計量経済I：復習テスト11

作者

村澤 康友

公開

2026年6月25日

注意

すべての質問に解答しなければ提出とは認めない．正答に修正した上で，復習テスト 9～14 を順に重ねて左上でホチキス止めし，定期試験実施日（7 月 28 日の予定）にまとめて提出すること．

  1. 確率ベクトル (Y_1,Y_2,X) は次の連立方程式を満たす． \begin{align*} Y_1 & =-\gamma Y_2+U_1 \\ Y_2 & =\beta X+U_2 \\ \operatorname{E}\left(\begin{pmatrix} U_1 \\ U_2 \\ \end{pmatrix}|X\right) & =\boldsymbol{0}\\ \operatorname{var}\left(\begin{pmatrix} U_1 \\ U_2 \\ \end{pmatrix}|X\right) & =\begin{bmatrix} \sigma_{1,1} & \sigma_{1,2} \\ \sigma_{2,1} & \sigma_{2,2} \\ \end{bmatrix} \end{align*} 第 1 式の OLS 推定を考える．

  1. \operatorname{cov}(Y_2,U_1) を求めなさい．

  2. \sigma_{1,2}=\sigma_{2,1}=0 なら \operatorname{cov}(Y_2,U_1) はどうなるか？

  1. Y_2=\beta X+U_2 を代入すると \begin{align*} \operatorname{cov}(Y_2,U_1) & =\operatorname{cov}(\beta X+U_2,U_1) \\ & =\operatorname{cov}(\beta X,U_1)+\operatorname{cov}(U_2,U_1) \\ & =\beta\operatorname{cov}(X,U_1)+\sigma_{2,1} \end{align*} 共分散の計算公式より \operatorname{cov}(X,U_1)=\operatorname{E}(XU_1)-\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(U_1) 繰り返し期待値の法則より \begin{align*} \operatorname{E}(XU_1) & =\operatorname{E}(\operatorname{E}(XU_1|X)) \\ & =\operatorname{E}(X\operatorname{E}(U_1|X)) \\ & =0 \\ \operatorname{E}(U_1) & =\operatorname{E}(\operatorname{E}(U_1|X)) \\ & =0 \end{align*} したがって \operatorname{cov}(Y_2,U_1)=\sigma_{2,1}．

  2. 前問の結果に \sigma_{2,1}=0 を代入すると \operatorname{cov}(Y_2,U_1)=0．

  1. ((y_1,x_1,z_1),\dots,(y_n,x_n,z_n)) を無作為標本とする．y_i の x_i 上への定数項なしの線形モデルは \begin{align*} y_i & =\beta x_i+u_i \\ \operatorname{E}(u_i) & =0 \end{align*} \beta の OLS 推定量を b_n とする．

  1. 次の命題を示しなさい． \operatorname{E}(x_iu_i)=0 \Longleftrightarrow \operatorname{cov}(x_i,u_i)=0

  2. \operatorname{cov}(x_i,u_i) \ne 0 なら b_n が \beta の一致推定量でないことを示しなさい．

  3. 操作変数の定義を書きなさい．

  4. \beta の IV 推定量 b_{\mathrm{IV},n} を定義しなさい．

  5. b_{\mathrm{IV},n} が \beta の一致推定量であることを示しなさい．

  1. 共分散の計算公式と \operatorname{E}(u_i)=0 より \begin{align*} \operatorname{cov}(x_i,u_i) & =\operatorname{E}(x_iu_i)-\operatorname{E}(x_i)\operatorname{E}(u_i) \\ & =\operatorname{E}(x_iu_i) \end{align*} したがって \operatorname{E}(x_iu_i)=0 \Longleftrightarrow \operatorname{cov}(x_i,u_i)=0．

  2. OLS 推定量は b_n=\frac{\sum_{i=1}^nx_iy_i}{\sum_{i=1}^nx_i^2} y_i=\beta x_i+u_i を代入すると \begin{align*} b_n & =\frac{\sum_{i=1}^nx_i(\beta x_i+u_i)}{\sum_{i=1}^nx_i^2} \\ & =\beta+\frac{\sum_{i=1}^nx_iu_i}{\sum_{i=1}^nx_i^2} \\ & =\beta+\frac{(1/n)\sum_{i=1}^nx_iu_i}{(1/n)\sum_{i=1}^nx_i^2} \end{align*} 大数の法則より \begin{align*} \plim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^2 & =\operatorname{E}\left(x_i^2\right) \\ \plim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_iu_i & =\operatorname{E}(x_iu_i) \end{align*} スルツキーの定理より \plim_{n \to \infty}b_n=\beta+\frac{\operatorname{E}(x_iu_i)}{\operatorname{E}\left(x_i^2\right)} 前問より \operatorname{cov}(x_i,u_i) \ne 0 なら \operatorname{E}(x_iu_i) \ne 0 なので第 2 項 ≠ 0．

  3. \operatorname{E}(z_ix_i) \ne 0 で \operatorname{E}(z_iu_i)=0 なら z_i は \beta の推定の操作変数という．

b_{\mathrm{IV},n}:=\frac{\sum_{i=1}^nz_iy_i}{\sum_{i=1}^nz_ix_i}

  1. b_{\mathrm{IV},n} に y_i=\beta x_i+u_i を代入すると \begin{align*} b_{\mathrm{IV},n} & =\frac{\sum_{i=1}^nz_i(\beta x_i+u_i)}{\sum_{i=1}^nz_ix_i} \\ & =\beta+\frac{\sum_{i=1}^nz_iu_i}{\sum_{i=1}^nz_ix_i} \\ & =\beta+\frac{(1/n)\sum_{i=1}^nz_iu_i}{(1/n)\sum_{i=1}^nz_ix_i} \end{align*} 大数の法則より \begin{align*} \plim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nz_ix_i & =\operatorname{E}(z_ix_i) \\ \plim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nz_iu_i & =\operatorname{E}(z_iu_i) \end{align*} スルツキーの定理より \plim_{n \to \infty}b_{\mathrm{IV},n}=\beta+\frac{\operatorname{E}(z_iu_i)}{\operatorname{E}(z_ix_i)} IV の定義より \operatorname{E}(z_iu_i)=0 なので第 2 項 ＝ 0．