計量経済I：復習テスト12

作者

村澤 康友

公開

2026年7月2日

注意

すべての質問に解答しなければ提出とは認めない．正答に修正した上で，復習テスト 9～14 を順に重ねて左上でホチキス止めし，定期試験実施日（7 月 28 日の予定）にまとめて提出すること．

  1. (Y_t,X_t) を時点 t=0,1 の確率ベクトルとし，処置群に対して時点 1 に処置を行う．処置群ダミーを D とすると，Y_t の (D,X_t) 上への回帰モデルは \begin{align*} \operatorname{E}(Y_0|D,X_0) & =\alpha_0+\beta X_0 \\ \operatorname{E}(Y_1|D,X_1) & =\alpha_1+\mathrm{ATE} \cdot D+\beta X_1 \end{align*} ただし時点により切片が異なると仮定する．\{X_t\} が観測できないため，DID 法で ATE を推定したい．

  1. \operatorname{E}(Y_0|D) と \operatorname{E}(Y_1|D) を求めなさい．

  2. t=0,1 について \operatorname{E}(Y_t|D=1)-\operatorname{E}(Y_t|D=0) を求めなさい．

  3. \operatorname{E}(Y_1|D=1)-\operatorname{E}(Y_1|D=0) と \operatorname{E}(Y_0|D=1)-\operatorname{E}(Y_0|D=0) の差（差分の差分）を求めなさい．

  4. DID 法で ATE を正しく推定できるための条件を与えなさい．

  1. 繰り返し期待値の法則より \begin{align*} \operatorname{E}(Y_0|D) & =\operatorname{E}(\operatorname{E}(Y_0|D,X_0)|D) \\ & =\operatorname{E}(\alpha_0+\beta X_0|D) \\ & =\alpha_0+\beta\operatorname{E}(X_0|D) \\ \operatorname{E}(Y_1|D) & =\operatorname{E}(\operatorname{E}(Y_1|D,X_1)|D) \\ & =\operatorname{E}(\alpha_1+\mathrm{ATE} \cdot D+\beta X_1|D) \\ & =\alpha_1+\mathrm{ATE} \cdot D+\beta\operatorname{E}(X_1|D) \end{align*}

  2. 前問より \begin{align*} \operatorname{E}(Y_0|D=1)-\operatorname{E}(Y_0|D=0) & =\alpha_0+\beta\operatorname{E}(X_0|D=1)-(\alpha_0+\beta\operatorname{E}(X_0|D=0)) \\ & =\beta(\operatorname{E}(X_0|D=1)-\operatorname{E}(X_0|D=0)) \\ \operatorname{E}(Y_1|D=1)-\operatorname{E}(Y_1|D=0) & =\alpha_1+\mathrm{ATE}+\beta\operatorname{E}(X_1|D=1)-(\alpha_1+\beta\operatorname{E}(X_1|D=0)) \\ & =\mathrm{ATE}+\beta(\operatorname{E}(X_1|D=1)-\operatorname{E}(X_1|D=0)) \end{align*}

  3. \Delta X:=X_1-X_0 とすると，前問より \begin{align*} & \operatorname{E}(Y_1|D=1)-\operatorname{E}(Y_1|D=0)-(\operatorname{E}(Y_0|D=1)-\operatorname{E}(Y_0|D=0)) \\ & =\mathrm{ATE}+\beta(\operatorname{E}(X_1|D=1)-\operatorname{E}(X_1|D=0))-\beta(\operatorname{E}(X_0|D=1)-\operatorname{E}(X_0|D=0)) \\ & =\mathrm{ATE}+\beta(\operatorname{E}(X_1|D=1)-\operatorname{E}(X_1|D=0)-\operatorname{E}(X_0|D=1)+\operatorname{E}(X_0|D=0)) \\ & =\mathrm{ATE}+\beta(\operatorname{E}(X_1|D=1)-\operatorname{E}(X_0|D=1)-\operatorname{E}(X_1|D=0)+\operatorname{E}(X_0|D=0)) \\ & =\mathrm{ATE}+\beta(\operatorname{E}(X_1-X_0|D=1)-\operatorname{E}(X_1-X_0|D=0)) \\ & =\mathrm{ATE}+\beta(\operatorname{E}(\Delta X|D=1)-\operatorname{E}(\Delta X|D=0)) \end{align*}

  4. 前問より条件は \operatorname{E}(\Delta X|D=1)=\operatorname{E}(\Delta X|D=0)（平行トレンドの仮定）．

  1. (Y_t,X_t,Z) を時点 t=0,1 の確率ベクトルする．ただし Z は一定とする．Y_t の (X_t,Z) 上への重回帰モデルは \begin{align*} Y_t & =\alpha_t+\beta X_t+\gamma Z+U_t \\ \operatorname{E}(U_t|X_t,Z) & =0 \end{align*} ただし時点により切片が異なると仮定する．Z が観測できないとして，\beta を推定したい．

  1. \bar{Y}:=(Y_0+Y_1)/2，\bar{X}:=(X_0+X_1)/2，\bar{U}:=(U_0+U_1)/2 とする．\bar{Y} を \bar{X},Z,\bar{U} で表しなさい．

  2. Y_t-\bar{Y} を X_t-\bar{X} と U_t-\bar{U} で表しなさい．

  3. \{X_t\} の強外生性の定義を与えなさい．

  4. \{X_t\} が強外生なら次の回帰モデルが得られることを示しなさい（平均差分法）． \operatorname{E}\left(Y_t-\bar{Y}|X_0,X_1\right) =\alpha_t-\bar{\alpha}+\beta\left(X_t-\bar{X}\right)

  1. \bar{Y} の定義式に回帰式を代入すると \begin{align*} \bar{Y} & :=\frac{Y_0+Y_1}{2} \\ & =\frac{\alpha_0+\beta X_0+\gamma Z+U_0+\alpha_1+\beta X_1+\gamma Z+U_1}{2} \\ & =\frac{\alpha_0+\alpha_1}{2}+\frac{\beta(X_0+X_1)}{2} +\frac{2\gamma Z}{2}+\frac{U_0+U_1}{2} \\ & =\bar{\alpha}+\beta\bar{X}+\gamma Z+\bar{U} \end{align*} ただし \bar{\alpha}:=(\alpha_0+\alpha_1)/2．

  2. 前問より \begin{align*} Y_t-\bar{Y} & =\alpha_t+\beta X_t+\gamma Z+U_t -\left(\bar{\alpha}+\beta\bar{X}+\gamma Z+\bar{U}\right) \\ & =\alpha_t-\bar{\alpha}+\beta\left(X_t-\bar{X}\right)+U_t-\bar{U} \end{align*}

  3. t=0,1 について \operatorname{E}(U_t|X_0,X_1)=0 なら \{X_t\} は強外生という．

  4. 前々問より \begin{align*} \operatorname{E}\left(Y_t-\bar{Y}|X_0,X_1\right) & =\operatorname{E}\left( \alpha_t-\bar{\alpha}+\beta\left(X_t-\bar{X}\right)+U_t-\bar{U} |X_0,X_1\right) \\ & =\alpha_t-\bar{\alpha}+\beta\left(X_t-\bar{X}\right) +\operatorname{E}\left(U_t-\bar{U}|X_0,X_1\right) \end{align*} したがって \operatorname{E}\left(U_t-\bar{U}|X_0,X_1\right)=0 を示せばよい．\{X_t\} は強外生なので \begin{align*} \operatorname{E}\left(U_t-\bar{U}|X_0,X_1\right) & =\operatorname{E}(U_t|X_0,X_1)-\operatorname{E}\left(\bar{U}|X_0,X_1\right) \\ & =-\operatorname{E}\left(\frac{U_0+U_1}{2}|X_0,X_1\right) \\ & =-\frac{\operatorname{E}(U_0|X_0,X_1)+\operatorname{E}(U_1|X_0,X_1)}{2} \\ & =0 \end{align*}