class: center, middle, inverse, title-slide .title[ # Intervalos de Confiança ] .subtitle[ ## Engenharia de Produção ] .author[ ### Estatística Aplicada ] .date[ ### 30/06/2026 ] --- class: inverse, center, middle # Intervalos de Confiança ### Engenharia de Produção ### Cobre as 4 estatísticas: **μ (Z)**, **μ (t)**, **proporção (p)** e **desvio padrão (σ)** --- ## Roteiro da aula · Sumário Cada bloco usa o mesmo padrão de **5 etapas**: 1. **Situação-problema** contextualizada 2. **Perguntas** a responder 3. **Teoria enxuta** — por que aquela distribuição 4. **Resolução** passo a passo (com R) 5. **Reflexão** + pergunta para casa | # | Estatística | Distribuição | Caso | |---|---|---|---| | 1 | Média (σ conhecido) | **Z** | Tempo de ciclo da linha | | 2 | Média (σ desconhecido) | **t** | Setup de máquina nova | | 3 | Proporção | **Z** (aprox.) | Peças conformes | | 4 | Desvio padrão | **χ²** | Variabilidade do envase | --- class: inverse, center, middle # Aula 1 · IC para μ com σ conhecido ### Linha de produção: o tempo de ciclo está dentro da meta? ### (σ histórico conhecido → usar **Z**) --- ## 1.1 Situação-problema Você é **engenheira(or) de produção** em uma linha de montagem. O **σ histórico** do tempo de ciclo (vindo de anos de operação) é **σ = 4 s**. A linha é estável. Em uma nova auditoria, você coletou **`n = 30`** ciclos: - Média amostral: **x̄ = 52 s** > A **meta** contratual é: tempo médio de ciclo ≤ **50 s**. A pergunta: **qual a faixa plausível para o verdadeiro μ?** --- ## 1.2 Perguntas a responder 1. Qual o **IC 95%** para a média real μ do tempo de ciclo? 2. A linha está cumprindo a meta de 50 s? --- ## 1.3 Teoria — por que Z (e não t)? - **σ é conhecido** (anos de dados históricos). Usamos direto. - A distribuição da média amostral: `$$x̄ \sim N\!\left(\mu,\ \frac{\sigma^2}{n}\right)$$` - Padronizando: `Z = (x̄ − μ) / (σ/√n) ~ N(0,1)`. - **Por que não t?** t corrige a incerteza de **estimar σ** com `s`. Aqui **não há essa incerteza** — Z é mais informativo. - **Premissa:** Normalidade (ou n grande pelo TCL). n = 30 já dá boa robustez. --- ## 1.3 Teoria — fórmula do IC `$$\text{IC}_{1-\alpha}(\mu) = \left(\bar{x} - z_{1-\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}};\ \bar{x} + z_{1-\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$` - **Erro padrão:** `σ/√n`. - **Margem:** `z · σ/√n`. - **Interpretação:** se repetíssemos o procedimento infinitas vezes, ~95% dos intervalos conteriam o verdadeiro μ. - **Erro comum:** usar **t** quando σ é conhecido — gera IC desnecessariamente largo. --- ## 1.4 Resolução — passo a passo ``` ## x̄ = 52.0 s | σ = 4.0 s (histórico) | n = 30 | 1−α = 0.95 ``` ``` ## z_{0.975} = 1.960 ``` ``` ## Erro padrão (σ/√n) = 4.0 / √30 = 0.7303 s ``` ``` ## Margem = 1.960 × 0.7303 = 1.4314 s ``` ``` ## ## IC 95% para μ = (50.569 ; 53.431) s ``` --- ## 1.4 Resolução — visualizando o IC ``` ## Warning: Using `size` aesthetic for lines was deprecated in ggplot2 3.4.0. ## ℹ Please use `linewidth` instead. ## This warning is displayed once per session. ## Call `lifecycle::last_lifecycle_warnings()` to see where this warning was ## generated. ``` <!-- --> > O IC está **inteiramente acima** da meta de 50 s. **Evidência de que μ > 50.** --- ## 1.5 Reflexão + para casa - O IC 95% para μ é **(50,57 ; 53,43) s**. A meta é **50 s**. - O IC **não contém** 50 s — está **inteiramente acima**. **Evidência de que μ > 50**, ou seja, **a linha está fora da meta**. - Diferença observada: 52 vs 50 = 2 s. Em escala industrial (~4% acima), é **relevante**. - **Detectável** com n = 30 porque a margem do IC é pequena (≈1,43 s de cada lado). - **Erro comum:** usar `t` quando σ é conhecido — desperdiça informação e gera IC mais largo. - **Quando desconfiar do σ histórico?** Se houve **mudança de processo**, nova matéria-prima, ou operadores diferentes — o σ antigo pode não representar o atual. > **Para casa:** Se a meta fosse **51 s** em vez de 50 s, o IC conteria 51? O que muda na sua decisão? E se você tivesse coletado apenas **n = 10** peças? --- class: inverse, center, middle # Aula 2 · IC para μ com σ desconhecido ### Máquina nova: o **tempo de setup** está dentro do contratual? ### (σ desconhecido → usar **t de Student**) --- ## 2.1 Situação-problema Você é **engenheira(or) de produção** e está avaliando uma **máquina nova** sem histórico. Você quer saber se o **tempo médio de setup** está dentro do contratual. Você observou **`n = 12`** setups: - Média amostral: **x̄ = 28 min** - Desvio padrão amostral: **s = 7 min** > O contrato diz: tempo médio de setup **≤ 30 min**. > Reportar "x̄ = 28 min" não basta — σ é estimado de apenas 12 observações. Como isso entra no IC? --- ## 2.2 Perguntas a responder 1. Qual o **IC 95%** para a média real μ do tempo de setup? 2. O limite contratual de 30 min está dentro ou fora do IC? --- ## 2.3 Teoria — por que t (e não Z)? - **σ é desconhecido** — máquina nova, sem histórico. Estimamos de `s = 7`. - A estatística `(x̄ − μ)/(s/√n)` segue **t de Student** com `gl = n − 1 = 11`. - **t tem caudas mais pesadas** que Z (mais incerteza nas caudas). - Para `gl = 11`, **t_{0,975} = 2,201** vs Z = 1,960 — margem **12,3% maior**. | gl | t_{0,975} | |---|---| | 11 | **2,201** (esta aula) | | 30 | 2,042 | | ∞ | 1,960 (= Z) | --- ## 2.3 Teoria — fórmula do IC `$$\text{IC}_{1-\alpha}(\mu) = \left(\bar{x} - t_{1-\alpha/2,\ gl}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}};\ \bar{x} + t_{1-\alpha/2,\ gl}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$` - **Premissa:** Normalidade da população (setup deve ter distribuição razoavelmente simétrica). - **Erro comum:** usar Z quando σ é estimado de `s` — IC **falso-otimista**. --- ## 2.4 Resolução — passo a passo ``` ## x̄ = 28.0 min | s = 7.0 min | n = 12 | gl = 11 | 1−α = 0.95 ``` ``` ## t_{0.975; 11} = 2.201 ``` ``` ## Erro padrão estimado (s/√n) = 7.0 / √12 = 2.0207 min ``` ``` ## Margem = 2.201 × 2.0207 = 4.4476 min ``` ``` ## ## IC 95% para μ = (23.55 ; 32.45) min ``` --- ## 2.4 Resolução — visualizando o IC <!-- --> > O limite de **30 min** está **dentro** do IC. **Decisão inconclusiva** — não rejeitamos nem confirmamos μ = 30. --- ## 2.5 Reflexão + para casa - O IC 95% para μ é **(23,55 ; 32,45) min**. O limite contratual de 30 min está **dentro** do IC. - **Não há evidência** de que μ > 30 nem μ < 30 — decisão inconclusiva. - n = 12 é **pequeno**. O IC ficou largo (8,9 min de amplitude). - **30 está dentro** — mas isso **não** significa que μ = 30. Significa que o IC **é compatível** com μ = 30. - **Erro comum:** confundir "30 está dentro do IC" com "μ = 30". São afirmações diferentes. - **Recomendação:** aumentar `n`. Cada observação a mais **encolhe** o IC. - **Premissa crítica:** Normalidade. Verificar histograma dos 12 setups antes de fechar a decisão. > **Para casa:** Quantas observações a mais você precisaria para ter um IC de amplitude **≤ 5 min** (mantendo a mesma confiança de 95% e usando a mesma estimativa de s)? --- class: inverse, center, middle # Aula 3 · IC para proporção (p) ### Controle de qualidade: a **taxa de peças conformes** está acima da meta? ### (proporção → aproximação Normal com **Z**) --- ## 3.1 Situação-problema Você é **engenheira(or) de qualidade** em uma linha de produção. Precisa estimar a **taxa de peças conformes** (proporção de peças sem defeito). Você inspecionou **`n = 260`** peças: - **x = 248** peças conformes - **Proporção amostral:** `p̂ = 248/260 = 0,9538` > A **meta** de qualidade é **96%** de conformidade. > A pergunta: **a linha está cumprindo a meta de 96%?** --- ## 3.2 Perguntas a responder 1. Qual o **IC 95%** para a proporção real p de conformidade? 2. A meta de 96% está dentro ou fora do IC? --- ## 3.3 Teoria — proporção e aproximação Normal - Variável **binária** (conforme/defeituoso, ok/não-ok). - **Estimador:** `p̂ = x/n`. - Pelo **TCL para proporções**, `p̂` é aproximadamente Normal quando: - `n · p̂ ≥ 5` **e** - `n · (1 − p̂) ≥ 5` > Se violada → usar **método exato de Clopper-Pearson**. - **Erro padrão:** `√(p̂·(1−p̂)/n)`. - **Fórmula do IC:** `$$\text{IC}_{1-\alpha}(p) = \left(\hat{p} - z_{1-\alpha/2}\cdot\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}};\ \hat{p} + z_{1-\alpha/2}\cdot\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right)$$` - **Erro comum:** usar `p̂ = 0,5` no erro padrão (margem máxima, superconservadora). --- ## 3.4 Resolução — passo a passo ``` ## x = 248 conformes | n = 260 | p̂ = 0.9538 (95.38%) ``` ``` ## z_{0.975} = 1.960 ``` ``` ## Premissa: n·p̂ = 248.0 ≥ 5 ✓ | n·(1−p̂) = 12.0 ≥ 5 ✓ ``` ``` ## Erro padrão = √(0.9538·0.0462/260) = 0.01301 ``` ``` ## Margem = 1.960 × 0.01301 = 0.02550 ``` ``` ## ## IC 95% para p = (0.9283 ; 0.9793) ``` ``` ## IC 95% para p = (92.83% ; 97.93%) ``` --- ## 3.4 Resolução — visualizando o IC <!-- --> > A meta de **96%** está **dentro** do IC. Decisão **inconclusiva**. --- ## 3.5 Reflexão + para casa - O IC 95% para p é **(0,9283 ; 0,9794)** = **(92,83% ; 97,94%)**. A meta de **96%** está **dentro** do IC. - **Não há evidência** de desvio sistemático — a linha provavelmente está próxima da meta, mas a **precisão é moderada** (amplitude de 5,1 pp). - A **margem é maior** (2,55 pp vs 1,6 pp do Software) porque **n = 260 é menor** que n = 900. **Tamanho de amostra importa.** - 96% está dentro, mas o limite **inferior** (92,83%) está **abaixo** da meta. Cuidado: se a taxa cair um pouco, a linha pode estar abaixo da meta. - **Premissa verificada:** `n·p̂ = 248 ≥ 5` ✓ e `n·(1−p̂) = 12 ≥ 5` ✓ — ok. - **Erro comum:** calcular `√(0,5·0,5/n)` (margem máxima, superconservadora). Sempre use o p̂ **observado**. - **Quando o método falha?** Se houver **poucos defeitos** (ex.: 1−p̂ muito pequeno), a aproximação Normal fica ruim. Usar Clopper-Pearson. > **Para casa:** Para ter um IC de amplitude **≤ 2 pp** (mantendo 95% de confiança e a mesma p̂ observada), quantas peças você precisaria inspecionar? --- class: inverse, center, middle # Aula 4 · IC para o desvio padrão (σ) ### Linha de envase: a **variabilidade** está sob controle? ### (χ² de Pearson — IC assimétrico) --- ## 4.1 Situação-problema Você é **engenheira(or) de produção** e está validando uma linha de envase de refrigerantes após uma manutenção corretiva. - `n = 26` garrafas amostradas - Desvio padrão amostral: **s = 1,8 mL** - **Especificação regulatória:** desvio padrão **≤ 1,5 mL** - A média está dentro do alvo (próxima de 500 mL). O problema é a **dispersão**. > "s = 1,8 mL" parece acima do limite. Mas essa é uma fotografia pontual. Qual a faixa plausível para o verdadeiro σ? --- ## 4.2 Perguntas a responder 1. Qual o **IC 95%** para o desvio padrão real σ do envase? 2. O limite de 1,5 mL é **compatível** com o processo atual? --- ## 4.3 Teoria — o que é σ no chão de fábrica? - O desvio padrão mede a **estabilidade** do processo. - Em controle de qualidade, σ importa tanto quanto a média — uma linha centrada mas instável gera **defeitos nas caudas** (garrafas sub- ou super-enchidas). - A distribuição amostral de `(n−1)·s²/σ²` segue **qui-quadrado (χ²)** com `gl = n − 1`. - A χ² é **assimétrica**, sempre positiva ⇒ o IC para σ **não pode** ficar centrado em `s`. --- ## 4.3 Teoria — fórmula do IC para σ `$$\text{IC}_{1-\alpha}(\sigma) = \left(\sqrt{\frac{(n-1)\,s^2}{\chi^2_{\alpha/2,\ gl}}};\;\sqrt{\frac{(n-1)\,s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,\ gl}}}\right)$$` - **Numerador:** `(n−1)·s²` — soma de quadrados corrigida. - **Denominador:** quantis da χ² que **cortam as caudas** (α/2 à direita, 1−α/2 à esquerda). - Cuidado: o **limite inferior** do IC usa o quantil **maior** (χ²_{α/2}) — é um detalhe que confunde. - **Interpretação frequentista:** se repetíssemos o procedimento infinitas vezes, ~95% dos intervalos conteriam o verdadeiro σ. --- ## 4.4 Resolução — passo a passo ``` ## n = 26 | s = 1.80 mL | gl = 25 | 1−α = 0.95 ``` ``` ## χ²_{0.975; 25} = 40.646 (denominador da cauda superior) ``` ``` ## χ²_{0.025; 25} = 13.120 (denominador da cauda inferior) ``` ``` ## (n−1)·s² = 25 × 3.240 = 81.00 ``` ``` ## σ²_inf = 81.00 / 40.646 = 1.993 → σ_inf = 1.412 mL ``` ``` ## σ²_sup = 81.00 / 13.120 = 6.174 → σ_sup = 2.485 mL ``` ``` ## ## IC 95% para σ = (1.412 ; 2.485) mL ``` --- ## 4.4 Resolução — visualizando o IC <!-- --> > Linha verde = limite regulatório ao quadrado (1,5² = 2,25). O IC 95% está **majoritariamente acima** desse limite. --- ## 4.5 Reflexão + para casa - O IC 95% para σ é **(1,41 ; 2,49) mL**. O limite regulatório é **1,5 mL**. - O IC **cruzou** o limite — a maior parte dele está acima de 1,5. **Processo fora de controle de variabilidade.** - A leitura honesta: há **forte evidência** de que σ > 1,5. Recomendação: **ajustar a linha** e refazer a coleta. - O limite inferior (1,41) é menor que 1,5, mas é uma "filigrana" estatística. **O peso da evidência** está no lado de cima. - Se n dobra para 52, o IC **encolhe** — porque os quantis da χ² ficam mais próximos da média. Mais dados → mais precisão, mas **se a variabilidade for realmente alta, o limite regulatório continua fora.** - **A média não basta**: uma linha centrada mas instável produz defeitos que escapam do controle estatístico. > **Para casa:** Em R, simule uma linha de envase com média 500 e **desvio padrão igual ao seu limite regulatório (1,5 mL)**. Para `n = 26`, qual a proporção de vezes que `s` ultrapassa 1,5? E se `σ` real for 1,8? O que isso diz sobre **confiar** num único `s`? --- class: inverse, center, middle # Tabela de consulta · qual teste para qual estatística | Parâmetro | IC | TH (2 grupos) | Premissa | |---|---|---|---| | μ (σ conhecido) | Z | Z | σ histórico | | μ (σ desc.) | **t** ← Aulas 1, 2 | **t Welch** | Normalidade | | p (proporção) | **Z** ← Aula 3 | **Z duas prop.** | n·p̂ ≥ 5 | | σ | **χ²** ← Aula 4 | **F** | Normalidade | --- class: inverse, center, middle # Dúvidas?