1 Introducción

La regresión lineal simple es una técnica estadística que permite modelar la relación entre dos variables cuantitativas: una variable independiente X y una variable dependiente Y.

El objetivo del método de Mínimos Cuadrados es encontrar la recta que minimiza la suma de los cuadrados de los residuales (distancias entre los valores reales y los valores predichos por la recta).

La ecuación del modelo es:

\[\hat{Y} = b_0 + b_1 \cdot X\]

Donde:

  • \(b_1\) = pendiente (cuánto cambia Y por cada unidad que cambia X)
  • \(b_0\) = intercepto (valor de Y cuando X = 0)

2 Datos del Ejemplo

Se analizan 6 observaciones de temperatura (°C) y ventas de helados (unidades).

# Ingreso de datos
temperatura <- c(20, 24, 28, 32, 36, 40)
ventas      <- c(30, 45, 58, 70, 85, 95)
n           <- length(temperatura)

# Tabla de datos
datos <- data.frame(
  i            = 1:n,
  X_temp       = temperatura,
  Y_ventas     = ventas,
  X2           = temperatura^2,
  XY           = temperatura * ventas
)

# Totales
totales <- colSums(datos[, -1])
datos_tabla <- rbind(datos, c(NA, totales))
datos_tabla$i[nrow(datos_tabla)] <- "Σ"

knitr::kable(datos_tabla,
             col.names = c("i", "X (temp °C)", "Y (ventas)", "X²", "XY"),
             caption = "Tabla de datos: Temperatura vs Ventas de helados",
             align = "c")
Tabla de datos: Temperatura vs Ventas de helados
i X (temp °C) Y (ventas) X² XY
1 20 30 400 600
2 24 45 576 1080
3 28 58 784 1624
4 32 70 1024 2240
5 36 85 1296 3060
6 40 95 1600 3800
Σ 180 383 5680 12404

3 Cálculo Manual de los Parámetros

3.1 Fórmulas de Mínimos Cuadrados

\[b_1 = \frac{n \cdot \Sigma XY - \Sigma X \cdot \Sigma Y}{n \cdot \Sigma X^2 - (\Sigma X)^2}\]

\[b_0 = \frac{\Sigma Y - b_1 \cdot \Sigma X}{n}\]

3.2 Cálculo Paso a Paso

# Sumas necesarias
sum_X  <- sum(temperatura)
sum_Y  <- sum(ventas)
sum_X2 <- sum(temperatura^2)
sum_XY <- sum(temperatura * ventas)

cat("Sumas:\n")
## Sumas:
cat("  ΣX  =", sum_X,  "\n")
##   ΣX  = 180
cat("  ΣY  =", sum_Y,  "\n")
##   ΣY  = 383
cat("  ΣX² =", sum_X2, "\n")
##   ΣX² = 5680
cat("  ΣXY =", sum_XY, "\n")
##   ΣXY = 12404
cat("  n   =", n,      "\n\n")
##   n   = 6
# Pendiente b1
numerador_b1   <- n * sum_XY - sum_X * sum_Y
denominador_b1 <- n * sum_X2 - sum_X^2
b1_manual      <- numerador_b1 / denominador_b1

cat("Cálculo de b₁:\n")
## Cálculo de b₁:
cat("  Numerador:   ", n, "×", sum_XY, "−", sum_X, "×", sum_Y,
    "=", numerador_b1, "\n")
##   Numerador:    6 × 12404 − 180 × 383 = 5484
cat("  Denominador: ", n, "×", sum_X2, "−", sum_X, "² =", denominador_b1, "\n")
##   Denominador:  6 × 5680 − 180 ² = 1680
cat("  b₁ =", round(b1_manual, 4), "\n\n")
##   b₁ = 3.2643
# Intercepto b0
b0_manual <- (sum_Y - b1_manual * sum_X) / n

cat("Cálculo de b₀:\n")
## Cálculo de b₀:
cat("  b₀ = (", sum_Y, "−", round(b1_manual, 4), "×", sum_X, ") /", n, "\n")
##   b₀ = ( 383 − 3.2643 × 180 ) / 6
cat("  b₀ =", round(b0_manual, 4), "\n")
##   b₀ = -34.0952

4 Modelo con R (lm)

# Ajuste del modelo lineal
modelo <- lm(ventas ~ temperatura)

# Extraer coeficientes
b0 <- coef(modelo)[1]
b1 <- coef(modelo)[2]

# Correlación y R²
r  <- cor(temperatura, ventas)
r2 <- summary(modelo)$r.squared

cat("=== RESULTADOS DEL MODELO ===\n")
## === RESULTADOS DEL MODELO ===
cat("Pendiente  (b₁):", round(b1, 4), "\n")
## Pendiente  (b₁): 3.2643
cat("Intercepto (b₀):", round(b0, 4), "\n")
## Intercepto (b₀): -34.0952
cat("Correlación (r):", round(r,  4), "\n")
## Correlación (r): 0.9988
cat("R² (det.)      :", round(r2 * 100, 2), "%\n")
## R² (det.)      : 99.76 %
cat("\nEcuación: Ŷ =", round(b0, 2), "+", round(b1, 2), "· X\n")
## 
## Ecuación: Ŷ = -34.1 + 3.26 · X

4.1 Resumen Completo

summary(modelo)
## 
## Call:
## lm(formula = ventas ~ temperatura)
## 
## Residuals:
##       1       2       3       4       5       6 
## -1.1905  0.7524  0.6952 -0.3619  1.5810 -1.4762 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -34.0952     2.4799  -13.75 0.000162 ***
## temperatura   3.2643     0.0806   40.50 2.22e-06 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 1.349 on 4 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9976, Adjusted R-squared:  0.997 
## F-statistic:  1640 on 1 and 4 DF,  p-value: 2.221e-06

5 Interpretación de los Parámetros

Parámetro Valor Interpretación
Pendiente b₁ 3.2643 Por cada grado más de temperatura, se venden ~3.26 helados adicionales
Intercepto b₀ -34.0952 Valor teórico de Y cuando X = 0 (fuera del rango de los datos)
Correlación r 0.9988 Relación lineal muy fuerte y positiva entre las variables
R² 99.76% El 99.76% de la variación en ventas es explicada por la temperatura

6 Gráfico de Regresión

# Valores ajustados y residuales
fitted_vals <- fitted(modelo)

# Gráfico base
plot(temperatura, ventas,
     main  = "Regresión Lineal: Temperatura vs Ventas de Helados",
     xlab  = "Temperatura (°C)",
     ylab  = "Ventas (unidades)",
     pch   = 16,
     col   = "steelblue",
     cex   = 1.5,
     las   = 1)

# Recta de regresión
abline(modelo, col = "firebrick", lwd = 2)

# Líneas de residuales
for (i in seq_along(temperatura)) {
  lines(c(temperatura[i], temperatura[i]),
        c(ventas[i], fitted_vals[i]),
        col = "tomato", lty = 2, lwd = 1.2)
}

# Leyenda
legend("topleft",
       legend = c("Datos reales", "Recta de regresión", "Residuales"),
       col    = c("steelblue", "firebrick", "tomato"),
       pch    = c(16, NA, NA),
       lty    = c(NA, 1, 2),
       lwd    = 2,
       bty    = "n")

# Ecuación en el gráfico
eq <- paste0("Ŷ = ", round(b0, 2), " + ", round(b1, 2), " · X     R² = ",
             round(r2 * 100, 2), "%")
mtext(eq, side = 3, line = 0.3, cex = 0.9, col = "firebrick")

7 Tabla de Valores Ajustados y Residuales

residuales <- data.frame(
  i          = 1:n,
  X          = temperatura,
  Y_real     = ventas,
  Y_pred     = round(fitted_vals, 2),
  Residual   = round(ventas - fitted_vals, 2),
  Res_cuad   = round((ventas - fitted_vals)^2, 4)
)

knitr::kable(residuales,
             col.names = c("i", "X (°C)", "Y real", "Ŷ pred.", "Residual (e)", "e²"),
             caption   = "Valores ajustados y residuales",
             align     = "c")
Valores ajustados y residuales
i X (°C) Y real Ŷ pred. Residual (e) e²
1 20 30 31.19 -1.19 1.4172
2 24 45 44.25 0.75 0.5661
3 28 58 57.30 0.70 0.4834
4 32 70 70.36 -0.36 0.1310
5 36 85 83.42 1.58 2.4994
6 40 95 96.48 -1.48 2.1791 
cat("\nSuma de residuales al cuadrado (SCE):", round(sum(residuales$Res_cuad), 4))
## 
## Suma de residuales al cuadrado (SCE): 7.2762

8 Predicciones

# Predecir ventas para nuevas temperaturas
nuevas_temp <- data.frame(temperatura = c(25, 30, 35, 45))

predicciones <- predict(modelo,
                        newdata  = nuevas_temp,
                        interval = "confidence",
                        level    = 0.95)

resultado <- cbind(nuevas_temp, round(predicciones, 2))
colnames(resultado) <- c("Temperatura (°C)", "Ŷ (predicción)", "IC Inf. 95%", "IC Sup. 95%")

knitr::kable(resultado,
             caption = "Predicciones con intervalo de confianza al 95%",
             align   = "c")
Predicciones con intervalo de confianza al 95%
Temperatura (°C) Ŷ (predicción) IC Inf. 95% IC Sup. 95%
25 47.51 45.62 49.41
30 63.83 62.30 65.36
35 80.15 78.26 82.05
45 112.80 109.11 116.49

Nota: Las predicciones son válidas solo dentro del rango de los datos originales (20°C – 40°C). Extrapolar más allá puede generar resultados poco confiables.

9 Conclusiones

  • Se encontró una relación lineal muy fuerte entre temperatura y ventas de helados (\(r = 0.9988\)).
  • El modelo explica el 99.76% de la variabilidad en las ventas.
  • La ecuación final del modelo es: \(\hat{Y} = -34.1 + 3.26 \cdot X\)
  • Por cada grado Celsius que aumenta la temperatura, se esperan vender aproximadamente 3.26 helados más.
  • El método de Mínimos Cuadrados minimiza la suma \(\sum e_i^2 = 7.2762\).

Elaborado con R Markdown · Método de Mínimos Cuadrados