Simulasi Distribusi Diskrit dan Distribusi Kontinu

set.seed(123)

Simulasi Distribusi Diskrit (Binomial)

Kasus:

Diasumsikan seorang trader futures Bitcoin melakukan transaksi harian selama 30 hari. Berdasarkan pengalaman sebelumnya, probabilitas memperoleh keuntungan dalam satu hari adalah sebesar 60%.

Simulasi dilakukan untuk mengetahui jumlah hari profit yang mungkin diperoleh selama periode tersebut.

n <- 1000
hari_transaksi <- 30
prob_profit <- 0.6

profit_harian <- rbinom(
  n = n,
  size = hari_transaksi,
  prob = prob_profit
)

mean_profit <- mean(profit_harian)
sd_profit <- sd(profit_harian)

data.frame(
  Mean = mean_profit,
  Standar_Deviasi = sd_profit
)
##     Mean Standar_Deviasi
## 1 18.048        2.661349

Visualisasi Distribusi Diskrit (Binomial)

plot_diskrit <- ggplot(
  data.frame(profit_harian),
  aes(x = profit_harian)
) +
  
  geom_histogram(
    aes(y = after_stat(density)),
    binwidth = 1,
    fill = "#6FA8DC",
    color = "black"
  ) +
  
  stat_function(
    fun = function(x)
      dbinom(round(x),
             size = hari_transaksi,
             prob = prob_profit),
    color = "red",
    linewidth = 1.2
  ) +
  
  geom_vline(
    xintercept = mean_profit,
    color = "blue",
    linetype = "dashed",
    linewidth = 1.2
  ) +
  
  labs(
    title = "Simulasi Distribusi Binomial",
    subtitle = "Jumlah Hari Profit Trading Futures Bitcoin",
    x = "Jumlah Hari Profit",
    y = "Density"
  )

plot_diskrit

Interpretasi Distribusi Diskrit (Binomial)

Berdasarkan hasil simulasi, jumlah hari profit paling banyak berada di sekitar 18 hari, sesuai dengan nilai harapan teoritis:

\[E(X) = np = 30 \times 0{,}6 = 18\]

Nilai ini juga didukung oleh hasil simulasi, yang menghasilkan rata-rata sebesar 18,048 hari dan standar deviasi sebesar 2,661 hari — sangat mendekati nilai teoritisnya, yaitu:

\[SD(X) = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{30 \times 0{,}6 \times 0{,}4} = \sqrt{7{,}2} \approx 2{,}68\]

Dengan menggunakan rentang rata-rata ± 1 standar deviasi dari hasil simulasi (18,048 ± 2,661), diperoleh batas bawah sebesar 15,39 hari dan batas atas sebesar 20,71 hari. Jika dibulatkan ke bilangan bulat terdekat (karena jumlah hari profit hanya bisa berupa bilangan bulat), rentang ini setara dengan 15 hingga 21 hari. Artinya, sekitar 68% dari hasil simulasi (sesuai sifat distribusi normal/binomial yang mendekati normal pada n besar) berada pada rentang tersebut, sehingga distribusi menunjukkan bahwa sebagian besar trader berpotensi memperoleh keuntungan antara 15 hingga 21 hari selama satu bulan perdagangan.

Simulasi Distribusi Kontinu (Normal)

Kasus:

Return harian Bitcoin sering diasumsikan mengikuti distribusi normal dalam jangka pendek.

Diasumsikan rata-rata return harian Bitcoin sebesar 0,15% dengan volatilitas sebesar 4%.

mean_return <- 0.0015
sd_return <- 0.04

return_bitcoin <- rnorm(
  n = 1000,
  mean = mean_return,
  sd = sd_return
)

summary(return_bitcoin)
##      Min.   1st Qu.    Median      Mean   3rd Qu.      Max. 
## -0.110891 -0.026035  0.002653  0.001977  0.027703  0.137115

Visualisasi Distribusi Kontinu (Normal)

plot_kontinu <- ggplot(
  data.frame(return_bitcoin),
  aes(x = return_bitcoin)
) +
  
  geom_histogram(
    aes(y = after_stat(density)),
    bins = 40,
    fill = "#F4A261",
    color = "black"
  ) +
  
  geom_density(
    color = "blue",
    linewidth = 1.2
  ) +
  
  stat_function(
    fun = dnorm,
    args = list(
      mean = mean_return,
      sd = sd_return
    ),
    color = "red",
    linewidth = 1.3
  ) +
  
  labs(
    title = "Simulasi Distribusi Kontinu (Normal)",
    subtitle = "Return Harian Bitcoin",
    x = "Return",
    y = "Density"
  )

plot_kontinu

Interpretasi Distribusi Kontinu (Normal)

Histogram menunjukkan bahwa sebagian besar return harian berada di sekitar nilai rata-rata. Bentuk distribusi menyerupai kurva lonceng (bell-shaped curve), yang merupakan karakteristik utama distribusi normal.

Secara teoritis, return harian dibangkitkan dengan rata-rata (mean) sebesar 0,15% dan standar deviasi (volatilitas) sebesar 4%, sehingga sekitar 68% dari nilai return diperkirakan berada pada rentang mean ± 1 SD, yaitu:

\[0{,}15\% \pm 4\% \;\Rightarrow\; -3{,}85\% \text{ hingga } 4{,}15\%\]

Hasil simulasi (dengan nilai Mean = 0,001977 dan rentang IQR dari Q1 = -0,026035 hingga Q3 = 0,027703) konsisten dengan rentang teoritis tersebut, di mana mayoritas nilai return terkonsentrasi tidak jauh dari nol. Semakin jauh nilai return dari rata-rata — misalnya pada nilai ekstrem seperti Min = -0,110891 atau Max = 0,137115 — frekuensi kemunculannya semakin kecil. Hal ini menggambarkan bahwa perubahan harga ekstrem (lonjakan atau penurunan tajam dalam satu hari) relatif jarang terjadi dibandingkan pergerakan kecil di sekitar rata-rata.

Studi Kasus Simulasi Variabel Random

Simulasi Return Harian Bitcoin dan Pergerakan Harga Masa Depan

Latar Belakang

Bitcoin merupakan aset kripto dengan tingkat volatilitas yang tinggi. Oleh karena itu, investor dan trader perlu memahami kemungkinan pergerakan harga di masa mendatang.

Pada studi kasus ini dilakukan simulasi Monte Carlo untuk memproyeksikan kemungkinan harga Bitcoin selama 30 hari ke depan berdasarkan distribusi return harian.

Asumsi Awal

set.seed(123)

harga_awal <- 100000

hari <- 30

mu <- 0.0015
sigma <- 0.04

return_simulasi <- rnorm(
  hari,
  mean = mu,
  sd = sigma
)

harga <- numeric(hari + 1)

harga[1] <- harga_awal

for(i in 2:(hari + 1)){
  harga[i] <- harga[i-1] *
    exp(return_simulasi[i-1])
}

data_harga <- data.frame(
  Hari = 0:hari,
  Harga = harga
)

head(data_harga)
##   Hari     Harga
## 1    0 100000.00
## 2    1  97929.83
## 3    2  97177.97
## 4    3 103584.99
## 5    4 104033.48
## 6    5 104729.86

Grafik Pergerakan Harga Bitcoin

plot_btc <- ggplot(
  data_harga,
  aes(x = Hari, y = Harga)
) +
  
  geom_line(
    color = "#F7931A",
    linewidth = 1.3
  ) +
  
  geom_point(
    color = "#F7931A",
    size = 2
  ) +
  
  labs(
    title = "Simulasi Monte Carlo Harga Bitcoin",
    subtitle = "Proyeksi Harga Bitcoin Selama 30 Hari",
    x = "Hari",
    y = "Harga Bitcoin (USD)"
  )

plot_btc

Statistik Hasil Simulasi

summary(data_harga$Harga)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   93878  100209  106309  107057  113037  123161
sd(data_harga$Harga)
## [1] 7845.218
max(data_harga$Harga)
## [1] 123160.9
min(data_harga$Harga)
## [1] 93877.72

Interpretasi Hasil Simulasi

Berdasarkan hasil simulasi Monte Carlo, harga Bitcoin menunjukkan fluktuasi yang cukup tinggi selama periode pengamatan. Harga bergerak dari nilai awal USD 100.000 menuju kisaran antara USD 93.877,72 (minimum) hingga USD 123.160,90 (maksimum), dengan rata-rata sebesar USD 107.057 dan standar deviasi sebesar USD 7.845,22. Perubahan harga ini terjadi akibat adanya return harian acak yang mengikuti distribusi normal dengan mean 0,15% dan standar deviasi 4%, yang kemudian diakumulasikan secara multiplikatif (compounding) melalui fungsi eksponensial pada setiap hari simulasi.

Lintasan simulasi memperlihatkan bahwa meskipun terdapat kecenderungan pertumbuhan harga seiring rata-rata return yang positif (tercermin dari median sebesar USD 106.309 dan mean sebesar USD 107.057 yang berada di atas harga awal USD 100.000), volatilitas pasar sebesar 4% per hari menyebabkan kemungkinan terjadinya kenaikan maupun penurunan harga secara signifikan, sebagaimana terlihat dari rentang antara kuartil pertama (USD 100.209) dan kuartil ketiga (USD 113.037).

Simulasi ini menggambarkan bahwa pasar kripto memiliki tingkat ketidakpastian yang tinggi sehingga pengelolaan risiko menjadi aspek yang sangat penting dalam pengambilan keputusan investasi.

Kesimpulan

Hasil praktikum ini menunjukkan bagaimana distribusi diskrit dan kontinu dapat digunakan untuk memodelkan fenomena keuangan secara kuantitatif. Pada simulasi distribusi Binomial, jumlah hari profit trading futures Bitcoin terkonsentrasi di sekitar nilai harapan teoritis E(X) = 18 hari (hasil simulasi: rata-rata ≈ 18,05 hari, SD ≈ 2,66), mengonfirmasi bahwa simulasi Monte Carlo konsisten dengan formula probabilitas teoritis, dengan sebagian besar hasil (≈ 68%) berada pada rentang 15–21 hari. Sementara itu, distribusi Normal berhasil menggambarkan karakteristik return harian Bitcoin yang simetris di sekitar rata-rata, dengan sebagian besar nilai return (mean ≈ 0,20%, IQR antara -2,60% hingga 2,77%) berada dalam rentang teoritis ±1 SD dari mean, yaitu antara -3,85% hingga 4,15%.

Pada studi kasus proyeksi harga, simulasi Monte Carlo selama 30 hari menghasilkan lintasan harga Bitcoin yang berakhir pada kisaran USD 93.878–123.161, dengan rata-rata harga sekitar USD 107.057 dan standar deviasi sekitar USD 7.845. Hasil ini menggambarkan bahwa meskipun ekspektasi return harian bersifat positif (0,15%), volatilitas sebesar 4% per hari cukup besar untuk menghasilkan penyebaran harga akhir yang lebar — mengilustrasikan trade-off klasik antara return dan risk pada aset kripto.

Perlu dicatat bahwa simulasi ini mengasumsikan return harian Bitcoin menyebar normal dan independen antarwaktu (i.i.d.), yang merupakan penyederhanaan dari kondisi pasar riil. Secara empiris, return aset kripto cenderung memiliki fat tails (kemungkinan pergerakan ekstrem lebih besar dari yang diprediksi distribusi normal) serta volatility clustering (periode volatil cenderung berkelanjutan). Dengan demikian, hasil simulasi ini lebih tepat dipandang sebagai ilustrasi konsep ketidakpastian dan metodologi Monte Carlo, bukan sebagai alat prediksi harga yang akurat untuk pengambilan keputusan investasi nyata.

Secara keseluruhan, praktikum ini memperlihatkan bahwa simulasi variabel acak — baik diskrit maupun kontinu — merupakan teknik fundamental dalam statistika komputasi yang dapat diterapkan secara luas pada analisis risiko dan strategi investasi, dengan tetap memperhatikan keterbatasan asumsi yang melandasinya.