Aula 8 – Tópicos de probabilidade e inferência estatística

Objetivo da Aula

Compreender e aplicar conceitos fundamentais de probabilidade e inferência estatística, incluindo algumas distribuições de probabilidade, inferência para média e proporção, análise de variância, tabelas de contingência e testes Qui-quadrado, além de análise de correlação e regressão linear simples.

Comentário do professor

Nesta aula, passaremos da descrição dos dados para procedimentos inferenciais. Em outras palavras, deixaremos de olhar apenas para a amostra observada e passaremos a usar essa amostra como base para tirar conclusões sobre uma população ou sobre mecanismos probabilísticos subjacentes.

1. Introdução

A Estatística Inferencial fornece ferramentas para quantificar incerteza, construir intervalos de confiança, testar hipóteses e modelar relações entre variáveis. Esses procedimentos não substituem a análise descritiva; ao contrário, eles dependem de uma boa compreensão prévia dos dados.

Nesta aula, estudaremos:

• algumas distribuições de probabilidade;
• inferência para média;
• inferência para proporção;
• análise de variância;
• tabelas de contingência e testes Qui-quadrado;
• correlação;
• regressão linear simples.

Comentário do professor

Sempre que possível, utilizaremos gráficos e recursos de sumarização já trabalhados na aula anterior, pois bons procedimentos inferenciais começam com uma leitura cuidadosa da estrutura dos dados.

2. Pacotes utilizados

library(dplyr)

Warning: package 'dplyr' was built under R version 4.4.3

Attaching package: 'dplyr'

The following objects are masked from 'package:stats':

    filter, lag

The following objects are masked from 'package:base':

    intersect, setdiff, setequal, union

library(ggplot2)

Warning: package 'ggplot2' was built under R version 4.4.3

library(plotly)

Warning: package 'plotly' was built under R version 4.4.3

Attaching package: 'plotly'

The following object is masked from 'package:ggplot2':

    last_plot

The following object is masked from 'package:stats':

    filter

The following object is masked from 'package:graphics':

    layout

Comentário do professor

Nesta aula: - dplyr será usado para organizar e resumir os dados; - ggplot2 será usado para visualizações estáticas; - plotly será usado em alguns gráficos interativos, especialmente quando isso ajudar na interpretação.

3. Conjunto de dados da aula

Utilizaremos um conjunto de dados sintético em contexto compatível com o curso de Estatística e Ciência de Dados.

dados <- tibble(
  id = 1:18,
  turma = rep(c("A", "B", "C"), each = 6),
  linguagem = c("R", "Python", "R", "Python", "R", "Python",
                "R", "Python", "R", "Python", "R", "Python",
                "R", "Python", "R", "Python", "R", "Python"),
  horas_estudo = c(10, 8, 13, 7, 12, 9, 14, 6, 15, 8, 11, 7, 16, 9, 14, 10, 13, 8),
  projetos = c(2, 1, 4, 1, 3, 2, 5, 1, 4, 2, 3, 1, 5, 2, 4, 3, 4, 2),
  nota_r = c(7.8, 6.2, 8.9, 5.7, 8.4, 6.8, 9.1, 5.9, 9.3, 6.4, 8.0, 5.8, 9.5, 6.9, 9.0, 7.1, 8.7, 6.5),
  frequencia = c(88, 82, 95, 76, 91, 84, 97, 74, 98, 81, 89, 77, 99, 85, 96, 87, 93, 83),
  aprovado = c("Sim", "Sim", "Sim", "Nao", "Sim", "Sim",
               "Sim", "Nao", "Sim", "Sim", "Sim", "Nao",
               "Sim", "Sim", "Sim", "Sim", "Sim", "Sim")
)

dados

Comentário do professor

Neste conjunto: - nota_r, horas_estudo, projetos e frequencia são variáveis quantitativas; - turma, linguagem e aprovado são variáveis qualitativas.

4. Algumas distribuições de probabilidade

Uma distribuição de probabilidade descreve como a probabilidade se distribui entre os possíveis valores de uma variável aleatória.

4.1 Distribuição Binomial

A distribuição Binomial é apropriada quando observamos o número de sucessos em um número fixo de ensaios independentes, cada um com a mesma probabilidade de sucesso.

Seja

\[ X \sim Bin(n, p) \]

então a probabilidade de observar exatamente (k) sucessos é dada por

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0,1,\ldots,n \]

Exemplo com dbinom()

Suponha uma prova com probabilidade de aprovação (p = 0{,}7), aplicada a (n = 10) estudantes. Vamos calcular a probabilidade de exatamente 8 aprovações.

Execute este código

dbinom(8, size = 10, prob = 0.7)

[1] 0.2334744

Comentário do professor

A função dbinom(x, size, prob) devolve a probabilidade pontual da Binomial. - x: número de sucessos; - size: número de ensaios; - prob: probabilidade de sucesso em cada ensaio.

Visualização da Binomial

Execute este código

x_binom <- 0:10
prob_binom <- dbinom(x_binom, size = 10, prob = 0.7)

binom_df <- tibble(
  x = x_binom,
  probabilidade = prob_binom
)

ggplot(binom_df, aes(x = x, y = probabilidade)) +
  geom_col(fill = "gray60", color = "black") +
  labs(
    title = "Distribuição Binomial: n = 10, p = 0.7",
    x = "Número de sucessos",
    y = "Probabilidade"
  ) +
  theme_minimal()

4.2 Distribuição Normal

A distribuição Normal é uma das distribuições mais importantes em Estatística.

Se

\[ X \sim N(\mu, \sigma^2) \]

então (X) possui média () e variância (^2).

Exemplo com dnorm()

Vamos considerar uma distribuição Normal com média 7 e desvio-padrão 1,2.

Execute este código

x_norm <- seq(3, 11, by = 0.1)
dens_norm <- dnorm(x_norm, mean = 7, sd = 1.2)

normal_df <- tibble(
  x = x_norm,
  densidade = dens_norm
)

ggplot(normal_df, aes(x = x, y = densidade)) +
  geom_line(linewidth = 1, color = "navy") +
  labs(
    title = "Densidade da distribuição Normal",
    x = "x",
    y = "f(x)"
  ) +
  theme_minimal()

Comentário do professor

A função dnorm(x, mean, sd) devolve a densidade da Normal. - mean: média; - sd: desvio-padrão.

Probabilidade acumulada com pnorm()

Vamos calcular a probabilidade de um valor ser menor ou igual a 8.

Execute este código

pnorm(8, mean = 7, sd = 1.2)

[1] 0.7976716

Comentário do professor

A função pnorm(q, mean, sd) devolve a probabilidade acumulada \[ P(X \leq q) \] para uma Normal com média e desvio-padrão especificados.

4.3 Distribuição t de Student

A distribuição t é muito utilizada em inferência para média quando o desvio-padrão populacional é desconhecido.

Exemplo com dt()

Execute este código

x_t <- seq(-4, 4, by = 0.1)
dens_t <- dt(x_t, df = 10)

t_df <- tibble(
  x = x_t,
  densidade = dens_t
)

ggplot(t_df, aes(x = x, y = densidade)) +
  geom_line(linewidth = 1, color = "darkred") +
  labs(
    title = "Densidade da distribuição t de Student",
    x = "t",
    y = "f(t)"
  ) +
  theme_minimal()

Comentário do professor

A função dt(x, df) devolve a densidade da distribuição t. - df: graus de liberdade.

4.4 Distribuição Qui-quadrado

A distribuição Qui-quadrado aparece em testes de aderência, independência e homogeneidade, além de intervalos para variância.

Exemplo com dchisq()

Execute este código

x_chi <- seq(0, 20, by = 0.1)
dens_chi <- dchisq(x_chi, df = 4)

chi_df <- tibble(
  x = x_chi,
  densidade = dens_chi
)

ggplot(chi_df, aes(x = x, y = densidade)) +
  geom_line(linewidth = 1, color = "darkgreen") +
  labs(
    title = "Densidade da distribuição Qui-quadrado",
    x = expression(chi^2),
    y = "f(x)"
  ) +
  theme_minimal()

5. Inferência para a média

A inferência para a média procura estimar ou testar valores plausíveis para a média populacional a partir de uma amostra.

5.1 Intervalo de confiança para a média

Vamos construir um intervalo de confiança para a média de nota_r.

Execute este código

t.test(dados$nota_r, conf.level = 0.95)

    One Sample t-test

data:  dados$nota_r
t = 24.073, df = 17, p-value = 1.419e-14
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 6.893358 8.217753
sample estimates:
mean of x 
 7.555556 

Comentário do professor

A função t.test() pode ser usada, entre outras coisas, para: - construir intervalo de confiança para a média; - realizar teste t para uma amostra; - comparar médias entre dois grupos.

Interpretação

O intervalo de confiança de 95% fornece uma faixa de valores plausíveis para a média populacional, com base na amostra observada.

5.2 Teste de hipótese para a média

Suponha que desejamos testar:

\[ H_0:\mu = 7 \qquad \text{versus} \qquad H_1:\mu \neq 7 \]

Execute este código

t.test(dados$nota_r, mu = 7)

    One Sample t-test

data:  dados$nota_r
t = 1.77, df = 17, p-value = 0.09465
alternative hypothesis: true mean is not equal to 7
95 percent confidence interval:
 6.893358 8.217753
sample estimates:
mean of x 
 7.555556 

Comentário do professor

Neste caso: - mu = 7 define o valor da média sob hipótese nula; - o resultado informa a estatística de teste, os graus de liberdade, o valor-p e o intervalo de confiança.

Ilustração 5.1 – Lógica de um teste de hipótese

flowchart LR
A["Definir H0 e H1"] --> B["Calcular estatística de teste"]
B --> C["Obter valor-p"]
C --> D["Tomar decisão estatística"]

6. Inferência para a proporção

Quando o interesse está em uma característica binária, trabalhamos com proporções.

6.1 Estimativa da proporção amostral

Vamos calcular a proporção de estudantes aprovados.

Execute este código

dados %>%
  count(aprovado) %>%
  mutate(proporcao = n / sum(n))

6.2 Intervalo de confiança para a proporção

Execute este código

prop.test(
  x = sum(dados$aprovado == "Sim"),
  n = nrow(dados),
  conf.level = 0.95
)

    1-sample proportions test with continuity correction

data:  sum(dados$aprovado == "Sim") out of nrow(dados), null probability 0.5
X-squared = 6.7222, df = 1, p-value = 0.009522
alternative hypothesis: true p is not equal to 0.5
95 percent confidence interval:
 0.5773525 0.9559302
sample estimates:
        p 
0.8333333 

Comentário do professor

A função prop.test(x, n, conf.level) pode ser usada para inferência sobre proporção. - x: número de sucessos; - n: tamanho da amostra; - conf.level: nível de confiança.

6.3 Teste para uma proporção

Suponha que se deseja testar se a proporção de aprovação é igual a 0,7:

\[ H_0: p = 0.7 \qquad \text{versus} \qquad H_1: p \neq 0.7 \]

Execute este código

prop.test(
  x = sum(dados$aprovado == "Sim"),
  n = nrow(dados),
  p = 0.7
)

    1-sample proportions test with continuity correction

data:  sum(dados$aprovado == "Sim") out of nrow(dados), null probability 0.7
X-squared = 0.95503, df = 1, p-value = 0.3284
alternative hypothesis: true p is not equal to 0.7
95 percent confidence interval:
 0.5773525 0.9559302
sample estimates:
        p 
0.8333333 

Comentário do professor

Quando o argumento p é informado, prop.test() passa a realizar um teste de hipótese para a proporção.

7. Análise de variância (ANOVA)

A análise de variância é usada para comparar médias de três ou mais grupos.

7.1 Visualização inicial por boxplot

Antes da ANOVA, é recomendável visualizar os dados.

Execute este código

ggplot(dados, aes(x = turma, y = nota_r, fill = turma)) +
  geom_boxplot() +
  labs(
    title = "Nota em R por turma",
    x = "Turma",
    y = "Nota em R"
  ) +
  theme_minimal()

7.2 Ajustando o modelo ANOVA

Vamos comparar a média de nota_r entre as turmas.

Execute este código

modelo_anova <- aov(nota_r ~ turma, data = dados)

summary(modelo_anova)

            Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
turma        2  1.441  0.7206   0.377  0.693
Residuals   15 28.703  1.9136               

Comentário do professor

A função aov() ajusta um modelo de análise de variância. - nota_r ~ turma indica que a variável resposta é nota_r e o fator explicativo é turma.

Hipóteses da ANOVA

\[ H_0: \mu_A = \mu_B = \mu_C \]

\[ H_1: \text{pelo menos uma média difere das demais} \]

7.3 Comparações múltiplas com Tukey

Caso a ANOVA indique diferença significativa, podemos investigar quais grupos diferem entre si.

Execute este código

TukeyHSD(modelo_anova)

  Tukey multiple comparisons of means
    95% family-wise confidence level

Fit: aov(formula = nota_r ~ turma, data = dados)

$turma
         diff       lwr      upr     p adj
B-A 0.1166667 -1.957819 2.191153 0.9883138
C-A 0.6500000 -1.424486 2.724486 0.7004341
C-B 0.5333333 -1.541153 2.607819 0.7853138

Comentário do professor

A função TukeyHSD() realiza comparações múltiplas entre pares de grupos, controlando o erro do tipo I no conjunto das comparações.

8. Tabelas de contingência e testes Qui-quadrado

Tabelas de contingência resumem a relação entre duas variáveis qualitativas.

8.1 Tabela de contingência

Vamos estudar a relação entre turma e aprovado.

Execute este código

tab_cont <- table(dados$turma, dados$aprovado)

tab_cont

   
    Nao Sim
  A   1   5
  B   2   4
  C   0   6

Comentário do professor

A função table() constrói tabelas de contingência ou frequências cruzadas entre variáveis categóricas.

8.2 Proporções marginais e conjuntas

Execute este código

prop.table(tab_cont)

   
           Nao        Sim
  A 0.05555556 0.27777778
  B 0.11111111 0.22222222
  C 0.00000000 0.33333333

Execute este código

prop.table(tab_cont, margin = 1)

   
          Nao       Sim
  A 0.1666667 0.8333333
  B 0.3333333 0.6666667
  C 0.0000000 1.0000000

Comentário do professor

• prop.table(tab_cont) devolve proporções em relação ao total;
• prop.table(tab_cont, margin = 1) devolve proporções por linha.

8.3 Teste Qui-quadrado de independência

Execute este código

chisq.test(tab_cont)

Warning in chisq.test(tab_cont): Chi-squared approximation may be incorrect

    Pearson's Chi-squared test

data:  tab_cont
X-squared = 2.4, df = 2, p-value = 0.3012

Comentário do professor

O teste Qui-quadrado de independência avalia se duas variáveis qualitativas estão associadas.

As hipóteses são:

\[ H_0: \text{as variáveis são independentes} \]

\[ H_1: \text{as variáveis são associadas} \]

8.4 Visualização da tabela de contingência

Execute este código

tab_df <- as.data.frame(tab_cont)

ggplot(tab_df, aes(x = Var1, y = Freq, fill = Var2)) +
  geom_col(position = "dodge") +
  labs(
    title = "Tabela de contingência: turma e aprovação",
    x = "Turma",
    y = "Frequência",
    fill = "Aprovado"
  ) +
  theme_minimal()

9. Análise de correlação

A correlação mede a intensidade e a direção da associação linear entre duas variáveis quantitativas.

9.1 Visualização inicial

Execute este código

ggplot(dados, aes(x = horas_estudo, y = nota_r)) +
  geom_point(color = "darkred", size = 3, alpha = 0.8) +
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, color = "navy", linewidth = 1) +
  labs(
    title = "Horas de estudo versus nota em R",
    x = "Horas de estudo por semana",
    y = "Nota em R"
  ) +
  theme_minimal()

`geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'

9.2 Gráfico interativo com plotly

Execute este código

grafico_cor <- ggplot(
  dados,
  aes(
    x = horas_estudo,
    y = nota_r,
    text = paste(
      "Turma:", turma,
      "<br>Linguagem:", linguagem,
      "<br>Projetos:", projetos
    )
  )
) +
  geom_point(color = "darkred", size = 3, alpha = 0.8) +
  labs(
    title = "Horas de estudo versus nota em R",
    x = "Horas de estudo por semana",
    y = "Nota em R"
  ) +
  theme_minimal()

ggplotly(grafico_cor, tooltip = "text")

Comentário do professor

Nesta versão interativa, mantemos apenas os pontos. Isso evita distorções visuais que podem ocorrer quando a linha de tendência ajustada no ggplot2 é convertida automaticamente pelo plotly.

9.3 Gráfico interativo com reta ajustada via plotly

Execute este código

modelo_plotly <- lm(nota_r ~ horas_estudo, data = dados)

dados_plotly <- dados %>%
  mutate(ajustado = fitted(modelo_plotly))

plot_ly(
  data = dados,
  x = ~horas_estudo,
  y = ~nota_r,
  type = "scatter",
  mode = "markers",
  text = ~paste(
    "Turma:", turma,
    "<br>Linguagem:", linguagem,
    "<br>Projetos:", projetos
  ),
  hoverinfo = "text",
  marker = list(color = "darkred", size = 8),
  name = "Observações"
) %>%
  add_lines(
    data = dados_plotly %>% arrange(horas_estudo),
    x = ~horas_estudo,
    y = ~ajustado,
    line = list(color = "navy", width = 2),
    name = "Reta ajustada"
  ) %>%
  layout(
    title = "Horas de estudo versus nota em R",
    xaxis = list(title = "Horas de estudo por semana"),
    yaxis = list(title = "Nota em R")
  )

A marker object has been specified, but markers is not in the mode
Adding markers to the mode...

Comentário do professor

Aqui, o gráfico é construído diretamente no plotly, e a reta ajustada é adicionada separadamente com add_lines(). Essa estratégia costuma produzir uma visualização interativa mais estável e esteticamente mais consistente.

9.4 Coeficiente de correlação de Pearson

Execute este código

cor(dados$horas_estudo, dados$nota_r)

[1] 0.9831319

Comentário do professor

A função cor(x, y) calcula o coeficiente de correlação linear de Pearson, que varia entre -1 e 1. - valor próximo de 1: forte associação linear positiva; - valor próximo de -1: forte associação linear negativa; - valor próximo de 0: fraca associação linear.

9.5 Teste para correlação

Execute este código

cor.test(dados$horas_estudo, dados$nota_r)

    Pearson's product-moment correlation

data:  dados$horas_estudo and dados$nota_r
t = 21.501, df = 16, p-value = 3.126e-13
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 0.9542643 0.9938363
sample estimates:
      cor 
0.9831319 

Comentário do professor

A função cor.test() realiza inferência para o coeficiente de correlação, fornecendo: - estimativa da correlação; - estatística de teste; - valor-p; - intervalo de confiança.

10. Regressão linear simples

A regressão linear simples modela a relação entre uma variável resposta (Y) e uma variável explicativa (X).

O modelo é dado por

\[ Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \varepsilon_i \]

No nosso contexto, podemos considerar:

• (Y_i): nota em R;
• (X_i): horas de estudo.

10.1 Ajustando o modelo

Execute este código

modelo_lm <- lm(nota_r ~ horas_estudo, data = dados)

summary(modelo_lm)

Call:
lm(formula = nota_r ~ horas_estudo, data = dados)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-0.39025 -0.20335 -0.01055  0.19283  0.48268 

Coefficients:
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)   3.02910    0.21868   13.85 2.51e-10 ***
horas_estudo  0.42882    0.01994   21.50 3.13e-13 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.251 on 16 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.9665,    Adjusted R-squared:  0.9645 
F-statistic: 462.3 on 1 and 16 DF,  p-value: 3.126e-13

Comentário do professor

A função lm() ajusta um modelo linear. - nota_r ~ horas_estudo indica que nota_r é explicada por horas_estudo.

10.2 Coeficientes estimados

Execute este código

coef(modelo_lm)

 (Intercept) horas_estudo 
   3.0291024    0.4288219 

Comentário do professor

Os coeficientes estimados representam: - (_0): intercepto; - (_1): inclinação da reta.

10.3 Valores ajustados e resíduos

Execute este código

dados_reg <- dados %>%
  mutate(
    ajustado = fitted(modelo_lm),
    residuo = resid(modelo_lm)
  )

dados_reg %>%
  select(horas_estudo, nota_r, ajustado, residuo)

Comentário do professor

• fitted(modelo_lm) devolve os valores ajustados pelo modelo;
• resid(modelo_lm) devolve os resíduos, isto é, a diferença entre valor observado e valor ajustado.

10.4 Visualizando reta ajustada

Execute este código

ggplot(dados, aes(x = horas_estudo, y = nota_r)) +
  geom_point(color = "darkred", size = 3, alpha = 0.8) +
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, color = "navy", linewidth = 1) +
  labs(
    title = "Regressão linear simples: nota em R e horas de estudo",
    x = "Horas de estudo por semana",
    y = "Nota em R"
  ) +
  theme_minimal()

`geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'

Ilustração 10.1 – Fluxo da regressão linear simples

flowchart LR
A["Definir variável resposta Y"] --> B["Definir variável explicativa X"]
B --> C["Ajustar modelo lm()"]
C --> D["Interpretar coeficientes"]
D --> E["Analisar ajuste e resíduos"]

11. Integração entre descrição e inferência

Antes de aplicar procedimentos inferenciais, é boa prática examinar os dados descritivamente.

Exemplo integrado para nota_r por turma

Execute este código

dados %>%
  group_by(turma) %>%
  summarise(
    media = mean(nota_r),
    desvio_padrao = sd(nota_r),
    n = n(),
    .groups = "drop"
  )

Execute este código

ggplot(dados, aes(x = turma, y = nota_r, fill = turma)) +
  geom_boxplot() +
  labs(
    title = "Distribuição de nota em R por turma",
    x = "Turma",
    y = "Nota em R"
  ) +
  theme_minimal()

Comentário do professor

Essa combinação entre sumarização e visualização ajuda a interpretar melhor o resultado da ANOVA e a verificar se faz sentido modelar diferenças entre grupos.

12. Erros comuns e boas práticas

Erros comuns

• aplicar testes inferenciais sem examinar antes os dados;
• interpretar valor-p como medida de tamanho de efeito;
• concluir causalidade a partir de correlação;
• aplicar regressão linear sem inspecionar o diagrama de dispersão;
• usar Qui-quadrado sem verificar se a estrutura da tabela é adequada;
• comparar médias entre grupos sem visualizar a distribuição dos dados.

Boas práticas

• combine análise descritiva e inferencial;
• formule claramente as hipóteses antes do teste;
• interprete resultados estatísticos no contexto do problema;
• utilize gráficos para apoiar a leitura dos testes;
• não reduza a análise a um único número, como o valor-p.

13. Exercícios propostos

Exercício 1

Considere uma variável aleatória (X Bin(12, 0.6)). Calcule:

• (P(X = 7));
• (P(X )).

Exercício 2

Construa o gráfico da densidade de uma distribuição Normal com média 10 e desvio-padrão 2.

Exercício 3

Calcule um intervalo de confiança de 95% para a média de nota_r.

Exercício 4

Teste a hipótese de que a média de nota_r é igual a 7,5.

Exercício 5

Calcule a proporção de estudantes aprovados e construa um intervalo de confiança de 95% para essa proporção.

Exercício 6

Teste se a proporção de aprovação é igual a 0,8.

Exercício 7

Ajuste uma ANOVA para comparar nota_r entre as turmas e interprete o resultado.

Exercício 8

Construa uma tabela de contingência entre linguagem e aprovado, e aplique o teste Qui-quadrado de independência.

Exercício 9

Calcule a correlação de Pearson entre horas_estudo e nota_r e teste sua significância.

Exercício 10

Construa uma versão interativa, com plotly, do diagrama de dispersão entre horas_estudo e nota_r: - primeiro apenas com os pontos; - depois com a reta ajustada adicionada diretamente com plot_ly() e add_lines().

Exercício 11

Ajuste um modelo de regressão linear simples com nota_r como variável resposta e horas_estudo como variável explicativa. Apresente: - coeficientes estimados; - resumo do modelo; - gráfico com a reta ajustada.

Comentário do professor

Os exercícios desta aula foram formulados para articular probabilidade, inferência, testes de hipóteses e modelagem simples, sempre com apoio de recursos gráficos e de sumarização já estudados anteriormente.

15. Para a próxima aula

Na próxima aula, continuaremos avançando em inferência estatística e modelagem, ampliando o repertório de técnicas para análise de dados em contextos aplicados.

Tarefa do aluno

Refaça os exemplos da aula e procure relacionar cada procedimento inferencial com o tipo de variável envolvida, o objetivo analítico e a forma mais adequada de visualização dos dados.