Central Limit Theorem
Kawsar
2026-06-25
Visualization of Central Limit Theorem (CLT)
Central Limit Theorem tells that if many, many and many more random samples (each with equal or more than 30) are drawn from a population, the distribution of means will follow normal distribution, even if the population is not normally distributed.
Features of CLT
- Mean, median and mode of the sample means will remain at the center and at the same point
- 68% of the sample means will be within 1 standard deviation of the mean
- 95% of the sample means will be within 1.96 standard deviation of the mean
- 99% of the sample means will be within 2.58 standard deviation of the mean
z-values calculation
In a distribution two values are important to know: Probability (y-axis) and quantile values (x-axis).
In a normal distribution, z-values indicate the quantile values (point in the x-axis), p-values indicate probability (area covered by the curve before the specific quantile values).
library(tidyverse)## ── Attaching core tidyverse packages ──────────────────────── tidyverse 2.0.0 ──
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## ── Conflicts ────────────────────────────────────────── tidyverse_conflicts() ──
## ✖ dplyr::filter() masks stats::filter()
## ✖ dplyr::lag() masks stats::lag()
## ℹ Use the conflicted package (<http://conflicted.r-lib.org/>) to force all conflicts to become errorsqnorm(p = 0.95) # for one tail, produces z-value (quantile value)## [1] 1.644854qnorm(0.975) # for two tail (1 - 0.025 = 97.5)## [1] 1.959964p-values from a normal distribution
pnorm(1.959964)## [1] 0.975pnorm(2.58)## [1] 0.99506###Create a hypothetical population
set.seed(99)
population = runif(n = 1000000, min = 0, max = 100)n_sample = 100000
sample_size = 30
sample_means = numeric(n_sample)
for (i in 1:n_sample) {
current_sample = sample(population, size = sample_size, replace = TRUE)
sample_means[i] = mean(current_sample)
}###View the distribution using ggplot ggplot always requires a dataframe and aesthetics
plot_data = data.frame(Means = sample_means)
ggplot(data = plot_data , aes(x = Means))+
geom_histogram(bins = 60, aes(y = ..density..), color = 'black', fill = 'blue',alpha = 0.5) +
geom_density(color = 'red',size = 1.5)## Warning: Using `size` aesthetic for lines was deprecated in ggplot2 3.4.0.
## ℹ Please use `linewidth` instead.
## This warning is displayed once per session.
## Call `lifecycle::last_lifecycle_warnings()` to see where this warning was
## generated.## Warning: The dot-dot notation (`..density..`) was deprecated in ggplot2 3.4.0.
## ℹ Please use `after_stat(density)` instead.
## This warning is displayed once per session.
## Call `lifecycle::last_lifecycle_warnings()` to see where this warning was
## generated.
theme_bw() +
labs(title ="Central Limit Theorem(CLT)", subtitle = "CLT using uniform population", x = "sample means", y = "Density or relative frequency")## <theme> List of 147
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## [list output truncated]
## @ complete: logi TRUE
## @ validate: logi TRUE###prove the normal distribution features of this curve Range of sample means
min(sample_means)## [1] 27.77249max(sample_means)## [1] 72.77555mean(sample_means)## [1] 50.00928sd(sample_means)## [1] 5.270791Range within one SD
mean(sample_means) - sd(sample_means)## [1] 44.73848mean(sample_means) + sd(sample_means)## [1] 55.28007we will categorize the sample means in three categories
table(cut(sample_means, breaks = c(-Inf, 44.73292, 55.28573, Inf),labels = c("upto 44.73","within 44.73 and 55.28", "Greater than 55.28")))*100/100000##
## upto 44.73 within 44.73 and 55.28 Greater than 55.28
## 16.017 68.011 15.972we see that there are 68% of the sample means fall within one sd of the sample means
###creating normal distribution from this distribution of the sample means
plot_data = data.frame(Means = sample_means)
plot_data$standardized_means = scale(sample_means)
ggplot(data = plot_data , aes(x = standardized_means))+
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Note that the echo = FALSE parameter was added to the
code chunk to prevent printing of the R code that generated the
plot.