Ketidakpastian Estimasi

# σ Diketahui

set.seed(123)

mu <- 100

n_level <- c(5,30,100)
sigma_level <- c(10,50,90)

for(n in n_level){

  for(sigma in sigma_level){

    data <- rnorm(n, mean=mu, sd=sigma)

    mean_data <- mean(data)

    z <- qnorm(0.975)

    ME <- z*sigma/sqrt(n)

    lower <- mean_data-ME
    upper <- mean_data+ME

    cat("\n=====================================\n")
    cat("n =",n,"\n")
    cat("SD =",sigma,"\n")
    cat("σ diketahui (Z)\n")
    cat("=====================================\n")
    cat("Rata-rata      :",round(mean_data,2),"\n")
    cat("CI 95%         : (",round(lower,2),",",round(upper,2),")\n")
    cat("Lebar Interval :",round(upper-lower,2),"\n")

  }

}

## 
## =====================================
## n = 5 
## SD = 10 
## σ diketahui (Z)
## =====================================
## Rata-rata      : 101.94 
## CI 95%         : ( 93.17 , 110.7 )
## Lebar Interval : 17.53 
## 
## =====================================
## n = 5 
## SD = 50 
## σ diketahui (Z)
## =====================================
## Rata-rata      : 97.78 
## CI 95%         : ( 53.96 , 141.61 )
## Lebar Interval : 87.65 
## 
## =====================================
## n = 5 
## SD = 90 
## σ diketahui (Z)
## =====================================
## Rata-rata      : 127.71 
## CI 95%         : ( 48.82 , 206.6 )
## Lebar Interval : 157.77 
## 
## =====================================
## n = 30 
## SD = 10 
## σ diketahui (Z)
## =====================================
## Rata-rata      : 100.24 
## CI 95%         : ( 96.67 , 103.82 )
## Lebar Interval : 7.16 
## 
## =====================================
## n = 30 
## SD = 50 
## σ diketahui (Z)
## =====================================
## Rata-rata      : 98.27 
## CI 95%         : ( 80.37 , 116.16 )
## Lebar Interval : 35.78 
## 
## =====================================
## n = 30 
## SD = 90 
## σ diketahui (Z)
## =====================================
## Rata-rata      : 115.2 
## CI 95%         : ( 82.99 , 147.4 )
## Lebar Interval : 64.41 
## 
## =====================================
## n = 100 
## SD = 10 
## σ diketahui (Z)
## =====================================
## Rata-rata      : 99.46 
## CI 95%         : ( 97.5 , 101.42 )
## Lebar Interval : 3.92 
## 
## =====================================
## n = 100 
## SD = 50 
## σ diketahui (Z)
## =====================================
## Rata-rata      : 102.39 
## CI 95%         : ( 92.59 , 112.19 )
## Lebar Interval : 19.6 
## 
## =====================================
## n = 100 
## SD = 90 
## σ diketahui (Z)
## =====================================
## Rata-rata      : 99.13 
## CI 95%         : ( 81.5 , 116.77 )
## Lebar Interval : 35.28

Berdasarkan output ketika standar deviasi populasi diketahui, terlihat bahwa ukuran sampel (n) dan standar deviasi (σ) memengaruhi lebar interval kepercayaan 95%.

Pada setiap nilai standar deviasi yang sama, semakin besar ukuran sampel (dari n = 5 menjadi n = 30 dan n = 100), maka lebar interval kepercayaan semakin kecil. Hal ini menunjukkan bahwa semakin banyak data yang digunakan, estimasi rata-rata populasi menjadi semakin presisi karena tingkat ketidakpastiannya berkurang.

Sebaliknya, ketika ukuran sampel tetap tetapi nilai standar deviasi meningkat (dari σ = 10 menjadi σ = 50 dan σ = 90), lebar interval kepercayaan semakin besar. Hal ini menunjukkan bahwa semakin besar variasi data, semakin rendah ketelitian estimasi rata-rata sehingga interval kepercayaan menjadi lebih lebar.

Karena standar deviasi populasi diketahui, perhitungan menggunakan distribusi Z, sehingga interval kepercayaan yang dihasilkan relatif lebih sempit dibandingkan metode yang menggunakan distribusi t.

# σ Tidak Diketahui

set.seed(123)

mu <- 100

n_level <- c(5,30,100)
sigma_level <- c(10,50,90)

for(n in n_level){

  for(sigma in sigma_level){

    data <- rnorm(n, mean=mu, sd=sigma)

    mean_data <- mean(data)

    s <- sd(data)

    t <- qt(0.975, df=n-1)

    ME <- t*s/sqrt(n)

    lower <- mean_data-ME
    upper <- mean_data+ME

    cat("\n=====================================\n")
    cat("n =",n,"\n")
    cat("SD =",sigma,"\n")
    cat("σ tidak diketahui (t)\n")
    cat("=====================================\n")
    cat("Rata-rata      :",round(mean_data,2),"\n")
    cat("CI 95%         : (",round(lower,2),",",round(upper,2),")\n")
    cat("Lebar Interval :",round(upper-lower,2),"\n")

  }

}

## 
## =====================================
## n = 5 
## SD = 10 
## σ tidak diketahui (t)
## =====================================
## Rata-rata      : 101.94 
## CI 95%         : ( 91.87 , 112.01 )
## Lebar Interval : 20.14 
## 
## =====================================
## n = 5 
## SD = 50 
## σ tidak diketahui (t)
## =====================================
## Rata-rata      : 97.78 
## CI 95%         : ( 25.55 , 170.02 )
## Lebar Interval : 144.47 
## 
## =====================================
## n = 5 
## SD = 90 
## σ tidak diketahui (t)
## =====================================
## Rata-rata      : 127.71 
## CI 95%         : ( 56.25 , 199.17 )
## Lebar Interval : 142.92 
## 
## =====================================
## n = 30 
## SD = 10 
## σ tidak diketahui (t)
## =====================================
## Rata-rata      : 100.24 
## CI 95%         : ( 96.48 , 104.01 )
## Lebar Interval : 7.52 
## 
## =====================================
## n = 30 
## SD = 50 
## σ tidak diketahui (t)
## =====================================
## Rata-rata      : 98.27 
## CI 95%         : ( 80.96 , 115.57 )
## Lebar Interval : 34.61 
## 
## =====================================
## n = 30 
## SD = 90 
## σ tidak diketahui (t)
## =====================================
## Rata-rata      : 115.2 
## CI 95%         : ( 87.74 , 142.65 )
## Lebar Interval : 54.9 
## 
## =====================================
## n = 100 
## SD = 10 
## σ tidak diketahui (t)
## =====================================
## Rata-rata      : 99.46 
## CI 95%         : ( 97.48 , 101.44 )
## Lebar Interval : 3.97 
## 
## =====================================
## n = 100 
## SD = 50 
## σ tidak diketahui (t)
## =====================================
## Rata-rata      : 102.39 
## CI 95%         : ( 93.1 , 111.67 )
## Lebar Interval : 18.57 
## 
## =====================================
## n = 100 
## SD = 90 
## σ tidak diketahui (t)
## =====================================
## Rata-rata      : 99.13 
## CI 95%         : ( 80.66 , 117.61 )
## Lebar Interval : 36.94

Berdasarkan output ketika standar deviasi populasi tidak diketahui, pola yang diperoleh tetap sama. Semakin besar ukuran sampel (n = 5, 30, 100), lebar interval kepercayaan semakin kecil, sedangkan semakin besar standar deviasi (σ = 10, 50, 90), lebar interval kepercayaan semakin besar.

Perbedaannya dengan output sebelumnya adalah pada kondisi ini digunakan distribusi t karena standar deviasi populasi tidak diketahui dan harus diestimasi dari data sampel. Akibat adanya ketidakpastian tambahan dalam mengestimasi standar deviasi populasi, interval kepercayaan yang dihasilkan cenderung lebih lebar, terutama ketika ukuran sampel masih kecil (n = 5).

Namun, ketika ukuran sampel semakin besar (n = 100), nilai distribusi t semakin mendekati distribusi normal (Z), sehingga perbedaan lebar interval antara kedua metode menjadi semakin kecil.