knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE, autodep = TRUE)
options(repos = "https://cran.r-project.org/")
install.packages("quantmod")   # Instala paquete
## Installing package into 'C:/Users/Msi/AppData/Local/R/win-library/4.5'
## (as 'lib' is unspecified)
## 
##   There is a binary version available but the source version is later:
##          binary source needs_compilation
## quantmod 0.4.28 0.4.29             FALSE
## installing the source package 'quantmod'
library(quantmod)              # Carga las funciones 
## Cargando paquete requerido: xts
## Warning: package 'xts' was built under R version 4.5.3
## Cargando paquete requerido: zoo
## 
## Adjuntando el paquete: 'zoo'
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     as.Date, as.Date.numeric
## Cargando paquete requerido: TTR
## Warning: package 'TTR' was built under R version 4.5.3
## Registered S3 method overwritten by 'quantmod':
##   method            from
##   as.zoo.data.frame zoo
#Descargar los datos históricos para ambas acciones
tickers <- c("MSFT", "AAPL")
getSymbols(tickers, src = "yahoo", from = "2020-01-01", to = "2025-12-31")
## [1] "MSFT" "AAPL"

Calcular Log-rendimientos (R)

R_MSFT <- ROC(MSFT$MSFT.Close, type = "continuous")[-1]
R_AAPL <- ROC(AAPL$AAPL.Close, type = "continuous")[-1]

Comparación Estadística: Histograma y Colas Pesadas

par(mfrow=c(1,2))
hist(R_MSFT, breaks=50, main="MSFT: Distribución", col="blue", probability=T)
hist(R_AAPL, breaks=50, main="AAPL: Distribución", col="red", probability=T)

Las acciones tecnológicas como Apple suelen mostrar colas más extensas debido a eventos de mercado globales o anuncios corporativos. De acuerdo al histograma de AAPL tiene más barras “estiradas” hacia los lados que el de MSFT, puedes concluir que AAPL tiene colas más pesadas, lo que sugiere que los eventos extremos (caídas o subidas inesperadas) son más frecuentes en AAPL que en MSFT.

Comparación Visual: Gráficos de rendimientos

par(mfrow=c(2,1)) # Dividir pantalla en 2 filas
plot(R_MSFT, main="Log-rendimientos: Microsoft", col="blue")
plot(R_AAPL, main="Log-rendimientos: Apple", col="red")

Cálculo de parámetros para Microsoft (MSFT) Cálculo de parámetros para Apple (AAPL)

# La media 'c' es el promedio de los log-rendimientos
c_MSFT <- mean(R_MSFT, na.rm = TRUE)
# La volatilidad 'sigma' es la desviación estándar
sigma_MSFT <- sd(R_MSFT, na.rm = TRUE)


c_AAPL <- mean(R_AAPL, na.rm = TRUE)
sigma_AAPL <- sd(R_AAPL, na.rm = TRUE)

cat("Resultados para Microsoft (MSFT):\n")
## Resultados para Microsoft (MSFT):
cat("Media (c):", c_MSFT, "\n")
## Media (c): 0.0007371899
cat("Volatilidad (sigma):", sigma_MSFT, "\n\n")
## Volatilidad (sigma): 0.01861837
cat("Resultados para Apple (AAPL):\n")
## Resultados para Apple (AAPL):
cat("Media (c):", c_AAPL, "\n")
## Media (c): 0.0008573112
cat("Volatilidad (sigma):", sigma_AAPL, "\n")
## Volatilidad (sigma): 0.01999858

Al comparar los parámetros del modelo de Merton para Microsoft y Apple, observamos que, aunque ambas empresas operan en el sector tecnológico, presentan perfiles de riesgo distintos. Apple exhibe una volatilidad ligeramente superior (sigma = 0.0199) frente a Microsoft (sigma = 0.0186$), lo que sugiere una mayor sensibilidad a las fluctuaciones del mercado. Al analizar los histogramas de sus log-rendimientos, identificamos que ambos activos presentan colas más pesadas que una distribución normal teórica, lo cual es un indicio claro de la presencia de eventos extremos en la serie de tiempo.

Comparación de Volatilidad (Desviación Estándar)

cat("Volatilidad MSFT:", sd(R_MSFT), "\n")
## Volatilidad MSFT: 0.01861837
cat("Volatilidad AAPL:", sd(R_AAPL), "\n")
## Volatilidad AAPL: 0.01999858
# Esto muestra si cuando una sube, la otra también
plot(as.numeric(R_MSFT), as.numeric(R_AAPL), 
     main="Correlación: MSFT vs AAPL", 
     xlab="Rendimientos MSFT", ylab="Rendimientos AAPL",
     pch=20, col=rgb(0,0,0,0.3))

Cálculo de los parámetros del Modelo de Merton para ambos activos

# Calculamos la media (c) y la volatilidad (sigma) de los rendimientos
c_MSFT <- mean(R_MSFT, na.rm = TRUE)
sigma_MSFT <- sd(R_MSFT, na.rm = TRUE)
mu_MSFT <- c_MSFT + (sigma_MSFT^2) / 2

c_AAPL <- mean(R_AAPL, na.rm = TRUE)
sigma_AAPL <- sd(R_AAPL, na.rm = TRUE)
mu_AAPL <- c_AAPL + (sigma_AAPL^2) / 2

cat("--- Parámetros Merton (MSFT) ---\n",
    "Media (c):", c_MSFT, "| Volatilidad (sigma):", sigma_MSFT, "| Tasa Crecimiento (mu):", mu_MSFT, "\n\n",
    "--- Parámetros Merton (AAPL) ---\n",
    "Media (c):", c_AAPL, "| Volatilidad (sigma):", sigma_AAPL, "| Tasa Crecimiento (mu):", mu_AAPL, "\n")
## --- Parámetros Merton (MSFT) ---
##  Media (c): 0.0007371899 | Volatilidad (sigma): 0.01861837 | Tasa Crecimiento (mu): 0.0009105117 
## 
##  --- Parámetros Merton (AAPL) ---
##  Media (c): 0.0008573112 | Volatilidad (sigma): 0.01999858 | Tasa Crecimiento (mu): 0.001057283

De acuerdo a los parámetros calibrados del modelo de Merton para ambos activos. Esta comparativa es fundamental, ya que nos permite observar de forma aislada la rentabilidad esperada (\(\mu\)) y la volatilidad (\(\sigma\)) de cada empresa (Apple y Microsoft). Observamos que, ambos activos presentan una tasa de crecimiento (\(\mu\)) positiva. Apple (\(\mu \approx 0.00105\)) muestra un crecimiento esperado ligeramente superior al de Microsoft (\(\mu \approx 0.00091\)). Esto sugiere que, bajo el marco del modelo de Merton, ambos activos han mantenido una tendencia alcista durante el periodo analizado (2020-2025). Sin embargo sobre el Riesgo (Volatilidad \(\sigma\)), Apple tiene una volatilidad de 0.0199 frente a la de Microsoft de 0.0186. Es decir Apple ha sido un activo ligeramente más riesgoso. Para un inversionista, esto significa que Apple es más susceptible a movimientos bruscos de precio en comparación con Microsoft.

En conclusión, aunque el modelo de Merton nos permite obtener el promedio de la rentabilidad (\(\mu\)) y el riesgo (\(\sigma\)) de ambos activos, estos parámetros asumen que la volatilidad es constante. Sin embargo, al contrastar estos resultados con los histogramas de rendimientos, observamos la presencia de ‘colas pesadas’. Esto nos indica que el mercado real experimenta eventos extremos (shocks de volatilidad) que este modelo básico no logra capturar plenamente. Por lo tanto, mientras que Merton es útil como indicador de tendencia, la naturaleza dinámica del riesgo en activos tecnológicos como MSFT y AAPL justifica la transición hacia modelos de heterocedasticidad condicional como GARCH, que permiten que la volatilidad se ajuste ante eventos inesperados.