Übung 10 – Aufgabe 6: Bestimmung von FunktionenAufgabenstellung

Bestimmen Sie eine Funktion \(f\) mit den folgenden Eigenschaften:

https://www.geogebra.org/calculator/hkgaz2nm

  1. Der Graph der Funktion \(f\) mit \(f(x) = a \cdot e^{kx} + b\) verläuft durch den Punkt \(P(1 | \frac{e}{2} - 3)\), hat eine waagerechte Asymptote mit der Gleichung \(y = -3\) und besitzt im Schnittpunkt mit der y-Achse die Steigung \(\frac{1}{2}\).

  2. Der Graph der Funktion \(f\) mit \(f(x) = t \cdot x \cdot e^x\) hat im Ursprung \(O(0|0)\) die Gerade \(g: y = 2x\) als Tangente.

Lösungsweg

Lösung zu a)

  1. Wir suchen die Parameter \(a, k, b\) für \(f(x) = a \cdot e^{kx} + b\).Asymptote: Wenn \(x \to -\infty\), geht \(e^{kx} \to 0\). Damit bleibt \(f(x) \to b\). Da die Asymptote \(y = -3\) ist, folgt \(b = -3\).Punkt \(P(1 | \frac{e}{2} - 3)\) einsetzen:\(f(1) = a \cdot e^{k \cdot 1} - 3 = \frac{e}{2} - 3 \implies a \cdot e^k = \frac{e}{2}\)Steigung bei \(x=0\):\(f'(x) = a \cdot k \cdot e^{kx}\)\(f'(0) = a \cdot k \cdot e^0 = a \cdot k = \frac{1}{2} \implies a = \frac{1}{2k}\)Zusammenführen:\(\frac{1}{2k} \cdot e^k = \frac{e}{2} \implies \frac{e^k}{k} = e\)

Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich \(k = 1\).Einsetzen in \(a = \frac{1}{2k}\) ergibt \(a = 0{,}5\).Ergebnis: \(f(x) = 0{,}5 \cdot e^x - 3\)

Lösung zu b)

Wir suchen \(t\) für \(f(x) = t \cdot x \cdot e^x\).Tangentenbedingung: Die Gerade \(y = 2x\) hat die Steigung \(m = 2\). Da sie die Tangente im Ursprung ist, muss \(f'(0) = 2\) gelten.

Ableitung bilden (Produktregel):\(f'(x) = t \cdot (1 \cdot e^x + x \cdot e^x) = t \cdot e^x (1 + x)\)

Bedingung anwenden:\(f'(0) = t \cdot e^0 (1 + 0) = t \cdot 1 \cdot 1 = t\)Da \(f'(0) = 2\) sein muss, folgt \(t = 2\).Ergebnis: \(f(x) = 2x \cdot e^x\)

# Definition der Funktionen
curve_a <- function(x) 0.5 * exp(x) - 3
curve_b <- function(x) 2 * x * exp(x)

# Layout: 1 Zeile, 2 Spalten
par(mfrow=c(1,2))

# Plot Aufgabe a
curve(curve_a, from=-3, to=2, main="Aufgabe a", ylab="f(x)", col="blue", lwd=2)
abline(h=-3, col="red", lty=2) # Asymptote
points(1, 0.5*exp(1)-3, pch=19, col="darkred") # Punkt P

# Plot Aufgabe b
curve(curve_b, from=-3, to=1, main="Aufgabe b", ylab="f(x)", col="blue", lwd=2)
curve(2*x, add=TRUE, col="green", lty=2) # Tangente g
points(0, 0, pch=19, col="darkgreen") # Ursprung

# Funktionen
f_a <- function(x) 0.5 * exp(x) - 3
f_b <- function(x) 2 * x * exp(x)
g   <- function(x) 2 * x

# Hilfspunkte
P_x <- 1
P_y <- f_a(P_x)

# Layout
op <- par(mfrow = c(1, 2), mar = c(4, 4, 3, 1))
on.exit(par(op), add = TRUE)

# Plot a
curve(
  f_a, from = -3, to = 2,
  main = "Aufgabe a",
  xlab = "x", ylab = "f(x)",
  col = "blue", lwd = 2
)
abline(h = -3, col = "red", lty = 2, lwd = 2)          # Asymptote
points(P_x, P_y, pch = 19, col = "darkred")            # Punkt P
text(P_x, P_y, labels = "P", pos = 4, col = "darkred") # Beschriftung
legend(
  "topleft",
  legend = c("f(x)=0.5·e^x−3", "Asymptote y=−3"),
  col = c("blue", "red"),
  lty = c(1, 2),
  lwd = c(2, 2),
  bty = "n"
)

# Plot b
curve(
  f_b, from = -3, to = 1,
  main = "Aufgabe b",
  xlab = "x", ylab = "f(x)",
  col = "blue", lwd = 2
)
curve(g, from = -3, to = 1, add = TRUE, col = "green4", lty = 2, lwd = 2) # Tangente
points(0, 0, pch = 19, col = "green4")
text(0, 0, labels = "O", pos = 4, col = "green4")
legend(
  "topleft",
  legend = c("f(x)=2x·e^x", "Tangente y=2x"),
  col = c("blue", "green4"),
  lty = c(1, 2),
  lwd = c(2, 2),
  bty = "n"
)