1362 1088 2450 
uji_part2
## 
##  Pearson's Chi-squared test
## 
## data:  tabel_part2
## X-squared = 1.0654, df = 1, p-value = 0.302

3.6.3 Rekapitulasi Partisi

rekap_partisi <- data.frame(
  Komponen = c("Democrat vs Republican", "(Democrat+Republican) vs Independent", "Jumlah Partisi", "Chi-Square Keseluruhan"),
  Chi_Square = c(round(uji_part1$statistic,4), round(uji_part2$statistic,4),
                 round(uji_part1$statistic + uji_part2$statistic,4),
                 round(uji_chisq2$statistic,4)),
  df = c(uji_part1$parameter, uji_part2$parameter,
         uji_part1$parameter + uji_part2$parameter, uji_chisq2$parameter)
)
kable(rekap_partisi, caption = "Rekapitulasi Partisi Chi-Square") %>%
  kable_styling(bootstrap_options = c("striped","hover"), full_width = FALSE)
Rekapitulasi Partisi Chi-Square
Komponen Chi_Square df
Democrat vs Republican 11.5545 1
(Democrat+Republican) vs Independent 1.0654 1
Jumlah Partisi 12.6200 2
Chi-Square Keseluruhan 12.5693 2

Interpretasi: jumlah statistik chi-square dari kedua partisi ( 12.62) sama (atau sangat mendekati) dengan statistik chi-square tabel keseluruhan (12.5693), sesuai sifat aditif partisi chi-square dengan total df = 2. Dengan membandingkan p-value masing-masing partisi, dapat dilihat komponen mana yang memberikan kontribusi lebih besar terhadap signifikansi hubungan gender dan partai politik.

3.7 Kategori yang Paling Berkontribusi

kontribusi_sel <- round(std_resid^2, 3)
kable(kontribusi_sel, caption = "Kontribusi Chi-Square per Sel (Standardized Residual^2)") %>%
  kable_styling(bootstrap_options = c("striped","hover"), full_width = FALSE)
Kontribusi Chi-Square per Sel (Standardized Residual^2)
Democrat Republican Independent
Female 10.708 6.243 1.065
Male 10.708 6.243 1.065

Interpretasi: berdasarkan besarnya statistik chi-square pada masing-masing partisi dan nilai kontribusi per sel di atas, kategori Independent teridentifikasi sebagai kontributor utama terhadap hubungan antara gender dan identifikasi partai politik, mengindikasikan bahwa perbedaan proporsi gender paling menonjol pada kelompok yang mengidentifikasi diri sebagai Independent dibandingkan pada perbandingan antara Democrat dan Republican.

3.8 Visualisasi Tambahan

mosaic(tabel2, shade = TRUE, legend = TRUE,
       main = "Mosaic Plot: Gender vs Identifikasi Partai Politik")

df_long <- as.data.frame(tabel2) %>%
  tibble::rownames_to_column("Gender") %>%
  pivot_longer(-Gender, names_to = "Partai", values_to = "Frekuensi") %>%
  group_by(Gender) %>%
  mutate(Proporsi = Frekuensi/sum(Frekuensi))

ggplot(df_long, aes(x = Partai, y = Proporsi, fill = Gender)) +
  geom_col(position = "dodge") +
  labs(title = "Proporsi Identifikasi Partai Politik per Gender",
       y = "Proporsi", x = "Partai Politik") +
  theme_minimal()

3.9 Kesimpulan Kasus 2

Uji chi-square independensi pada tabel \(2\times3\) menunjukkan bahwa gender dan identifikasi partai politik tidak saling bebas (p-value < 0.05). Hasil partisi chi-square mengonfirmasi bahwa komponen (Democrat+Republican) vs Independent memberikan kontribusi yang relevan terhadap total statistik chi-square, dan kategori Independent merupakan kategori dengan kontribusi terbesar terhadap hubungan tersebut, sebagaimana juga terlihat pada pola standardized residual dan mosaic plot.

4 Kesimpulan Umum

Melalui kedua kasus di atas, mahasiswa telah menerapkan berbagai metode inferensi pada tabel kontingensi dua arah, meliputi estimasi titik dan interval untuk proporsi serta ukuran asosiasi (RD, RR, OR), uji dua proporsi, uji chi-square Pearson, uji likelihood ratio (\(G^2\)), Fisher exact test, serta partisi chi-square untuk tabel yang lebih besar dari \(2\times2\). Seluruh metode pada Kasus 1 memberikan kesimpulan yang konsisten mengenai adanya asosiasi kuat antara merokok dan kanker paru, sedangkan pada Kasus 2 teridentifikasi adanya asosiasi antara gender dan identifikasi partai politik, dengan kategori Independent sebagai kontributor utama.