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Gegeben: \(f(x) = \frac{a}{x^2} + b \cdot x\) Eigenschaft: Tiefpunkt \(T(2|3)\)
Ein Punkt \(T(2|3)\) auf dem Graphen bedeutet: 1) \(f(2) = 3\) 2) An der Stelle \(x=2\) liegt ein Tiefpunkt vor, also \(f'(2) = 0\) (notwendige Bedingung).
\(f(x) = a \cdot x^{-2} + b \cdot x\) \(f'(x) = -2 \cdot a \cdot x^{-3} + b = -\frac{2a}{x^3} + b\)
Aus 1): \(\frac{a}{2^2} + b \cdot 2 = 3 \implies \frac{a}{4} + 2b = 3\) Aus 2): \(-\frac{2a}{2^3} + b = 0 \implies -\frac{2a}{8} + b = 0 \implies -\frac{a}{4} + b = 0\)
Addiere beide Gleichungen: \((\frac{a}{4} + 2b) + (-\frac{a}{4} + b) = 3 + 0\) \(3b = 3 \implies b = 1\)
Setze \(b=1\) in \(-\frac{a}{4} + b = 0\) ein: \(-\frac{a}{4} + 1 = 0 \implies \frac{a}{4} = 1 \implies a = 4\)
Ergebnis a: \(f(x) = \frac{4}{x^2} + x\)
Gegeben: \(f(x) = a \cdot (x+b) \cdot e^{kx}\) Eigenschaften: 1) Nullstelle bei \(x=3\): \(f(3) = 0\) 2) y-Achsenabschnitt bei \(-4\): \(f(0) = -4\) 3) Tiefpunkt bei \(x=1\): \(f'(1) = 0\)
\(f(3) = a \cdot (3+b) \cdot e^{3k} = 0\). Da \(a \neq 0\) und \(e^{3k} > 0\), muss gelten: \(3+b=0 \implies b = -3\). Funktion ist jetzt: \(f(x) = a \cdot (x-3) \cdot e^{kx}\)
\(f(0) = a \cdot (0-3) \cdot e^{k \cdot 0} = -4\) \(a \cdot (-3) \cdot 1 = -4 \implies -3a = -4 \implies a = \frac{4}{3}\)
Ableitung bestimmen: Produktregel \(f'(x) = a \cdot [1 \cdot e^{kx} + (x-3) \cdot k \cdot e^{kx}] = a \cdot e^{kx} \cdot [1 + k(x-3)]\) Bedingung \(f'(1) = 0\): \(a \cdot e^k \cdot [1 + k(1-3)] = 0\) \(a \cdot e^k \cdot [1 - 2k] = 0\) Da \(a \neq 0\) und \(e^k \neq 0\), muss gelten: \(1-2k = 0 \implies k = 0,5\)
Ergebnis b: \(f(x) = \frac{4}{3}(x-3) \cdot e^{0,5x}\)